Application of differential equations Questions in Gujarati

(A) સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વસ્તી $p$ માં થતો ફેરફારનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં હોય છે,જે વિકલ સમીકરણ $\frac{dp}{dt} = \frac{3}{100} p$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dp}{p} = \frac{3}{100} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{3}{100} dt$ મળે છે.
આનાથી $\ln(p) = \frac{3t}{100} + K$ મળે છે,જ્યાં $K$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$p = e^{\frac{3t}{100} + K} = e^K \cdot e^{\frac{3t}{100}}$ મળે છે.
$C = e^K$ લેતા,આપણને $p = C e^{\frac{3t}{100}}$ સમીકરણ મળે છે.

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$,જે $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ આપે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\ln|y| = \ln|x^2| + C$,અથવા $y = kx^2$ મળે છે,જ્યાં $k = e^C$.
વક્ર બિંદુ $(3, -4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ: $-4 = k(3)^2$,જેનો અર્થ છે $-4 = 9k$,તેથી $k = -\frac{4}{9}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = -\frac{4}{9}x^2$ છે,જેને $4x^2 + 9y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે શરૂઆતની વસ્તી $P$ છે અને વૃદ્ધિનો દર $r = 10 \% = 0.1$ છે.
સતત વૃદ્ધિ ધારતા,$t$ સમયે વસ્તી $P(t) = P_0 e^{rt}$ દ્વારા મળે છે.
વસ્તી બમણી થવા માટે,$P(t) = 2P_0$.
$2P_0 = P_0 e^{0.1t} \Rightarrow 2 = e^{0.1t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln 2 = 0.1t$.
$t = \frac{\ln 2}{0.1} = 10 \ln 2 \text{ વર્ષ}$.
જો વૃદ્ધિ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ હોય,તો $2P = P(1 + 0.1)^n \Rightarrow 2 = (1.1)^n$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $\log 2 = n \log 1.1$.
$n = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.27 \text{ વર્ષ}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x-1}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{y+1} dy = \frac{1}{x-1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y+1} dy = \int \frac{1}{x-1} dx$.
આનાથી મળે છે: $\ln|y+1| = \ln|x-1| + \ln|C|$,જેનું સાદું રૂપ $y+1 = C(x-1)$ થાય છે.
પ્રારંભિક શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણમાં $x=1$ અને $y=2$ મૂકીએ છીએ:
$2+1 = C(1-1) \Rightarrow 3 = C(0)$.
આ સૂચવે છે કે $3 = 0$,જે વિરોધાભાસ છે.
કારણ કે પ્રારંભિક શરત $y(1) = 2$ એવા બિંદુએ આપવામાં આવી છે જ્યાં વિકલન $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (જ્યાં $x=1$),તેથી ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે,જ્યાં $(X, Y)$ એ સ્પર્શક પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$x$-અંતઃખંડ $Y = 0$ મૂકીને મળે છે: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
$y$-અંતઃખંડ $X = 0$ મૂકીને મળે છે: $Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$-અંતઃખંડ $2x$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $2y$ છે.
તેથી,$x - y \frac{dx}{dy} = 2x \Rightarrow -y \frac{dx}{dy} = x \Rightarrow -\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} \Rightarrow -\ln|x| = \ln|y| + \ln|C|$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln|y| + \ln|x| = \ln|C|$ મળે છે,જે $xy = C$ આપે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} + x = c$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = (c - x) \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y \, dy = \int (c - x) \, dx$.
આથી $\frac{y^2}{2} = cx - \frac{x^2}{2} + k$ મળે,જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,$y^2 = 2cx - x^2 + 2k$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2cx + y^2 = 2k$ થાય છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2 - 2cx + c^2) + y^2 = 2k + c^2$.
આમ,$(x - c)^2 + y^2 = R^2$,જ્યાં $R^2 = 2k + c^2$.
આ વર્તુળોના કુળનું સમીકરણ છે જેના કેન્દ્રો $(c, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે.

(D) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર છે: $\text{સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ} = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
પ્રશ્ન મુજબ,સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ એબ્સિસસા $x$ ના પ્રમાણમાં છે. ધારો કે પ્રમાણસરતાનો અચળાંક $k$ છે,જેથી $\frac{y}{dy/dx} = kx$.
આથી,$\frac{y}{dy/dx} = kx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે છે: $\ln|y| = \frac{1}{k} \ln|x| + \ln|C|$.
લોગેરિધમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|x^{1/k}| + \ln|C| = \ln|C x^{1/k}|$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = C x^{1/k}$ છે.

(A) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2-x^2}{2xy}$ છે.
બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t$:
$m_t = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}{2(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\sqrt{3}$ થાય.
બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{2})$
$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3}x + y = \sqrt{3}$.

(C) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = xy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(\sqrt{2}, e)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \sqrt{2}e$ છે.
આ બિંદુ પર અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\sqrt{2}e}$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{2}, e)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $(y - e) = m'(x - \sqrt{2})$ છે.
$m'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y - e = -\frac{1}{\sqrt{2}e}(x - \sqrt{2})$ મળે છે.
$\sqrt{2}e$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{2}ey - \sqrt{2}e^2 = -x + \sqrt{2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x + \sqrt{2}ey = \sqrt{2} + \sqrt{2}e^2$ મળે છે.
$\sqrt{2}(1 + e^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{\sqrt{2}(1 + e^2)} + \frac{\sqrt{2}ey}{\sqrt{2}(1 + e^2)} = 1$ મળે છે.
આને $ax + by = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{\sqrt{2}(1 + e^2)}$ અને $b = \frac{\sqrt{2}e}{\sqrt{2}(1 + e^2)} = \frac{e}{1 + e^2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{e}{1 + e^2} \times \sqrt{2}(1 + e^2) = \sqrt{2}e$.

(A) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે. આપેલ છે કે મુદ્દલ વાર્ષિક $6 \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dP}{dt} = \frac{6}{100} P = 0.06 P$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dP}{P} = 0.06 dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.06 dt$
$\log P = 0.06 t + C$
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,$P = 6000$. તેથી,$\log 6000 = C$.
આમ,$\log P = 0.06 t + \log 6000$,જેનો અર્થ છે કે $\log(\frac{P}{6000}) = 0.06 t$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે મુદ્દલ બમણું થાય,એટલે કે $P = 12000$.
$\log(\frac{12000}{6000}) = 0.06 t$
$\log 2 = \frac{6}{100} t$
$t = \frac{100}{6} \log 2 = \frac{50}{3} \log 2$
તેથી,જરૂરી સમય $\frac{50}{3} \log 2$ વર્ષ છે. વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = At^2 + Bt^{-1}$ છે.
પ્રથમ વિકલન: $y' = 2At - Bt^{-2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y'' = 2A + 2Bt^{-3}$.
$y, y', y''$ ને વિકલ સમીકરણ $f(t) y'' + g(t) y' + h(t) y = 0$ માં મૂકતા:
$f(t)(2A + 2Bt^{-3}) + g(t)(2At - Bt^{-2}) + h(t)(At^2 + Bt^{-1}) = 0$.
$A$ અને $B$ વાળા પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$A[2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t)] + B[2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t)] = 0$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $A$ અને $B$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(1)$
$2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t) = 0 \implies 2f(t) - t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $3t g(t) = 0 \implies g(t) = 0$.
$g(t) = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2f(t) + t^2 h(t) = 0$.

(A) સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર $y \cdot \frac{dx}{dy}$ છે.
આપેલ છે કે સબ-ટેન્જન્ટ એ અબ્સિસા $(x)$ કરતા બમણું છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$y \cdot \frac{dx}{dy} = 2x$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dx}{x} = 2 \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{x} dx = 2 \int \frac{1}{y} dy$
$\log |x| = 2 \log |y| + \log |C|$
લઘુગણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$\log |x| = \log |C y^2|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને મળે છે:
$x = C y^2$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = a$ મળે છે,જ્યાં $a$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $y = ax + b$ મળે છે,જ્યાં $b$ બીજો એક સ્વૈર અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = ax + b$ એ સીધી રેખાના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે.

(D) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ $y \frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int (x - 1) \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C$
$y^2 = x^2 - 2x + 2C$.
વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2^2 = 1^2 - 2(1) + 2C$
$4 = 1 - 2 + 2C$
$4 = -1 + 2C \implies 2C = 5$.
સમીકરણમાં $2C = 5$ મૂકતા:
$y^2 = x^2 - 2x + 5$
$y^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4$
$y^2 - (x - 1)^2 = 4$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{y^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$.
આ એક અતિવલય (hyperbola) છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ ના શિરોબિંદુઓ $(h, k \pm a)$ છે.
અહીં $h = 1, k = 0, a = 2$.
તેથી શિરોબિંદુઓ $(1, 0 \pm 2)$ એટલે કે $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(1, 2)$ એ શિરોબિંદુ છે.

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}| = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y \frac{dy}{dx} = \pm k$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = \pm k \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int y \, dy = \int \pm k \, dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = \pm 2kx + 2C$ મળે છે.
ધારો કે $A = 2C$,તો આપણને $y^2 - A = \pm 2kx$ મળે છે.
આમ,વક્રોના કુળનું સમીકરણ $y^2 - A = 2Kx$ છે (ધન અચળાંક સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા).

(B) આપેલ માહિતી મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $2y \, dy = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2y \, dy = \int dx$,જે $y^2 = x + c$ આપે છે.
વક્ર બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 4$ મૂકીએ છીએ: $4^2 = 3 + c$,જેનો અર્થ છે $16 = 3 + c$,તેથી $c = 13$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y^2 = x + 13$ છે.
આ સમીકરણ $y^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{x(x^2+y^2-1)}{y(2(x^2+y^2)+1)} = 0$
પદોને ગોઠવતા: $y(2(x^2+y^2)+1) dy + x(x^2+y^2-1) dx = 0$
$2y(x^2+y^2) dy + y dy + x(x^2+y^2) dx - x dx = 0$
$(x^2+y^2)(2y dy + x dx) + y dy - x dx = 0$
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) - 3x dx = 0$
$(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) = 3x dx + 3y dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $x^2 + 2y^2 - 3 \log(x^2+y^2+2) = c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5y+3}{5x+2y-3}$
પદોને ગોઠવતા: $(5x+2y-3)dy = (2x-5y+3)dx$
$(5x+2y-3)dy - (2x-5y+3)dx = 0$
$5x dy + 2y dy - 3 dy - 2x dx + 5y dx - 3 dx = 0$
પદોને જૂથમાં લેતા: $5(x dy + y dx) + (2y dy - 2x dx) - (3 dy + 3 dx) = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $5 d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 3 d(x+y) = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $5xy + y^2 - x^2 - 3(x+y) = C$
વક્ર બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$5(1)(1) + (1)^2 - (1)^2 - 3(1+1) = C$
$5 + 1 - 1 - 6 = C \Rightarrow C = -1$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $5xy + y^2 - x^2 - 3x - 3y = -1$
ગોઠવતા: $x^2 - 5xy - y^2 + 3x + 3y - 1 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ છે.
$P(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ છે.
જ્યાં અભિલંબ $x$-અક્ષને મળે છે તે બિંદુ $G$ શોધવા માટે,$Y = 0$ મૂકતા:
$-y = -\frac{dx}{dy}(X - x) \implies y \frac{dy}{dx} = X - x \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $G$ એ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુથી $G$ નું અંતર $|x + y \frac{dy}{dx}|$ છે. આપેલ છે કે આ અંતર $P$ ના $x$-યામ કરતા બમણું છે:
$x + y \frac{dy}{dx} = 2x \implies y \frac{dy}{dx} = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int x \, dx \implies \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \implies y^2 - x^2 = 2C$.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) આદેશ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}$.
આગળ,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) = \frac{d}{dz} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) \cdot \frac{dz}{dx} = \left( -\operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} + \operatorname{cosec} x \frac{d^2 y}{dz^2} \right) \operatorname{cosec} x = \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz}$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dx^2} + \cot x \frac{dy}{dx} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ માં મૂકતા:
$\left( \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} \right) + \cot x (\operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}) + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dz^2} + 4y = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \frac{dy}{dx}$ છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેના સ્પર્શકનો રેખાખંડ $(x_1, y_1)$ પર દુભાતો હોવાથી,સ્પર્શક અક્ષોને $(2x_1, 0)$ અને $(0, 2y_1)$ બિંદુએ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2y_1 - 0}{0 - 2x_1} = -\frac{y_1}{x_1}$ થાય.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln y = -\ln x + C_0$,જેનો અર્થ છે કે $\ln(xy) = C_0$,અથવા $xy = C$.
વક્ર $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$3 \times 2 = C$,તેથી $C = 6$ મળે.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $xy = 6$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
ધારો કે $y' = \frac{dy}{dx}$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.
બિંદુ $A$ ($X$-અક્ષ) માટે,$Y = 0$ લેતા: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$. તેથી,$A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$.
બિંદુ $B$ ($Y$-અક્ષ) માટે,$X = 0$ લેતા: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$. તેથી,$B = (0, y - xy')$.
આપેલ છે કે $AP:BP = 3:1$. બિંદુ $P(x, y)$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જે $AB$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$.
તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$. વક્ર $xy^3 = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: જો $x = 1/8$ હોય,તો $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$. તેથી,વક્ર $(1/8, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $(1, 1)$ આગળ,$y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$. અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{y'} = 3$.
અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(C) ધારો કે સંપર્ક બિંદુ $(x, y)$ છે. $(x, y)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $(Y - y) = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે સ્પર્શકના સમીકરણમાં $X = 0$ મૂકીએ છીએ:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
$y$-અંતઃખંડની લંબાઈ $|Y| = |y - x \frac{dy}{dx}|$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$y$-અંતઃખંડ એ કોટિ $y$ ના $3$ ગણો છે:
$y - x \frac{dy}{dx} = 3y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $-x \frac{dy}{dx} = 2y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} + \ln C$ મળે છે.
$\ln y = -2 \ln x + \ln C \Rightarrow \ln y = \ln(x^{-2}) + \ln C$.
$\ln y = \ln(C x^{-2}) \Rightarrow y = \frac{C}{x^2}$.
આમ,$x^2y = C$,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$,જેનો અર્થ છે કે $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$,જે $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ આપે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.
આમ,$f(x) = \sin(x)$ અથવા $f(x) = -\sin(x)$.
કારણ કે $f$ એ $[0, \pi/2]$ પર અ-ઋણ છે,તેથી $f(x) = \sin(x)$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) < x$ થાય છે.
તેથી,$f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ થાય છે.

(A) વક્રના ઢાળ માટેનું વિકલ સમીકરણ આપેલ છે: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$.
વક્રનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ:
$\int dy = \int 3x^2 dx$
$y = x^3 + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
વક્ર બિંદુ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 = (-1)^3 + C$
$1 = -1 + C$
$C = 2$.
$C$ ની કિંમતને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x^3 + 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$.
પદોને ગોઠવતા: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $(f(x) - f'(x))^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = f(x)$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$.
$x = 0$ આગળ,$(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (કારણ કે $f$ અ-ઋણ છે).
આમ,$A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$,તેથી $f(x) = 5 e^x$.
આપણે $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ નો મધ્યક શોધવાનો છે.
$f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$ હોવાથી,મધ્યક થશે:
$\text{મધ્યક} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} \times \frac{625 \times 626}{2} = \frac{5 \times 626}{2} = 5 \times 313 = 1565$.