Formation of differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિધેય $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \dots \infty}}}$ છે.
શ્રેણી અનંત હોવાથી,આપણે તેને $y = \sqrt{\sin x + y}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \sin x + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા,$(2y - 1)\frac{dy}{dx} = \cos x$ મળે છે,જેને $(2y - 1)\frac{dy}{dx} - \cos x = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = a + bx^2$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(a + bx^2) = 0 + 2bx = 2bx$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2bx) = 2b$.
હવે,પદ $x \frac{d^2y}{dx^2}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$x \frac{d^2y}{dx^2} = x(2b) = 2bx$.
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = 2bx$,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) વક્રોના કુળને દર્શાવતા વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તે વક્રોના કુળના સમીકરણમાં રહેલા સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં આપેલ વક્રોના કુળમાં $4$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે,તેથી સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $4$ થશે.

(A) ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્રના યામ છે.
આ સમીકરણમાં બે સ્વૈર અચળાંકો $h$ અને $k$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રના કુળના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $y = 4\sin 3x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4 \times 3 \cos 3x = 12 \cos 3x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 12 \times (-3 \sin 3x) = -36 \sin 3x$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(4 \sin 3x)$.
કારણ કે $y = 4 \sin 3x$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$.
પદોને ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $xy$-સમતલની તમામ રેખાઓનું સામાન્ય સમીકરણ $y = mx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ અને $c$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = m$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}({a^2})$
$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y\frac{dy}{dx} = 0$
આમ,વિકલ સમીકરણ $x + y\frac{dy}{dx} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{x}{x + 1}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{y} = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x^2}$.
બંને બાજુ $-y^2 x^2$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 \frac{dy}{dx} = y^2$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = A\sin x + B\cos x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં એકવાર વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = A\cos x - B\sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -A\sin x - B\cos x$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(A\sin x + B\cos x)$.
કારણ કે $y = A\sin x + B\cos x$,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને જરૂરી વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ $y = a \cos(x + b)$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -a \sin(x + b)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a \cos(x + b)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = a \cos(x + b)$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઉગમબિંદુથી એકમ અંતરે આવેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $... (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ $... (ii)$
$(ii)$ પરથી,$\cos \alpha = -\frac{dy}{dx} \sin \alpha$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x(-\frac{dy}{dx} \sin \alpha) + y \sin \alpha = 1$
$\sin \alpha (y - x \frac{dy}{dx}) = 1$
$y - x \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ $... (iii)$
$(ii)$ પરથી,$\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$,તેથી $(\frac{dy}{dx})^2 = \cot^2 \alpha$.
નિત્યસમ $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરીને,$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી:
$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = \csc^2 \alpha = (y - x \frac{dy}{dx})^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આ કિંમતને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
કારણ કે $y = c{e^{{{\sin }^{ - 1}}x}}$,તેથી આપણે $y$ ને સમીકરણમાં પાછું મૂકી શકીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: ${x^2}y = a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx}({x^2}y) = \frac{d}{dx}(a)$
${x^2} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}({x^2}) = 0$
${x^2} \frac{dy}{dx} + y(2x) = 0$
${x^2} \frac{dy}{dx} + 2xy = 0$
આખા સમીકરણને ${x^2}$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} + \frac{2y}{x} = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = e^{mx}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log y = mx$.
આના પરથી,આપણે સ્વૈચ્છિક અચળાંકને $m = \frac{\log y}{x}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
હવે,$y = e^{mx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m e^{mx}$.
અહીં $e^{mx} = y$ હોવાથી,આપણે તેને વિકલિતમાં મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = m \cdot y$.
હવે $m = \frac{\log y}{x}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{x} \right) \cdot y = \left( \frac{y}{x} \right) \log y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ઉકેલ $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -c_1 a \sin ax + c_2 a \cos ax$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -c_1 a^2 \cos ax - c_2 a^2 \sin ax$.
$-a^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a^2(c_1 \cos ax + c_2 \sin ax)$.
કારણ કે $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$,તેથી સમીકરણમાં $y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -a^2 y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} + a^2 y = 0$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m$ અને $c$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
પગલું $1$: સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$
પગલું $2$: અચળાંક $m$ ને દૂર કરવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(D) $(1, -1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$(x_1, y_1) = (1, -1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
અહીં $m$ એ રેખાનો ઢાળ દર્શાવે છે,તેથી આપણે $m = \frac{dy}{dx}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$y = (x - 1)\frac{dy}{dx} - 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: ${y^2} = 4a(x + a) \quad (i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{{dy}}{{dx}} = 4a$
$a = \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
${y^2} = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
${y^2} = 2y \frac{{dy}}{{dx}} \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2 \frac{{dy}}{{dx}} \left( x + \frac{y}{2} \frac{{dy}}{{dx}} \right)$
$y = 2x \frac{{dy}}{{dx}} + y {\left( \frac{{dy}}{{dx}} \right)^2}$
પદોને ગોઠવતા:
$y - y {\left( \frac{{dy}}{{dx}} \right)^2} = 2x \frac{{dy}}{{dx}}$
$y \left[ {1 - {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right] = 2x \frac{{dy}}{{dx}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $v = \frac{A}{r} + B$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dr} = -\frac{A}{r^2}$.
ફરીથી $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2v}{dr^2} = \frac{2A}{r^3}$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,આપણી પાસે $A = -r^2 \frac{dv}{dr}$ છે.
આ કિંમતને બીજા વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{d^2v}{dr^2} = \frac{2(-r^2 \frac{dv}{dr})}{r^3} = -\frac{2}{r} \frac{dv}{dr}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dv}{dr} = 0$.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે,જ્યાં $A, B, C$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$
પગલું $2$: ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$
પગલું $3$: ત્રીજી વખત $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = 0$
અહીં $3$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,તેમને દૂર કરવા માટે આપણે $3$ વખત વિકલન કરીએ છીએ. આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = (x + K)e^{-x}$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x + K) \cdot e^{-x} + (x + K) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-x} + (x + K) \cdot (-e^{-x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} - (x + K)e^{-x}$
કારણ કે $y = (x + K)e^{-x}$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x} - y$
પદોને ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$

(B) આપેલ સમીકરણ $y = cx + c - c^3$ છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = c$.
હવે,આપણે $c = \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $y = cx + c - c^3$ માં મૂકીએ:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{dy}{dx} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $y = x\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = e^x(A\cos x + B\sin x)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x(A\cos x + B\sin x) + e^x(-A\sin x + B\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(-A\sin x + B\cos x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(-A\sin x + B\cos x) + e^x(-A\cos x - B\sin x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) - y$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - 2y$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = A + Bx + C{e^{ - x}} \dots (i)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = B - C{e^{ - x}} \dots (ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = C{e^{ - x}} \dots (iii)$
ત્રીજી વખત $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = -C{e^{ - x}} \dots (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ પરથી,આપણી પાસે $C{e^{ - x}} = \frac{d^2y}{dx^2}$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$\frac{d^3y}{dx^3} = -\frac{d^2y}{dx^2}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^3y}{dx^3} + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$,એટલે કે $y''' + y'' = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા:
$y'' = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
કારણ કે $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$y'' = -\omega^2 y$
આમ,વિકલ સમીકરણ $y'' + \omega^2 y = 0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી તમામ સીધી રેખાઓનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જ્યાં $m$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = m$.
મૂળ સમીકરણ $y = mx$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $m = \frac{y}{x}$.
$m$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = a{e^{mx}} + b{e^{-mx}}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = ma{e^{mx}} - mb{e^{-mx}}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2a{e^{mx}} + m^2b{e^{-mx}}$
$m^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2(a{e^{mx}} + b{e^{-mx}})$
કારણ કે $y = a{e^{mx}} + b{e^{-mx}}$,આપણે સમીકરણમાં $y$ મૂકી શકીએ છીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2y$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = \sec(\tan^{-1}x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sec(\tan^{-1}x)]$
વિકલનના સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1}x) \cdot \tan(\tan^{-1}x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$
અહીં $\tan(\tan^{-1}x) = x$ અને $y = \sec(\tan^{-1}x)$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$
પદોને ગોઠવતા:
$(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = xy$.

(B) આપેલ વક્રોનો પરિવાર: $y = ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = a \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) + ax \left( -\sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$y_1 = a \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) + \frac{a}{x} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \dots (ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = a \left( -\sin \left( \frac{1}{x} + b \right) \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) + a \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) + \frac{a}{x} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$y_2 = \frac{a}{x^2} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) - \frac{a}{x^2} \sin \left( \frac{1}{x} + b \right) - \frac{a}{x^3} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
$y_2 = -\frac{a}{x^3} \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
બંને બાજુ $x^4$ વડે ગુણતા:
$x^4 y_2 = -ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$
કારણ કે $y = ax \cos \left( \frac{1}{x} + b \right)$,તેથી:
$x^4 y_2 = -y$
$x^4 y_2 + y = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = c$ છે ... $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(c)$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{1 - y^2} + \sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\sqrt{1 - x^2} \, dy + \sqrt{1 - y^2} \, dx = 0$.

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = A{e^{3x}} + B{e^{5x}}$
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 3A{e^{3x}} + 5B{e^{5x}}$
પગલું $2$: ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 9A{e^{3x}} + 25B{e^{5x}}$
પગલું $3$: આપણે સ્વૈર અચળાંકો $A$ અને $B$ નો લોપ કરીએ છીએ. બીજ $m_1 = 3$ અને $m_2 = 5$ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $(m - 3)(m - 5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $m^2 - 8m + 15 = 0$ થાય છે.
પગલું $4$: $m^k$ ને $\frac{{d^k}y}{{dx^k}}$ વડે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 8\frac{{dy}}{{dx}} + 15y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વક્રના અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y|\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અભિલંબની લંબાઈ અચળ $k$ છે,તેથી $|y|\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = k$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2(1 + (\frac{dy}{dx})^2) = k^2$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$y^2 + y^2(\frac{dy}{dx})^2 = k^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2(\frac{dy}{dx})^2 = k^2 - y^2$ મળે છે,જેને $(y\frac{dy}{dx})^2 = k^2 - y^2$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = a$ મળે છે,જ્યાં $a$ એ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{dx} dx = \int a dx + b$ મળે છે,જ્યાં $b$ એ બીજો એક સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી,$y = ax + b$.

(D) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + By^2 = 1 \quad \dots(1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2Ax + 2By \frac{dy}{dx} = 0 \implies Ax + By \frac{dy}{dx} = 0 \quad \dots(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$A + B \left( y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right) = 0 \quad \dots(3)$
$(2)$ પરથી,$A = -\frac{By}{x} \frac{dy}{dx}$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-\frac{By}{x} \frac{dy}{dx} + By \frac{d^2y}{dx^2} + B \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$B$ વડે ભાગતા:
$-\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} + y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$x$ વડે ગુણતા:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$
અહીં મહત્તમ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે. મહત્તમ વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર $(a, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતા તમામ વર્તુળોની ત્રિજ્યા $a$ થશે.
આવા વર્તુળોનું સામાન્ય સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$ --- $(i)$
આ સમીકરણમાં માત્ર એક સ્વૈર અચળાંક $a$ છે. તેથી,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં એકવાર વિકલન કરીશું:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 = x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$

(C) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = c_1 e^{c_2 x} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = c_1 c_2 e^{c_2 x} = c_2 y \dots (ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = c_2 y' \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $c_2 = \frac{y'}{y}$.
$c_2$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y'' = \left( \frac{y'}{y} \right) y'$
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$y y'' = (y')^2$
આ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x - h)^2 + y^2 = h^2$ છે,જ્યાં $h$ એ કેન્દ્રનો $x$-યામ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ થાય છે ..... $(i)$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x + y \frac{dy}{dx} - h = 0$ મળે,તેથી $h = x + y \frac{dy}{dx}$.
$h$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$x^2 + y^2 - 2x(x + y \frac{dy}{dx}) = 0$ મળે છે.
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$.
$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$.
પદોને ગોઠવતા,$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$.

(C) આપેલ વક્રોનું કુળ ${x^2} + {y^2} - 2ay = 0$ છે ..... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2yy' - 2ay' = 0$
$2ay' = 2x + 2yy'$
$2a = \frac{2x + 2yy'}{y'} = \frac{2x}{y'} + 2y$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
${x^2} + {y^2} - (\frac{2x}{y'} + 2y)y = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{2xy}{y'} - 2{y^2} = 0$
${x^2} - {y^2} - \frac{2xy}{y'} = 0$
$y'$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$({x^2} - {y^2})y' - 2xy = 0$
$({x^2} - {y^2})y' = 2xy$.

(C) $4a$ નાભિલંબ અને $x$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(y - k) \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow (y - k) \frac{dy}{dx} = 2a$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(y - k) \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
પ્રથમ વિકલન પરથી,$(y - k) = \frac{2a}{dy/dx}$ મળે છે. આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{2a}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$2a \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = 0$
આ વિકલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે. ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = c_1 \cos(x + c_2) - c_3 e^{-x + c_4} + c_5 \sin x$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને ઘાતાંકના નિયમ $e^{A+B} = e^A e^B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = c_1(\cos x \cos c_2 - \sin x \sin c_2) - (c_3 e^{c_4}) e^{-x} + c_5 \sin x$
ધારો કે $A = c_1 \cos c_2$,$B = (c_1 \sin c_2 - c_5)$,અને $C = c_3 e^{c_4}$.
તેથી $y = A \cos x - B \sin x - C e^{-x} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$y' = -A \sin x - B \cos x + C e^{-x} \dots (ii)$
$y'' = -A \cos x + B \sin x - C e^{-x} \dots (iii)$
$y''' = A \sin x + B \cos x + C e^{-x} \dots (iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $y'' + y = -2C e^{-x} \dots (v)$
$(ii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા: $y''' + y' = 2C e^{-x} \dots (vi)$
$(v)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા: $y''' + y'' + y' + y = 0$
આમ,જરૂરી વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} + \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = 0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x - h) + 2(y - k) \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow (x - h) + (y - k) \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow (x - h) = -(y - k) \frac{dy}{dx}$ (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y - k) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$\Rightarrow (y - k) = -\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2}$ (iii)
(iii) ને (ii) માં મૂકતા: $(x - h) = \frac{[1 + (dy/dx)^2] \frac{dy}{dx}}{d^2y/dx^2}$ (iv)
(iii) અને (iv) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\left( \frac{[1 + (dy/dx)^2] \frac{dy}{dx}}{d^2y/dx^2} \right)^2 + \left( -\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2} \right)^2 = a^2$
$\Rightarrow \frac{[1 + (dy/dx)^2]^2}{(d^2y/dx^2)^2} \left[ (dy/dx)^2 + 1 \right] = a^2$
$\Rightarrow [1 + (dy/dx)^2]^3 = a^2 (d^2y/dx^2)^2$

(C) આપેલ સમીકરણ ${y^2} = \sqrt{c}(x + 2c)$ છે.
અહીં માત્ર એક સ્વૈર અચળાંક $c$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$2y \frac{dy}{dx} = \sqrt{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = c$ મળે.
મૂળ સમીકરણમાં $\sqrt{c} = 2y \frac{dy}{dx}$ મૂકતા:
${y^2} = 2y \frac{dy}{dx} (x + 2(4y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2))$.
${y^2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 16y^3 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + 16y^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$.
વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = ke^{\sin^{-1} x} + 3$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $y - 3 = ke^{\sin^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y - 3) = \frac{d}{dx}(ke^{\sin^{-1} x})$.
$\frac{dy}{dx} = k \cdot e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
અહીં $ke^{\sin^{-1} x} = y - 3$ હોવાથી,આપણે તેને વિકલિતમાં મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = (y - 3) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = y - 3$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} + \frac{yy'}{b^2} = 0$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{a^2} + \frac{y y'' + (y')^2}{b^2} = 0$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$\frac{1}{a^2} = -\frac{yy'}{xb^2}$.
આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{yy'}{xb^2} + \frac{yy'' + (y')^2}{b^2} = 0$.
$\frac{b^2}{y'}$ વડે ગુણતા: $-\frac{y}{x} + \frac{yy'' + (y')^2}{y'} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{yy'' + (y')^2}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{yy''}{y'} + y' = \frac{y}{x}$.
$y$ વડે ભાગતા: $\frac{y''}{y'} + \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{y''}{y'} + \frac{y'}{y} - \frac{1}{x} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = Ae^{2x} + Be^{-2x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વખત વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2Ae^{2x} - 2Be^{-2x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4Ae^{2x} + 4Be^{-2x}$
$4$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4(Ae^{2x} + Be^{-2x})$
કારણ કે $y = Ae^{2x} + Be^{-2x}$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4y$

(C) $x$-અક્ષ પર $(h, 0)$ કેન્દ્ર અને $h$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + y^2 = h^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,જે $x^2 + y^2 = 2xh$ માં પરિણમે છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $h$ ને દૂર કરવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2h$.
હવે $h = x + y \frac{dy}{dx}$ ને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2xh$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$.
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$.
$y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$.

(D) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આ ઉપવલય $(0,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$,જે આપણને $b^2 = 9$ આપે છે.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{9} y' = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a^2} + \frac{y y'}{9} = 0$ અથવા $\frac{1}{a^2} = -\frac{y y'}{9x}$ થાય છે.
$\frac{1}{a^2}$ ની કિંમત $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ માં મૂકતા,$x^2(-\frac{y y'}{9x}) + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$-x y y' + y^2 = 9$ અથવા $x y y' - y^2 + 9 = 0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર $x-$અક્ષને સ્પર્શતા અને $(0, a)$ કેન્દ્ર ધરાવતા તમામ વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ay = 0$ ... $(1)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a\frac{dy}{dx} = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a\frac{dy}{dx}$
$a = \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2y \left( \frac{x + y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2y(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - 2xy - 2y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = 2xy$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $(x^2 - y^2)\frac{dy}{dx} = g(x)y$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$g(x)y = 2xy$
$g(x) = 2x$

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $x^{2} = 4b(y+b)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4b y^{\prime}$
$b = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
$b$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) \left( y + \frac{x}{2y^{\prime}} \right)$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$x^{2} = \frac{2x}{y^{\prime}} \left( \frac{2yy^{\prime} + x}{2y^{\prime}} \right)$.
$x^{2} = \frac{2x(2yy^{\prime} + x)}{2(y^{\prime})^{2}}$.
$x^{2} = \frac{x(2yy^{\prime} + x)}{(y^{\prime})^{2}}$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારતા):
$x(y^{\prime})^{2} = 2yy^{\prime} + x$.

(N/A) આપેલ વિધેય $y=e^{-3x}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}$ ... $(1)$
હવે,$(1)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9e^{-3x}$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,$\frac{dy}{dx}$ અને $y$ ની કિંમતો આપેલ વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} - 6y$
$L.H.S. = 9e^{-3x} + (-3e^{-3x}) - 6(e^{-3x})$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 3e^{-3x} - 6e^{-3x}$
$L.H.S. = 9e^{-3x} - 9e^{-3x} = 0$
અહીં $L.H.S. = R.H.S. = 0$ હોવાથી,વિધેય $y=e^{-3x}$ એ આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.