ધારો કે f એ વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ x, y in | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,તેથી $f(0) = 1$. $f'(x)$ શોધવા માટે,આપે

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ અને $y = 0$ લેતા,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,તેથી $f(0) = 1$. $f'(x)$ શોધવા માટે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($y$ અચળ રાખીને): $f'(x + 2y) = 2yf'(x) + f(y) - 3y$. આ વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $f'(2y) = 2yf'(0) + f(y) - 3y$. $f'(0) = 1$ હોવાથી,$f'(2y) = 2y(1) + f(y) - 3y = f(y) - y$. હવે,મૂળ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($x$ અચળ રાખીને): $2f'(x + 2y) = 2f(x) + xf'(y) - 3x$. $y = 0$ મૂકતા: $2f'(x) = 2f(x) + xf'(0) - 3x$. $f'(0) = 1$ હોવાથી,$2f'(x) = 2f(x) + x - 3x$,જેનું સાદું રૂપ $2f'(x) = 2f(x) - 2x$ અથવા $f'(x) - f(x) = -x$ થાય છે. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. સમીકરણને $e^{-x}$ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -x e^{-x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + C$. $f(x) = x + 1 + Ce^x$. $f(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = 0 + 1 + C(1) \Rightarrow C = 0$. તેથી,$f(x) = x + 1$. આમ,$f(2) = 2 + 1 = 3$.

ધારો કે $f$ એ વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $f'(0) = 1$ છે. તો $f(2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$ હોય,તો $f'(3)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y = \log_y x$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

જો ${x^2} + {y^2} = t - \frac{1}{t}$ અને ${x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}$ હોય,તો $\frac{{dy}}{{dx}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module