Maxima and Minima Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $AB$ પરનું બિંદુ $R$ એવું છે કે જેથી $AR=x \, m$ થાય.
તેથી $RB=(20-x) \, m$ (કારણ કે $AB=20 \, m$).
આપેલ સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAR$ અને $\triangle QBR$ છે.
$RP^2 = AR^2 + AP^2 = x^2 + 16^2 = x^2 + 256$
$RQ^2 = RB^2 + BQ^2 = (20-x)^2 + 22^2 = (400 - 40x + x^2) + 484 = x^2 - 40x + 884$
ધારો કે $S(x) = RP^2 + RQ^2 = (x^2 + 256) + (x^2 - 40x + 884) = 2x^2 - 40x + 1140.$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $S(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$S'(x) = 4x - 40.$
$S'(x) = 0$ લેતા,$4x - 40 = 0 \implies x = 10$ મળે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $S''(x) = 4.$
કારણ કે $S''(10) = 4 > 0$ છે,તેથી વિધેય $S(x)$ ને $x = 10$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
આમ,$AB$ પર બિંદુ $R$ નું $A$ થી અંતર $10 \, m$ છે.

(A) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જ્યાં $AD = DC = CB = 10 \ cm$. પાયા $AB$ પર લંબ $DP$ અને $CQ$ દોરો. ધારો કે $AP = x \ cm$. સમલંબ ચતુષ્કોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$QB = x \ cm$. લંબાઈ $PQ = DC = 10 \ cm$. તેથી,પાયો $AB = x + 10 + x = 2x + 10 \ cm$.
$\Delta APD$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,ઊંચાઈ $h = DP = \sqrt{10^2 - x^2} = \sqrt{100 - x^2}$.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
$A(x) = \frac{1}{2} (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} (2x + 10 + 10) \sqrt{100 - x^2} = (x + 10) \sqrt{100 - x^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $A'(x)$ શોધીએ:
$A'(x) = (1) \sqrt{100 - x^2} + (x + 10) \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - x^2 - x^2 - 10x}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{100 - 10x - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$.
$A'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x^2 + 10x - 100 = 0 \implies x^2 + 5x - 50 = 0 \implies (x + 10)(x - 5) = 0$ મળે છે.
$x$ એ લંબાઈ હોવાથી,$x = 5 \ cm$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી સાબિત કરે છે કે આ મહત્તમ મૂલ્ય છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $x = 5$ મૂકતા:
$A(5) = (5 + 10) \sqrt{100 - 5^2} = 15 \sqrt{75} = 15 \times 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \ cm^2$.

(N/A) ધારો કે $OC = r$ એ શંકુની ત્રિજ્યા છે અને $OA = h$ એ તેની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $OE = x$ ત્રિજ્યા ધરાવતો નળાકાર આપેલા શંકુમાં અંતર્ગત છે. નળાકારની ઊંચાઈ $QE$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{QE}{OA} = \frac{EC}{OC}$ (કારણ કે $\Delta QEC \sim \Delta AOC$)
$\frac{QE}{h} = \frac{r - x}{r}$
$QE = \frac{h(r - x)}{r}$
ધારો કે $S$ એ નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે. તો:
$S(x) = 2 \pi x \cdot QE = 2 \pi x \cdot \frac{h(r - x)}{r} = \frac{2 \pi h}{r}(rx - x^2)$
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $S'(x)$ શોધીએ:
$S'(x) = \frac{2 \pi h}{r}(r - 2x)$
$S'(x) = 0$ લેતા,$r - 2x = 0$ મળે છે,તેથી $x = \frac{r}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $S''(x)$ શોધો:
$S''(x) = \frac{2 \pi h}{r}(-2) = -\frac{4 \pi h}{r}$
કારણ કે તમામ $x$ માટે $S''(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $S(x)$ ને $x = \frac{r}{2}$ પર મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
આમ,મહત્તમ વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા નળાકારની ત્રિજ્યા એ શંકુની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x + 1$ છે.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 6x^{2} - 30x + 36 = 6(x - 2)(x - 3)$ મળે છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 3$ મળે છે.
હવે આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતરાલ $[1, 5]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(1) = 2(1)^{3} - 15(1)^{2} + 36(1) + 1 = 2 - 15 + 36 + 1 = 24$.
$f(2) = 2(2)^{3} - 15(2)^{2} + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(3)^{3} - 15(3)^{2} + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
$f(5) = 2(5)^{3} - 15(5)^{2} + 36(5) + 1 = 250 - 375 + 180 + 1 = 56$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $56$ છે જે $x = 5$ પર મળે છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $24$ છે જે $x = 1$ પર મળે છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = 12x^{\frac{4}{3}} - 6x^{\frac{1}{3}}$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 12 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = 16x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{16x - 2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2(8x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$8x - 1 = 0$ મળે,તેથી $x = \frac{1}{8}$.
વળી,$x = 0$ આગળ $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = \frac{1}{8}$ છે.
હવે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-1) = 12(-1)^{\frac{4}{3}} - 6(-1)^{\frac{1}{3}} = 12(1) - 6(-1) = 12 + 6 = 18$.
$f(0) = 12(0)^{\frac{4}{3}} - 6(0)^{\frac{1}{3}} = 0$.
$f(\frac{1}{8}) = 12(\frac{1}{8})^{\frac{4}{3}} - 6(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = 12(\frac{1}{16}) - 6(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3 - 12}{4} = -\frac{9}{4}$.
$f(1) = 12(1)^{\frac{4}{3}} - 6(1)^{\frac{1}{3}} = 12 - 6 = 6$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $18$ છે જે $x = -1$ આગળ મળે છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-\frac{9}{4}$ છે જે $x = \frac{1}{8}$ આગળ મળે છે.

(A) $x$ ની દરેક કિંમત માટે,હેલિકોપ્ટરનું સ્થાન $(x, x^{2} + 7)$ બિંદુ પર છે.
તેથી,હેલિકોપ્ટર અને $(3, 7)$ પર રહેલા સૈનિક વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x - 3)^{2} + (x^{2} + 7 - 7)^{2}} = \sqrt{(x - 3)^{2} + x^{4}}$ છે.
ધારો કે $f(x) = (x - 3)^{2} + x^{4}$. અંતરને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરીએ છીએ.
વિકલન લેતા,$f'(x) = 2(x - 3) + 4x^{3} = 2(x - 1)(2x^{2} + 2x + 3)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 1$ મળે છે (કારણ કે $2x^{2} + 2x + 3 = 0$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી,કારણ કે તેનો વિવેચક $D = 4 - 24 = -20 < 0$ છે).
$x = 1$ પર $f(x)$ ની કિંમત $f(1) = (1 - 3)^{2} + (1)^{4} = 4 + 1 = 5$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{f(1)} = \sqrt{5}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=(2x-1)^{2}+3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $(2x-1)^{2} \geq 0$.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા,આપણને $(2x-1)^{2}+3 \geq 0+3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) \geq 3$.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $(2x-1)^{2} = 0$ હોય.
$2x-1 = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $f\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^{2} + 3 = 0 + 3 = 3$ છે.
જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$ થાય છે,તેમ વિધેય $(2x-1)^{2}$ અનંત સુધી વધે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ ની કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = -(x-1)^{2} + 10$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$(x-1)^{2} \geq 0$ થાય.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-(x-1)^{2} \leq 0$ મળે.
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા,આપણને $-(x-1)^{2} + 10 \leq 10$ મળે.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) \leq 10$ થાય.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $(x-1)^{2} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $f(1) = -(1-1)^{2} + 10 = 10$ છે.
કારણ કે વિધેય $f(x) = -(x-1)^{2} + 10$ એ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$ થાય,તેમ $f(x) \to -\infty$ થાય છે.
તેથી,આ વિધેયની કોઈ ન્યૂનતમ કિંમત નથી.

(NONE) આપેલ વિધેય $g(x) = x^{3} + 1$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ છીએ: $g'(x) = 3x^{2}$.
$g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x^{2} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x < 0$ માટે,$g'(x) > 0$ અને $x > 0$ માટે,$g'(x) > 0$ છે.
જેમ $x$ એ $0$ માંથી પસાર થાય છે તેમ $g'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી,તેથી $x = 0$ એ ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ (નતિપરિવર્તન બિંદુ) છે.
જેમ $x \to \infty$,$g(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty$,$g(x) \to -\infty$.
તેથી,વિધેય $g(x) = x^{3} + 1$ ને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = |x + 2| - 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $|x + 2| \geq 0$ થાય છે.
તેથી,દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) = |x + 2| - 1 \geq -1$ થાય.
વિધેય $f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $|x + 2| = 0$ હોય.
$|x + 2| = 0$ લેતા,આપણને $x = -2$ મળે છે.
વિધેય $f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f(-2) = |-2 + 2| - 1 = 0 - 1 = -1$ છે.
જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$ થાય છે,તેમ $|x + 2|$ ની કિંમત અનંત સુધી વધી શકે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ ની કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(A) આપેલ વિધેય $g(x)=-|x+1|+3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય $|x+1| \geq 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે થાય છે.
$-1$ વડે ગુણતા,$-|x+1| \leq 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે મળે છે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા,$g(x) = -|x+1|+3 \leq 3$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે મળે છે.
$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $3$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $|x+1|=0$,એટલે કે $x=-1$ પર.
નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય $|x+1|$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ હોવાથી,$-|x+1|$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 0]$ થાય છે.
તેથી,$g(x) = -|x+1|+3$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 3]$ થાય છે.
જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$ થાય છે,તેમ વિધેયની કિંમત અનંત સુધી ઘટે છે,તેથી તેની કોઈ ન્યૂનતમ કિંમત નથી.
આમ,મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત અસ્તિત્વમાં નથી.

(NONE) આપેલ વિધેય $h(x) = x + 1$ એ વિવૃત અંતરાલ $(-1, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ $x \in (-1, 1)$ માટે,આપણી પાસે $-1 < x < 1$ છે.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $-1 + 1 < x + 1 < 1 + 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 < h(x) < 2$ થાય છે.
જેમ $x$ જમણી બાજુથી $-1$ ની નજીક જાય છે,તેમ $h(x)$ એ $0$ ની નજીક જાય છે,પરંતુ $h(x)$ ક્યારેય $0$ ને સમાન હોતું નથી કારણ કે $-1$ એ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ નથી.
જેમ $x$ ડાબી બાજુથી $1$ ની નજીક જાય છે,તેમ $h(x)$ એ $2$ ની નજીક જાય છે,પરંતુ $h(x)$ ક્યારેય $2$ ને સમાન હોતું નથી કારણ કે $1$ એ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ નથી.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી અને અંતરાલ વિવૃત હોવાથી,$(-1, 1)$ માં એવો કોઈ બિંદુ $c$ નથી કે જેના માટે $h(c)$ એ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત હોય.
તેથી,વિધેય $h(x)$ ને $(-1, 1)$ અંતરાલમાં મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત નથી.

(N/A) $f(x) = x^{2}$
$\therefore f'(x) = 2x$
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$2x = 0 \Rightarrow x = 0$
આમ,$x = 0$ એ એકમાત્ર ક્રાંતિક બિંદુ છે.
આપણે દ્વિતીય વિકલિત શોધીએ: $f''(x) = 2$.
અહીં $f''(0) = 2 > 0$ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 0$ આગળ $f$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(0) = (0)^{2} = 0$ છે.
આ વિધેય માટે કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય નથી કારણ કે જેમ $x \to \pm \infty$ તેમ $f(x) \to \infty$ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $g(x) = x^{3} - 3x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $g'(x) = 3x^{2} - 3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$g'(x) = 0$ લો:
$3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $g''(x) = 6x$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરો:
$x = 1$ માટે: $g''(1) = 6(1) = 6 > 0$. કારણ કે $g''(1) > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $g(1) = (1)^{3} - 3(1) = 1 - 3 = -2$ છે.
$x = -1$ માટે: $g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. કારણ કે $g''(-1) < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $g(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $h(x) = \sin x + \cos x$,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $h'(x) = \cos x - \sin x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $h'(x) = 0$ લો:
$\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$.
દ્વિતીય વિકલિત શોધો: $h''(x) = -\sin x - \cos x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ $h''(x)$ ની કિંમત શોધો:
$h''(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
અહીં $h''(\frac{\pi}{4}) < 0$ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{4}$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય $h(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
વિધેય અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં સંપૂર્ણપણે અંતર્મુખ હોવાથી,આપેલ વિવૃત અંતરાલમાં કોઈ સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \cos x$,જ્યાં $0 < x < 2\pi$.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x) = \cos x + \sin x$ શોધો.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = -1$.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં,$\tan x = -1$ એ $x = \frac{3\pi}{4}$ અને $x = \frac{7\pi}{4}$ પર મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x) = -\sin x + \cos x$ શોધો.
$x = \frac{3\pi}{4}$ માટે કિંમત મૂકતા: $f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$. તેથી,$x = \frac{3\pi}{4}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ છે.
$x = \frac{7\pi}{4}$ માટે કિંમત મૂકતા: $f''(\frac{7\pi}{4}) = -\sin(\frac{7\pi}{4}) + \cos(\frac{7\pi}{4}) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$. તેથી,$x = \frac{7\pi}{4}$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15$.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 9$.
સ્થાનિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f^{\prime}(x) = 0$ લો: $3(x^{2} - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0$.
આમ,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવો $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$.
$x = 1$ માટે,$f^{\prime \prime}(1) = 6(1 - 2) = -6 < 0$. દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોવાથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(1) = (1)^{3} - 6(1)^{2} + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$ છે.
$x = 3$ માટે,$f^{\prime \prime}(3) = 6(3 - 2) = 6 > 0$. દ્વિતીય વિકલિત ધન હોવાથી,$x = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(3) = (3)^{3} - 6(3)^{2} + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15$ છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$,જ્યાં $x > 0$.
પ્રથમ,વિકલિત $g'(x)$ શોધો:
$g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$g'(x) = 0$ લો:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \implies x^2 = 4$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = 2$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $g''(x)$ શોધો:
$g''(x) = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ આગળ $g''(x)$ ની કિંમત તપાસો:
$g''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$g''(2) > 0$ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$x = 2$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિંમત $g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$ છે.
આ વિધેય માટે કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત નથી કારણ કે $x > 0$ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $g'(x)$ શોધીએ છીએ:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}+2)^{-1} = -1(x^{2}+2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}}$.
$g'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}} = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
હવે,આપણે પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x < 0$ માટે,$x = -1$ લેતા: $g'(-1) = \frac{-2(-1)}{((-1)^{2}+2)^{2}} = \frac{2}{9} > 0$.
$x > 0$ માટે,$x = 1$ લેતા: $g'(1) = \frac{-2(1)}{(1^{2}+2)^{2}} = \frac{-2}{9} < 0$.
જેમ કે $x = 0$ આગળ $g'(x)$ ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $g(0) = \frac{1}{0^{2}+2} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદ $(x^{2}+2)^{2}$ હંમેશા ધન હોવાથી અને અંશ $-2x$ એવી રીતે ચિહ્ન બદલતું નથી કે જેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ મળે,તેથી આ વિધેય માટે કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) આપેલ છે કે $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ જ્યાં $0 < x < 1$ છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = (1)\sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}(-1) = \sqrt{1 - x} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = \frac{2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2 - 3x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2}{3}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 - 3x}{2(1 - x)^{1/2}} \right)$ શોધો.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f''(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-3(1 - x)^{1/2} - (2 - 3x) \cdot \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1)}{1 - x} \right] = \frac{-6(1 - x) + (2 - 3x)}{4(1 - x)^{3/2}} = \frac{3x - 4}{4(1 - x)^{3/2}}$.
$x = \frac{2}{3}$ આગળ,$f''\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3(2/3) - 4}{4(1 - 2/3)^{3/2}} = \frac{2 - 4}{4(1/3)^{3/2}} = \frac{-2}{4(1/3)^{3/2}} < 0$.
કારણ કે $f''\left(\frac{2}{3}\right) < 0$ છે,તેથી $x = \frac{2}{3}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ છે.
અંતરાલ $(0, 1)$ માં કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$.
કોઈપણ વિધેયને સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોય તે માટે,પ્રથમ વિકલન $f^{\prime}(x)$ પ્રદેશના કોઈ બિંદુ $c$ આગળ $0$ હોવું જોઈએ.
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે છે:
$e^{x} = 0$.
જોકે,ઘાતાંકીય વિધેય $e^{x}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે હંમેશા ધન હોય છે ($x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{x} > 0$).
કારણ કે $e^{x}$ ક્યારેય $0$ થઈ શકતું નથી,તેથી એવું કોઈ મૂલ્ય $c \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી કે જેના માટે $f^{\prime}(c) = 0$ થાય.
તેથી,વિધેય $f(x) = e^{x}$ ને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $g(x) = \log x$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
લોગેરિધમિક વિધેય $g(x) = \log x$ નો પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,તેનું વિકલન $g'(x) = \frac{1}{x}$ તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે હંમેશા ધન રહે છે ($x > 0$ માટે $g'(x) > 0$).
કોઈપણ વિધેયને સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોવા માટે,પ્રદેશમાં એવો બિંદુ $c$ હોવો જોઈએ કે જેના માટે $g'(c) = 0$ થાય અથવા $g'(c)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું ન હોય.
અહીં,$\frac{1}{x}$ ની કિંમત $x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે ક્યારેય $0$ થતી નથી.
આમ,પ્રદેશના કોઈપણ $x$ માટે $g'(x) \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $g(x) = \log x$ ને કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} + x^{2} + x + 1) = 3x^{2} + 2x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ (સ્થિર બિંદુઓ) શોધવા માટે,આપણે $h'(x) = 0$ લઈએ:
$3x^{2} + 2x + 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 2$,અને $c = 1$ છે.
$D = (2)^{2} - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$.
કારણ કે વિવેચક $D < 0$ છે,તેથી સમીકરણ $3x^{2} + 2x + 1 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $h'(x)$ હંમેશા ધન રહે છે (કારણ કે $x^{2}$ નો સહગુણક ધન છે) તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે $h'(x) \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $h(x)$ ને કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ કે સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{3}$ છે.
$\therefore f^{\prime}(x) = 3x^{2}$.
હવે,$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા $3x^{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
આપણે ક્રાંતિક બિંદુ $x = 0$ અને અંતરાલ $[-2, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f$ નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:
$f(0) = 0^{3} = 0$.
$f(-2) = (-2)^{3} = -8$.
$f(2) = (2)^{3} = 8$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$[-2, 2]$ પર $f$ નું નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $8$ ($x = 2$ પર) છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-8$ ($x = -2$ પર) છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન શોધીએ: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1$.
$x \in [0, \pi]$ હોવાથી,એકમાત્ર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = \frac{\pi}{4}$ છે.
હવે,આપણે અંતરાલ $[0, \pi]$ ના અંતિમ બિંદુઓ અને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{4}$ પર $\sqrt{2}$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $x = \pi$ પર $-1$ છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{1}{2}x^2) = 4 - x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
કારણ કે $x = 4$ એ અંતરાલ $\left[-2, \frac{9}{2}\right]$ માં આવેલું છે,તેથી આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(4) = 4(4) - \frac{1}{2}(4)^2 = 16 - 8 = 8$.
$f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 - 2 = -10$.
$f\left(\frac{9}{2}\right) = 4\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18 - \frac{81}{8} = 18 - 10.125 = 7.875$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $8$ છે જે $x = 4$ પર મળે છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-10$ છે જે $x = -2$ પર મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x - 1)^{2} + 3$ છે જે અંતરાલ $[-3, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = 2(x - 1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$2(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$.
હવે,આપણે વિધેય $f(x)$ ની કિંમત ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 1$ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $x = -3$ અને $x = 1$ પર શોધીએ:
$f(1) = (1 - 1)^{2} + 3 = 0 + 3 = 3$.
$f(-3) = (-3 - 1)^{2} + 3 = (-4)^{2} + 3 = 16 + 3 = 19$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $x = -3$ આગળ $19$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1$ આગળ $3$ છે.

(A) નફાનું વિધેય $p(x) = 41 - 72x - 18x^{2}$ આપેલ છે.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $p'(x)$ શોધીએ:
$p'(x) = \frac{d}{dx}(41 - 72x - 18x^{2}) = -72 - 36x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $p'(x) = 0$ લેતા:
$-72 - 36x = 0 \Rightarrow 36x = -72 \Rightarrow x = -2$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલિત $p''(x)$ શોધીએ:
$p''(x) = \frac{d}{dx}(-72 - 36x) = -36$.
અહીં $p''(-2) = -36 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = -2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
હવે,$x = -2$ ને $p(x)$ માં મૂકીને મહત્તમ નફો શોધીએ:
$p(-2) = 41 - 72(-2) - 18(-2)^{2}$
$p(-2) = 41 + 144 - 18(4)$
$p(-2) = 41 + 144 - 72$
$p(-2) = 113$.
આમ,કંપની કરી શકે તેવો મહત્તમ નફો $113$ એકમો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 12x^{3}-24x^{2}+24x-48$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $12(x^{3}-2x^{2}+2x-4) = 0$.
ઘન પદાવલિના અવયવ પાડતા: $12[x^{2}(x-2)+2(x-2)] = 0$,જે $12(x-2)(x^{2}+2) = 0$ આપે છે.
અંતરાલ $[0,3]$ માં એકમાત્ર વાસ્તવિક ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x=2$ છે.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$x=0$ પર: $f(0) = 3(0)^{4}-8(0)^{3}+12(0)^{2}-48(0)+25 = 25$.
$x=2$ પર: $f(2) = 3(2)^{4}-8(2)^{3}+12(2)^{2}-48(2)+25 = 3(16)-8(8)+12(4)-96+25 = 48-64+48-96+25 = -39$.
$x=3$ પર: $f(3) = 3(3)^{4}-8(3)^{3}+12(3)^{2}-48(3)+25 = 3(81)-8(27)+12(9)-144+25 = 243-216+108-144+25 = 16$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $25, -39, 16$.
મહત્તમ કિંમત $25$ ($x=0$ પર) છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $-39$ ($x=2$ પર) છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin 2x$.
તેથી,$f'(x) = 2 \cos 2x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $2 \cos 2x = 0$,તેથી $\cos 2x = 0$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$2x$ એ $[0, 4\pi]$ માં છે. તેથી,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
આનાથી આપણને $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ મળે છે.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
$f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$
$f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$
વધુમાં,અંતિમ બિંદુઓ પર $f(0) = 0$ અને $f(2\pi) = 0$.
મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ પર મળે છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 2x^{3}-24x+107$.
$\therefore f'(x) = 6x^{2}-24 = 6(x^{2}-4)$.
હવે,$f'(x) = 0 \Rightarrow 6(x^{2}-4) = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: અંતરાલ $[1,3]$.
આપણે ક્રાંતિક બિંદુ $x = 2 \in [1,3]$ અને અંત્યબિંદુઓ $x = 1$ અને $x = 3$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(2) = 2(8) - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75$.
$f(1) = 2(1) - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85$.
$f(3) = 2(27) - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89$.
આમ,અંતરાલ $[1,3]$ માં $f(x)$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $89$ છે જે $x = 3$ પર મળે છે.
કિસ્સો $2$: અંતરાલ $[-3,-1]$.
આપણે ક્રાંતિક બિંદુ $x = -2 \in [-3,-1]$ અને અંત્યબિંદુઓ $x = -3$ અને $x = -1$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-3) = 2(-27) - 24(-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125$.
$f(-1) = 2(-1) - 24(-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129$.
$f(-2) = 2(-8) - 24(-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139$.
આમ,અંતરાલ $[-3,-1]$ માં $f(x)$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $139$ છે જે $x = -2$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{4}-62x^{2}+ax+9.$
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેય $f(x)$ નું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{4}-62x^{2}+ax+9) = 4x^{3}-124x+a.$
આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[0,2]$ પર $x=1$ આગળ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
કારણ કે $x=1$ એ અંતરાલ $[0,2]$ નું આંતરિક બિંદુ છે,તેથી આ બિંદુએ વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $f'(1) = 0.$
વિકલનના સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા:
$f'(1) = 4(1)^{3}-124(1)+a = 0.$
$4-124+a = 0.$
$-120+a = 0.$
$a = 120.$
આમ,$a$ ની કિંમત $120$ છે.

ધારો કે $f(x) = x + \sin 2x$.
$\therefore f'(x) = 1 + 2 \cos 2x$.
હવે,$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ અને $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,તેથી $x \in [0, 2\pi]$ માટે $2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$ મળે.
આમ,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ છે.
નિર્ણાયક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(0) = 0 + \sin(0) = 0$.
$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{8\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $x = 2\pi$ પર $2\pi$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ પર $0$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $x + y = 24$ છે,તેથી આપણે $y$ ને $y = 24 - x$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
ધારો કે $P$ એ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,તેથી $P = x \cdot y = x(24 - x) = 24x - x^2$.
મહત્તમ ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = 24 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$24 - 2x = 0 \Rightarrow x = 12$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$\frac{d^2P}{dx^2} = -2$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ $(-2 < 0)$ છે,તેથી વિધેય $x = 12$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
જો $x = 12$ હોય,તો $y = 24 - 12 = 12$.
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $12$ અને $12$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x+y=60$,તેથી $y=60-x$.
ધારો કે $f(x) = x y^3 = x(60-x)^3$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (60-x)^3 + x \cdot 3(60-x)^2(-1) = (60-x)^2 [60-x - 3x] = (60-x)^2 (60-4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x=60$ અથવા $x=15$ મળે છે.
કારણ કે $x$ અને $y$ ધન સંખ્યાઓ છે અને $x+y=60$,તેથી $x$ ની કિંમત $60$ ન હોઈ શકે (કારણ કે તેનાથી $y=0$ થઈ જાય).
આમ,$x=15$.
હવે,$y = 60 - 15 = 45$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા $f''(x) = 2(60-x)(-1)(60-4x) + (60-x)^2(-4) = -2(60-x)(60-4x + 2(60-x)) = -2(60-x)(180-6x)$.
$x=15$ માટે,$f''(15) = -2(45)(180-90) = -2(45)(90) < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$x=15$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
તેથી,માંગેલી સંખ્યાઓ $x=15$ અને $y=45$ છે.

(A) ધારો કે એક સંખ્યા $x$ છે. તો બીજી સંખ્યા $y = 35 - x$ થશે.
ધારો કે $P(x) = x^{2} y^{5}$. $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(x) = x^{2} (35 - x)^{5}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$P'(x) = 2x(35 - x)^{5} + x^{2} \cdot 5(35 - x)^{4} \cdot (-1)$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} [2(35 - x) - 5x]$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} (70 - 2x - 5x)$
$P'(x) = x(35 - x)^{4} (70 - 7x) = 7x(35 - x)^{4} (10 - x)$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 35$,અથવા $x = 10$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન સંખ્યાઓ હોવાથી,$x = 0$ અને $x = 35$ શક્ય નથી કારણ કે તે ગુણાકાર $0$ બનાવે છે.
હવે,$x = 10$ આગળ દ્વિતીય વિકલિત $P''(x)$ તપાસીએ:
$P''(x) = \frac{d}{dx} [7x(35 - x)^{4} (10 - x)]$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$x = 10$ આગળ $(10 - x)$ પદ $0$ થઈ જાય છે,તેથી:
$P''(10) = 7(10)(35 - 10)^{4} (-1) = -70(25)^{4} < 0$.
$P''(10) < 0$ હોવાથી,$x = 10$ આગળ $P(x)$ મહત્તમ છે.
આમ,$x = 10$ અને $y = 35 - 10 = 25$ છે.

(A) ધારો કે એક સંખ્યા $x$ છે. તો,બીજી સંખ્યા $(16-x)$ થશે.
ધારો કે આ સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $S(x)$ છે. તો,
$S(x) = x^3 + (16-x)^3$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ:
$S'(x) = 3x^2 - 3(16-x)^2$
$S'(x) = 0$ લેતા:
$3x^2 - 3(16-x)^2 = 0$
$x^2 - (256 - 32x + x^2) = 0$
$32x - 256 = 0$
$x = 8$
હવે,ન્યૂનતમ ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$S''(x) = 6x + 6(16-x)$
$S''(8) = 6(8) + 6(16-8) = 48 + 48 = 96$
કારણ કે $S''(8) > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = 8$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,બે સંખ્યાઓ $8$ અને $16-8 = 8$ છે.

(A) ધારો કે કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુનું માપ $x \, cm$ છે.
તેથી,બોક્સની લંબાઈ અને પહોળાઈ દરેક $(18-2x) \, cm$ થશે અને બોક્સની ઊંચાઈ $x \, cm$ થશે.
તેથી,બોક્સનું ઘનફળ $V(x)$ નીચે મુજબ મળે:
$V(x) = x(18-2x)^2 = 4x^3 - 72x^2 + 324x$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $V'(x)$ શોધીએ:
$V'(x) = 12x^2 - 144x + 324$.
$V'(x) = 0$ લેતા:
$12(x^2 - 12x + 27) = 0
\Rightarrow 12(x-9)(x-3) = 0$.
તેથી,$x = 9$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 9$ હોય,તો બોક્સની બાજુ $(18-2x)$ શૂન્ય થઈ જાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,$x = 3$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $V''(x) = 24x - 144$ તપાસીએ.
$V''(3) = 24(3) - 144 = 72 - 144 = -72 < 0$.
$V''(3) < 0$ હોવાથી,$x = 3 \, cm$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(A) ધારો કે કાપવામાં આવતા ચોરસની બાજુનું માપ $x \, cm$ છે. તો,બોક્સની ઊંચાઈ $x$,લંબાઈ $45-2x$ અને પહોળાઈ $24-2x$ થશે.
તેથી,બોક્સનું ઘનફળ $V(x)$ નીચે મુજબ મળે:
$V(x) = x(45-2x)(24-2x) = x(1080 - 90x - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 138x^2 + 1080x$.
હવે,પ્રથમ વિકલન મેળવતા:
$V'(x) = 12x^2 - 276x + 1080 = 12(x^2 - 23x + 90) = 12(x-18)(x-5)$.
$V'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 18$ અથવા $x = 5$ મળે છે.
પહોળાઈ $24 \, cm$ હોવાથી,$x = 18$ શક્ય નથી (કારણ કે $2x = 36 > 24$). તેથી,$x = 5$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવતા:
$V''(x) = 24x - 276$.
$x = 5$ માટે,$V''(5) = 24(5) - 276 = 120 - 276 = -156 < 0$.
$V''(5) < 0$ હોવાથી,$x = 5 \, cm$ આગળ ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આપેલ વર્તુળમાં $l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે વ્યાસ $2R$ જેટલો હોય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2R)^{2} = l^{2} + b^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 4R^{2} - l^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ,$A = l \times b = l \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^{2}$ ને મહત્તમ કરીએ. ધારો કે $S = A^{2} = l^{2}(4R^{2} - l^{2}) = 4R^{2}l^{2} - l^{4}$.
$l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dl} = 8R^{2}l - 4l^{3}$
$\frac{dS}{dl} = 0$ લેતા:
$4l(2R^{2} - l^{2}) = 0$
$l \neq 0$ હોવાથી,$l^{2} = 2R^{2} \Rightarrow l = R\sqrt{2}$.
હવે,$b = \sqrt{4R^{2} - (R\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4R^{2} - 2R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$.
$l = b = R\sqrt{2}$ હોવાથી,લંબચોરસ એ ચોરસ છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી:
$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12l^{2}$
$l^{2} = 2R^{2}$ આગળ,$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12(2R^{2}) = 8R^{2} - 24R^{2} = -16R^{2} < 0$.
દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોવાથી,જ્યારે $l = b = R\sqrt{2}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
આમ,સાબિત થાય છે કે આપેલ નિશ્ચિત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસો પૈકી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે.

(N/A) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે $h$ ને $r$ અને $S$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{S}{2\pi r} - r$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S}{2\pi r} - r \right) = \frac{Sr}{2} - \pi r^3$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - 3\pi r^2$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ લેતા,$\frac{S}{2} = 3\pi r^2$,તેથી $S = 6\pi r^2$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$\frac{d^2V}{dr^2} = -6\pi r$.
કારણ કે $r > 0$,તેથી $\frac{d^2V}{dr^2} < 0$,જે સાબિત કરે છે કે $S = 6\pi r^2$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $S = 6\pi r^2$ મૂકતા:
$h = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r$.
$2r$ એ પાયાનો વ્યાસ હોવાથી,નળાકારની ઊંચાઈ તેના વ્યાસ જેટલી છે.

(A) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
આપેલ ઘનફળ $V = \pi r^2 h = 100 \text{ cm}^3$.
તેથી,$h = \frac{100}{\pi r^2}$.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા,$S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{100}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}$.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{200}{r^2}$.
$\frac{dS}{dr} = 0$ લેતા,$4\pi r = \frac{200}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{50}{\pi} \Rightarrow r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$\frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{r^3}$. $r > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2S}{dr^2} > 0$,તેથી $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$ આગળ $S$ ન્યૂનતમ છે.
ત્યારબાદ $h = \frac{100}{\pi (50/\pi)^{2/3}} = 2 \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$.
આમ,ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટેના પરિમાણો $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3} \text{ cm}$ અને $h = 2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3} \text{ cm}$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસ બનાવવા માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $l \, m$ છે. તો વર્તુળ બનાવવા માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $(28-l) \, m$ થશે.
ચોરસની બાજુ $s = \frac{l}{4}$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_s = s^2 = \frac{l^2}{16}$ છે.
વર્તુળ માટે,પરિઘ $2\pi r = 28-l$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{28-l}{2\pi}$ છે. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{28-l}{2\pi} \right)^2 = \frac{(28-l)^2}{4\pi}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_s + A_c = \frac{l^2}{16} + \frac{(28-l)^2}{4\pi}$ છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dA}{dl} = \frac{2l}{16} + \frac{2(28-l)(-1)}{4\pi} = \frac{l}{8} - \frac{28-l}{2\pi}$ છે.
$\frac{dA}{dl} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{l}{8} = \frac{28-l}{2\pi} \Rightarrow \pi l = 4(28-l) \Rightarrow \pi l = 112 - 4l \Rightarrow l(\pi+4) = 112 \Rightarrow l = \frac{112}{\pi+4}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2A}{dl^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0$ છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,ચોરસ માટેની લંબાઈ $\frac{112}{\pi+4} \, m$ અને વર્તુળ માટેની લંબાઈ $28 - \frac{112}{\pi+4} = \frac{28\pi}{\pi+4} \, m$ છે.

(N/A) ધારો કે $r$ અને $h$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત શંકુની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
શંકુની ઊંચાઈ $h = R + \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ છે.
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} (R + \sqrt{R^{2} - r^{2}})$.
$r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = \frac{2}{3} \pi r R + \frac{1}{3} \pi \left( 2r \sqrt{R^{2} - r^{2}} - \frac{r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \right)$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ લેતા:
$2R\sqrt{R^{2} - r^{2}} = 3r^{2} - 2R^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4R^{2}(R^{2} - r^{2}) = (3r^{2} - 2R^{2})^{2}$.
$9r^{4} = 8R^{2}r^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{8}{9}R^{2}$.
તેથી $h = R + \frac{R}{3} = \frac{4}{3}R$.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (\frac{8}{9}R^{2}) (\frac{4}{3}R) = \frac{32}{81} \pi R^{3}$.
ગોલકનું ઘનફળ $V_{s} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{V}{V_{s}} = \frac{32/81}{4/3} = \frac{8}{27}$.
આમ,સૌથી મોટા શંકુનું ઘનફળ એ ગોલકના ઘનફળના $\frac{8}{27}$ ગણું છે.

(N/A) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{3V}{\pi r^{2}}$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(S) = \pi r l = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા,$S = \pi r \sqrt{r^{2} + \frac{9V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}} = \frac{1}{r} \sqrt{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}$.
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $S^{2} = \frac{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}{r^{2}} = \pi^{2} r^{4} + 9V^{2} r^{-2}$ ને ન્યૂનતમ કરીશું.
ધારો કે $f(r) = S^{2}$. તો $f'(r) = 4 \pi^{2} r^{3} - 18V^{2} r^{-3}$.
$f'(r) = 0$ લેતા,$4 \pi^{2} r^{3} = \frac{18V^{2}}{r^{3}}$,તેથી $r^{6} = \frac{18V^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$.
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ ને $r^{6} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$ માં મૂકતા,$r^{6} = \frac{9}{2 \pi^{2}} \cdot (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \frac{1}{2} r^{4} h^{2}$.
આમ,$r^{2} = \frac{1}{2} h^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $h^{2} = 2r^{2}$,અથવા $h = \sqrt{2} r$.
$f''(r) = 12 \pi^{2} r^{2} + 54V^{2} r^{-4} > 0$ હોવાથી,$h = \sqrt{2} r$ પર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(A) ધારો કે $\theta$ એ શંકુનો અર્ધ-શીર્ષકોણ છે.
સ્પષ્ટ છે કે $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
ધારો કે $r$,$h$ અને $l$ એ અનુક્રમે શંકુની ત્રિજ્યા,ઊંચાઈ અને તિર્યક ઊંચાઈ છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ અચળ આપેલ છે.
હવે,$r = l \sin \theta$ અને $h = l \cos \theta$.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ અને $h$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (l^2 \sin^2 \theta)(l \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \theta \cos \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં $V$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{d\theta} = \frac{\pi l^3}{3} [\sin^2 \theta(-\sin \theta) + \cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta)]$
$= \frac{\pi l^3}{3} [-\sin^3 \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta]$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ઘનફળ માટે,$\frac{dV}{d\theta} = 0$ લેતા:
$\sin^3 \theta = 2 \sin \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 2 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [-3 \sin^2 \theta \cos \theta + 2 \cos^3 \theta - 4 \sin^2 \theta \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7 \sin^2 \theta \cos \theta]$.
$\tan \theta = \sqrt{2}$ હોવાથી $\sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$ મૂકતા:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7(2 \cos^2 \theta) \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 14 \cos^3 \theta] = -4 \pi l^3 \cos^3 \theta$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\cos \theta > 0$,તેથી $\frac{d^2V}{d\theta^2} < 0$.
આમ,જ્યારે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ હોય ત્યારે ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $r, h, l$ એ લંબવૃત્તીય શંકુની ત્રિજ્યા,ઊંચાઈ અને તિર્યક ઊંચાઈ છે. ધારો કે $S$ એ શંકુનું આપેલ પૃષ્ઠફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$l^{2}=r^{2}+h^{2} \quad \dots (1)$
$S=\pi r l+\pi r^{2}$
$S-\pi r^{2}=\pi r l$
$\Rightarrow l=\frac{S-\pi r^{2}}{\pi r}$
$V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi r^{2} \sqrt{l^{2}-r^{2}} \quad (\text{સમીકરણ } (1) \text{ મુજબ})$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left(l^{2}-r^{2}\right)$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left[\left(\frac{S-\pi r^{2}}{\pi r}\right)^{2}-r^{2}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4}\left[\frac{\left(S-\pi r^{2}\right)^{2}-\pi^{2} r^{4}}{\pi^{2} r^{2}}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} r^{2}\left[\left(S-\pi r^{2}\right)^{2}-\pi^{2} r^{4}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9} r^{2}\left[S^{2}-2 \pi S r^{2}+\pi^{2} r^{4}-\pi^{2} r^{4}\right]$
$\Rightarrow V^{2}=\frac{1}{9}\left(r^{2} S^{2}-2 \pi S r^{4}\right)$
$2 V \frac{d V}{d r}=\frac{S^{2}}{9} (2 r)-\frac{2 \pi S}{9} (4 r^{3})$
$2 V \frac{d V}{d r}=\frac{2 r S}{9}\left(S-4 \pi r^{2}\right)$
મહત્તમ ઘનફળ માટે,$\frac{d V}{d r}=0$
$\Rightarrow \frac{2 r S}{9}\left(S-4 \pi r^{2}\right)=0$
કારણ કે $r \neq 0$,તેથી $S=4 \pi r^{2}$
$\Rightarrow r^{2}=\frac{S}{4 \pi}$
$S=\pi r l+\pi r^{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $4 \pi r^{2}=\pi r l+\pi r^{2}$
$\Rightarrow 3 \pi r^{2}=\pi r l$
$\Rightarrow l=3 r$
ધારો કે $\alpha$ એ અર્ધ-શીર્ષકોણ છે.
$\sin \alpha=\frac{r}{l}=\frac{r}{3 r}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \alpha=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x+x^{2})(-1+2x) - (1-x+x^{2})(1+2x)}{(1+x+x^{2})^{2}}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $(2x^{2}+x-1) - (2x^{3}+x^{2}-x+1) = 2x^{2}-2 = 2(x^{2}-1)$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = \frac{2(x^{2}-1)}{(1+x+x^{2})^{2}}$.
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા,આપણને $x^{2}-1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
આ નિર્ણાયક બિંદુઓ પર $f(x)$ નું મૂલ્ય શોધતા:
$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$f(-1) = \frac{1-(-1)+(-1)^{2}}{1+(-1)+(-1)^{2}} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
જેમ $x \to \pm \infty$ થાય છે,તેમ $f(x) \to 1$ થાય છે,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [x^2-x+1]^{\frac{1}{3}}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ ગણીએ:
$f'(x) = \frac{1}{3}[x^2-x+1]^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{3(x^2-x+1)^{\frac{2}{3}}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x-1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $x = \frac{1}{2}$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં આવે છે,આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = [0(0-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4}+1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
$1$,$1$,અને $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

$ (A) $ ધારો કે કાપેલા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $x$ મીટર છે। બોક્સની ઊંચાઈ $x$, લંબાઈ $8-2x$ અને પહોળાઈ $3-2x$ છે।
પરિમાણો ધન હોવા જોઈએ, તેથી $x > 0$, $8-2x > 0$, અને $3-2x > 0$, જેનો અર્થ છે કે $0 < x < 1.5$.
ઘનફળ $V(x)$ નીચે મુજબ છે:
$V(x) = x(3-2x)(8-2x) = 4x^3 - 22x^2 + 24x$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે, આપણે વિકલન $V'(x)$ શોધીએ:
$V'(x) = 12x^2 - 44x + 24$.
$V'(x) = 0$ લેતા:
$12x^2 - 44x + 24 = 0 \implies 4(3x-2)(x-3) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2/3$ અને $x = 3$ છે.
$x < 1.5$ હોવાથી, આપણે $x = 3$ ને અવગણીએ છીએ.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $V''(x) = 24x - 44$.
$V''(2/3) = 24(2/3) - 44 = 16 - 44 = -28 < 0$.
આમ, $x = 2/3$ એ મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ ઘનફળ:
$V(2/3) = (2/3)(3 - 4/3)(8 - 4/3) = (2/3)(5/3)(20/3) = 200/27 \text{ m}^3$.