Formation of differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया फलन $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \dots \infty}}}$ है।
चूंकि श्रेणी अनंत है,हम इसे $y = \sqrt{\sin x + y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$(2y - 1)\frac{dy}{dx} = \cos x$ प्राप्त होता है,जिसे $(2y - 1)\frac{dy}{dx} - \cos x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $y = a + bx^2$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(a + bx^2) = 0 + 2bx = 2bx$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2bx) = 2b$.
अब,व्यंजक $x \frac{d^2y}{dx^2}$ पर विचार करें:
$x \frac{d^2y}{dx^2} = x(2b) = 2bx$.
चूंकि $\frac{dy}{dx} = 2bx$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) वक्रों के कुल को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि,वक्रों के कुल के समीकरण में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि दिए गए वक्रों के कुल में $4$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $4$ होगी।

(A) त्रिज्या वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र के निर्देशांक हैं।
इस समीकरण में दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(C) दिया गया फलन $y = 4\sin 3x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4 \times 3 \cos 3x = 12 \cos 3x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 12 \times (-3 \sin 3x) = -36 \sin 3x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(4 \sin 3x)$.
चूंकि $y = 4 \sin 3x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $xy$-समतल में सभी रेखाओं का सामान्य समीकरण $y = mx + c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ और $c$ स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = m$
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}({a^2})$
$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y\frac{dy}{dx} = 0$
अतः,अवकल समीकरण $x + y\frac{dy}{dx} = 0$ है।

(B) दिया गया है $y = \frac{x}{x + 1}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{y} = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x^2}$.
दोनों पक्षों को $-y^2 x^2$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 \frac{dy}{dx} = y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y = A\sin x + B\cos x$ है।
$x$ के सापेक्ष एक बार अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = A\cos x - B\sin x$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -A\sin x - B\cos x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(A\sin x + B\cos x)$.
चूंकि $y = A\sin x + B\cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$.

(B) दिया गया वक्रों का कुल $y = a \cos(x + b)$ है,जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -a \sin(x + b)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a \cos(x + b)$
चूँकि $y = a \cos(x + b)$,इसलिए इसका मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) मूल बिंदु से इकाई दूरी पर स्थित एक सीधी रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 1$ द्वारा दिया जाता है $... (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ $... (ii)$
$(ii)$ से,$\cos \alpha = -\frac{dy}{dx} \sin \alpha$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(-\frac{dy}{dx} \sin \alpha) + y \sin \alpha = 1$
$\sin \alpha (y - x \frac{dy}{dx}) = 1$
$y - x \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ $... (iii)$
$(ii)$ से,$\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$,इसलिए $(\frac{dy}{dx})^2 = \cot^2 \alpha$.
सर्वसमिका $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ का उपयोग करते हुए,$(iii)$ और $(iv)$ से:
$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = \csc^2 \alpha = (y - x \frac{dy}{dx})^2$.

(A) दिया गया समीकरण: $y = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
चूंकि $y = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}}$,इसलिए हम $y$ को समीकरण में वापस रख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण: ${x^2}y = a$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}({x^2}y) = \frac{d}{dx}(a)$
${x^2} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}({x^2}) = 0$
${x^2} \frac{dy}{dx} + y(2x) = 0$
${x^2} \frac{dy}{dx} + 2xy = 0$
पूरे समीकरण को ${x^2}$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} + \frac{2y}{x} = 0$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = e^{mx}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log y = mx$ प्राप्त होता है।
इससे,हम स्वेच्छ अचर को $m = \frac{\log y}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$y = e^{mx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m e^{mx}$.
चूंकि $e^{mx} = y$,हम इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = m \cdot y$.
अब $m = \frac{\log y}{x}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{x} \right) \cdot y = \left( \frac{y}{x} \right) \log y$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया हल $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -c_1 a \sin ax + c_2 a \cos ax$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -c_1 a^2 \cos ax - c_2 a^2 \sin ax$.
$-a^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a^2(c_1 \cos ax + c_2 \sin ax)$.
चूँकि $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$,इसलिए समीकरण में $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a^2 y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} + a^2 y = 0$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ $m$ और $c$ स्वेच्छ अचर हैं।
चरण $1$: समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$
चरण $2$: अचर $m$ को हटाने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(D) बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली सरल रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$(x_1, y_1) = (1, -1)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
चूंकि $m$ रेखा की ढाल को दर्शाता है,हम $m = \frac{dy}{dx}$ लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y = (x - 1)\frac{dy}{dx} - 1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए वक्रों का कुल: ${y^2} = 4a(x + a) \quad (i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{{dy}}{{dx}} = 4a$
$a = \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
${y^2} = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
${y^2} = 2y \frac{{dy}}{{dx}} \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
$y$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{{dy}}{{dx}} \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
$y = 2x \frac{{dy}}{{dx}} + y {\left( \frac{{dy}}{{dx}} \right)^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y - y {\left( \frac{{dy}}{{dx}} \right)^2} = 2x \frac{{dy}}{{dx}}$
$y \left[ {1 - {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right] = 2x \frac{{dy}}{{dx}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $v = \frac{A}{r} + B$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dr} = -\frac{A}{r^2}$।
पुनः $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2v}{dr^2} = \frac{2A}{r^3}$।
प्रथम अवकलज से,हमारे पास $A = -r^2 \frac{dv}{dr}$ है।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2v}{dr^2} = \frac{2(-r^2 \frac{dv}{dr})}{r^3} = -\frac{2}{r} \frac{dv}{dr}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dv}{dr} = 0$।

(A) $y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है,जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ अचर हैं।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$
चरण $2$: पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$
चरण $3$: तीसरी बार $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = 0$
चूँकि यहाँ $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए उन्हें विलुप्त करने के लिए हम $3$ बार अवकलन करते हैं। अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y = (x + K)e^{-x}$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x + K) \cdot e^{-x} + (x + K) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-x} + (x + K) \cdot (-e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} - (x + K)e^{-x}$
चूँकि $y = (x + K)e^{-x}$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} - y$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$

(B) दिया गया समीकरण $y = cx + c - c^3$ है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = c$.
अब,हम $c = \frac{dy}{dx}$ का मान मूल समीकरण $y = cx + c - c^3$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{dy}{dx} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y = x\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$ है।

(B) दिया गया समीकरण $y = e^x(A\cos x + B\sin x)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x(A\cos x + B\sin x) + e^x(-A\sin x + B\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(-A\sin x + B\cos x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(-A\sin x + B\cos x) + e^x(-A\cos x - B\sin x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$.

(C) दिया गया समीकरण $y = A + Bx + C{e^{ - x}} \dots (i)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = B - C{e^{ - x}} \dots (ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = C{e^{ - x}} \dots (iii)$
तीसरी बार $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = -C{e^{ - x}} \dots (iv)$
समीकरण $(iii)$ से,हमारे पास $C{e^{ - x}} = \frac{d^2y}{dx^2}$ है।
इस मान को समीकरण $(iv)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = -\frac{d^2y}{dx^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^3y}{dx^3} + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$,अर्थात $y''' + y'' = 0$।

(A) दिया गया समीकरण: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$y'' = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
चूंकि $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,इसलिए $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = -\omega^2 y$
अतः,अवकल समीकरण $y'' + \omega^2 y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली सभी सीधी रेखाओं का समीकरण $y = mx$ है,जहाँ $m$ एक स्वेच्छ अचर है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = m$.
मूल समीकरण $y = mx$ से,हम लिख सकते हैं कि $m = \frac{y}{x}$.
$m$ का मान अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) दिया गया समीकरण: $y = a{e^{mx}} + b{e^{-mx}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = ma{e^{mx}} - mb{e^{-mx}}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2a{e^{mx}} + m^2b{e^{-mx}}$
$m^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2(a{e^{mx}} + b{e^{-mx}})$
चूंकि $y = a{e^{mx}} + b{e^{-mx}}$,हम समीकरण में $y$ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2y$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y = \sec(\tan^{-1}x)$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sec(\tan^{-1}x)]$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1}x) \cdot \tan(\tan^{-1}x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$
चूंकि $\tan(\tan^{-1}x) = x$ और $y = \sec(\tan^{-1}x)$ है:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = xy$।

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $y = ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = a \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) + ax \left( -\sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$y_1 = a \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) + \frac{a}{x} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \dots (ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = a \left( -\sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) + a \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) + \frac{a}{x} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$y_2 = \frac{a}{x^2} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) - \frac{a}{x^2} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) - \frac{a}{x^3} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
$y_2 = -\frac{a}{x^3} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
दोनों पक्षों को $x^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 y_2 = -ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
चूँकि $y = ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$,इसलिए:
$x^4 y_2 = -y$
$x^4 y_2 + y = 0$

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = c$ है ... $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{1 - y^2} + \sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sqrt{1 - x^2} \, dy + \sqrt{1 - y^2} \, dx = 0$.

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $y = A{e^{3x}} + B{e^{5x}}$
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 3A{e^{3x}} + 5B{e^{5x}}$
चरण $2$: पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 9A{e^{3x}} + 25B{e^{5x}}$
चरण $3$: हम स्वेच्छ अचर $A$ और $B$ को विलुप्त करते हैं। मूल $m_1 = 3$ और $m_2 = 5$ के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $(m - 3)(m - 5) = 0$ है,जो $m^2 - 8m + 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
चरण $4$: $m^k$ को $\frac{{d^k}y}{{dx^k}}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 8\frac{{dy}}{{dx}} + 15y = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वक्र के अभिलंब की लंबाई का सूत्र $L = |y|\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ होता है।
दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई एक अचर $k$ है,इसलिए $|y|\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = k$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2(1 + (\frac{dy}{dx})^2) = k^2$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर,$y^2 + y^2(\frac{dy}{dx})^2 = k^2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2(\frac{dy}{dx})^2 = k^2 - y^2$ प्राप्त होता है,जिसे $(y\frac{dy}{dx})^2 = k^2 - y^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया है कि $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = a$ प्राप्त होता है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{dx} dx = \int a dx + b$ प्राप्त होता है,जहाँ $b$ एक अन्य स्वेच्छ अचर है।
अतः,$y = ax + b$।

(D) दिया गया समीकरण $Ax^2 + By^2 = 1 \quad \dots(1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2Ax + 2By \frac{dy}{dx} = 0 \implies Ax + By \frac{dy}{dx} = 0 \quad \dots(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A + B \left( y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right) = 0 \quad \dots(3)$
$(2)$ से,$A = -\frac{By}{x} \frac{dy}{dx}$। इस मान को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{By}{x} \frac{dy}{dx} + By \frac{d^2y}{dx^2} + B \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$B$ से भाग देने पर:
$-\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} + y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$x$ से गुणा करने पर:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,अतः कोटि $2$ है। उच्चतम अवकलज की घात $1$ है,अतः घात $1$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर $(a, 0)$ केंद्र वाले सभी वृत्तों की त्रिज्या $a$ होगी।
ऐसे वृत्तों का सामान्य समीकरण है:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$ --- $(i)$
इस समीकरण में केवल एक स्वेच्छ अचर $a$ है। इसलिए,हम इसका $x$ के सापेक्ष एक बार अवकलन करते हैं:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 = x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$

(C) दिया गया वक्रों का कुल: $y = c_1 e^{c_2 x} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = c_1 c_2 e^{c_2 x} = c_2 y \dots (ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = c_2 y' \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $c_2 = \frac{y'}{y}$.
$c_2$ का यह मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y'' = \left( \frac{y'}{y} \right) y'$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर:
$y y'' = (y')^2$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x - h)^2 + y^2 = h^2$ है,जहाँ $h$ केंद्र का $x$-निर्देशांक है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ हो जाता है ..... $(i)$।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$x + y \frac{dy}{dx} - h = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = x + y \frac{dy}{dx}$।
$h$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2x(x + y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$।
$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$।

(C) दिया गया वक्रों का कुल ${x^2} + {y^2} - 2ay = 0$ है ..... $(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2yy' - 2ay' = 0$
$2ay' = 2x + 2yy'$
$2a = \frac{2x + 2yy'}{y'} = \frac{2x}{y'} + 2y$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
${x^2} + {y^2} - (\frac{2x}{y'} + 2y)y = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{2xy}{y'} - 2{y^2} = 0$
${x^2} - {y^2} - \frac{2xy}{y'} = 0$
$y'$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$({x^2} - {y^2})y' - 2xy = 0$
$({x^2} - {y^2})y' = 2xy$.

(C) $4a$ नाभिलंब और $x$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है,जहाँ $(h, k)$ स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(y - k) \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow (y - k) \frac{dy}{dx} = 2a$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(y - k) \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
प्रथम अवकलज से,$(y - k) = \frac{2a}{dy/dx}$ प्राप्त होता है। इस मान को दूसरे अवकलज समीकरण में रखने पर:
$\left( \frac{2a}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$2a \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = 0$
इस अवकल समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,अतः कोटि $2$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,अतः घात $1$ है।

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = c_1 \cos(x + c_2) - c_3 e^{-x + c_4} + c_5 \sin x$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और घातांक के नियम $e^{A+B} = e^A e^B$ का उपयोग करने पर:
$y = c_1(\cos x \cos c_2 - \sin x \sin c_2) - (c_3 e^{c_4}) e^{-x} + c_5 \sin x$
मान लीजिए $A = c_1 \cos c_2$,$B = (c_1 \sin c_2 - c_5)$,और $C = c_3 e^{c_4}$।
तब $y = A \cos x - B \sin x - C e^{-x} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = -A \sin x - B \cos x + C e^{-x} \dots (ii)$
$y'' = -A \cos x + B \sin x - C e^{-x} \dots (iii)$
$y''' = A \sin x + B \cos x + C e^{-x} \dots (iv)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $y'' + y = -2C e^{-x} \dots (v)$
$(ii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर: $y''' + y' = 2C e^{-x} \dots (vi)$
$(v)$ और $(vi)$ को जोड़ने पर: $y''' + y'' + y' + y = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} + \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = 0$ है।

(B) दिया गया वृत्त का समीकरण: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k) \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow (x - h) + (y - k) \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow (x - h) = -(y - k) \frac{dy}{dx}$ (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y - k) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$\Rightarrow (y - k) = -\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2}$ (iii)
(iii) को (ii) में रखने पर: $(x - h) = \frac{[1 + (dy/dx)^2] \frac{dy}{dx}}{d^2y/dx^2}$ (iv)
(iii) और (iv) को $(i)$ में रखने पर:
$\left( \frac{[1 + (dy/dx)^2] \frac{dy}{dx}}{d^2y/dx^2} \right)^2 + \left( -\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2} \right)^2 = a^2$
$\Rightarrow \frac{[1 + (dy/dx)^2]^2}{(d^2y/dx^2)^2} \left[ (dy/dx)^2 + 1 \right] = a^2$
$\Rightarrow [1 + (dy/dx)^2]^3 = a^2 (d^2y/dx^2)^2$

(C) दिया गया समीकरण ${y^2} = \sqrt{c}(x + 2c)$ है।
चूंकि इसमें केवल एक स्वेच्छ अचर $c$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = \sqrt{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = c$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $\sqrt{c} = 2y \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
${y^2} = 2y \frac{dy}{dx} (x + 2(4y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2))$.
${y^2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 16y^3 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
$y$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + 16y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $3$ है,अतः घात $3$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y = ke^{\sin^{-1} x} + 3$ है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $y - 3 = ke^{\sin^{-1} x}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y - 3) = \frac{d}{dx}(ke^{\sin^{-1} x})$।
$\frac{dy}{dx} = k \cdot e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
चूंकि $ke^{\sin^{-1} x} = y - 3$ है,इसलिए हम इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = (y - 3) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = y - 3$।

(A) दीर्घवृत्तों के परिवार का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} + \frac{yy'}{b^2} = 0$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{a^2} + \frac{y y'' + (y')^2}{b^2} = 0$.
प्रथम अवकलन से,$\frac{1}{a^2} = -\frac{yy'}{xb^2}$.
इस मान को द्वितीय अवकलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{yy'}{xb^2} + \frac{yy'' + (y')^2}{b^2} = 0$.
$\frac{b^2}{y'}$ से गुणा करने पर: $-\frac{y}{x} + \frac{yy'' + (y')^2}{y'} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{yy'' + (y')^2}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{yy''}{y'} + y' = \frac{y}{x}$.
$y$ से भाग देने पर: $\frac{y''}{y'} + \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{y''}{y'} + \frac{y'}{y} - \frac{1}{x} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $y = Ae^{2x} + Be^{-2x}$
$x$ के सापेक्ष पहली बार अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2Ae^{2x} - 2Be^{-2x}$
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4Ae^{2x} + 4Be^{-2x}$
$4$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4(Ae^{2x} + Be^{-2x})$
चूंकि $y = Ae^{2x} + Be^{-2x}$,इसलिए समीकरण में $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4y$

(C) $x$-अक्ष पर $(h, 0)$ केंद्र और $h$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + y^2 = h^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,जो $x^2 + y^2 = 2xh$ में सरल हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $h$ को हटाने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2h$।
अब $h = x + y \frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 2xh$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$।
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$।
$y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$।

(D) मूलबिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(0,3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{9} y' = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x}{a^2} + \frac{y y'}{9} = 0$ या $\frac{1}{a^2} = -\frac{y y'}{9x}$ मिलता है।
$\frac{1}{a^2}$ का मान $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ में रखने पर,$x^2(-\frac{y y'}{9x}) + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$-x y y' + y^2 = 9$ या $x y y' - y^2 + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर $x-$अक्ष को स्पर्श करने वाले और $(0, a)$ केंद्र वाले सभी वृत्तों के परिवार का समीकरण है:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay = 0$ ... $(1)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a\frac{dy}{dx} = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a\frac{dy}{dx}$
$a = \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 + y^2 - 2y \left( \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2y(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2xy - 2y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = 2xy$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = g(x)y$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g(x)y = 2xy$
$g(x) = 2x$

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण: $x^{2} = 4b(y+b)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4b y^{\prime}$
$b = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
$b$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) \left( y + \frac{x}{2y^{\prime}} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{2} = \frac{2x}{y^{\prime}} \left( \frac{2yy^{\prime} + x}{2y^{\prime}} \right)$.
$x^{2} = \frac{2x(2yy^{\prime} + x)}{2(y^{\prime})^{2}}$.
$x^{2} = \frac{x(2yy^{\prime} + x)}{(y^{\prime})^{2}}$.
$x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$x(y^{\prime})^{2} = 2yy^{\prime} + x$.

(N/A) दिया गया फलन $y=e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$ ... $(1)$
अब,$(1)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9e^{-3x}$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,$\frac{dy}{dx}$ और $y$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} - 6y$
$L.H.S. = 9e^{-3x} + (-3e^{-3x}) - 6(e^{-3x})$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 3e^{-3x} - 6e^{-3x}$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 9e^{-3x} = 0$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S. = 0$,अतः फलन $y=e^{-3x}$ दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।