Application of differential equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $B(t)$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ મળે છે,જ્યાં $B_0 = 1000$.
આપેલ છે કે $t = 2$ સમયે,$B(2) = 1000 + 1000$ ના $20\% = 1200$.
તેથી,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$.
આપણને આપેલ છે કે $B(T) = 2000$ જ્યાં $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$.
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$.
$\lambda$ અને $T$ ની કિંમત મૂકતા: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$.
આમ,$k = 2 \log_{e} 2$.
અંતે,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ આપેલ છે.
અંશ અને છેદને $e^{2x}$ વડે ગુણતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{4x} - 6e^x + 9e^{2x}}{2e^{2x} + 9} = e^{2x} - \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int e^{2x} dx - \int \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9} dx$.
ધારો કે $u = \sqrt{2}e^x$,તો $du = \sqrt{2}e^x dx$,તેથી $e^x dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$.
$y = \frac{1}{2}e^{2x} - \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^x}{3}) + C$.
બિંદુ $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
બિંદુ $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3}) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3} = \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$.
તેથી,$e^{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{2}} \left(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\right)$.

(A) આપેલ છે કે સતત વિધેય $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એ $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ નું પાલન કરે છે.
વિકલન માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2x f(x)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 2x dx$.
$\ln |f(x)| = x^2 + C$.
$f(x) = K e^{x^2}$,જ્યાં $K = e^C$.
$K$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા:
$f(0) = 2 \int_0^0 t f(t) dt + 1 = 0 + 1 = 1$.
$f(x) = K e^{x^2}$ માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = K e^0 = K$ મળે છે.
આમ,$K = 1$,જે આપણને $f(x) = e^{x^2}$ આપે છે.
છેલ્લે,$f(1) = e^{(1)^2} = e^1 = e$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ છે.
જો $p = 0$ હોય,તો તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\int_0^x f(t) dt = 0$ થાય. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f(x) = 0$ મળે છે. આમ,$p = 0$ માટે કોઈ શૂન્યતર વિધેય $f$ અસ્તિત્વમાં નથી.
જો $p \neq 0$ હોય,તો કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) = p f'(x) \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{p}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)| = \frac{x}{p} + C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = A e^{x/p}$ કોઈ અચળાંક $A$ માટે.
આ કિંમતને મૂળ સંકલન સમીકરણમાં $x = 0$ આગળ મૂકતા:
$\int_0^0 f(t) dt = p f(0) \implies 0 = p A e^0 \implies p A = 0$.
કારણ કે $p \neq 0$,તેથી $A = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x$ માટે $f(x) = 0$.
આમ,કોઈપણ $p \in \mathbb{R}$ માટે,આપેલ સમીકરણનું પાલન કરતું કોઈ શૂન્યતર સતત વિધેય $f$ અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી,$S = \mathbb{R}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2 \sqrt{y}$ છે,જેમાં પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ છે.
કિસ્સો $I$: શૂન્ય વિધેય $y(x) = 0$,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,સમીકરણ અને પ્રારંભિક શરતનું સમાધાન કરે છે.
કિસ્સો $II$: કોઈપણ અચળાંક $a \geq 0$ માટે,આપણે વિધેયોનું એક કુળ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:
$y(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ (x-a)^2 & x \geq a \end{cases}$
ચાલો $x = a$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $\lim_{h \to 0^-} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
જમણી બાજુનું વિકલન: $\lim_{h \to 0^+} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(a+h-a)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = 0$.
ડાબી બાજુનું વિકલન અને જમણી બાજુનું વિકલન સમાન હોવાથી,વિધેય $x = a$ આગળ વિકલનીય છે.
$x > a$ માટે,$y'(x) = 2(x-a) = 2\sqrt{(x-a)^2} = 2\sqrt{y(x)}$.
અહીં $a$ કોઈપણ અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી આવા વિધેયોની સંખ્યા અનંત છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$.
$x=0$ લેતા,$f(0) + 0 = e$,તેથી $f(0) = e$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$.
ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$.
ધારો કે $\ln y = t$,તો $\frac{1}{y} dy = dt$.
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$.
$\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$.
$f(0) = e$ હોવાથી,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતે,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,જે $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ આપે છે.
આનું સાદું રૂપ $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ થાય છે. ક્ષેત્રફળ $4\pi$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 2$ છે,તેથી $2k = 4$,એટલે કે $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$.
$y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,તેથી $(1+a)^2 = 0$,જે $a = -1$ આપે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ લેતા: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$.
તેથી $P = (0, 2+\sqrt{3})$ અને $Q = (0, 2-\sqrt{3})$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે. $P$ સુધીની ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ ત્રિજ્યાના ઢાળ જેટલો જ હોય છે,જે $-\sqrt{3}$ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ છે.
$R$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તે જ રીતે,$Q$ માટે,ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ છે.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ છે.
$S$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$.
લંબાઈ $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(C) $R(b, f(b))$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - f(b) = f'(b)(x - b)$
આ સ્પર્શક $S(0, c)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$
$c - f(b) = -b f'(b)$
આપેલ છે કે $bc = 3$,તેથી $c = \frac{3}{b}$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{b} - f(b) = -b f'(b)$
$b f'(b) - f(b) = -\frac{3}{b}$
બંને બાજુ $b^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{b f'(b) - f(b)}{b^2} = -\frac{3}{b^3}$
આ $\frac{f(b)}{b}$ નું $b$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\frac{d}{db} \left( \frac{f(b)}{b} \right) = -\frac{3}{b^3}$
બંને બાજુ $b$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$\frac{f(b)}{b} = \int -3b^{-3} db = \frac{3}{2b^2} + \lambda$
$f(b) = \frac{3}{2b} + \lambda b$
વક્ર $P(1, 3/2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2(1)} + \lambda(1) \Rightarrow \lambda = 0$
તેથી,$f(x) = \frac{3}{2x}$.
વક્ર $Q(a, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$f(a) = \frac{3}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$
તેથી,$Q$ એ $(3, 1/2)$ છે.
અંતર $PQ$ માટે:
$PQ^2 = (3 - 1)^2 + (1/2 - 3/2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dT}{dt} = -K(T-80)$.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા: $\int_{160}^{T} \frac{dT}{T-80} = \int_{0}^{t} -K dt$.
આથી મળે: $[ln |T-80|]_{160}^{T} = -Kt$.
$\ln |T-80| - \ln 80 = -Kt$.
$\ln \left| \frac{T-80}{80} \right| = -Kt$,જેનો અર્થ છે કે $T-80 = 80e^{-Kt}$,અથવા $T(t) = 80 + 80e^{-Kt}$.
આપેલ છે કે $T(15) = 120$,તેથી $120 = 80 + 80e^{-15K}$.
$40 = 80e^{-15K} \implies e^{-15K} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
આપણે $T(45) = 80 + 80e^{-45K}$ શોધવાનું છે.
$T(45) = 80 + 80(e^{-15K})^3$.
$e^{-15K} = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $T(45) = 80 + 80 \times (\frac{1}{2})^3$.
$T(45) = 80 + 80 \times \frac{1}{8} = 80 + 10 = 90^{\circ} F$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{1-\left(y^{\prime}(x)\right)^2} = y(x)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1-y^2$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1-y^2}$.
$y(0)=0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે ધન મૂળ પસંદ કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(y) = x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C=0$ મળે છે,તેથી $\sin^{-1}(y) = x$,જેનો અર્થ છે $y = \sin(x)$.
હવે,વિકલિતો મેળવીએ:
$y^{\prime} = \cos(x)$ અને $y^{\prime \prime} = -\sin(x)$.
આ કિંમતોને $y^{\prime \prime} + y + 1$ માં મૂકતા:
$-\sin(x) + \sin(x) + 1 = 1$.
આમ,$x=2$ આગળ,કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$.
ધારો કે $u = 1-y^2$,તો $du = -2y dy$,જેનો અર્થ છે કે $y dy = -\frac{1}{2} du$.
સંકલન આ મુજબ થાય છે: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$.
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C \Rightarrow -\sqrt{1-y^2} = x + C$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-y^2 = (x+C)^2$.
પદોને ગોઠવતા: $(x+C)^2 + y^2 = 1$.
આ $1$ ની નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને $(-C, 0)$ પર કેન્દ્રો ધરાવતા વર્તુળોની શ્રેણી દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.

(B) વક્ર $\Gamma$ ના બિંદુ $P(x, y)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$X=0$ લેતા: $Y_p = y - xy^{\prime}$.
બિંદુ $Y_p$ એ $(0, y-xy^{\prime})$ છે. $PY_p$ નું અંતર $1$ આપેલ છે,તેથી $(x, y)$ અને $(0, y-xy^{\prime})$ વચ્ચેનું અંતર $1$ છે.
$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (y-xy^{\prime}))^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + (xy^{\prime})^2} = 1 \Rightarrow x^2 + x^2(y^{\prime})^2 = 1$
$(y^{\prime})^2 = \frac{1-x^2}{x^2} \Rightarrow y^{\prime} = \pm \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
વક્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી અને $(1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$y^{\prime} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
આ વિકલ સમીકરણ $xy^{\prime} + \sqrt{1-x^2} = 0$ આપે છે,જે વિકલ્પ $(2)$ સાથે સુસંગત છે.
$dy = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx$ નું સંકલન કરતા:
$x = \sin\theta$ લેતા,$dx = \cos\theta d\theta$.
$y = -\int \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} d\theta = \int \sin\theta d\theta - \int \csc\theta d\theta$
$y = -\cos\theta - \ln|\csc\theta - \cot\theta| + C = -\sqrt{1-x^2} - \ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right| + C$
$y(1)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$C=0$ મળે છે. સાદું રૂપ આપતા,$y = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $(1)$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F'(x) = f(\sqrt{x^2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x) \cdot 2x$ મળે.
આપેલ છે કે $F'(x) = f'(x)$,તેથી $f'(x) = 2x f(x)$ થાય.
આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x^2 + C$ મળે.
$f(0) = 1$ હોવાથી,$\ln(1) = 0^2 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
આમ,$\ln(f(x)) = x^2$,જે આપણને $f(x) = e^{x^2}$ આપે છે.
હવે,$F(x) = \int_0^{x^2} e^{(\sqrt{t})^2} dt = \int_0^{x^2} e^t dt = [e^t]_0^{x^2} = e^{x^2} - e^0 = e^{x^2} - 1$.
તેથી,$F(2) = e^{2^2} - 1 = e^4 - 1$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ છે.
$X$-અક્ષ પર $Y=0$ મૂકતા,$Q$ ના યામ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ મળે.
લંબાઈ $PQ^2 = (y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = k^2$.
આથી $y^2 ((\frac{dy}{dx})^2 + 1) = k^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$.
સંકલન કરતા,$\int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int dx \implies -\sqrt{k^2 - y^2} = x + C$.
બિંદુ $(0, k)$ માટે $C=0$ મળે,તેથી $x^2 + y^2 = k^2$ એ માંગેલ વક્ર છે.

(C) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $S = 4 \pi r^2$.
ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = kS$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = (4 \pi r^2) \frac{dr}{dt}$ હોવાથી,આપણને $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^2)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{dt} = k$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$r(t) = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $C = 3$.
$t = 2$ સમયે,$r = 9$,તેથી $9 = k(2) + 3$,જે $2k = 6$ આપે છે,એટલે કે $k = 3$.
આમ,ત્રિજ્યાનું વિધેય $r(t) = 3t + 3$ છે.
$t = 4 \ \text{મિનિટ}$ પછી,$r(4) = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15 \ cm$ થાય.

(D) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર દડાનું તાપમાન $\theta$ છે. ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,જ્યાં $k > 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln|\theta - 20| = -kt + C$ મળે છે.
જ્યારે $t = 0$,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(80 - 20) = \ln(60)$.
આમ,$\ln|\theta - 20| = -kt + \ln(60) \dots (i)$.
જ્યારે $t = 5$,$\theta = 60^{\circ} C$,તેથી $\ln(60 - 20) = -5k + \ln(60)$.
$5k = \ln(60) - \ln(40) = \ln(\frac{60}{40}) = \ln(\frac{3}{2})$.
તેથી,$k = \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2})$.
$t = 20$ માટે,સમીકરણ $(i)$ માં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ln|\theta - 20| = -20 \times \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60)$.
$\ln|\theta - 20| = \ln((\frac{2}{3})^4) + \ln(60) = \ln(\frac{16}{81} \times 60) = \ln(\frac{320}{27}) \approx \ln(11.85)$.
$\theta - 20 = 11.85 \implies \theta = 31.85^{\circ} C$.

(C) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પદાર્થનું તાપમાન $\theta$ છે. ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર પદાર્થના તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 30)$
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln(\theta - 30) = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $\ln(80 - 30) = C \Rightarrow C = \ln(50)$.
આમ,$\ln(\theta - 30) = -kt + \ln(50) \dots (i)$.
$t = 30 \text{ min}$ સમયે,$\theta = 60^{\circ} C$:
$\ln(60 - 30) = -k(30) + \ln(50) \Rightarrow \ln(30) - \ln(50) = -30k \Rightarrow \ln(3/5) = -30k$.
તેથી,$k = -\frac{1}{30} \ln(3/5) = \frac{1}{30} \ln(5/3)$.
હવે,$t = 60 \text{ min}$ (એક કલાક) માટે:
$\ln(\theta - 30) = -\left(\frac{1}{30} \ln(5/3)\right)(60) + \ln(50)$
$\ln(\theta - 30) = -2 \ln(5/3) + \ln(50) = \ln((3/5)^2 \times 50)$
$\ln(\theta - 30) = \ln(9/25 \times 50) = \ln(18)$
$\theta - 30 = 18 \Rightarrow \theta = 48^{\circ} C$.

(A) ધારો કે સમય $t$ પર ભેજનું પ્રમાણ $y$ છે.
ભેજમાં થતો ફેરફારનો દર ભેજના પ્રમાણના સમપ્રમાણમાં છે:
$\frac{dy}{dt} = -ky$ (જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે).
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y} = -\int k dt \Rightarrow \ln y = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,ધારો કે પ્રારંભિક ભેજ $y_0 = 1$ ($100 \%$ દર્શાવે છે) છે.
તેથી $\ln(1) = -k(0) + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln y = -kt$.
આપેલ છે કે $t = 1$ કલાક પર,કપડું અડધો ભેજ ગુમાવે છે,તેથી $y = 0.5$ (અથવા $1/2$):
$\ln(0.5) = -k(1) \Rightarrow k = -\ln(0.5) = \ln(2)$.
હવે,આપણે $t$ શોધવાનો છે જ્યારે $99 \%$ ભેજ ગુમાવાઈ જાય,એટલે કે $1 \%$ બાકી રહે:
$y = 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
સમીકરણ $\ln y = -kt$ માં કિંમત મૂકતા:
$\ln(10^{-2}) = -(\ln 2)t$.
$-2 \ln(10) = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\ln 2} = \frac{2 \log 10}{\log 2}$.

(C) ધારો કે $t$ વર્ષે વસ્તી $p$ છે.
આપેલ છે કે વસ્તીમાં થતો ફેરફારનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{dp}{dt} = kp$
$\Rightarrow \frac{dp}{p} = k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\log p = kt + c$
જ્યારે $t = 0$,$p = 40,000$:
$\log 40,000 = k(0) + c \Rightarrow c = \log 40,000$
તેથી,$\log p = kt + \log 40,000 \Rightarrow \log \left(\frac{p}{40,000}\right) = kt$
જ્યારે $t = 40$ વર્ષ,$p = 80,000$:
$\log \left(\frac{80,000}{40,000}\right) = 40k \Rightarrow \log 2 = 40k \Rightarrow k = \frac{\log 2}{40}$
આપણે બીજા $40$ વર્ષ પછી,એટલે કે $t = 80$ વર્ષે વસ્તી શોધવાની છે:
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = \left(\frac{\log 2}{40}\right) \times 80$
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = 2 \log 2 = \log 2^2 = \log 4$
$\frac{p}{40,000} = 4$
$p = 4 \times 40,000 = 160,000$

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. આપેલ છે કે વહેવાનો દર ઊંડાઈના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે (ઋણ ચિહ્ન ઊંડાઈમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int x^{-1/2} dx = \int -k dt$,જે $2\sqrt{x} = -kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક ઊંડાઈ $x = 16 \ m$ છે. આ કિંમતો મૂકતા,$2\sqrt{16} = -k(0) + C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,સમીકરણ $2\sqrt{x} = -kt + 8$ બને છે.
$t = 2 \ \text{કલાક}$ સમયે,ઊંડાઈ $x = 4 \ m$ છે. આ કિંમતો મૂકતા,$2\sqrt{4} = -k(2) + 8 \Rightarrow 4 = -2k + 8 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$.
આમ,સમીકરણ $2\sqrt{x} = -2t + 8$ અથવા $\sqrt{x} = 4 - t$ છે.
$t = 3.5 \ \text{કલાક}$ માટે,$\sqrt{x} = 4 - 3.5 = 0.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = (0.5)^2 = 0.25 \ m$ મળે છે.

(D) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dP}{dt} \propto P$,તેથી $\frac{dP}{dt} = kP$.
સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = 20$,તેથી $C = \ln 20$.
આમ,$\ln P = kt + \ln 20$.
$t = 30$ સમયે,$P = 40$,તેથી $\ln 40 = 30k + \ln 20$,જે $30k = \ln 2$ આપે છે,અથવા $k = \frac{\ln 2}{30}$.
આપણે $t = 30 + 15 = 45$ વર્ષે $P$ શોધવાની જરૂર છે.
$\ln P = \left(\frac{\ln 2}{30}\right) \times 45 + \ln 20 = 1.5 \ln 2 + \ln 20 = \ln(2^{1.5} \times 20)$.
$P = 20 \times 2^{1.5} = 20 \times 2 \times \sqrt{2} = 40 \times 1.41 = 56.4$ લાખ.

(C) ન્યૂટનના શીતલન નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 20^{\circ} C$ છે.
આનું સંકલન કરતા $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ મળે છે.
અહીં $T_0 = 80^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T(t) = 20 + 60e^{-kt}$.
$t = 5$ મિનિટ માટે,$T = 70^{\circ} C$:
$70 = 20 + 60e^{-5k} \Rightarrow 50 = 60e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \frac{5}{6}$.
$t = 15$ મિનિટ માટે:
$T(15) = 20 + 60e^{-15k} = 20 + 60(e^{-5k})^3$.
$e^{-5k} = \frac{5}{6}$ મૂકતા:
$T(15) = 20 + 60 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 20 + 60 \times \frac{125}{216} = 20 + 34.722 = 54.722^{\circ} C$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તાપમાન $54.7^{\circ} C$ થશે.

(D) ધારો કે સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું દળ $m$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,વિઘટનનો દર તેના દળના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{dm}{dt} = -km$ (જ્યાં $k > 0$ એ ક્ષય અચળાંક છે).
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dm}{m} = -k \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dm}{m} = -\int k \, dt \implies \ln(m) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક દળ $m = 6 \text{ gm}$ છે,તેથી $\ln(6) = C$.
આમ,$\ln(m) = -kt + \ln(6) \implies \ln(\frac{m}{6}) = -kt$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે દળ $m = 3 \text{ gm}$ થાય:
$\ln(\frac{3}{6}) = -kt
\implies \ln(\frac{1}{2}) = -kt
\implies -\ln(2) = -kt
\implies t = \frac{\ln(2)}{k}$.
તેથી,સમય $t$ એ $\log 2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ ગોળાકાર વરસાદના ટીપાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે. આપણને આપેલ છે કે બાષ્પીભવનનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -kS$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને દરના સમીકરણમાં મૂકતા: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4\pi r^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{dt} = -k$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $r = -kt + c$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $3 = -k(0) + c \Rightarrow c = 3$.
આમ,$r = -kt + 3$.
$t = 1$ સમયે,$r = 2$,તેથી $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$.
$k=1$ અને $c=3$ ને $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $r = -t + 3$ અથવા $r = 3 - t$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે મિલકત $x$ છે.
$\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{x} = -kt + c$.
$t = 0$ સમયે,$x = 10,00,000$,તેથી $2\sqrt{10,00,000} = c \implies c = 2000$.
આમ,$2\sqrt{x} = -kt + 2000$.
$t = 3$ સમયે,$x = 10,000$,તેથી $2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$.
નાદાર થવા માટે,$x = 0$.
$0 = -600T + 2000 \implies 600T = 2000 \implies T = \frac{2000}{600} = \frac{10}{3}$ વર્ષ.

(C) ધારો કે $x$ એ $t$ સમયે પદાર્થનું દળ છે.
ક્ષયનો દર $\frac{dx}{dt} = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંકલન કરતા,$\ln(x) = -kt + C$ મળે છે.
$t=0$ પર,$x=27$,તેથી $C = \ln(27)$.
આમ,$\ln(x) = -kt + \ln(27)$.
$t=3$ પર,$x=8$,તેથી $\ln(8) = -3k + \ln(27)$,જે $3k = \ln(\frac{27}{8})$ આપે છે.
તેથી,$k = \ln(\frac{3}{2})$.
આપણે વધુ એક કલાક પછી,એટલે કે $t=4$ પર દળ શોધવાનું છે.
$\ln(x) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(27) = \ln(\frac{16}{81} \times 27) = \ln(\frac{16}{3})$.
તેથી,$x = \frac{16}{3} \text{ ગ્રામ}$.

(C) ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $\theta_0 = 25^{\circ} C$.
સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(55)$.
આમ,$\ln(\theta - 25) = -kt + \ln(55)$,અથવા $\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -kt$.
$t = 30$ મિનિટ પર,$\theta = 50^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{50 - 25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{25}{55}\right) = -30k$ $\Rightarrow \ln\left(\frac{5}{11}\right) = -30k$.
$t = 60$ મિનિટ માટે,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{55}\right) = -60k = 2(-30k) = 2 \ln\left(\frac{5}{11}\right)$.
તેથી,$\frac{\theta - 25}{55} = \left(\frac{5}{11}\right)^2 = \frac{25}{121}$.
$\theta - 25 = 55 \times \frac{25}{121} = 5 \times \frac{25}{11} = \frac{125}{11} \approx 11.36$.
$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$.

(A) ધારો કે $t \text{ મિનિટ}$ સમયે પદાર્થનું તાપમાન $\theta^{\circ} C$ છે. ઓરડાનું તાપમાન $T_s = 25^{\circ} C$ છે. ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - T_s)$.
આનું સંકલન કરતા,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 135^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(135 - 25) = \ln(110)$.
આમ,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -kt$.
$t = 60 \text{ મિનિટ}$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{80 - 25}{110}\right) = -60k \Rightarrow \ln(0.5) = -60k \Rightarrow k = -\frac{1}{60}\ln(0.5)$.
$t = 120 \text{ મિનિટ}$ $(2 \text{ કલાક})$ માટે,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -120 \times \left(-\frac{1}{60}\ln(0.5)\right) = 2\ln(0.5) = \ln(0.5^2) = \ln(0.25)$.
તેથી,$\frac{\theta - 25}{110} = 0.25 \Rightarrow \theta - 25 = 110 \times 0.25 = 27.5$.
$\theta = 27.5 + 25 = 52.5^{\circ} C$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \int (\sin x + e^{x}) dx = -\cos x + e^{x} + c_{1}$.
આપેલ છે કે $x=0$ આગળ $\frac{d y}{d x} = 4$:
$4 = -\cos(0) + e^{0} + c_{1} \implies 4 = -1 + 1 + c_{1} \implies c_{1} = 4$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \cos x + 4$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$y = \int (e^{x} - \cos x + 4) dx = e^{x} - \sin x + 4x + c_{2}$.
આપેલ છે કે $y(0) = 3$:
$3 = e^{0} - \sin(0) + 4(0) + c_{2} \implies 3 = 1 - 0 + 0 + c_{2} \implies c_{2} = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = e^{x} - \sin x + 4x + 2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
ધારો કે $u = 1-y^2$,તેથી $du = -2y dy$,એટલે કે $y dy = -\frac{1}{2} du$.
સંકલનમાં આ કિંમત મૂકતા: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
આ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-C, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
$C$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-C, 0)$ એ $X$-અક્ષ પર બદલાય છે,જ્યારે ત્રિજ્યા $1$ એકમ નિશ્ચિત રહે છે.

(A) ન્યુટનના શીતલન નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 25^{\circ} C$ છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ મળે છે.
અહીં $T_0 = 100^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T(t) = 25 + 75e^{-kt}$.
$t = 10 \text{ મિનિટ}$ પર,$T = 80^{\circ} C$:
$80 = 25 + 75e^{-10k} \Rightarrow 55 = 75e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{55}{75} = \frac{11}{15}$.
$t = 20 \text{ મિનિટ}$ પર,$T = 25 + 75e^{-20k} = 25 + 75(e^{-10k})^2$.
કિંમત મૂકતા: $T = 25 + 75 \times (\frac{11}{15})^2 = 25 + 75 \times \frac{121}{225} = 25 + \frac{121}{3} = 25 + 40.33 = 65.33^{\circ} C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{1}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + C_1$.
આપેલ છે કે $x = 1$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 0$: $0 = \log(1) + C_1 \implies C_1 = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \log x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y = \int \log x dx = x \log x - x + C_2$.
આપેલ છે કે $x = 1$ આગળ $y = 1$: $1 = 1 \log(1) - 1 + C_2 \implies 1 = 0 - 1 + C_2 \implies C_2 = 2$.
આમ,ઉકેલ $y = x \log x - x + 2$ છે.

(B) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
વક્ર $\left(2, \frac{9}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 2$ અને $y = \frac{9}{2}$ મૂકતા:
$\frac{9}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{9}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$
આમ,સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x} + 2$ મળે છે.
$x$ વડે ગુણતા,$xy = x^2 + 1 + 2x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $xy = x^2 + 2x + 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે $M(t)$ એ $t$ સમયે ભેજની માત્રા છે. ફેરફારનો દર $\frac{dM}{dt} = -kM$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k > 0$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $M(t) = M_0 e^{-kt}$ મળે છે,જ્યાં $M_0$ એ પ્રારંભિક ભેજ છે.
આપેલ છે કે $t = 1$ કલાક પર,$50 \%$ ભેજ ગુમાવાય છે,તેથી $M(1) = 0.5 M_0$.
$0.5 M_0 = M_0 e^{-k} \implies e^{-k} = 0.5 = \frac{1}{2}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,તેથી $k = \ln 2$.
આપણે એવો $t$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $90 \%$ ભેજ ગુમાવાય,એટલે કે $10 \%$ બાકી રહે.
$M(t) = 0.1 M_0 = M_0 e^{-kt}$.
$0.1 = e^{-kt} \implies \ln(0.1) = -kt$.
$-\ln 10 = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10$ કલાક.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = 2y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે: $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|x^2| + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = e^{\ln|x^2| + C} = e^C \cdot x^2$.
ધારો કે $e^C = k$,જ્યાં $k$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી,$y = kx^2$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર શિરોબિંદુ અને $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોનું કુળ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp}{dt} = \frac{p - 200}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dp}{p - 200} = \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dp}{p - 200} = \int \frac{1}{2} dt$.
આથી મળે: $\ln|p - 200| = \frac{t}{2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $p - 200 = e^{t/2 + C} = Ae^{t/2}$,જ્યાં $A = \pm e^C$.
તેથી,$p = 200 + Ae^{t/2}$.
શરૂઆતની શરત $p(0) = 100$ આપેલ છે:
$100 = 200 + Ae^0 \implies 100 = 200 + A \implies A = -100$.
$A$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $p = 200 - 100 e^{t/2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$
ધારો કે $u = 1-y^2$,તો $du = -2y dy$,તેથી $y dy = -\frac{1}{2} du$.
સંકલન કરતા: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$
$-\frac{1}{2} (2u^{1/2}) = x + C$
$-\sqrt{1-y^2} = x + C$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1-y^2 = (x+C)^2$
$(x+C)^2 + y^2 = 1$
આ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $h = -C$,$k = 0$,અને $r = 1$.
આમ,ત્રિજ્યા $1$ એકમ નિશ્ચિત છે અને કેન્દ્ર $(-C, 0)$ એ $X$-અક્ષ પર બદલાતું રહે છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,પદાર્થના તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ પદાર્થનું તાપમાન $T$ અને આસપાસના માધ્યમનું તાપમાન $T_s$ વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં,$T_s = 32^{\circ} F$ છે.
પદાર્થ ગરમ હોવાથી,જેમ સમય $t$ વધે છે તેમ તેનું તાપમાન $T$ ઘટે છે,તેથી $\frac{dT}{dt} < 0$ થાય.
આમ,$\frac{dT}{dt} \propto -(T - 32)$.
પ્રમાણ્યતાનો ધન અચળાંક $k$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dT}{dt} = -k(T - 32)$.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અભિલંબનો ઢાળ તેના યામ $y$ જેટલો છે,તેથી $-\frac{dx}{dy} = y$.
આનો અર્થ એ થાય કે $dx = -y \, dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $x = -\frac{y^2}{2} + C$ મળે છે.
વક્ર $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ: $1 = -\frac{(-1)^2}{2} + C$,જે $1 = -\frac{1}{2} + C$ આપે છે,તેથી $C = \frac{3}{2}$.
આમ,સમીકરણ $x = -\frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x = -y^2 + 3$ અથવા $2x = 1(3 - y^2)$ થાય છે.
આને $2x = k(3 - y^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે મુદ્દલ $P$ છે. આપેલ છે કે મુદ્દલ $x \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP}{dt} = \frac{x}{100} P$ મળે.
આનું સંકલન કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{x}{100} dt$,જે $\ln P = \frac{x}{100} t + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_0 = 100$ હોવાથી,$C = \ln 100$ મળે.
તેથી,$\ln P = \frac{x}{100} t + \ln 100$,અથવા $\ln(\frac{P}{100}) = \frac{x}{100} t$.
આપેલ છે કે $10$ વર્ષમાં મુદ્દલ બમણું થાય છે,એટલે કે $t = 10$ સમયે $P = 200$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{200}{100}) = \frac{x}{100} \times 10$.
$\ln 2 = \frac{x}{10}$.
અહીં $\ln 2 \approx 0.6931$ લેતા,$0.6931 = \frac{x}{10} \implies x = 6.931 \% \approx 6.93 \%$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે મુદ્દલ $P$ છે.
આપેલ છે કે મુદ્દલ વાર્ષિક $10 \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dP}{dt} = 0.10 P$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dP}{P} = 0.10 dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.10 dt$
$\ln(P) = 0.10 t + C$
$P(t) = e^{0.10 t + C} = Ae^{0.10 t}$
$t = 0$ સમયે,$P = 2000$. આ કિંમતો મૂકતા:
$2000 = Ae^{0.10(0)} \implies A = 2000$
તેથી,મુદ્દલ માટેનું સમીકરણ $P(t) = 2000 e^{0.10 t}$ છે.
$t = 5$ વર્ષ પછી:
$P(5) = 2000 e^{0.10(5)} = 2000 e^{0.5}$
આપેલ છે કે $e^{0.5} = 1.648$:
$P(5) = 2000 \times 1.648 = 3296$
આમ,$5$ વર્ષ પછીની રકમ રૂ. $3296$ થશે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે સંપત્તિ $A(t)$ છે. ઘટાડાનો દર સંપત્તિના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે, તેથી $\frac{dA}{dt} = -k \sqrt{A}$, જ્યાં $k > 0$.
ચલ અલગ કરતા, $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int A^{-1/2} dA = \int -k dt$, જે $2\sqrt{A} = -kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે, $A = 25$, તેથી $2\sqrt{25} = C \implies C = 10$.
આમ, $2\sqrt{A} = -kt + 10$.
$t = 2$ સમયે, $A = 6.25$, તેથી $2\sqrt{6.25} = -k(2) + 10$.
$2(2.5) = -2k + 10 \implies 5 = -2k + 10 \implies 2k = 5 \implies k = 2.5$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = -2.5t + 10$ બને છે.
નાદારી માટે, $A = 0$, તેથી $0 = -2.5t + 10$.
$2.5t = 10 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ વર્ષ}$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે મિલકત $A(t)$ છે. ઘટાડાનો દર મિલકતના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$,જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $A^{-1/2} dA = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{A} = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$A = 10,00,000$. તેથી,$2\sqrt{10,00,000} = C \implies C = 2 \times 1000 = 2000$.
આમ,$2\sqrt{A} = -kt + 2000$.
$t = 3$ સમયે,$A = 10,000$. તેથી,$2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = -600t + 2000$ છે.
નાદારી માટે,$A = 0$,તેથી $0 = -600t + 2000$.
$600t = 2000 \implies t = \frac{2000}{600} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ વર્ષ.

(A) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $N$ છે. આપેલ છે કે વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dN}{dt} = kN$.
સંકલન કરતા,$\ln N = kt + C$,અથવા $N(t) = N_0 e^{kt}$.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,$N_0 = 1,00,000$.
$2$ કલાક પછી,સંખ્યામાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $N(2) = 1,00,000 + 0.10 \times 1,00,000 = 1,10,000$.
આ કિંમતો મૂકતા: $1,10,000 = 1,00,000 e^{2k} \implies e^{2k} = 1.1 \implies 2k = \ln(1.1) \implies k = \frac{\ln(1.1)}{2}$.
આપણે $t$ શોધવું છે જેથી $N(t) = 2,00,000$ થાય.
$2,00,000 = 1,00,000 e^{kt} \implies 2 = e^{kt} \implies \ln 2 = kt$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln 2 = \left(\frac{\ln(1.1)}{2}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{2 \ln 2}{\ln(1.1)} = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = kP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે,અથવા $P(t) = P_0 e^{kt}$.
$t = 0$ સમયે,$P(0) = 40,000$. તેથી,$P_0 = 40,000$.
$t = 20$ સમયે,$P(20) = 80,000$. આમ,$80,000 = 40,000 e^{20k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{20k} = 2$.
આપણે બીજા $40$ વર્ષ પછીની વસ્તી શોધવી છે,એટલે કે $t = 20 + 40 = 60$ વર્ષે.
$P(60) = 40,000 e^{60k} = 40,000 (e^{20k})^3$.
$e^{20k} = 2$ મૂકતા,આપણને $P(60) = 40,000 \times (2)^3 = 40,000 \times 8 = 320,000$ મળે છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$,જ્યાં $T_a = 290 \ K$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\ln(T - 290) = -kt + C$,અથવા $T - 290 = Ce^{-kt}$.
$t = 0$ સમયે,$T = 370$,તેથી $370 - 290 = C$,જે $C = 80$ આપે છે.
આમ,$T - 290 = 80e^{-kt}$.
$t = 10 \ \text{મિનિટ}$ સમયે,$T = 330$,તેથી $330 - 290 = 80e^{-10k}$,જેનો અર્થ છે $40 = 80e^{-10k}$,તેથી $e^{-10k} = 0.5$.
કુદરતી લઘુગણક લેતા,$-10k = \ln(0.5) = -\ln(2)$,તેથી $k = \frac{\ln(2)}{10}$.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $T = 295$.
$295 - 290 = 80e^{-kt} \implies 5 = 80e^{-kt} \implies e^{-kt} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
કારણ કે $e^{-10k} = \frac{1}{2}$,આપણી પાસે $e^{-kt} = (e^{-10k})^4 = e^{-40k}$ છે.
તેથી,$kt = 40k$,જે $t = 40 \ \text{મિનિટ}$ આપે છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,વસ્તી વધવાનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે: $\frac{dP}{dt} = kP$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે,અથવા $P(t) = P_0 e^{kt}$.
$t = 0$ સમયે,$P(0) = 4$ લાખ,તેથી $P_0 = 4$.
$t = 20$ સમયે,$P(20) = 6$ લાખ. તેથી,$6 = 4 e^{20k}$,જે આપણને $e^{20k} = \frac{6}{4} = 1.5$ આપે છે.
આપણે બીજા $20$ વર્ષ પછી,એટલે કે $t = 40$ સમયે વસ્તી શોધવાની છે.
$P(40) = P_0 e^{40k} = 4 (e^{20k})^2$.
$e^{20k} = 1.5$ મૂકતા,આપણને $P(40) = 4 \times (1.5)^2 = 4 \times 2.25 = 9$ લાખ મળે છે.

(B) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. સમસ્યા મુજબ,$\frac{dP}{dt} \propto P$,જેનો અર્થ છે $\frac{dP}{dt} = kP$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $P(t) = Ce^{kt}$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,વસ્તી $30,000$ છે,તેથી $P(0) = C = 30,000$.
આમ,$P(t) = 30,000 e^{kt}$.
$t = 40$ સમયે,વસ્તી $40,000$ છે,તેથી $40,000 = 30,000 e^{40k}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{40k} = \frac{40,000}{30,000} = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આ કિંમતને $P(t)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P(t) = 30,000 (e^{40k})^{\frac{t}{40}} = 30,000 (\frac{4}{3})^{\frac{t}{40}}$ મળે છે.
આપેલ સ્વરૂપ $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 30,000$ અને $b = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) સતત ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે,સમય $t$ પરની રકમ $A$ સૂત્ર $A(t) = P e^{rt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ મુદ્દલ છે,$r$ એ વ્યાજનો દર છે અને $t$ એ વર્ષોમાં સમય છે.
આપેલ છે કે $P = 400$ અને $A(6) = 800$,તેથી $800 = 400 e^{6r}$.
$400$ વડે ભાગતા,આપણને $2 = e^{6r}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(2) = 6r$,તેથી $r = \frac{\ln(2)}{6}$.
આપણે $t = 30$ વર્ષ પરની રકમ શોધવાની છે: $A(30) = 400 e^{30r}$.
$r = \frac{\ln(2)}{6}$ મૂકતા,આપણને $A(30) = 400 e^{30 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400 e^{5 \ln(2)}$ મળે છે.
$e^{a \ln(b)} = b^a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A(30) = 400 \times 2^5$ મળે છે.
$A(30) = 400 \times 32 = 12800$.
આમ,$30$ વર્ષના અંતે રકમ ₹ $12800$ થશે.