Maxima and Minima Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $a$ પ્રથમ પદ છે અને $x$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે છઠ્ઠું પદ $a_6 = a + 5x = 2$,તેથી $a = 2 - 5x$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3x)(a + 4x)$.
$a = 2 - 5x$ મૂકતા:
$P = (2 - 5x)(2 - 5x + 3x)(2 - 5x + 4x) = (2 - 5x)(2 - 2x)(2 - x)$.
$P = -10x^3 + 34x^2 - 32x + 8$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dP}{dx} = -30x^2 + 68x - 32 = 0$ લેતા.
$15x^2 - 34x + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{34 \pm 14}{30}$.
તેથી,$x = \frac{8}{5}$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.
દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2P}{dx^2} = -60x + 68$.
$x = \frac{2}{3}$ માટે,$\frac{d^2P}{dx^2} = 28 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,$x = \frac{2}{3}$ માટે ગુણાકાર ન્યૂનતમ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = e^x - x - 1$.
બીજ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
વિકલન $f'(x) = e^x - 1$ છે.
$f'(x) = 0$ લેતા $e^x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 0$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
$x < 0$ માટે $f'(x) < 0$ અને $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 0$ મળે છે.
તેથી,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) \ge 0$ છે,અને $f(x) = 0$ માત્ર $x = 0$ આગળ જ થાય છે.
આમ,સમીકરણને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ $x = 0$ છે.

(A) ગતિનું સમીકરણ $s(t) = 490t - 4.9t^2$ આપેલ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $s(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v(t)$ શોધીએ છીએ:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v(t) = 0$ થાય છે:
$490 - 9.8t = 0 \implies 9.8t = 490 \implies t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,$t = 50$ ને $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s(50) = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s(50) = 24500 - 4.9(2500)$
$s(50) = 24500 - 12250 = 12250$.
આમ,પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $12250$ એકમ છે.

(C) ગતિનું સમીકરણ $s = ut - 6.3t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ut - 6.3t^2) = u - 12.6t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પથ્થરનો વેગ શૂન્ય હોય છે:
$v = 0$.
આપેલ છે કે પથ્થર $t = 3$ $sec$ પર તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,તેથી આપણે આ કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$0 = u - 12.6(3)$.
$0 = u - 37.8$.
$u = 37.8$ $cm/sec$.

(D) પ્રથમ પથ્થર માટે,$s_1 = 19.6t - 4.9t^2$. વેગ $v_1 = \frac{ds_1}{dt} = 19.6 - 9.8t$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,$v_1 = 0$,તેથી $19.6 - 9.8t = 0$,જે $t = 2 \, s$ આપે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = s_1(2) = 19.6(2) - 4.9(2^2) = 39.2 - 19.6 = 19.6 \, m$ છે.
હવે,બીજા પથ્થર માટે,$s_2 = 9.8t - 4.9t^2$.
$t = 2 \, s$ સમયે,બીજા પથ્થરની ઊંચાઈ $s_2(2) = 9.8(2) - 4.9(2^2) = 19.6 - 19.6 = 0 \, m$ છે.
આમ,જ્યારે પ્રથમ પથ્થર તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પર હોય ત્યારે બીજો પથ્થર જમીન પર હશે.

(D) આપેલ વક્ર $y = 12x - x^3$ છે.
જ્યાં ઢાળ શૂન્ય હોય તેવા બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ છીએ.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2$.
ઢાળને શૂન્ય લેતા: $12 - 3x^2 = 0$.
$3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x = 2$ માટે,$y = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16$. તેથી,બિંદુ $(2, 16)$ છે.
$x = -2$ માટે,$y = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16$. તેથી,બિંદુ $(-2, -16)$ છે.
આમ,બિંદુઓ $(2, 16)$ અને $(-2, -16)$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x^2 - 6x - 9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 3)(x + 1) = 0$.
આમ,બિંદુઓના યામ $x = 3$ અને $x = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (x - 1)(x - 2)^2$.
વિધેયનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,પ્રથમ વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 - 10x + 8$.
$f'(x) = 0$ લેતા: $3x^2 - 10x + 8 = 0$,જેના અવયવો $(3x - 4)(x - 2) = 0$ થાય છે.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = \frac{4}{3}$ અને $x = 2$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $f''(x) = 6x - 10$.
$x = \frac{4}{3}$ માટે કિંમત તપાસતા: $f''(\frac{4}{3}) = 6(\frac{4}{3}) - 10 = 8 - 10 = -2 < 0$. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{4}{3}$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
$x = 2$ માટે કિંમત તપાસતા: $f''(2) = 6(2) - 10 = 2 > 0$. વિધેય $x = 2$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3} - 1)(\frac{4}{3} - 2)^2 = (\frac{1}{3})(-\frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{4}{27}$ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x - 1)(x + 2)^2$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 1 \cdot (x + 2)^2 + (x - 1) \cdot 2(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(x + 2 + 2x - 2) = (x + 2)(3x) = 3x(x + 2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$3x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ અથવા $x = -2$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x) = 6x + 6$ શોધો.
$x = -2$ માટે: $f''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0$,તેથી $x = -2$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-2) = (-2 - 1)(-2 + 2)^2 = 0$ છે.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = (0 - 1)(0 + 2)^2 = -4$ છે.
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $0$ અને $-4$ છે.

(C) સ્થાનીય મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
તેથી ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, x = 1, x = 3$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ શોધીએ.
ક્રાંતિક બિંદુઓની ચકાસણી કરતા:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
અહીં $f''(1) < 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + x^2 + x - 4$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ છીએ: $f'(x) = 3x^2 + 2x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ,જે $3x^2 + 2x + 1 = 0$ આપે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$ છે.
જેથી વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આનો અર્થ એ છે કે વિધેય $f(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સતત વધતું વિધેય છે કારણ કે ત્રિઘાત બહુપદીનો મુખ્ય સહગુણક ધન છે.
તેથી,વિધેય $f(x)$ પાસે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^2 \log x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x(2 \log x + 1) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x \in (1, e)$,તેથી $x \neq 0$. આમ,$2 \log x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $\log x = -\frac{1}{2}$,અથવા $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$,આ કિંમત અંતરાલ $(1, e)$ માં આવતી નથી.
અંતરાલ $(1, e)$ માં,$f'(x) = x(2 \log x + 1)$ હંમેશા ધન છે કારણ કે $x > 1$ માટે,$\log x > 0$,તેથી $2 \log x + 1 > 1$.
કારણ કે તમામ $x \in (1, e)$ માટે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય આ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
તેથી,આ વિધેયને અંતરાલ $(1, e)$ માં ન તો મહત્તમ કે ન તો ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
હવે,બિંદુનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ ચકાસીએ છીએ:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3}$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેય $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x + y = 16$,તેથી આપણે $y$ ને $y = 16 - x$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $f(x) = x^2 + y^2$. $y$ ની કિંમત મૂકતા,$f(x) = x^2 + (16 - x)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$f(x) = x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 32x + 256$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 4x - 32$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4x = 32$,જેનો અર્થ છે કે $x = 8$.
અહીં $f''(x) = 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 8$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
$y = 16 - x$ માં $x = 8$ મૂકતા,$y = 16 - 8 = 8$ મળે છે.
આમ,$x = 8$ અને $y = 8$ એ માંગેલ કિંમતો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x)$
$f'(x) = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 - 2x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{(-4x)(\sqrt{1 - x^2}) - (1 - 2x^2)(\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}})}{1 - x^2}$
$f''(x) = \frac{-4x(1 - x^2) + x(1 - 2x^2)}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{-4x + 4x^3 + x - 2x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{2x^3 - 3x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ પર કિંમત મુકતા:
$f''\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2(\frac{1}{2\sqrt{2}}) - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(1 - 1/2)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}}}{(1/2)^{3/2}} = \frac{-2/\sqrt{2}}{(1/2)^{3/2}} < 0$.
$f''\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બે આપેલી બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $C$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \frac{1}{2}ab \sin C$
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $C$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dC} = \frac{1}{2}ab \cos C$
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dA}{dC} = 0$
$\frac{1}{2}ab \cos C = 0$
જેহেতু $a$ અને $b$ ત્રિકોણની બાજુઓ છે,$a, b \neq 0$,તેથી આપણને મળે:
$\cos C = 0$
$C = \frac{\pi}{2}$ અથવા $90^\circ$
આમ,જ્યારે આપેલી બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 1$.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$
$5x^2(x - 3)(x - 1) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસો:
$f''(0) = 0$.
$f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = -10 < 0$ ($x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ).
$f''(3) = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 90 > 0$ ($x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = 0$ માટે,$f''(0) = 0$ હોવાથી,તૃતીય વિકલિત $f'''(x) = 60x^2 - 120x + 30$ તપાસો.
$f'''(0) = 30 \neq 0$.
$x = 0$ આગળ પ્રથમ શૂન્યતર વિકલિત એકી ક્રમનું ($3$ જો ક્રમ) હોવાથી,$x = 0$ એ નતિબિંદુ છે.
તેથી,વિધેય $x = 0$ આગળ ન તો મહત્તમ કે ન તો ન્યૂનતમ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = 2(x + y) = 100 \, cm$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 50$ અથવા $y = 50 - x$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2$ મળે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dA}{dx} = 50 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$50 - 2x = 0$ મળે,જેનો ઉકેલ $x = 25 \, cm$ છે.
$x + y = 50$ હોવાથી,$y = 50 - 25 = 25 \, cm$ મળે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટેની બાજુઓ $25 \, cm$ અને $25 \, cm$ છે.

(C) કોઈ વિધેય $f(x)$ માટે બિંદુ $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોવા માટે,પ્રથમ વિકલિત $f'(c) = 0$ હોવું આવશ્યક છે.
આને પ્રથમ ક્રમની આવશ્યક શરત કહેવામાં આવે છે.
જોકે,માત્ર $f'(x) = 0$ હોવું એ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્યની ખાતરી કરવા માટે પૂરતું નથી,કારણ કે તે નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) પણ હોઈ શકે છે.
અંતિમ બિંદુના સ્વભાવને ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
જો $f''(c) < 0$ હોય,તો વિધેયને $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
જો $f''(c) > 0$ હોય,તો વિધેયને $x = c$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,$f'(x) = 0$ એ આવશ્યક શરત છે પરંતુ તે પૂરતી નથી.

(C) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે. પરિમિતિ $S$ એ $S = 2(x + y)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $y = \frac{S}{2} - x$ મળે છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = x \times y = x \left( \frac{S}{2} - x \right) = \frac{Sx}{2} - x^2$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dx} = \frac{S}{2} - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{S}{2} = 2x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{S}{4}$.
$y$ ના સમીકરણમાં $x = \frac{S}{4}$ મૂકતા,આપણને $y = \frac{S}{2} - \frac{S}{4} = \frac{S}{4}$ મળે છે.
ચૂક $x = y = \frac{S}{4}$ હોવાથી,લંબચોરસ એ ચોરસ છે.
વળી,$\frac{d^2A}{dx^2} = -2$,જે ઋણ છે,જે સાબિત કરે છે કે $x = \frac{S}{4}$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની પરિમિતિ $P$ છે. હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે,જ્યાં $s = P/2$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
નિશ્ચિત $s$ માટે,$(s-a)(s-b)(s-c)$ નો ગુણાકાર ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $s-a = s-b = s-c$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $a = b = c$.
આમ,આપેલી પરિમિતિ માટે,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) કોઈ વિધેય $f(x)$ માટે $x = a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય હોવા માટે,તેનું પ્રથમ વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $f'(a) = 0$.
વધુમાં,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ જો $f'(a) = 0$ અને $f''(a) < 0$ હોય,તો વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,પૂરતી શરતો $f'(a) = 0$ અને $f''(a) < 0$ છે.

(D) ધારો કે $36$ ના બે અવયવો $x$ અને $\frac{36}{x}$ છે.
ધારો કે અવયવોનો સરવાળો $S(x) = x + \frac{36}{x}$ છે.
ન્યૂનતમ સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$S'(x) = 1 - \frac{36}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $S'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6$ (કારણ કે અવયવો ધન છે).
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$S''(x) = \frac{72}{x^3}$.
$x = 6$ આગળ,$S''(6) = \frac{72}{216} > 0$,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી અવયવો $x = 6$ અને $\frac{36}{6} = 6$ છે.
આમ,અવયવો $6, 6$ છે,જે વિકલ્પો $A, B,$ અથવા $C$ માં આપેલા નથી.

(D) અંતરાલ $[-2, 4]$ પર $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન શૂન્ય કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$
$f'(x) = 0$ લેતા,$6(x^2 - x - 2) = 0$ મળે,જેના અવયવો $6(x - 2)(x + 1) = 0$ થાય.
આમ,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = -1$ છે,જે બંને અંતરાલ $[-2, 4]$ માં આવેલા છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 5 = -16 - 12 + 24 + 5 = 1$
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$
$f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 5 = 128 - 48 - 48 + 5 = 37$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $37$ છે,જે $x = 4$ પર મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = f(x) = x e^x$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^x + x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = 1 \cdot e^x + x e^x = e^x(1 + x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો:
$e^x(1 + x) = 0$.
કારણ કે $e^x$ ક્યારેય શૂન્ય હોતું નથી,તેથી $1 + x = 0$,જે $x = -1$ આપે છે.
આગળ,દ્વિતીય વિકલિત શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(e^x + x e^x) = e^x + (1 \cdot e^x + x e^x) = e^x(2 + x)$.
$x = -1$ આગળ દ્વિતીય વિકલિતની કિંમત શોધો:
$f''(-1) = e^{-1}(2 - 1) = e^{-1}(1) = \frac{1}{e}$.
કારણ કે $\frac{1}{e} > 0$,તેથી વિધેય $x = -1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ આગળ:
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 2 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
અહીં $f''\left(\frac{\pi}{3}\right) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^x} = {x^{-x}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$.
આમ,$f'(x) = -f(x)(\ln(x) + 1) = -{\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}(\ln(x) + 1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જે સૂચવે છે કે $\ln(x) + 1 = 0$,તેથી $\ln(x) = -1$,જે $x = {e^{-1}} = \frac{1}{e}$ આપે છે.
$x = \frac{1}{e}$ પર વિધેયની કિંમત શોધતા,આપણને મળે છે $f\left( \frac{1}{e} \right) = {\left( {\frac{1}{1/e}} \right)^{1/e}} = {e^{1/e}}$.
તેથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત ${e^{1/e}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x + y = 10$,તેથી $y = 10 - x$.
ધારો કે $f(x) = xy = x(10 - x) = 10x - x^2$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 10 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$10 - 2x = 0 \implies x = 5$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન કરીએ:
$f''(x) = -2$.
અહીં $f''(5) = -2 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 5$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
$x = 5$ ને $y = 10 - x$ માં મૂકતા,આપણને $y = 5$ મળે છે.
તેથી,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $5 \times 5 = 25$ થાય.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો નિશ્ચિત છે,ધારો કે $x + y = s$,જ્યાં $s$ અચળ છે.
તેથી $y = s - x$.
ધારો કે ગુણાકાર $f(x) = xy = x(s - x) = sx - x^2$ છે.
મહત્તમ ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = s - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$s - 2x = 0 \Rightarrow x = s/2$.
અહીં $f''(x) = -2 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = s/2$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$y = s - x$ માં $x = s/2$ મૂકતા,આપણને $y = s - s/2 = s/2$ મળે છે.
આમ,જ્યારે દરેક સંખ્યા સરવાળાના અડધા હોય ત્યારે ગુણાકાર મહત્તમ થાય છે.

(B) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $(100 - x)$ છે.
ધારો કે પ્રથમ ભાગ $(100 - x)$ છે અને બીજો ભાગ $x$ છે.
ન્યૂનતમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = 2(100 - x) + x^2$ છે.
$f(x) = x^2 - 2x + 200$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 2x - 2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$2x - 2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(x) = 2$.
કારણ કે $f''(x) = 2 > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = 1$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,બીજો ભાગ $1$ છે અને પ્રથમ ભાગ $100 - 1 = 99$ છે.
તેથી બે ભાગ $99$ અને $1$ છે.

(C) ધારો કે સંખ્યા $x$ છે. આપણે વિધેય $f(x) = x - x^2$ ને મહત્તમ બનાવવું છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લઈએ છીએ:
$f'(x) = 1 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ:
$f''(x) = -2$.
કારણ કે $f''(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $x = \frac{1}{2}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,જે સંખ્યા તેના વર્ગ કરતાં સૌથી વધુ વધારે હોય તેવી સંખ્યા $\frac{1}{2}$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ માટે,$f'(a) = 0$ અને $f''(a) = 0$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) માટેની આવશ્યક શરત છે,પરંતુ તે $x = a$ એ અંતિમ બિંદુ (સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ) છે તેવું સાબિત કરવા માટે પૂરતી નથી.
જો $f'(a) = 0$ અને $f''(a) = 0$ હોય,તો $x = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ અથવા નતિપરિવર્તન બિંદુ હોઈ શકે છે (જેમ કે $f(x) = x^3$ માં $x = 0$ આગળ).
તેથી,ઉચ્ચ-ક્રમના વિકલિતો અથવા $a$ ની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફાર વિશે વધારાની માહિતી વિના,આપણે તેને નિશ્ચિતપણે અંતિમ બિંદુ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકતા નથી.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી સચોટ સામાન્ય વિધાન એ છે કે તે જરૂરી નથી કે તે અંતિમ બિંદુ હોય.

(B) ધારો કે ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ છે,જ્યાં $x > 0$.
આપણે વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - \frac{1}{x^2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$.
કારણ કે $x$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી આપણે $x = 1$ લઈએ છીએ.
હવે,ન્યૂનતમ મૂલ્યની પુષ્ટિ કરવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ છીએ:
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ પર,$f''(1) = 2 > 0$,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $f(x)$ પાસે $x = 1$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા દ્વારા,$x > 0$ માટે,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,તેથી $x + \frac{1}{x} \ge 2$.

(B) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$x > 0$ માટે $\log y = x \log x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
સ્થિર બિંદુ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા.
$x^x > 0$ હોવાથી,$1 + \log x = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\log x = -1$.
તેથી,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
ચકાસણી માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = x^x(1 + \log x)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x}$ મળે છે.
$x = \frac{1}{e}$ પર,$\frac{d^2y}{dx^2} = (\frac{1}{e})^{1/e}(0)^2 + (\frac{1}{e})^{1/e} \cdot e = e \cdot (\frac{1}{e})^{1/e} > 0$ થાય છે.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = \frac{1}{e}$ પર $y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x + y = 8$,તેથી આપણે લખી શકીએ $y = 8 - x$.
ધારો કે $f(x) = xy = x(8 - x) = 8x - x^2$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 8 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$8 - 2x = 0 \implies x = 4$.
અહીં $f''(x) = -2 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 4$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 4$ ને $y = 8 - x$ માં મૂકતા,આપણને $y = 4$ મળે છે.
તેથી,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $4 \times 4 = 16$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $3 - x$ છે અને બીજી સંખ્યા $x$ છે.
આપણે ગુણાકાર $P(x) = (3 - x)x^2 = 3x^2 - x^3$ ને મહત્તમ બનાવવો છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$P'(x) = 6x - 3x^2$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x(2 - x) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ અથવા $x = 2$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = 6 - 6x$ શોધીએ.
$x = 2$ માટે,$P''(2) = 6 - 6(2) = -6 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન $x = 2$ પર ઋણ છે,તેથી વિધેયને $x = 2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $P(2) = (3 - 2)(2^2) = 1 \times 4 = 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 30$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 6) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 6$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 12x - 42$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$. કારણ કે $f''(1) < 0$ છે,તેથી $f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$x = 6$ માટે: $f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$. કારણ કે $f''(6) > 0$ છે,તેથી $f(x)$ ને $x = 6$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$f(x)$ ને $x = 1$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^3 - 24x + 107$.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(x) = 6x^2 - 24 = 0$
$6(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
બંને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = -2$ એ અંતરાલ $[-3, 3]$ માં આવેલા છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 24(-3) + 107 = 2(-27) + 72 + 107 = -54 + 72 + 107 = 125$.
$f(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 2(27) - 72 + 107 = 54 - 72 + 107 = 89$.
$f(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 2(8) - 48 + 107 = 16 - 48 + 107 = 75$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 107 = 2(-8) + 48 + 107 = -16 + 48 + 107 = 139$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $139$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^4 - 62x^2 + ax + 9$ છે.
કોઈપણ વિધેયને $x = c$ બિંદુએ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો તેનું પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ તે બિંદુએ શૂન્ય થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 62x^2 + ax + 9) = 4x^3 - 124x + a$.
વિધેય $x = 1$ આગળ મહત્તમ હોવાથી,આપણે $f'(1) = 0$ લઈશું:
$4(1)^3 - 124(1) + a = 0$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$4 - 124 + a = 0$.
$-120 + a = 0$.
$a = 120$.
આમ,$a$ ની કિંમત $120$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 11x^2 - 20x + 7$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 22x - 20$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $22x = 20$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 20/22 = 10/11$.
કારણ કે $f''(x) = 22 > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = 10/11$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(10/11) = 11(10/11)^2 - 20(10/11) + 7$ છે.
$f(10/11) = 11(100/121) - 200/11 + 7$.
$f(10/11) = 100/11 - 200/11 + 77/11$.
$f(10/11) = (100 - 200 + 77) / 11 = -23/11$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x(1 - x)^2 = x^3 - 2x^2 + x$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$,એટલે કે $(3x - 1)(x - 1) = 0$.
તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 1/3$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલ $[0, 2]$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$f(0) = 0$.
$f(1/3) = 4/27$.
$f(1) = 0$.
$f(2) = 2$.
અહીં $4/27$ એ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. લંબચોરસની પરિમિતિ $2(a + b) = 36 \ m$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $a + b = 18$,અથવા $b = 18 - a$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a \times b = a(18 - a) = 18a - a^2$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{da} = 18 - 2a$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$18 - 2a = 0 \implies a = 9$.
$a = 9$ ની કિંમત $b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$b = 18 - 9 = 9$.
બીજું વિકલન $\frac{d^2A}{da^2} = -2 < 0$ હોવાથી,જ્યારે $a = 9$ અને $b = 9$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે. આમ,પાસપાસેની બાજુઓ $9 \ m$ અને $9 \ m$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + x - 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ:
$f'(x) = 4x + 1$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4x + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -\frac{1}{4}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 4$ તપાસીએ. કારણ કે $f''(x) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = -\frac{1}{4}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(-\frac{1}{4}) = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$ છે.
$f(-\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0$
$6(x - 1)(x - 6) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = 6$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 12x - 42$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = 6$ માટે,$f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 6$ પર મળે છે:
$f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20$
$f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20$
$f(6) = 432 - 756 + 216 - 20$
$f(6) = -128$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-128$ છે.

(C) ધારો કે બે શૂન્યતર સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 4$,તેથી $y = 4 - x$.
આપણે તેમના વ્યસ્તોના સરવાળા $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ને ન્યૂનતમ બનાવવો છે.
$y = 4 - x$ મૂકતા,આપણને મળે $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x} = \frac{4 - x + x}{x(4 - x)} = \frac{4}{4x - x^2}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $S(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$S'(x) = \frac{d}{dx} [4(4x - x^2)^{-1}] = -4(4x - x^2)^{-2} \cdot (4 - 2x) = \frac{-4(4 - 2x)}{(4x - x^2)^2} = \frac{8(x - 2)}{(4x - x^2)^2}$.
$S'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x - 2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 4 - 2 = 2$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $S(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{(5 + x)(2 + x)}{1 + x}$.
આ પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 6(x + 1) + 4}{x + 1} = x + 6 + \frac{4}{x + 1}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 1)^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$1 = \frac{4}{(x + 1)^2} \implies (x + 1)^2 = 4 \implies x + 1 = \pm 2$.
$x$ અન-ઋણ હોવાથી,$x + 1 = 2$,જે $x = 1$ આપે છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$f''(x) = \frac{8}{(x + 1)^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{8}{8} = 1 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = \frac{(5 + 1)(2 + 1)}{1 + 1} = \frac{6 \times 3}{2} = 9$ છે.

(A) ધારો કે $y = {\sin ^p}x{\cos ^q}x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = p{\sin ^{p - 1}}x(\cos x){\cos ^q}x + {\sin ^p}x(q{\cos ^{q - 1}}x)(-\sin x)$
$\frac{dy}{dx} = p{\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q + 1}}x - q{\cos ^{q - 1}}x{\sin ^{p + 1}}x$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$p{\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q + 1}}x = q{\cos ^{q - 1}}x{\sin ^{p + 1}}x$
બંને બાજુ ${\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q - 1}}x$ વડે ભાગતા:
$p{\cos ^2}x = q{\sin ^2}x$
$\frac{{\sin ^2}x}{{\cos ^2}x} = \frac{p}{q}$
${\tan ^2}x = \frac{p}{q}$
$\tan x = \sqrt{\frac{p}{q}}$
$x = {\tan ^{ - 1}}\sqrt{\frac{p}{q}}$

(D) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $y$ છે જેથી $x + y = 20$,જેનો અર્થ છે $y = 20 - x$.
આપણે ગુણાકાર $P = x^3 y^2$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$P(x) = x^3 (20 - x)^2 = x^3 (400 - 40x + x^2) = 400x^3 - 40x^4 + x^5$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dx} = 1200x^2 - 160x^3 + 5x^4$.
$\frac{dP}{dx} = 0$ લેતા:
$5x^2 (240 - 32x + x^2) = 0$.
$5x^2 (x - 12)(x - 20) = 0$.
આમ,$x = 0, 12, 20$. ભાગો ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 12$ લઈએ છીએ.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d^2P}{dx^2} = 2400x - 480x^2 + 20x^3$.
$x = 12$ આગળ,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2400(12) - 480(144) + 20(1728) = 28800 - 69120 + 34560 = -5760 < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$x = 12$ એ મહત્તમ બિંદુ છે.
તેથી,ભાગો $x = 12$ અને $y = 20 - 12 = 8$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = -\sin x - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\sin x + \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x) = 0$ મળે છે.
$x = 0$ આગળ,$f'(0) = -\sin(0) - \sqrt{2} \sin(0) = 0$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $f''(x) = -\cos x - 2 \cos (\sqrt{2} x)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = -\cos(0) - 2 \cos(0) = -1 - 2 = -3$.
$f''(0) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,વિધેય $f(x)$ આવર્તનીય નથી. $\cos x$ અને $\cos (\sqrt{2} x)$ બંને એકસાથે $1$ માત્ર $x = 0$ આગળ જ હોઈ શકે. અન્ય કોઈપણ $x \neq 0$ માટે,સરવાળો $\cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ એ $2$ કરતા ઓછો જ રહેશે. આમ,$x = 0$ એ એકમાત્ર બિંદુ છે જ્યાં મહત્તમ મૂલ્ય $2$ પ્રાપ્ત થાય છે.

(C) ધારો કે $y = e^{(2x^2 - 2x + 1)\sin^2 x}$.
ઘાતાંકીય વિધેય $e^u$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે ઘાતાંક $f(x) = (2x^2 - 2x + 1)\sin^2 x$ ની કિંમત ન્યૂનતમ હોય.
અહીં $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - 1/2)^2 + 1/2$,જે હંમેશા ધન છે (ન્યૂનતમ કિંમત $1/2$ છે).
વળી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\sin^2 x \ge 0$ છે.
બંને અવયવો અ-ઋણ હોવાથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $\sin^2 x = 0$ (એટલે કે $x = n\pi$) માટે મળે છે.
તેથી,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $e^0 = 1$ થાય.