Application of differential equations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $P(x, y)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{y}{x}$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx}$ છે.
સ્પર્શક એ ઉગમબિંદુ અને $P$ ને જોડતી રેખાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
તેથી,$\frac{y}{x} \times \frac{dy}{dx} = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $y \, dy = -x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = -\int x \, dx$,જે $\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C$ આપે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2C$ થાય છે,જે ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) $Simple \ Harmonic \ Motion$ (સરળ આવર્ત ગતિ) માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(nt + \phi)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\phi$ એ કળા અચળાંક છે.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -An \sin(nt + \phi)$
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos(nt + \phi)$
અહીં $x = A \cos(nt + \phi)$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
પદોને ગોઠવતા આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2x = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 1}{x - 1}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 1} = \frac{dx}{x - 1}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y + 1} = \int \frac{dx}{x - 1}$.
આનાથી $\ln|y + 1| = \ln|x - 1| + C$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 1 = k(x - 1)$ થાય છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આપણને પ્રારંભિક શરત $y(1) = 2$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા,આપણને $y + 1 = k(1 - 1) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = -1$.
જોકે,શરત મુજબ $y(1) = 2$ છે,જે $y = -1$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
વિકલ સમીકરણ $x = 1$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે અને પ્રારંભિક શરત વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે,તેથી કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y\frac{dy}{dx} + x = a$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = (a - x) \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \int (a - x) \, dx$.
$\frac{y^2}{2} = ax - \frac{x^2}{2} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,$y^2 = 2ax - x^2 + 2C$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - 2ax + y^2 = 2C$.
બંને બાજુ $a^2$ ઉમેરતા,$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = a^2 + 2C$.
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 + 2C$.
ધારો કે $k = a^2 + 2C$,તો $(x - a)^2 + y^2 = k$.
આ સમીકરણ એવા વર્તુળોનો સમૂહ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ પર છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx = x + \frac{1}{x} + c$.
વક્ર $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + c$.
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + c \implies c = 1$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x} + 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $xy = x^2 + 1 + x$ મળે છે,એટલે કે $xy = x^2 + x + 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + c_1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x = 1$ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $0 = \log(1) + c_1$,જેનો અર્થ છે કે $c_1 = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \log x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$y = \int \log x dx = x \log x - x + c_2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$,તેથી $1 = 1 \log(1) - 1 + c_2$,જેનો અર્થ છે કે $1 = 0 - 1 + c_2$,તેથી $c_2 = 2$.
$c_1$ અને $c_2$ ની કિંમતો મૂકતા,જરૂરી ઉકેલ $y = x \log x - x + 2$ છે.

(A) વક્ર માટે અભિલંબની લંબાઈ $L = |y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે અભિલંબની લંબાઈ ત્રિજ્યા સદિશ $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ જેટલી છે,તેથી:
$|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$y^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2) = x^2 + y^2$
$y^2 + y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2 + y^2$
$y^2 (\frac{dy}{dx})^2 = x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y \frac{dy}{dx} = \pm x$
ચલને અલગ કરતા:
$y \, dy = \pm x \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \pm \int x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \pm \frac{x^2}{2} + C$
$y^2 = \pm x^2 + 2C$
ધારો કે $2C = k$,તો સમીકરણ ${y^2} \mp {x^2} = k$ મળે,જે ${y^2} \pm {x^2} = k$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે $P_0$ એ પ્રારંભિક વસ્તી છે અને $P$ એ $t$ સમયે વસ્તી છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dP}{dt} = kP$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln P = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_0$,તેથી $\ln P_0 = C$.
આમ,$\ln P = kt + \ln P_0$,જે $\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = kt$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે વસ્તી $5$ કલાકમાં બમણી થાય છે,તેથી $t = 5$ સમયે,$P = 2P_0$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\ln \left( \frac{2P_0}{P_0} \right) = 5k$,તેથી $k = \frac{\ln 2}{5}$.
હવે,આપણે $t = 25$ કલાક સમયે વસ્તી શોધવાની છે.
$\ln \left( \frac{P}{P_0} \right) = \left( \frac{\ln 2}{5} \right) \times 25 = 5 \ln 2 = \ln(2^5) = \ln 32$.
તેથી,$\frac{P}{P_0} = 32$,જેનો અર્થ છે કે $P = 32 P_0$.
બેક્ટેરિયાની સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતા $32$ ગણી હશે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{x^2} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \ln x$ અને $dv = x^{-2} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{1}{x}$ મળે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\ln x + 1}{x} + C_1$.
$x = 1$ પર $\frac{dy}{dx} = -1$ આપેલ છે:
$-1 = -\frac{\ln(1) + 1}{1} + C_1 \Rightarrow -1 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x + 1}{x}$.
ફરીથી સંકલન કરતા:
$y = -\int \frac{\ln x + 1}{x} dx$.
$t = \ln x$ લેતા,$dt = \frac{1}{x} dx$:
$y = -\int (t + 1) dt = -(\frac{t^2}{2} + t) + C_2 = -\frac{(\ln x)^2}{2} - \ln x + C_2$.
$x = 1$ પર $y = 0$ આપેલ છે:
$0 = -\frac{(\ln 1)^2}{2} - \ln(1) + C_2 \Rightarrow 0 = 0 - 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$.
આમ,ઉકેલ $y = -\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$ છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{surrounding})$.
જેમ જેમ તાપમાન $T$ ઘટે છે,તેમ ઠંડકનો દર $-\frac{dT}{dt}$ પણ ઘટે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાન-સમયના ગ્રાફનો ઢાળ શરૂઆતમાં વધુ હોવો જોઈએ અને જેમ તાપમાન ઓરડાના તાપમાનની નજીક આવે તેમ તે ઓછો થવો જોઈએ.
વક્ર $A$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે,જ્યાં ફેરફારનો દર શરૂઆતમાં ઊંચો હોય છે અને સમય જતાં ઘટે છે.
તેથી,ગ્રાફ $A$ એ સાચું નિરૂપણ છે.

(C) અહીં વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x^2 - 2x$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$.
વક્ર બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \frac{2^3}{3} - 2^2 + C$
$0 = \frac{8}{3} - 4 + C$
$0 = \frac{8 - 12}{3} + C$
$0 = -\frac{4}{3} + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{4}{3}$ છે.
$x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધવા માટે:
$y(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
તેથી,બિંદુ $(0, 4/3)$ મળે છે.

(C) વક્રના $(x, y)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x + 5$ આપેલ છે.
વક્રનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$y = \int (3x^2 + 2x + 5) dx$
$y = x^3 + x^2 + 5x + C$
વક્ર $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = (0)^3 + (0)^2 + 5(0) + C$
$C = 1$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x^3 + x^2 + 5x + 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dV}{dt} = -k(T - t)$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$V(t) = \int -k(T - t) dt = k \int (T - t) d(T - t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + C$.
જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે સાધનની કિંમત તેની ખરીદ કિંમત $I$ જેટલી હોય છે,તેથી $V(0) = I$:
$I = \frac{k(T - 0)^2}{2} + C \implies I = \frac{kT^2}{2} + C \implies C = I - \frac{kT^2}{2}$.
$C$ ની કિંમત $V(t)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V(t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2}$.
ભંગાર કિંમત $V(T)$ એ $t = T$ સમયે કિંમત છે:
$V(T) = \frac{k(T - T)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2} = 0 + I - \frac{kT^2}{2} = I - \frac{kT^2}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
પ્રારંભિક શરત $p(0) = 850$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
આમ,સમીકરણ છે: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
જ્યારે $p(t) = 0$ હોય ત્યારે $t$ શોધવા માટે: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp(t)}{dt} = \frac{1}{2}p(t) - 200 = \frac{p(t) - 400}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 400} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |p(t) - 400| = \frac{t}{2} + C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|p(t) - 400| = e^{C} \cdot e^{t/2}$,અથવા $p(t) - 400 = Ke^{t/2}$ જ્યાં $K = \pm e^C$.
પ્રારંભિક શરત $p(0) = 100$ નો ઉપયોગ કરતા: $100 - 400 = Ke^0 \implies K = -300$.
$K$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $p(t) - 400 = -300e^{t/2}$.
તેથી,$p(t) = 400 - 300e^{t/2}$.

(A) ધારો કે $V$ એ ગોળાકાર વરસાદના ટીપાનું કદ છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે. કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,બાષ્પીભવનનો દર તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ ના પ્રમાણમાં છે. બાષ્પીભવન થતું હોવાથી,કદમાં થતો ફેરફાર ઋણ હશે: $\frac{dV}{dt} = -K(4\pi r^2)$,જ્યાં $K > 0$.
$\frac{dV}{dt}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -K(4\pi r^2)$.
બંને બાજુ $4\pi r^2$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$\frac{dr}{dt} = -K$,જેને $\frac{dr}{dt} + K = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ છે.
$y = e^{mx}$ મૂકતા,આપણને $Dy = me^{mx}$,$D^2y = m^2e^{mx}$,અને $D^3y = m^3e^{mx}$ મળે છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $m^3e^{mx} - 3m^2e^{mx} - 4me^{mx} + 12e^{mx} = 0$.
$e^{mx} \neq 0$ હોવાથી,લાક્ષણિક સમીકરણ: $m^3 - 3m^2 - 4m + 12 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $m^2(m - 3) - 4(m - 3) = 0 \Rightarrow (m^2 - 4)(m - 3) = 0$.
આથી $(m - 2)(m + 2)(m - 3) = 0$ મળે છે.
ઉકેલો $m = 2, m = -2, m = 3$ છે.
$m \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) હોવાથી,આપણે માત્ર $m = 2$ અને $m = 3$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આમ,આવી $2$ કિંમતો છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow x^{-1/3} + y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
લંબ છેદકો માટે,$\frac{dy}{dx}$ ને $-\frac{dx}{dy}$ વડે બદલતા:
$-\frac{dx}{dy} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$
$\Rightarrow x^{1/3} dx = y^{1/3} dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int x^{1/3} dx = \int y^{1/3} dy$
$\Rightarrow \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{y^{4/3}}{4/3} + C$
$\Rightarrow x^{4/3} - y^{4/3} = C'$ (જ્યાં $C' = \frac{4}{3}C$ એ અચળાંક છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. યામ અક્ષો,વક્ર અને બિંદુ $(x, y)$ પરના કોટિ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_0^x y \, dx = y^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y = \frac{d}{dx}(y^3)$
$y = 3y^2 \frac{dy}{dx}$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) y = 0$ (જે એક સામાન્ય ઉકેલ છે,x-અક્ષ).
$2) 1 = 3y \frac{dy}{dx} \Rightarrow 3y \, dy = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int 3y \, dy = \int dx$
$\frac{3y^2}{2} = x + C$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$y^2 = \frac{2}{3}(x + C)$
આ પરવલય $y^2 = 4a(x - h)$ નું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(B) ધારો કે સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = kx + c$ છે,જ્યાં $k$ અને $c$ અચળાંકો છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = k$.
આ કિંમતને આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$k + xk^2 - (kx + c) = 0$
$k + xk^2 - kx - c = 0$
$(k^2 - k)x + (k - c) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$k^2 - k = 0 \Rightarrow k(k - 1) = 0 \Rightarrow k = 0$ અથવા $k = 1$.
જો $k = 0$ હોય,તો $k - c = 0 \Rightarrow c = 0$. રેખા $y = 0$ છે.
જો $k = 1$ હોય,તો $k - c = 0 \Rightarrow c = 1$. રેખા $y = x + 1$ છે.
આમ,આવી $2$ સીધી રેખાઓ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $y = e^{4x} + 2e^{-x}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 4e^{4x} - 2e^{-x}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 16e^{4x} + 2e^{-x}$.
તૃતીય વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 64e^{4x} - 2e^{-x}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}$ માં મૂકતા:
$= (64e^{4x} - 2e^{-x}) - 13(4e^{4x} - 2e^{-x})$
$= 64e^{4x} - 2e^{-x} - 52e^{4x} + 26e^{-x}$
$= 12e^{4x} + 24e^{-x}$
$= 12(e^{4x} + 2e^{-x})$
$= 12y$.
તેથી,$\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = \frac{12y}{y} = 12$.
આમ,$K = 12$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ વક્ર પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $PM$ એ ઓર્ડિનેટ છે,જ્યાં $M$ એ $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $T$ માં મળે છે. ધારો કે $\theta$ એ સ્પર્શક દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તો અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\pi - \theta$ ખૂણો બનાવે છે. ઓર્ડિનેટ $PM$ નો અભિલંબ $PT$ પરનો પ્રક્ષેપ $PN$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMN$ માં,ખૂણો $\angle PMN = \theta$ છે. આમ,$PN = PM \cos \theta = y \cos \theta$. આપેલ છે કે $PN = a$,તેથી $y \cos \theta = a$. કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ અને $\tan \theta = \frac{dy}{dx} = y_1$,આપણને $y \frac{1}{\sqrt{1 + y_1^2}} = a$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = a^2(1 + y_1^2)$,જે $y_1^2 = \frac{y^2 - a^2}{a^2}$ આપે છે. આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a}$. ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{a \, dy}{\sqrt{y^2 - a^2}} = \int dx$. સંકલન કરતા,આપણને $a \ln |y + \sqrt{y^2 - a^2}| = x + c$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2$ છે ... $(1)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 2ax$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$a = \frac{y}{x^2}$ મળે છે. આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = 2 \left(\frac{y}{x^2}\right) x = \frac{2y}{x}$ મળે છે.
ઓર્થોગોનલ ટ્રેજેક્ટરીનું વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે $\frac{dy}{dx}$ ને $-\frac{dx}{dy}$ વડે બદલતા:
$-\frac{dx}{dy} = \frac{2y}{x}$.
પદોને ગોઠવતા,$x dx = -2y dy$,અથવા $x dx + 2y dy = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int x dx + \int 2y dy = C$,જેનું પરિણામ $\frac{x^2}{2} + y^2 = C$ મળે છે.

(D) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. વક્ર,$x$-અક્ષ અને $x$ આગળના ઓર્ડિનેટ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^x y \, dx$ છે.
વક્રની ચાપની લંબાઈ $s = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ $A = s$,તેથી $\int_0^x y \, dx = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y = \sqrt{1 + (y')^2}$ મળે.
વર્ગ કરતા,$y^2 = 1 + (y')^2$,એટલે કે $(y')^2 = y^2 - 1$.
તેથી,$y' = \pm \sqrt{y^2 - 1}$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dy}{\sqrt{y^2 - 1}} = \pm dx$.
સંકલન કરતા,$\ln|y + \sqrt{y^2 - 1}| = \pm x + C$.
બિંદુ $(0, 1)$ માટે,$x=0$ ત્યારે $y=1$ મૂકતા,$C=0$ મળે.
તેથી,$y + \sqrt{y^2 - 1} = e^x$ અથવા $e^{-x}$.
ઉકેલતા $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ મળે.
વળી,$y=1$ પણ ઉકેલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + y dx = 0$ છે,જેને $d(xy) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $xy = c$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(2, 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 \times 8 = c$,એટલે કે $c = 16$.
શંકુનું સમીકરણ $xy = 16$ છે,જે એક લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
$xy = 16$ માટે,અતિવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^2 - Y^2 = a^2$ માં રૂપાંતર કરતા $a^2 = 32$ મળે,તેથી $a = 4\sqrt{2}$.
લંબકોણીય અતિવલય $xy = c$ માટે નાભિલંબની લંબાઈ $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ થાય છે.

(C) પાણીના સ્તર $y$ માં થતા ફેરફારનો દર વિકલ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{\sqrt{y}} = -k \, dt$.
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = T$ માટે પ્રારંભિક ઊંડાઈ $y = 4$ થી અંતિમ ઊંડાઈ $y = 0$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{4}^{0} y^{-1/2} \, dy = \int_{0}^{T} -k \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[2\sqrt{y}]_{4}^{0} = -k[t]_{0}^{T}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$2(\sqrt{0} - \sqrt{4}) = -k(T - 0)$.
$2(0 - 2) = -kT$.
$-4 = -kT$.
$T = \frac{4}{k}$.
આપેલ છે કે $k = \frac{1}{15}$,તેથી:
$T = \frac{4}{1/15} = 4 \times 15 = 60 \text{ min}$.

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
$P(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$x-$અંતઃખંડ માટે $Y = 0$ લેતા: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X - x = -y \frac{dx}{dy} \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$x-$અંતઃખંડ એ કોટિ $y$ જેટલો છે,તેથી $x - y \frac{dx}{dy} = y$.
પદોને ગોઠવતા: $x - y = y \frac{dx}{dy} \Rightarrow (x - y) dy = y dx \Rightarrow x dy - y dy = y dx$.
આને $x dy - y dx = y dy$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{x dy - y dx}{y^2} = \frac{y dy}{y^2} = \frac{dy}{y}$.
આ ભાગાકારના નિયમનું વિકલન છે: $d(\frac{x}{y}) = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{y} = \ln|y| + C$.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=1$ મુકતા: $\frac{1}{1} = \ln(1) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,સમીકરણ $\frac{x}{y} = \ln y + 1$ છે,જે $y e = e^{x/y}$ માં પરિણમે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{ax + b}{cy + d}$.
ચલને અલગ કરતા: $(cy + d) dy = (ax + b) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (cy + d) dy = \int (ax + b) dx$.
પરિણામ મળે છે: $\frac{c y^2}{2} + dy = \frac{a x^2}{2} + bx + K$,જ્યાં $K$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ગોઠવતા: $c y^2 - a x^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$.
આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે તે માટે,$x^2$ અથવા $y^2$ માંથી કોઈ એક પદ હોવું જોઈએ,પરંતુ બંને હોવા જોઈએ નહીં (જો બંને હોય તો તે વર્તુળ અથવા ઉપવલય દર્શાવે).
જો $c = 0$ અને $a \neq 0$ હોય,તો સમીકરણ $-a x^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$ બને છે,જે $x$-અક્ષ પરનું પરવલય છે.
જો $a = 0$ અને $c \neq 0$ હોય,તો સમીકરણ $c y^2 + 2dy - 2bx - 2K = 0$ બને છે,જે $y$-અક્ષ પરનું પરવલય છે.
આમ,શરત $a = 0, c \neq 0$ અથવા $c = 0, a \neq 0$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$.
ચલને અલગ કરતા: $2y \, dy = (1+x) \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 2y \, dy = \int (1+x) \, dx$.
$y^2 = x + \frac{x^2}{2} + C$.
શંકુ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મુકતા: $1^2 = 1 + \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow 1 = 1.5 + C \Rightarrow C = -0.5$.
તેથી,$y^2 = x + \frac{x^2}{2} - 0.5$.
ગોઠવતા: $\frac{x^2}{2} + x - y^2 = 0.5$.
$2$ વડે ગુણતા: $x^2 + 2x - 2y^2 = 1$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 2x + 1) - 2y^2 = 1 + 1$.
$(x+1)^2 - 2y^2 = 2$.
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{(x+1)^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$.
આ $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$ પ્રકારનું અતિવલય છે જ્યાં $a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(9 - x^2)(\frac{dy}{dx})^2 = 9 - y^2$
$\Rightarrow (\frac{dy}{dx})^2 = \frac{9 - y^2}{9 - x^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm \frac{\sqrt{9 - y^2}}{\sqrt{9 - x^2}}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{\sqrt{9 - y^2}} = \pm \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{\sqrt{3^2 - y^2}} = \pm \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - x^2}}$
$\sin^{-1}(\frac{y}{3}) = \pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) + C$
વક્ર $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
$\sin^{-1}(0) = \pm \sin^{-1}(\frac{3}{3}) + C$
$0 = \pm \frac{\pi}{2} + C \Rightarrow C = \mp \frac{\pi}{2}$
$C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin^{-1}(\frac{y}{3}) = \pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \mp \frac{\pi}{2}$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$\frac{y}{3} = \sin(\pm \sin^{-1}(\frac{x}{3}) \mp \frac{\pi}{2}) = \mp \cos(\sin^{-1}(\frac{x}{3})) = \mp \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{9} \Rightarrow x^2 + y^2 = 9$
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) સબનોર્મલની લંબાઈ $y \frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સબનોર્મલની લંબાઈ ઓર્ડિનેટના વર્ગ $(y^2)$ કરતા એક વધારે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$y \frac{dy}{dx} = y^2 + 1$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{y}{y^2 + 1} dy = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{y}{y^2 + 1} dy = \int dx$
$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x + C$
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = 0 + C \implies C = 0$
આમ,$\frac{1}{2} \ln(y^2 + 1) = x$
$\ln(y^2 + 1) = 2x$
$y^2 + 1 = e^{2x}$
$y^2 = e^{2x} - 1$
$y = \sqrt{e^{2x} - 1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2xy \, dy = (x^2 + y^2 + 1) dx$
પદોને ગોઠવતા: $2xy \, dy - y^2 dx = (x^2 + 1) dx$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{2xy \, dy - y^2 dx}{x^2} = \frac{(x^2 + 1) dx}{x^2}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $d\left(\frac{y^2}{x}\right) = (1 + x^{-2}) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y^2}{x} = x - \frac{1}{x} + C$
$x$ વડે ગુણતા: $y^2 = x^2 - 1 + Cx$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 - Cx - y^2 = 1$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - \frac{C}{2})^2 - y^2 = 1 + \frac{C^2}{4}$
આ સમીકરણ $(\frac{C}{2}, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા લંબચોરસ અતિવલયોનું કુટુંબ દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = f'(x)(X - x)$ છે.
$A$ માટે $(Y=0)$,$X = x - \frac{y}{f'(x)}$. તેથી $A = \left( x - \frac{y}{f'(x)}, 0 \right)$.
$B$ માટે $(X=0)$,$Y = y - x f'(x)$. તેથી $B = (0, y - x f'(x))$.
આપેલ છે કે $AP : BP = 1 : 3$,વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P(x, y)$ એ $AB$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot (x - y/f'(x))}{1 + 3} \implies 4x = 3x - \frac{3y}{f'(x)} \implies x = -\frac{3y}{f'(x)}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3y}{x}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = -3 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -3 \ln|x| + C \implies y = \frac{k}{x^3}$.
$f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{k}{1^3} \implies k = 1$. તેથી $y = \frac{1}{x^3}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=2$ માટે,$y = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
આમ,વક્ર $\left( 2, \frac{1}{8} \right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$.
આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y \ln |cx| = x$ ને $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$.
બંને બાજુ $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$.
આપણા અગાઉના સમીકરણ $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ પરથી,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$.
આ કિંમત વિકલિતના પરિણામમાં મૂકતા: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,જે સૂચવે છે કે $\phi(1/v) = -v^2$.
આપણે $\phi(2)$ શોધવા માંગીએ છીએ. ધારો કે $\frac{1}{v} = 2$,તેથી $v = \frac{1}{2}$.
તેથી $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x)f(y)$ છે,જ્યાં $x, y \in [0, 1].$
$y = 0$ લેતા,આપણને $f(0) = f(x)f(0)$ મળે છે.
$f(0) \ne 0$ હોવાથી,$f(0)$ વડે ભાગતા $f(x) = 1$ મળે છે,તમામ $x \in [0, 1]$ માટે.
હવે,વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x) = 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$y = x + c$ મળે છે.
શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = 0 + c,$ તેથી $c = 1.$
આમ,વિધેય $y(x) = x + 1$ છે.
આપણે $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$y\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$
$y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}.$
તેથી,$y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$

(A) આપેલ વિધેય: $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{a^{2} - x^{2}})$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(a^{2} - x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત આપેલ વિકલ સમીકરણ $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ માં મૂકતા:
$L.H.S = x + y \left( \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \right)$
કારણ કે $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$L.H.S = x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \right)$
$L.H.S = x - x = 0$
$L.H.S = R.H.S$
આમ,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર મુદ્દલ $P$ છે. આપેલ સમસ્યા મુજબ,વધારાનો દર $\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = \frac{P}{20}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = \frac{dt}{20}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{dt}{20}$,જે $\log_e P = \frac{t}{20} + C_1$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P = e^{\frac{t}{20} + C_1} = C e^{\frac{t}{20}}$,જ્યાં $C = e^{C_1}$.
$t = 0$ સમયે,$P = 1000$. આ કિંમતો મૂકતા,$1000 = C e^0$,તેથી $C = 1000$.
આમ,સમીકરણ $P = 1000 e^{\frac{t}{20}}$ છે.
જ્યારે મુદ્દલ બમણું થાય ત્યારે સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $P = 2000$ લઈએ છીએ:
$2000 = 1000 e^{\frac{t}{20}}$
$2 = e^{\frac{t}{20}}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log_e 2 = \frac{t}{20}$.
તેથી,$t = 20 \log_e 2$ વર્ષ.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = e^{x} \sin x$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = e^{x} \sin x$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int e^{x} \sin x \, dx + C$ ...........$(1)$
$I = \int e^{x} \sin x \, dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીશું:
$I = \sin x \cdot e^{x} - \int \cos x \cdot e^{x} \, dx$
$I = e^{x} \sin x - [\cos x \cdot e^{x} - \int(-\sin x) \cdot e^{x} \, dx]$
$I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$
$2I = e^{x}(\sin x - \cos x)$
$I = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$ ...........$(2)$
વક્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 = \frac{e^{0}(\sin 0 - \cos 0)}{2} + C$
$0 = \frac{1(0 - 1)}{2} + C$
$0 = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
$C = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + \frac{1}{2}$
$2y = e^{x}(\sin x - \cos x) + 1$
$2y - 1 = e^{x}(\sin x - \cos x)$.

(A) ધારો કે $(x, y)$ એ વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$(x, y)$ અને $(-4, -3)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $(m_1)$ એ $m_1 = \frac{y - (-3)}{x - (-4)} = \frac{y+3}{x+4}$ દ્વારા મળે છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_2)$ એ $\frac{dy}{dx}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$m_2 = 2m_1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y+3}{x+4} \right)$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y+3} = \frac{2 dx}{x+4}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y+3} = 2 \int \frac{dx}{x+4}$.
આનાથી $\ln|y+3| = 2 \ln|x+4| + C_1$ મળે,જેને $\ln|y+3| = \ln|x+4|^2 + \ln C$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$y+3 = C(x+4)^2$.
વક્ર $(-2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x = -2$ અને $y = 1$ મુકતા:
$1+3 = C(-2+4)^2 \Rightarrow 4 = C(2)^2 \Rightarrow 4 = 4C \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ ને સામાન્ય સમીકરણમાં મુકતા,આપણને $y+3 = (x+4)^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે કદમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $V = kt + C$ મળે છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ મૂકતા,$\frac{4}{3} \pi r^3 = kt + C$ મળે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$ હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi (3)^3 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$.
$t = 3$ સમયે,$r = 6$ હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi (6)^3 = k(3) + 36 \pi$.
$288 \pi = 3k + 36 \pi \Rightarrow 3k = 252 \pi \Rightarrow k = 84 \pi$.
$k$ અને $C$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 84 \pi t + 36 \pi$.
$\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,$r^3 = 63t + 27$ મળે.
તેથી,$r = (63t + 27)^{\frac{1}{3}}$.

(A) ધારો કે $P$ એ $t$ સમયે મુદ્દલ છે. આપેલ છે કે મુદ્દલ દર વર્ષે $r \%$ ના દરે સતત વધે છે.
$\frac{dP}{dt} = \left(\frac{r}{100}\right) P$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dP}{P} = \frac{r}{100} dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{r}{100} dt$
$\log_{e} P = \frac{rt}{100} + C$
$t = 0$ સમયે,$P = 100$. આ કિંમતો મૂકતા:
$\log_{e} 100 = \frac{r(0)}{100} + C \Rightarrow C = \log_{e} 100$
તેથી,$\log_{e} P = \frac{rt}{100} + \log_{e} 100$
$\log_{e} P - \log_{e} 100 = \frac{rt}{100}$
$\log_{e} \left(\frac{P}{100}\right) = \frac{rt}{100}$
આપેલ છે કે મુદ્દલ $10$ વર્ષમાં બમણું થાય છે,તેથી $t = 10$ સમયે,$P = 200$:
$\log_{e} \left(\frac{200}{100}\right) = \frac{r(10)}{100}$
$\log_{e} 2 = \frac{r}{10}$
આપેલ છે કે $\log_{e} 2 = 0.6931$:
$0.6931 = \frac{r}{10}$
$r = 6.931 \%$
આમ,$r$ ની કિંમત $6.931 \%$ છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે મુદ્દલ $P$ છે.
આપેલ છે કે મુદ્દલ વાર્ષિક $5 \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = 0.05 P$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dP}{P} = 0.05 dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.05 dt$
$\ln P = 0.05 t + C$
$P = e^{0.05 t + C} = e^C \cdot e^{0.05 t}$
ધારો કે $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક મુદ્દલ $P_0 = e^C$ છે. આપેલ છે કે $P_0 = 1000$,તેથી $P = 1000 e^{0.05 t}$.
$t = 10$ વર્ષ માટે:
$P = 1000 e^{0.05 \times 10} = 1000 e^{0.5}$
આપેલ કિંમત $e^{0.5} = 1.648$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = 1000 \times 1.648 = 1648$
આમ,$10$ વર્ષ પછી રકમ $Rs. 1648$ થશે.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ છે કે વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = ky$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int k dt$,જે $\log y = kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,ધારો કે $y = y_0 = 1,00,000$. તેથી,$C = \log y_0$.
આમ,$\log y = kt + \log y_0$,અથવા $\log \left(\frac{y}{y_0}\right) = kt$.
આપેલ છે કે $2$ કલાકમાં સંખ્યામાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $t = 2$ સમયે,$y = y_0 + 0.1 y_0 = 1.1 y_0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\log(1.1) = k(2) \Rightarrow k = \frac{1}{2} \log(1.1)$.
આપણે $t$ શોધવાનું છે જ્યારે $y = 2,00,000 = 2 y_0$.
$y = 2 y_0$ અને $k = \frac{1}{2} \log(1.1)$ ને $\log \left(\frac{y}{y_0}\right) = kt$ માં મૂકતા:
$\log(2) = \left(\frac{1}{2} \log(1.1)\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$ કલાક મળે છે.

આપેલ વિધેય $y=e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$ છે .........$(1)$
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[-b c_{1} \sin b x+b c_{2} \cos b x\right]+\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$\frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right]$ .........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right)(-b \sin b x)+\left(a c_{2}-b c_{1}\right)(b \cos b x)\right]+\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] e^{a x} \cdot a$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
આપેલ વિકલ સમીકરણમાં $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે
$L.H.S. = e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}\right) \sin b x+\left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right] - 2 a e^{a x}\left[\left(b c_{2}+a c_{1}\right) \cos b x+\left(a c_{2}-b c_{1}\right) \sin b x\right] + \left(a^{2}+b^{2}\right) e^{a x}\left[c_{1} \cos b x+c_{2} \sin b x\right]$
$=e^{a x}\left[\left(a^{2} c_{2}-2 a b c_{1}-b^{2} c_{2}-2 a^{2} c_{2}+2 a b c_{1}+a^{2} c_{2}+b^{2} c_{2}\right) \sin b x + \left(a^{2} c_{1}+2 a b c_{2}-b^{2} c_{1}-2 a b c_{2}-2 a^{2} c_{1}+a^{2} c_{1}+b^{2} c_{1}\right) \cos b x\right]$
$=e^{a x}[0 \cdot \sin b x + 0 \cdot \cos b x] = 0 = R.H.S.$
આમ,આપેલ વિધેય એ આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $y = x \sin 3x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin 3x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin 3x + x \cdot (\cos 3x \cdot 3) = \sin 3x + 3x \cos 3x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(x \cos 3x)$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 [1 \cdot \cos 3x + x \cdot (-\sin 3x \cdot 3)]$
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3 \cos 3x + 3 \cos 3x - 9x \sin 3x = 6 \cos 3x - 9x \sin 3x$
હવે,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ અને $y$ ની કિંમત વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ માં મૂકતા:
$L.H.S. = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y - 6 \cos 3x$
$= (6 \cos 3x - 9x \sin 3x) + 9(x \sin 3x) - 6 \cos 3x$
$= 6 \cos 3x - 6 \cos 3x - 9x \sin 3x + 9x \sin 3x$
$= 0 = R.H.S.$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ વસ્તી $y$ છે.
આપેલ છે કે વસ્તી વધવાનો દર કોઈપણ સમયે રહેવાસીઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે.
$\frac{dy}{dt} = ky$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે)
$\frac{dy}{y} = k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\ln y = kt + C$ ............$(1)$
વર્ષ $1999$ માં,$t = 0$ અને $y = 20,000$ લો.
$\ln(20,000) = k(0) + C \Rightarrow C = \ln(20,000)$.
વર્ષ $2004$ માં,$t = 5$ અને $y = 25,000$ છે.
$\ln(25,000) = 5k + \ln(20,000)$
$5k = \ln\left(\frac{25,000}{20,000}\right) = \ln\left(\frac{5}{4}\right)$
$k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right)$.
વર્ષ $2009$ માં,$t = 10$ છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $t = 10, k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right)$,અને $C = \ln(20,000)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\ln y = 10 \times \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}\right) + \ln(20,000)$
$\ln y = 2 \ln\left(\frac{5}{4}\right) + \ln(20,000)$
$\ln y = \ln\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2 \times 20,000\right)$
$y = 20,000 \times \frac{25}{16} = 1,250 \times 25 = 31,250$.
આમ,વર્ષ $2009$ માં વસ્તી $31,250$ હશે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.
ધારો કે $K = 1 + C$,તેથી $y(x) = (x + 1)^2 + C$.
આ વક્ર ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(-1, C)$ છે. વક્ર $x-$અક્ષ સાથે ક્ષેત્રફળ ઘેરે તે માટે તે $x-$અક્ષની નીચે હોવો જોઈએ,તેથી $C < 0$. ધારો કે $C = -k^2$ જ્યાં $k > 0$.
$y(x) = 0$ ના બીજ $(x + 1)^2 = -C$ છે,તેથી $x = -1 \pm \sqrt{-C}$.
વક્ર અને $x-$અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.
$u = x + 1$ લેતા,$du = dx$. સીમાઓ $-\sqrt{-C}$ થી $\sqrt{-C}$ માં બદલાશે.
$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.
$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.
આપેલ છે કે $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.
આમ,$-C = 2$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.
વિધેય $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ છે.
તેથી,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \geq 1$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
આનું સાદું રૂપ: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y = x \sin(\ln x)$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.
ધારો કે $x = e^t$,તો $dx = e^t dt$. જ્યારે $x=1, t=0$; જ્યારે $x=e^{\pi}, t=\pi$.
$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.
સૂત્ર $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.
$\alpha e^{2\pi} + \beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450 = 0.5(P - 900)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dP}{P - 900} = 0.5 dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dP}{P - 900} = \int 0.5 dt$.
આથી મળે: $\ln|P - 900| = 0.5t + C$.
શરૂઆતની શરત $P(0) = 850$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|850 - 900| = 0.5(0) + C \Rightarrow C = \ln(50)$.
તેથી,સમીકરણ બને છે: $\ln|P(t) - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
જ્યારે $P(t) = 0$ હોય ત્યારે $t$ શોધવા માટે: $\ln|0 - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
$\ln(900) - \ln(50) = 0.5t$.
$\ln\left(\frac{900}{50}\right) = 0.5t$.
$\ln(18) = 0.5t$.
$t = 2 \ln(18)$.