Formation of differential equations Questions in Hindi

(D) मूलबिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
इसका विस्तार करने पर,$y^2 = 4ax + 4a^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ का यह मान मूल समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शामिल है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r = 5$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 25$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $h$ और $k$ हैं,इसलिए हम दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x - h) + 2(y - k)y' = 0$,जिससे $(x - h) = -(y - k)y'$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर: $1 = -[(y')^2 + (y - k)y'']$,जिससे $(y - k) = -\frac{1 + (y')^2}{y''}$ प्राप्त होता है।
$(y - k)$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x - h) = \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)y'$।
इन मानों को मूल वृत्त समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 (y')^2 + \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$।
सरल करने पर,हमें $(1 + (y')^2)^3 = 25(y'')^2$ प्राप्त होता है।
कोटि $m$ उच्चतम अवकलज है,जो $y''$ है,अतः $m = 2$।
घात $l$ उच्चतम अवकलज की घात है,जो $2$ है,अतः $l = 2$।
अतः,$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$।

(A) $(h, k)$ पर केंद्रित सभी संकेंद्रित वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
यहाँ,$(h, k)$ निश्चित स्थिरांक (केंद्र) हैं और $r$ त्रिज्या है,जो एकमात्र स्वेच्छ अचर है।
चूंकि यहाँ केवल एक ही स्वेच्छ अचर $(r)$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(A) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष और $x=1$ सममिति अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-1)^2 = 4a(y-k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम इसे $y = A(x-1)^2 + B$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $A$ और $B$ स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष पहली बार अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2A(x-1)$।
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$।
प्रथम अवकलज से,$A = \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx}$।
इस मान को दूसरे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x-1} \frac{dy}{dx}$।
इसे व्यवस्थित करने पर: $(x-1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ प्राप्त होता है।
$a = x + y \frac{dy}{dx}$ का मान $x^2 + y^2 = 2ax$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसे $(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
अतः,$a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।

(B) दिया गया वक्रों का परिवार $y = \tan(ax + b)$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \sec^2(ax + b) \cdot a$
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए $y_1 = a(1 + y^2)$ है।
अतः,$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ है।
अब,$y_1 = a(1 + y^2)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = a(2y y_1)$ प्राप्त होता है।
$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ का मान $y_2 = 2ay y_1$ में रखने पर:
$y_2 = 2 \left( \frac{y_1}{1 + y^2} \right) y y_1$
$y_2 = \frac{2y y_1^2}{1 + y^2}$
इसे व्यवस्थित करने पर: $(1 + y^2) y_2 - 2y y_1^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $Ax^3+Bxy=4$ है।
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $Bxy = 4-Ax^3$,अतः $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$।
माना $C_1 = \frac{4}{B}$ और $C_2 = -\frac{A}{B}$। तो $y = C_1 x^{-1} + C_2 x^2$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -C_1 x^{-2} + 2C_2 x$।
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2C_1 x^{-3} + 2C_2$।
इन मानों को अवकल समीकरण $F(x) \frac{d^2y}{dx^2} + G(x) \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$F(x)(2C_1 x^{-3} + 2C_2) + G(x)(-C_1 x^{-2} + 2C_2 x) - 2(C_1 x^{-1} + C_2 x^2) = 0$।
$C_1$ और $C_2$ के पदों को समूहित करने पर:
$C_1(2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1}) + C_2(2F(x) + 2xG(x) - 2x^2) = 0$।
स्वेच्छ अचरों $C_1, C_2$ के लिए यह शर्त सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1} = 0 \implies 2F(x) - xG(x) - 2x^2 = 0$।
$2F(x) + 2xG(x) - 2x^2 = 0 \implies F(x) + xG(x) - x^2 = 0$।
$x=1$ पर:
$2F(1) - G(1) - 2 = 0$ (समीकरण $1$)
$F(1) + G(1) - 1 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $3F(1) - 3 = 0 \implies F(1) = 1$।
$F(1)=1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $1 + G(1) - 1 = 0 \implies G(1) = 0$।
अतः,$F(1) + G(1) = 1 + 0 = 1$।

(C) $Y$-अक्ष पर $(0, b)$ केंद्र और $a$ त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2 + (y - b)^2 = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2(y - b)y_1 = 0$
$x + (y - b)y_1 = 0$ ... $(i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + (y - b)y_2 + y_1^2 = 0$
$(y - b)y_2 = -(1 + y_1^2)$
$y - b = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + \left(-\frac{1 + y_1^2}{y_2}\right)y_1 = 0$
$x - \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2} = 0$
$xy_2 = y_1(1 + y_1^2)$

(D) दिया गया समीकरण: $y = a e^{2x} + b x e^{2x} = e^{2x}(a + bx)$.
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}(a + bx) + b e^{2x} = 2y + b e^{2x}$.
अतः $b e^{2x} = \frac{dy}{dx} - 2y$ ... $(i)$.
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2b e^{2x}$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2(\frac{dy}{dx} - 2y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} - 4y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = A \cos 3x + B \sin 3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x$
$-9$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(A \cos 3x + B \sin 3x)$
चूँकि $y = A \cos 3x + B \sin 3x$ है,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$
अतः,
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$

(A) मूल बिंदु पर केंद्र और निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्षों वाले अतिपरवलय के कुल का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} y_1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} = \frac{y y_1}{b^2} \Rightarrow \frac{y y_1}{x} = \frac{b^2}{a^2} = k$ (अचर)।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y y_1}{x} \right) = 0$।
भागफल नियम का उपयोग करने पर: $\frac{x(y y_2 + y_1^2) - y y_1}{x^2} = 0$।
चूंकि $x \neq 0$,हमें $x y y_2 + x y_1^2 - y y_1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $ax + by = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{b}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
प्रथम अवकलज लेने पर: $y' = a e^x - b e^{-x} - c \sin x + d \cos x$
द्वितीय अवकलज लेने पर: $y'' = a e^x + b e^{-x} - c \cos x - d \sin x$
तृतीय अवकलज लेने पर: $y''' = a e^x - b e^{-x} + c \sin x - d \cos x$
चतुर्थ अवकलज लेने पर: $y^{(4)} = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
चतुर्थ अवकलज की मूल समीकरण से तुलना करने पर,हमें $y^{(4)} = y$ प्राप्त होता है,जिसे $y^{(4)} - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y=(a+b) e^{cx+d}$ है।
माना $A = (a+b)e^d$ है। तब समीकरण $y = A e^{cx}$ में सरल हो जाता है।
यहाँ,$A$ और $c$ केवल दो स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{(1)} = A c e^{cx} = c y$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{(2)} = c y^{(1)}$.
प्रथम अवकलज से,हमें $c = \frac{y^{(1)}}{y}$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे अवकलज के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{(2)} = \left(\frac{y^{(1)}}{y}\right) y^{(1)}$.
$y y^{(2)} = (y^{(1)})^2$.
$y y^{(2)} - (y^{(1)})^2 = 0$.

(B) दिया गया हल $y=e^{2 x}(c \cosh \sqrt{2} x+d \sinh \sqrt{2} x)$ है।
यह $y=e^{\alpha x}(c \cosh \beta x+d \sinh \beta x)$ के रूप में है,जो सहायक समीकरण के मूल $m = \alpha \pm \beta$ के अनुरूप है।
यहाँ,$\alpha = 2$ और $\beta = \sqrt{2}$ है।
अतः मूल $m = 2 \pm \sqrt{2}$ हैं।
अभिलक्षणिक समीकरण $(m - (2 + \sqrt{2}))(m - (2 - \sqrt{2})) = 0$ है।
$(m - 2 - \sqrt{2})(m - 2 + \sqrt{2}) = 0$.
$(m - 2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$.
$m^2 - 4m + 4 - 2 = 0$.
$m^2 - 4m + 2 = 0$.
$m^2$ को $y^{\prime \prime}$ और $m$ को $y^{\prime}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $y=A e^x+B e^{-2 x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = A e^x - 2B e^{-2x}$.
दूसरी बार,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = A e^x + 4B e^{-2x}$.
अब,अचर $A$ और $B$ को हटाने के लिए,हम जानते हैं कि इस समीकरण के हल के लिए अभिलक्षणिक समीकरण के मूल $m_1 = 1$ और $m_2 = -2$ हैं।
अतः,अवकल समीकरण $(D-1)(D+2)y = 0$ के रूप में होगा,जहाँ $D = \frac{d}{dx}$ है।
इसका विस्तार करने पर: $(D^2 + 2D - D - 2)y = 0$,जो सरल होकर $\frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} - 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $y=(a+b) \sin (x+c)-d e^{x+e+f}$ है।
मान लीजिए $A = (a+b)$ और $B = d e^{e+f}$ है। तब समीकरण $y = A \sin(x+c) - B e^x$ हो जाता है।
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं: $A$,$c$,और $B$।
$n$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों को विलुप्त करके प्राप्त अवकल समीकरण की कोटि $n$ होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(A) $(0,0)$ से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-r)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $(r, 0)$ केंद्र है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 2xr + r^2 + y^2 = r^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2xr = 0$ या $r = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2r = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} = r$
मूल समीकरण से $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x}$
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$
$2xy \frac{dy}{dx} + x^2 - y^2 = 0$

(C) दिया गया है $y = (\sin^{-1} x)^2 + A \cos^{-1} x + B$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{A}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y' \sqrt{1 - x^2} = 2 \sin^{-1} x - A$ ... $(ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' \sqrt{1 - x^2} + y' \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$
पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$y'' (1 - x^2) - x y' = 2$
इसे दिए गए समीकरण $(a - x^2) y'' - x y' = b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b + a}{b - a} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $y = ax + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = a$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण $y = ax + b$ में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए यह द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ का व्यापक हल निरूपित करता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $x + y y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,$y y^{\prime}$ पर गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y^{\prime}) = 0$
$1 + (y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime}) = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
अतः,सही अवकल समीकरण $y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के कुल का समीकरण $y = mx$ है,जहाँ $m$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$
अब,$m = \frac{y}{x}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x \frac{dy}{dx}$

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $x^2 = c(y+c)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \sqrt{c}(y+c)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = \sqrt{c} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$.
समीकरण $x = \sqrt{c}(y+c)$ में $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{dx}{dy} \left( y + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 \right)$.
दोनों पक्षों को $\left( \frac{dy}{dx} \right)^3$ से गुणा करने पर:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = \left( \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \right) \left( y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 \right)$.
चूंकि $\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है,जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम तीन अचरों को हटाने के लिए $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$\frac{d y}{d x} = y + e^x(-a \sin x + b \cos x) \quad \dots(I)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + \frac{d}{d x}[e^x(-a \sin x + b \cos x)]$
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + e^x(-a \sin x + b \cos x) + e^x(-a \cos x - b \sin x)$
समीकरण $(I)$ से,$e^x(-a \sin x + b \cos x) = \frac{d y}{d x} - y$ है।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + (\frac{d y}{d x} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
चूंकि $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 \frac{d y}{d x} - y - y$
$\frac{d^2 y}{d x^2} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$.

(D) कथन $(I)$:
दिया गया है $y=(\alpha+\beta+\gamma) x$. माना $k = \alpha+\beta+\gamma$,जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है।
तब $y = kx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि यहाँ केवल एक स्वतंत्र स्वेच्छ अचर है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
अतः,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$:
दिया गया है $y = \alpha x + \beta \sin x + \gamma e^x$.
इस समीकरण में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं।
$x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:
$(1) \frac{dy}{dx} = \alpha + \beta \cos x + \gamma e^x$
$(2) \frac{d^2y}{dx^2} = -\beta \sin x + \gamma e^x$
$(3) \frac{d^3y}{dx^3} = -\beta \cos x + \gamma e^x$
चूंकि हमारे पास $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,हम उन्हें विलुप्त करके $3$ कोटि का अवकल समीकरण बना सकते हैं।
अतः,कथन $(II)$ सत्य है।

(C) दिया गया है,$y = e^x(A \cos x + B \sin x)$ ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = e^x(A \cos x + B \sin x) + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} = y + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} - y = e^x(-A \sin x + B \cos x)$ ...(ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = e^x(-A \sin x + B \cos x) + e^x(-A \cos x - B \sin x)$
समीकरण (ii) से $e^x(-A \sin x + B \cos x) = y^{\prime} - y$ और समीकरण $(i)$ से $e^x(-A \cos x - B \sin x) = -y$ रखने पर:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = (y^{\prime} - y) - y$
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = y^{\prime} - 2y$
$y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 2y = 0$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) दिया गया परवलय का परिवार $y^2 = 4a(x+a) \quad ...(i)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{y}{x} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right) = 0$।
$x^2$ से गुणा करने पर:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$।

(B) वक्रों के परिवार का दिया गया समीकरण: $r^2 = a^2 \cos 2\theta$।
$\theta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d\theta}(r^2) = \frac{d}{d\theta}(a^2 \cos 2\theta)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 (-\sin 2\theta) \cdot 2$।
सरल करने पर: $r \frac{dr}{d\theta} = -a^2 \sin 2\theta$।
मूल समीकरण से,$a^2 = \frac{r^2}{\cos 2\theta}$।
अवकलित समीकरण में $a^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r \frac{dr}{d\theta} = -\left(\frac{r^2}{\cos 2\theta}\right) \sin 2\theta$।
$r \frac{dr}{d\theta} = -r^2 \tan 2\theta$।
$r$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{dr}{d\theta} = -r \tan 2\theta$।

(B) दिया गया व्यापक हल $y = c(x - c)^2$ है।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 2c(x - c)$।
चरण $2$: मूल समीकरण से,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$।
वैकल्पिक रूप से,$y' = 2c(x - c)$ से,$c = \frac{y'}{2(x - c)}$।
$c$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{y}{(x - c)^2} = \frac{y'}{2(x - c)} \implies 2y = y'(x - c) \implies x - c = \frac{2y}{y'}$।
चरण $3$: $x - c$ का मान $y'$ के व्यंजक में रखने पर:
$y' = 2c \left(\frac{2y}{y'}\right) \implies c = \frac{(y')^2}{4y}$।
चरण $4$: $c$ और $x - c$ का मान मूल समीकरण $y = c(x - c)^2$ में रखने पर:
$y = \left(\frac{(y')^2}{4y}\right) \left(\frac{2y}{y'}\right)^2 = y$।
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,$c = x - \frac{2y}{y'}$ का उपयोग करते हुए:
$y' = 2(x - \frac{2y}{y'})(\frac{2y}{y'}) = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2}$।
अतः,$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $y = a e^{2x} + b e^{5x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2a e^{2x} + 5b e^{5x}$ (समीकरण $1$)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4a e^{2x} + 25b e^{5x}$ (समीकरण $2$)
हमें $a$ और $b$ को विलुप्त करना है। अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equation) विधि का उपयोग करने पर,मूल $m_1 = 2$ और $m_2 = 5$ हैं।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $(m - 2)(m - 5) = 0$ होगा।
$m^2 - 7m + 10 = 0$.
$m^k$ को $\frac{d^k y}{dx^k}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dx^2} - 7 \frac{dy}{dx} + 10 y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है और $(a,0)$ केंद्र है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ $(i)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = x + y \frac{dy}{dx}$ $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$
$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$।

(A) दिया गया समीकरण: $A x^2 + B y^2 = 1$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y y' = 0$ $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $A + B (y')^2 + B y y'' = 0$ $(3)$
$(2)$ से,$A = -B \frac{y y'}{x}$. इस मान को $(3)$ में रखने पर:
$-B \frac{y y'}{x} + B (y')^2 + B y y'' = 0$
$B$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $B \neq 0$):
$-\frac{y y'}{x} + (y')^2 + y y'' = 0$
$x$ से गुणा करने पर: $-y y' + x (y')^2 + x y y'' = 0$
व्यवस्थित करने पर: $x y y'' + x (y')^2 = y y'$
अतः,अवकल समीकरण $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = y \frac{d y}{d x}$ है।

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $y = (a + bx + cx^2) e^x$
इसे $y e^{-x} = a + bx + cx^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:
प्रथम अवकलज: $y' e^{-x} - y e^{-x} = b + 2cx \implies (y' - y) e^{-x} = b + 2cx$
द्वितीय अवकलज: $(y'' - y') e^{-x} - (y' - y) e^{-x} = 2c \implies (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 2c$
तृतीय अवकलज: $(y''' - 2y'' + y') e^{-x} - (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 0$
चूँकि $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x} \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x} \quad \dots(ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x} \quad \dots(iii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y''' = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x} \quad \dots(iv)$
वैकल्पिक रूप से,चूंकि सहायक समीकरण के मूल $m = 1, 2, 3$ हैं,इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ होगा।
$(m^2 - 3m + 2)(m-3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ को $y^{(k)}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$.

(C) मूल बिंदु पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$।

(B) वृत्तों का दिया गया परिवार: $(x-a)^2+(y-b)^2=4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a)+2(y-b)y'=0 \implies (x-a)+(y-b)y'=0$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1+(y')^2+(y-b)y''=0 \implies (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
$(y-b)$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x-a) = -y'(y-b) = y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}$.
अब $(x-a)$ और $(y-b)$ का मान मूल समीकरण में रखने पर: $\left(y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = 4$.
इसे सरल करने पर: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} \cdot ((y')^2+1) = 4$.
अतः,$(1+(y')^2)^3 = 4(y'')^2$,जो $4\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3$ है।

(C) दिया गया वक्रों का कुल: $y^2=4a(x+a)$
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\implies a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$
चरण $2$: $a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
चरण $3$: कोटि और घात की पहचान करना:
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
चरण $4$: $m+n^2$ की गणना करना:
$m+n^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $(x-2)^2+(y-a)^2=b^2$ $(i)$
चूंकि यहाँ दो प्राचल $a$ और $b$ हैं,इसलिए हम दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-2) + 2(y-a)y' = 0$
$(x-2) + (y-a)y' = 0$ (ii)
(ii) से,$(y-a) = -\frac{x-2}{y'}$
इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-2)^2 + \left(-\frac{x-2}{y'}\right)^2 = b^2$
$(x-2)^2 \left(1 + \frac{1}{(y')^2}\right) = b^2$
$(x-2)^2 \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) = b^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-2) \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) + (x-2)^2 \left(\frac{2y'y'' \cdot (y')^2 - ((y')^2+1) \cdot 2y'y''}{(y')^4}\right) = 0$
इस अवकल समीकरण में द्वितीय अवकलज $y''$ शामिल है,इसलिए कोटि $m = 2$ है।
उच्चतम अवकलज $y''$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए घात $n = 1$ है।
अतः,$m^2+n = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

(C) अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}-2\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=0$ की कोटि $l=2$ है।
$\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{2}{3}}=\left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{3}{2}}$ की घात ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का घन करने पर: $\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{9}{2}}$। भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए पुनः वर्ग करने पर,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2 \times 2 = 4$ होगी। अतः,$m=4$ है।
दिया गया है $y=A x^2+B e^{4 x}$।
$y^{\prime}=2 A x+4 B e^{4 x}$
$y^{\prime \prime}=2 A+16 B e^{4 x}$
$A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें अवकल समीकरण $\left(2 x^2-x\right) y^{\prime \prime}-\left(8 x^2-1\right) y^{\prime}+(16 x-4) y=0$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ पर फोकस और $X$-अक्ष को अपनी अक्ष मानने वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
इस अवकल समीकरण की कोटि $m = 1$ है और घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(C) प्रत्येक विकल्प के लिए अवकल समीकरण ज्ञात करने हेतु,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और स्वेच्छ अचर को हटाते हैं।
$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. अवकलन करने पर,$2x+2y\frac{dy}{dx}+2g+4\frac{dy}{dx}=0$. यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण देता है।
$(b)$ $x^2=a^2(1+y^2)$. अवकलन करने पर,$2x=a^2(2y\frac{dy}{dx})$. $a^2$ का मान वापस रखने पर,हमें प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण मिलता है।
$(c)$ $y^2=2c(x+\sqrt{c})$. अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx}=2c$,अतः $c=y\frac{dy}{dx}$. $c$ का मान मूल समीकरण में रखने पर: $y^2=2(y\frac{dy}{dx})(x+\sqrt{y\frac{dy}{dx}})$. पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2-2xy\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\sqrt{y\frac{dy}{dx}}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^2-2xy\frac{dy}{dx})^2 = 4y^2(\frac{dy}{dx})^2(y\frac{dy}{dx}) = 4y^3(\frac{dy}{dx})^3$. इस समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।
$(d)$ $y^2=4ax$. अवकलन करने पर,$2y\frac{dy}{dx}=4a$. $a$ का मान रखने पर $y^2=2xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जो प्रथम कोटि और प्रथम घात का है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।