Formation of differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $y = ax + \frac{1}{a}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a$
$a = \frac{dy}{dx}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = x \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right) = x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1$
यहाँ उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = Ae^x + B \sin x$ है।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = Ae^x + B \cos x$.
चरण $2$: पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = Ae^x - B \sin x$.
अचर $A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\cos x + \sin x) y'' - (\cos x - \sin x) y' - (\cos x + \sin x) y = 0$.
यहाँ $f(x) = \cos x + \sin x$,$g(x) = -\cos x + \sin x$,$h(x) = -\cos x - \sin x$.
अतः $f(x) + g(x) + h(x) = (\cos x + \sin x) + (-\cos x + \sin x) + (-\cos x - \sin x) = -\cos x + \sin x$.

(B) त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k)y_1 = 0$,जिसका अर्थ है $(x - h) = -(y - k)y_1$.
पुनः अवकलन करने पर: $1 + y_1^2 + (y - k)y_2 = 0$,इसलिए $(y - k) = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$.
$(y - k)$ का मान पहले अवकलित समीकरण में रखने पर: $(x - h) = -(-\frac{1 + y_1^2}{y_2})y_1 = \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2}$.
अब $(x - h)$ और $(y - k)$ के मानों को मूल वृत्त समीकरण में रखने पर: $(\frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2})^2 + (-\frac{1 + y_1^2}{y_2})^2 = a^2$.
इसे सरल करने पर: $\frac{y_1^2(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} + \frac{(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} = a^2$.
$(1 + y_1^2)^2$ को कॉमन लेने पर: $\frac{(1 + y_1^2)^2 (y_1^2 + 1)}{y_2^2} = a^2$.
अतः,$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = A e^{-x} + B \cos x$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -A e^{-x} - B \sin x$ ... $(ii)$
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = A e^{-x} - B \cos x$ ... $(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,$B$ को विलुप्त करने पर: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = A e^{-x} (\sin x - \cos x)$ ... $(iv)$
$(i)$ और $(iii)$ से,$B$ को विलुप्त करने पर: $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 2 A e^{-x}$ ... $(v)$
$(iv)$ और $(v)$ से,$A$ को विलुप्त करने पर: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = \frac{1}{2} (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
$2$ से गुणा करने पर: $2y \sin x + 2 \frac{dy}{dx} \cos x = (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\cos x - \sin x) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \cos x \frac{dy}{dx} + (\sin x + \cos x) y = 0$.

(A) दिया गया है $y=A e^x+B \sin 2 x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=A e^x+2 B \cos 2 x$ ...$(1)$
पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=A e^x-4 B \sin 2 x$ ...$(2)$
$(1)$ से,$A e^x = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x$. इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x - 4 B \sin 2 x$.
विकल्पों की जाँच करने या अचर $A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें अवकल समीकरण $(\cos 2 x-\sin 2 x) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 \sin 2 x \frac{d y}{d x}-4(\sin 2 x+\cos 2 x) y=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $y=x[a \cos (\log x)+b \sin (\log x)]$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = [a \cos (\log x) + b \sin (\log x)] + x [-a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$.
$x$ से गुणा करने पर: $x \frac{d y}{d x} = y - ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d x} - [a \sin (\log x) + ax \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + [b \cos (\log x) - bx \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} = -a \sin (\log x) - a \cos (\log x) + b \cos (\log x) - b \sin (\log x)$.
$x$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -ax \sin (\log x) - ax \cos (\log x) + bx \cos (\log x) - bx \sin (\log x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -[ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)] - [ax \sin (\log x) - bx \cos (\log x)]$.
$y = ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)$ और $x \frac{d y}{d x} - y = -ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -y - (x \frac{d y}{d x} - y) = -x \frac{d y}{d x} + 2y$ (सही गणना के अनुसार)।
अंतिम समीकरण: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} + 2y = 0$.

(A) $r$ इकाई की निश्चित त्रिज्या और केंद्र $(h, 3)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण है:
$(x-h)^2 + (y-3)^2 = r^2$ --- $(1)$
जहाँ $h$ एक स्वेच्छ अचर है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-3)\frac{dy}{dx} = 0$
$x-h = -(y-3)\frac{dy}{dx}$
$(x-h)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$[-(y-3)\frac{dy}{dx}]^2 + (y-3)^2 = r^2$
$(y-3)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-3)^2 = r^2$
दोनों पक्षों को $(y-3)^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 = \frac{r^2}{(y-3)^2}$

(B) वक्रों के परिवार का दिया गया समीकरण: $a x^2+b y^2=1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0$,जो सरल होकर $a x+b y \frac{d y}{d x}=0$ प्राप्त होता है।
यहाँ से,$a = -\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a + b \left( y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 \right) = 0$.
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x} + b y \frac{d^2 y}{d x^2} + b (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$b$ से भाग देने पर: $-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$x$ से गुणा करने पर: $-y \frac{d y}{d x} + x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$ है।

(A) सामान्य हल $f(x, y, c_1, c_2) = 0$ में दो स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संगत अवकल समीकरण की कोटि $k = 2$ है।
दिए गए समीकरण $x^k + y^k = c^2$ में $k = 2$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = c^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(c^2)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 = 4a(x + a)$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + 0) = 4a$
$2y y^{\prime} = 4a$
$a = \frac{1}{2} y y^{\prime}$
अब,$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y y^{\prime} \right) \left( x + \frac{1}{2} y y^{\prime} \right)$
$y^2 = 2y y^{\prime} \left( \frac{2x + y y^{\prime}}{2} \right)$
$y^2 = y y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
दोनों पक्षों को $y$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
$y = 2x y^{\prime} + y (y^{\prime})^2$
$y - y (y^{\prime})^2 = 2x y^{\prime}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+y^2}=C x e^{\tan ^{-1} x}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \cdot 2y \frac{dy}{dx} = C \left( e^{\tan ^{-1} x} + x e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right)$
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = C e^{\tan ^{-1} x} \left( 1 + \frac{x}{1+x^2} \right)$
चूँकि $C e^{\tan ^{-1} x} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} \left( \frac{1+x^2+x}{1+x^2} \right)$
$\frac{xy}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}(1+x+x^2)}{1+x^2}$
$xy(1+x^2) dy = (1+y^2)(1+x+x^2) dx$
$xy(1+x^2) dy - (1+y^2)(1+x+x^2) dx = 0$

(D) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x} + x^2$ है $(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y + xy' = ae^x - be^{-x} + 2x$ (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' + y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$
$2y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$ (iii)
$(i)$ से,$ae^x + be^{-x} = xy - x^2$ है।
इस मान को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$xy'' + 2y' = (xy - x^2) + 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xy'' + 2y' - xy + x^2 - 2 = 0$

(B) दिया गया वक्रों का कुल: $y = ae^{4x} + be^{-x}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 4ae^{4x} - be^{-x}$ ... (ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16ae^{4x} + be^{-x}$ ... (iii)
अचर $a$ और $b$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरणों $(i)$,(ii) और (iii) को हल करने पर:
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$y + \frac{dy}{dx} = 5ae^{4x} \implies ae^{4x} = \frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})$
$(i)$ को $4$ से गुणा करके उसमें से (ii) घटाने पर:
$4y - \frac{dy}{dx} = 5be^{-x} \implies be^{-x} = \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
इन मानों को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16[\frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})] + \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{16y}{5} + \frac{16}{5}\frac{dy}{dx} + \frac{4y}{5} - \frac{1}{5}\frac{dy}{dx} = 4y + 3\frac{dy}{dx}$
अतः,अवकल समीकरण $f = \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$ है।
$\frac{df}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,$f$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y) = \frac{d^3y}{dx^3} - 3\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx}$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = ax^2 + bx + c$.
यहाँ,स्वेच्छ अचरों (arbitrary constants) की संख्या $3$ $(a, b, c)$ है।
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष बार-बार अवकलन करेंगे।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ है।
दो स्वेच्छ अचरों $l$ और $m$ को विलुप्त करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करते हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2lx + 2myy^{\prime} - (1 + y^{\prime}) = 0 \ldots (ii)$
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2l + 2m(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y^{\prime \prime} = 0 \ldots (iii)$
हमारे पास $l, m, -1$ में तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली है:
$l(x^2) + m(y^2) + (-1)(x+y) = 0$
$l(2x) + m(2yy^{\prime}) + (-1)(1+y^{\prime}) = 0$
$l(2) + m(2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime})) + (-1)(y^{\prime \prime}) = 0$
$l, m, -1$ के लिए एक गैर-तुच्छ हल प्राप्त करने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & -(x+y) \\ 2x & 2yy^{\prime} & -(1+y^{\prime}) \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & -y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$
तीसरे स्तंभ को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \\ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$

(C) $r$ स्थिर त्रिज्या और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow x-a = -(y-b)y'$।
इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(y-b)^2 (y')^2 + (y-b)^2 = r^2 \Rightarrow (y-b)^2 [1 + (y')^2] = r^2 \Rightarrow y-b = \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}}$।
$x-a = -(y-b)y'$ का पुनः अवकलन करने पर: $1 = -[y'' (y-b) + (y')^2]$।
$y-b$ का मान रखने पर: $1 + (y')^2 = -y'' \left( \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)$।
सरल करने पर: $1 + (y')^2 = \mp \frac{r y''}{\sqrt{1+(y')^2}} \Rightarrow (1+(y')^2)^{3/2} = \mp r y''$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1+(y')^2)^3 = r^2 (y'')^2$।

(C) अचर त्रिज्या $r$ और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $k = 2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow (x-a) + (y-b)y' = 0$.
पुनः अवकलन करने पर: $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0 \Rightarrow (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
इस मान को प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x-a) = -y' \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right) = \frac{y'(1+(y')^2)}{y''}$.
$(x-a)$ और $(y-b)$ के मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{y'(1+(y')^2)}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = r^2$.
सरल करने पर: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} ( (y')^2 + 1 ) = r^2 \Rightarrow (1+(y')^2)^3 = r^2(y'')^2$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है,अतः कोटि $k = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,अतः घात $l = 2$ है।
अतः,$k^2 + l^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

(D) $X$-अक्ष पर $(a, 0)$ केंद्र वाले और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$।
इससे $a = x + y\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$a$ के इस मान को समीकरण $x^2 + y^2 = 2ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2x(x + y\frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $a$ है। तब वृत्त का केंद्र $(a, a)$ है। अतः,वृत्त का समीकरण है:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ --- $(i)$
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a - 2a \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} - a(1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
$a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
यहाँ $(x-a) = x - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
और $(y-a) = y - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}}$
इन मानों को $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ में रखने पर:
$(\frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 + (\frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
$(x-y)^2 (\frac{dy}{dx})^2 + (x-y)^2 = (x + y \frac{dy}{dx})^2$
$(x-y)^2 [1 + (\frac{dy}{dx})^2] = (x + y \frac{dy}{dx})^2$

(A) दिया गया वक्रों का परिवार: $y = a + b e^{2x} + c e^{-3x}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = 2b e^{2x} - 3c e^{-3x}$ (ii)
पुनः अवकलन करने पर:
$y_2 = 4b e^{2x} + 9c e^{-3x}$ (iii)
तीसरी बार अवकलन करने पर:
$y_3 = 8b e^{2x} - 27c e^{-3x}$ (iv)
अचर $a, b, c$ को विलुप्त करने के लिए,हम $y_3 + k_1 y_2 + k_2 y_1 = 0$ के रैखिक संयोजन पर विचार करते हैं।
$e^{2x}$ और $e^{-3x}$ पदों के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $(m-2)(m+3)m = 0$ है,जो $m^3 + m^2 - 6m = 0$ है।
अतः,संगत अवकल समीकरण $y_3 + y_2 - 6y_1 = 0$ है।

(B) सरल आवर्त गति का दिया गया समीकरण: $x = A \cos (nt + \alpha)$ ... $(i)$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -A n \sin (nt + \alpha)$ ... (ii)
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An \frac{d}{dt} \sin (nt + \alpha)$
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos (nt + \alpha)$
समीकरण $(i)$ से $x = A \cos (nt + \alpha)$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
अतः,अवकल समीकरण है:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2 x = 0$

(B) दिया गया वक्रों का कुल: $y=(\alpha+\beta x) e^{p x}$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p(\alpha+\beta x) e^{p x}$
$y^{\prime} = \beta e^{p x} + p y$ (ii)
(ii) से,हमें प्राप्त होता है $\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$।
(ii) का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = \beta p e^{p x} + p y^{\prime}$
$\beta e^{p x} = y^{\prime} - p y$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{\prime \prime} = p(y^{\prime} - p y) + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = p y^{\prime} - p^2 y + p y^{\prime}$
$y^{\prime \prime} = 2 p y^{\prime} - p^2 y$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{\prime \prime} - 2 p y^{\prime} + p^2 y = 0$

(C) $(0,-1)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $x^2 = 4a(y+1)$ $(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x = 4a y^{\prime}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{x}{2y^{\prime}}$।
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान रखने पर,हमें $x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y+1)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $x = \frac{2(y+1)}{y^{\prime}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y^{\prime} = 2y + 2$,या $x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x}$ है।
सबसे पहले,बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
चूंकि $ae^x + be^{-x} = xy$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$.
अतः अंतिम अवकल समीकरण है:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$.

(B) मूल बिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 2ax + a^2$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2a \Rightarrow a = y \frac{dy}{dx}$.
$a$ का मान मूल समीकरण $y^2 = 2ax + a^2$ में रखने पर:
$y^2 = 2x(y \frac{dy}{dx}) + (y \frac{dy}{dx})^2$.
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y - 2x \frac{dy}{dx}$,जो $-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ के बराबर है।

(A) निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्ष वाले दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y^{\prime} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot y^{\prime} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{y y^{\prime}}{x} = -\frac{b^2}{a^2}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y y^{\prime}}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y y^{\prime}(1)}{x^2} = 0$
$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^2 - y y^{\prime} = 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया वक्रों का परिवार $y^2 - 5ax - 5a^{3/2} = 0$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2yy' - 5a = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{5}yy'$
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान रखने पर:
$y^2 - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)x - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2} = 0$
$y^2 - 2yy'x = 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \left(\frac{2}{5}yy'\right)^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \frac{8}{125} (yy')^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = \frac{8}{5} (yy')^3$
उच्चतम कोटि का अवकलज $y'$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $n = 3$ है।
अतः,$m - n = 1 - 3 = -2$।

(C) कथन $I$: $(0, \alpha)$ केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.
अतः,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.
$(i)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.
$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.
$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है और इसका केंद्र $X$-अक्ष पर है,इसलिए केंद्र $(\alpha, 0)$ और त्रिज्या $|\alpha|$ है।
समीकरण $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ है।
$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(A) दिया गया व्यापक हल: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a+b(y')^2+b y y''=0$.
प्रथम अवकलज से,$a = -b y y' / x$. इस मान को दूसरे अवकलज समीकरण में रखने पर:
$-b y y' / x + b(y')^2 + b y y'' = 0$.
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ मानते हुए): $-y y' / x + (y')^2 + y y'' = 0$.
$x$ से गुणा करने पर: $x y y'' + x (y')^2 - y y' = 0$.
इस अवकल समीकरण की कोटि $\alpha = 2$ और घात $\beta = 1$ है।
इन मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण $\alpha x^2+\beta y^2=1$ में रखने पर,हमें $2 x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है।
मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) परवलय का सामान्य समीकरण जिसका अक्ष $y$-अक्ष के समांतर है,$y = Ax^2 + Bx + C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
चूँकि इसमें $3$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है। अतः,समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है.

(B) निर्देशांक अक्षों के समानांतर अक्षों और केंद्र $(h, k)$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ या $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि केंद्र $y=2x$ पर स्थित है,इसलिए $k=2h$ है।
अतिपरवलय के लिए,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 3$,अतः $b^2 = 2a^2$।
समीकरण $(x-h)^2 - \frac{1}{2}(y-2h)^2 = \pm a^2$ बन जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) - (y-2h)y_1 = 0$,जिससे $x-h = \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ प्राप्त होता है।
$h = x - \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर अवकल समीकरण $(y-2x)y_2 + y_1^2 + 2y_1 = y_1^3 + 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त का परिवार: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$.
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} \right) = \frac{d}{dx} (1)$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
मूल समीकरण से,$\frac{x^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{4} = \frac{4 - y^2}{4}$,इसलिए $\frac{1}{a^2} = \frac{4 - y^2}{4x^2}$.
$\frac{1}{a^2}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x \left( \frac{4 - y^2}{4x^2} \right) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{4 - y^2}{2x} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
दोनों पक्षों को $2x$ से गुणा करने पर:
$(4 - y^2) + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} = y^2 - 4$.

(A) $X$-अक्ष के अनुदिश सममिति अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y^2 = 4a(x - h)$ है,जिसे $y^2 = Ax + B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A$ और $B$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए उन्हें विलुप्त करने के लिए हमें समीकरण का दो बार अवकलन करना होगा।
प्रथम अवकलज: $2y \frac{dy}{dx} = A$.
द्वितीय अवकलज: $2 \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} \right) = 0$.
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज द्वितीय अवकलज है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण: $y = e^{a \sin x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = a \sin x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \cos x$.
समीकरण $\log y = a \sin x$ से,हम $a = \frac{\log y}{\sin x}$ लिख सकते हैं।
'$a$' का मान अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{\sin x} \right) \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log y \cot x$.
पदों को विकल्पों के अनुसार व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \log y \cot x$,जिसे $\frac{dy}{dx} \tan x = y \log y$ या $y \log y = \tan x \frac{dy}{dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) मूल बिंदु पर केंद्रित और निर्देशांक अक्षों को अपने अक्ष मानने वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x}{a^{2}}+\frac{y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ मिलता है।
इससे $\frac{b^{2}}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{x}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ मिलता है।
$b^{2}x$ से गुणा करने पर,$-y y^{\prime} + x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^{2} - y y^{\prime} = 0$ अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = y' + [e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)]$
प्रथम अवकलज से,हम जानते हैं कि $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = y' - y$।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
चूंकि $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$,इसलिए:
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
अतः,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$ है।

(A) दिया गया है,$y = e^{-x} \cos 2x$.
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x}(-2 \sin 2x) + \cos 2x(-e^{-x}) = -2e^{-x} \sin 2x - y$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + y = -2e^{-x} \sin 2x$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2[e^{-x}(2 \cos 2x) + \sin 2x(-e^{-x})] = -4(e^{-x} \cos 2x) + 2(e^{-x} \sin 2x)$.
$y = e^{-x} \cos 2x$ और $-2e^{-x} \sin 2x = \frac{dy}{dx} + y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - (\frac{dy}{dx} + y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - \frac{dy}{dx} - y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 5y = 0$.

(A) दिया गया वक्र $y=(\cos x+y)^{1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \cos x + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x + \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -\sin x$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dx}(2y - 1) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2 \frac{dy}{dx}) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \cos x = 0$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = ae^{bx} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = abe^{bx}$
चूंकि $y = ae^{bx}$,हम लिख सकते हैं:
$y_1 = by \dots (ii)$
$y_1 = by$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = by_1 \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,$b = \frac{y_1}{y}$ प्राप्त होता है।
$b$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y_2 = \left(\frac{y_1}{y}\right)y_1$
$y_2 = \frac{y_1^2}{y}$
अतः,$yy_2 = y_1^2$.

(D) दिया गया है,$\sqrt{y}=\cos ^{-1} x \Rightarrow y=(\cos ^{-1} x)^{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos ^{-1} x) \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} = -2 \cos ^{-1} x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} \times \left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -2 \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = c$ से करने पर,हमें $c = 2$ प्राप्त होता है।