ધારો કે Gamma એ y = y(x) વક્ર દર્શાવે છે જે પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) વક્ર $\Gamma$ ના બિંદુ $P(x, y)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ છે.$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$X=0$ લેતા: $Y_p = y - xy^{\prime}$

Vedclass · Accepted Answer

$1,2$

Vedclass · Answer

(B) વક્ર $\Gamma$ ના બિંદુ $P(x, y)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=y^{\prime}(X-x)$ છે.$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$X=0$ લેતા: $Y_p = y - xy^{\prime}$.બિંદુ $Y_p$ એ $(0, y-xy^{\prime})$ છે. $PY_p$ નું અંતર $1$ આપેલ છે,તેથી $(x, y)$ અને $(0, y-xy^{\prime})$ વચ્ચેનું અંતર $1$ છે.$\sqrt{(x-0)^2 + (y - (y-xy^{\prime}))^2} = 1$$\sqrt{x^2 + (xy^{\prime})^2} = 1 \Rightarrow x^2 + x^2(y^{\prime})^2 = 1$$(y^{\prime})^2 = \frac{1-x^2}{x^2} \Rightarrow y^{\prime} = \pm \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.વક્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી અને $(1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$y^{\prime} = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.આ વિકલ સમીકરણ $xy^{\prime} + \sqrt{1-x^2} = 0$ આપે છે,જે વિકલ્પ $(2)$ સાથે સુસંગત છે.$dy = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} dx$ નું સંકલન કરતા:$x = \sin	heta$ લેતા,$dx = \cos	heta d	heta$.$y = -\int \frac{\cos^2	heta}{\sin	heta} d	heta = \int \sin	heta d	heta - \int \csc	heta d	heta$$y = -\cos	heta - \ln|\csc	heta - \cot	heta| + C = -\sqrt{1-x^2} - \ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}ight| + C$$y(1)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$C=0$ મળે છે. સાદું રૂપ આપતા,$y = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}ight) - \sqrt{1-x^2}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $(1)$ સાથે સુસંગત છે.

Similar Questions

$\frac{d^2 y}{d x^2}=0$ નો ઉકેલ શું દર્શાવે છે?

વિકલ સમીકરણ $y\frac{dy}{dx} + x = a$ ($a$ એ કોઈ અચળાંક છે) શું દર્શાવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module