Maxima and Minima Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=a x^3+b x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ છે.
વિકલન લેતા,$f^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x-\frac{18}{5}$ મળે.
$f(x)$ ને $x=-3$ આગળ મહત્તમ કિંમત હોવાથી,$f^{\prime}(-3)=0$:
$3 a(-3)^2+2 b(-3)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 27 a-6 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 9 a-2 b=\frac{6}{5} \cdots (1)$.
$f(x)$ ને $x=2$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત હોવાથી,$f^{\prime}(2)=0$:
$3 a(2)^2+2 b(2)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 12 a+4 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 6 a+2 b=\frac{9}{5} \cdots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(9 a-2 b)+(6 a+2 b)=\frac{6}{5}+\frac{9}{5} \Rightarrow 15 a=\frac{15}{5} \Rightarrow 15 a=3 \Rightarrow a=\frac{1}{5}$.
$a=\frac{1}{5}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$6(\frac{1}{5})+2 b=\frac{9}{5} \Rightarrow 2 b=\frac{9}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow b=\frac{3}{10}$.
આમ,$f(x)=\frac{1}{5} x^3+\frac{3}{10} x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ મળે.
$f(1)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(1)=\frac{1}{5}(1)^3+\frac{3}{10}(1)^2-\frac{18}{5}(1)+\frac{19}{10} = \frac{2}{10}+\frac{3}{10}-\frac{36}{10}+\frac{19}{10} = \frac{2+3-36+19}{10} = \frac{-12}{10} = \frac{-6}{5}$.
તેથી,$f(1)=\frac{-6}{5}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-x+1)(2x+1) - (x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - x^2 + x + 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{-2x^2 + 2}{(x^2-x+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $1-x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$y = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$ (મહત્તમ કિંમત).
$x = -1$ માટે,$y = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$ (ન્યૂનતમ કિંમત).
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ એ $l = -1$ પર અને મહત્તમ કિંમત $3$ એ $m = 1$ પર મળે છે.
તેથી,$l+m = -1 + 1 = 0$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$ અંતરાલ $[-1, 3]$ પર.
પ્રથમ,$f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = 0$.
$(3x - 2)(x - 2) = 0$,જે $x = \frac{2}{3}$ અને $x = 2$ આપે છે.
બંને બિંદુઓ $[-1, 3]$ અંતરાલમાં છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -1 - 4 - 4 + 3 = -6$.
$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 3 = \frac{113}{27} \approx 4.18$.
$f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 4(2) + 3 = 8 - 16 + 8 + 3 = 3$.
$f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 4(3) + 3 = 27 - 36 + 12 + 3 = 6$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\{-6, 4.18, 3, 6\}$,ન્યૂનતમ કિંમત $-6$ છે જે $x = -1$ આગળ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^2 - \ln|x|$ છે,જ્યાં $x \geq 1$.
$x \geq 1$ હોવાથી,$|x| = x$ થાય,તેથી $f(x) = 2x^2 - \ln x$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 4x - \frac{1}{x}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$4x - \frac{1}{x} = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં પ્રદેશ $x \geq 1$ છે,તેથી અંતરાલ $(1, \infty)$ માં કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ નથી.
વિધેયનું વર્તન તપાસતા: $f'(x) = \frac{4x^2 - 1}{x}$. $x > 1$ માટે,$4x^2 - 1 > 3$,તેથી $f'(x) > 0$.
$x \geq 1$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $[1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત સીમાબિંદુ $x = 1$ પર મળે છે.
$f(1) = 2(1)^2 - \ln(1) = 2 - 0 = 2$.

(A) ધારો કે $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તેથી $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
$P(x)$ ને $x=1$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય હોવાથી,$P'(1) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $3a + 2b + c = 0$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{P(x)+4}{x^2} + 2\right) = 6$,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)+4}{x^2} = 4$.
$P(x)$ ની કિંમત મૂકતા,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d + 4}{x^2} = 4$.
સીમા (limit) શાંત હોવા માટે,$x^{-2}$ અને $x^{-1}$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આથી,$d+4 = 0 \Rightarrow d = -4$ અને $c = 0$.
તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} (ax + b) = 4 \Rightarrow b = 4$.
સમીકરણ $(i)$ માં $b=4$ અને $c=0$ મૂકતા,$3a + 2(4) + 0 = 0 \Rightarrow 3a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$.
તેથી,$P(x) = -\frac{8}{3}x^3 + 4x^2 - 4$.
વિકલન $P'(x) = -8x^2 + 8x$ થાય.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ કિંમત શોધતા,$P'(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{4}) + 8(\frac{1}{2}) = -2 + 4 = 2$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x - 3)^{2018}(x - 2)^{2019}$ છે.
ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$f'(x) = 2018(x - 3)^{2017}(x - 2)^{2019} + 2019(x - 3)^{2018}(x - 2)^{2018}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \{2018(x - 2) + 2019(x - 3)\}$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા,$2018x - 4036 + 2019x - 6057 = 4037x - 10093$.
આમ,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \cdot 4037 \left( x - \frac{10093}{4037} \right)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 3, 2, \frac{10093}{4037}$ છે.
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ ની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નની તપાસ કરતા,વિકલન ધનમાંથી ઋણ થાય છે,જે સ્થાનિક મહત્તમ દર્શાવે છે.
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ પર,$x - 3 = -\frac{2018}{4037}$ અને $x - 2 = \frac{2019}{4037}$ મળે છે.
તેથી,$f(\alpha) = \left( -\frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.
તેથી,$2\alpha + 3f(\alpha) = 2 \left( \frac{10093}{4037} \right) + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \frac{20186}{4037} + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.

(A) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 2$ છે. ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $2x$ અને પહોળાઈ $y$ છે જે અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = R^2 = 2^2 = 4$.
તેથી,$x = \sqrt{4 - y^2}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2x) \times y = 2y \sqrt{4 - y^2}$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = 4y^2(4 - y^2) = 16y^2 - 4y^4$ ને મહત્તમ કરીએ.
ધારો કે $f(y) = 16y^2 - 4y^4$. $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(y) = 32y - 16y^3$ મળે છે.
$f'(y) = 0$ લેતા,આપણને $16y(2 - y^2) = 0$ મળે છે.
$y > 0$ હોવાથી,$y^2 = 2$,તેથી $y = \sqrt{2}$.
ત્યારબાદ $x = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 2\sqrt{2}$ અને $y = \sqrt{2}$ છે.
આમ,નાની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે નક્કર નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે,$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r$.
$\frac{dS}{dr} = 0$ લેતા,$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $V = 2\pi r^3$.
$V = \pi r^2 h$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi r^2 h = 2\pi r^3$,જેનું સાદું રૂપ $h = 2r$ મળે છે.
$2r$ એ વ્યાસ હોવાથી,જ્યારે ઊંચાઈ વ્યાસ જેટલી હોય ત્યારે પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) વિકલનીય વિધેય $f$ માટે અંતિમ બિંદુ $c$ એ $f'(c) = 0$ નું પાલન કરે છે.
વિધાન $Y$ માટે: ધારો કે $g(x) = rf(x)$. તો $g'(x) = rf'(x)$. $x=c$ આગળ,$g'(c) = rf'(c) = r(0) = 0$. આમ,$c$ એ $rf$ નું અંતિમ બિંદુ છે.
વિધાન $M$ માટે: ધારો કે $h(x) = r + f(x)$. તો $h'(x) = f'(x)$. $x=c$ આગળ,$h'(c) = f'(c) = 0$. આમ,$c$ એ $r+f$ નું અંતિમ બિંદુ છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 8$ છે.
વળાંક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 5x + 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
આમ,વળાંક બિંદુઓના $x$-યામ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
$x = 2$ માટે,$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 8 = 16 - 60 + 72 - 8 = 20$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 8 = 54 - 135 + 108 - 8 = 19$.
આપેલ છે કે $\alpha < \gamma$,તેથી $\alpha = 2$ અને $\gamma = 3$ થાય.
તદનુસાર,$\beta = 20$ અને $\delta = 19$ થાય.
હવે,$\alpha - \gamma - \beta + \delta = 2 - 3 - 20 + 19 = -2$.

(B) ધારો કે $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ તથા $h$ એ નળાકારની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ છે.
ગોળા અને અંતર્ગત નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ છે: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$.
આથી,$r^2 = R^2 - h^2/4$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - h^2/4) h = \pi R^2 h - \pi h^3/4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h^2 = \frac{4R^2}{3}$,તેથી $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
અહીં $R = 3 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $h = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \ cm$.
કારણ કે $\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} < 0$ છે,તેથી $h = 2 \sqrt{3} \ cm$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 e^{-2x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-2x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x})$
$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x}$
$f'(x) = 2x e^{-2x}(1 - x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$2x e^{-2x}(1 - x) = 0$
અહીં $x > 0$ અને $e^{-2x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,એટલે કે $x = 1$.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$ (વિધેય વધતું વિધેય છે).
$x > 1$ માટે,$f'(x) < 0$ (વિધેય ઘટતું વિધેય છે).
આમ,$x = 1$ આગળ $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ થાય.

(A) આપેલ છે,$y=x^3-3 x^2+5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ અથવા $x = 2$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$ મળે છે.
$x = 0$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(0) - 6 = -6 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલિત $x = 0$ આગળ ઋણ છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2) - 6 = 6 > 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલિત $x = 2$ આગળ ધન છે,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
તેથી,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = 0$ આગળ મળે છે.

(C) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે અને શંકુની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ છે કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$\triangle OPB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$\Rightarrow r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
અહીં $h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ માટે,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ આગળ ઘનફળ મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ છે.
અંતિમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
અંતિમ કિંમતો માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ:
$3x^2 + 2ax + b = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2 - 3b)$ છે.
શરત $a^2 \leq 3b$ આપેલ હોવાથી,$a^2 - 3b \leq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $D \leq 0$.
જો $D < 0$ હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી અને વિધેય ચુસ્તપણે એકવિધ છે.
જો $D = 0$ હોય,તો $f'(x) = 3(x + a/3)^2$,જે હંમેશા $\geq 0$ છે,તેથી વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેમાં નતિપરિવર્તન બિંદુ છે,અંતિમ કિંમત નથી.
તેથી,વિધેય કોઈ અંતિમ કિંમત ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (x-1)^2 + 3$ છે,જે અંતરાલ $x \in [-3, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2(x-1) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
અહીં $x = 1$ એ અંતરાલ $[-3, 1]$ નો અંતિમ બિંદુ છે,તેથી આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને સીમાઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$x = 1$ માટે,$f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ માટે,$f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $m = 3$ અને મહત્તમ કિંમત $M = 19$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ એ $(3, 19)$ છે.

(A) આપેલ છે,$f(x)=x e^{-x}$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$.
આગળ,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$.
$x=1$ આગળ મૂલ્ય તપાસો:
$f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
જેથી $f^{\prime}(1) = 0$ અને $f^{\prime \prime}(1) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ માટેનું સાચું કારણ છે.

(C) ધારો કે $y = 2x^2 + x - 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $y' = 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $y' = 0$ લેતા,$4x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = -\frac{1}{4}$.
દ્વિતીય વિકલન $y'' = 4$ છે,જે ધન $(> 0)$ છે,જે સાબિત કરે છે કે વિધેય $x = -\frac{1}{4}$ પર ન્યૂનતમ છે.
$x = -\frac{1}{4}$ ને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{9}{8}$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = x^2 y^3$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P(x) = x^2(20 - x)^3$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dx} = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2(-1) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$.
$\frac{dP}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 20$,અથવા $x = 8$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 8$ લઈએ છીએ.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 20 - 8 = 12$ થાય.
આમ,તે સંખ્યાઓ $8$ અને $12$ છે.

(C) ધારો કે $M = xy$.
આપેલ છે કે $x + y = 7$,તેથી $y = 7 - x$ લખી શકાય.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = x(7 - x) = 7x - x^2$ મળે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$M$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dM}{dx} = 0$ લેતા,$7 - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{7}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવતા: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$.
અહીં $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ હોવાથી,વિધેય $M$ ની કિંમત $x = \frac{7}{2}$ આગળ મહત્તમ છે.
તેથી મહત્તમ કિંમત $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = x \log x + x - 3$.
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x + 1 = 1 + \log x + 1 = \log x + 2$.
$x \in (1, 3)$ માટે,$\log x > 0$,તેથી $f'(x) = \log x + 2 > 2 > 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(1, 3)$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
$f(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 3 = -2$.
$f(3) = 3 \log 3 + 3 - 3 = 3 \log 3 > 0$.
$f(1) < 0$ અને $f(3) > 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત અને વધતું વિધેય હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(1, 3)$ માં બરાબર એક ઉકેલ મળે છે.

(C) આપેલ ઊંચાઈનું વિધેય: $x(t) = 100t - \frac{25}{2}t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = 100 - 25t$.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે,પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$100 - 25t = 0 \implies t = 4 \text{ s}$.
હવે,તે મહત્તમ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -25$.
અહીં $\frac{d^2x}{dt^2} < 0$ હોવાથી,$t = 4 \text{ s}$ પર વિધેય મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$t = 4$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x_{\text{max}} = 100(4) - \frac{25}{2}(4)^2 = 400 - \frac{25}{2}(16) = 400 - 200 = 200 \text{ m}$.

(B, C) આપેલ પ્રવેગ $f = \frac{dv}{dt} = 6 - \sqrt{1.2t}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$ છે.
જ્યારે પ્રવેગ $f = 0$ હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે.
$f = 0$ લેતા,$6 - \sqrt{1.2t} = 0 \Rightarrow \sqrt{1.2t} = 6 \Rightarrow 1.2t = 36 \Rightarrow t = \frac{36}{1.2} = 30 \text{ sec}$.
આમ,સમય $T = 30 \text{ sec}$ છે.
મહત્તમ વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 30$ સુધી પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$v = \int_{0}^{30} (6 - \sqrt{1.2} \cdot t^{1/2}) dt$
$v = [6t - \sqrt{1.2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}]_{0}^{30}$
$v = 6(30) - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot (30)^{3/2}$
$v = 180 - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot 30 \sqrt{30} = 180 - 20 \sqrt{36} = 180 - 20(6) = 180 - 120 = 60 \text{ ft/sec}$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v = 60 \text{ ft/sec}$ અને સમય $T = 30 \text{ sec}$ છે.

(A) આપેલ પ્રવેગ $v'(t) = a - kt^2$ છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$v(0) = 0$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $v(t) = \int (a - kt^2) dt = at - \frac{k}{3}t^3 + C$ મળે છે.
$v(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C = 0$ મળે છે,તેથી $v(t) = at - \frac{k}{3}t^3$.
મહત્તમ વેગ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગને શૂન્ય લઈએ છીએ: $a - kt^2 = 0$,જે $t^2 = \frac{a}{k}$ આપે છે,અથવા $t = \sqrt{\frac{a}{k}}$ ($t > 0$ હોવાથી).
$t$ ની આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \left(\sqrt{\frac{a}{k}}\right)^3$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{a}{k} \sqrt{\frac{a}{k}}$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{a^3}{k}}$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}(4-x).$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f^{\prime}(x)=0$ લઈએ.
$(x-1)^{2}(4-x)=0 \implies x=1, 4.$
આપણે અંતરાલો $(-\infty, 1), (1, 4),$ અને $(4, \infty)$ માં $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસીએ.
$x \in (-\infty, 1)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (1, 4)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0.$
$x \in (4, \infty)$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0.$
કારણ કે $x \in (-\infty, 4)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $(-\infty, 4)$ માં વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $x \in (4, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $(4, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
$x=4$ આગળ,$f^{\prime}(x)=0$ થાય છે,તેથી $x=4$ એ ક્રાંતિક બિંદુ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^4 - x^3 + x^2)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot (4x^3 - 3x^2 + 2x)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot x(4x^2 - 3x + 2)$.
દ્વિઘાત પદ $4x^2 - 3x + 2$ માટે,વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23 < 0$ છે.
અહીં સહગુણક $4 > 0$ અને $D < 0$ હોવાથી,$4x^2 - 3x + 2$ હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,$f'(x)$ ની નિશાની માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે.
$x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું વિધેય છે.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ આગળ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = e^{(0^4 - 0^3 + 0^2)} = e^0 = 1$ થાય.

(B) કારણ કે $p(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે,તેથી તેના વિકલિત $p^{\prime}(x)$ ના બીજ $x=1$ અને $x=3$ હોવા જોઈએ. આમ,$p^{\prime}(x) = a(x-1)(x-3)$ જ્યાં $a \neq 0$ એક અચળાંક છે.
$p^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $p(x) = a(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + b$ મળે છે.
$p(1) = 6$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(\frac{1}{3} - 2 + 3) + b = 6 \implies \frac{4a}{3} + b = 6 \implies 4a + 3b = 18$.
$p(3) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + b = 2 \implies a(9 - 18 + 9) + b = 2 \implies b = 2$.
$b = 2$ ને $4a + 3b = 18$ માં મૂકતા,આપણને $4a + 6 = 18 \implies 4a = 12 \implies a = 3$ મળે છે.
આમ,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધતા,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 2)(x + 1) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 6$ શોધીએ.
$x = -1$ માટે,$f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2$ માટે,$f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
તેથી,વિધેયને એક સ્થાનિક મહત્તમ અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

(C) વિધેય $f(x) = |x^2 - 1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપણે તેના આલેખને જોઈને અથવા તેના નિર્ણાયક બિંદુઓની તપાસ કરીને વિધેયના વર્તનની વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
$1$. વિધેય $f(x) = |x^2 - 1|$ એ તમામ $x \in R$ માટે અ-ઋણ છે.
$2$. $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ,$f(x) = |1^2 - 1| = 0$ થાય છે. તમામ $x$ માટે $f(x) \ge 0$ હોવાથી,બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે જ્યાં ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
$3$. $x = 0$ આગળ,$f(0) = |0^2 - 1| = |-1| = 1$ થાય છે. $0$ ની આસપાસના નાના અંતરાલમાં (દા.ત.,$x \in (-1, 1)$),$f(x) = |x^2 - 1| = 1 - x^2$ થાય છે. આ અંતરાલમાં $x \neq 0$ માટે $1 - x^2 < 1$ હોવાથી,$x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
આમ,$f$ ને $x = \pm 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.

(B) વિધેય $f(x) = x(x - 1)(x - 2) \dots (x - 100)$ છે.
આ $101$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
વિધેયના શૂન્યો $x = 0, 1, 2, \dots, 100$ છે.
અગ્ર સહગુણક ધન હોવાથી અને ઘાત એકી હોવાથી,આલેખ $-\infty$ થી શરૂ થઈને $+\infty$ તરફ જાય છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક શૂન્યો $x = k$ અને $x = k+1$ ની વચ્ચે,રોલના પ્રમેય મુજબ ઓછામાં ઓછું એક સ્થાનિક અંતિમબિંદુ (extremum) હોવું જોઈએ.
અહીં $(k, k+1)$ સ્વરૂપના $100$ અંતરાલો છે,જ્યાં $k = 0, 1, \dots, 99$.
દરેક અંતરાલમાં બરાબર એક સ્થાનિક અંતિમબિંદુ છે.
વિધેય $(0, 1)$ માં ધન,$(1, 2)$ માં ઋણ,$(2, 3)$ માં ધન છે,તેથી સ્થાનિક અંતિમબિંદુઓ સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ વચ્ચે બદલાય છે.
અંતરાલો $(0, 1), (1, 2), (2, 3), \dots, (99, 100)$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો $(0, 1), (2, 3), \dots, (98, 99)$ અંતરાલોમાં મળે છે.
આવા અંતરાલોની સંખ્યા $50$ છે (એટલે કે $k = 0, 2, \dots, 98$).
આમ,$50$ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x + e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = 0$
$e^{\sin x} \cos x = e^{\cos x} \sin x$
$\frac{e^{\sin x}}{e^{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos x}$
$e^{\sin x - \cos x} = \tan x$
$f(x)$ એ $2\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય હોવાથી,$x$ માટેના ઉકેલો આવર્ત રીતે મળે છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$e^{\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)} = e^0 = 1$ અને $\tan(\pi/4) = 1$ થાય છે. તેથી,$x = \frac{\pi}{4}$ એ એક ક્રિટિકલ પોઈન્ટ છે.
$\sin x$ અને $\cos x$ ની આવર્તતાને કારણે,વિધેય $f(x)$ તેના મૂલ્યો દર $2\pi$ અંતરે પુનરાવર્તિત કરે છે.
તેથી,વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય તમામ પૂર્ણાંક $n$ માટે $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
આવા અનંત બિંદુઓ હોવાથી,વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય અનંત બિંદુઓ પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^{2/3} - x^2$.
અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} - 2x = 2x^{-1/3} - 2x = 2 \left( \frac{1 - x^{4/3}}{x^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 - x^{4/3} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{4/3} = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
વળી,$x = 0$ આગળ $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x > 1$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $f$ ને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$x = 0$ આગળ,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $f$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આમ,$f$ એ બે બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ પર મહત્તમ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 17(x-2)^{16}(x+5)^{24} + 24(x-2)^{17}(x+5)^{23}$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17(x+5) + 24(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17x + 85 + 24x - 48]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} (41x + 37)$
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=2, x=-5, x=-\frac{37}{41}$ છે.
હવે,$x=2$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$(x-2)^{16}$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(x+5)^{23}(41x+37)$ પર આધાર રાખે છે.
$x$ ની કિંમત $2$ થી થોડી ઓછી હોય ત્યારે,$(x+5)^{23} > 0$ અને $(41x+37) > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
$x$ ની કિંમત $2$ થી થોડી વધારે હોય ત્યારે,$(x+5)^{23} > 0$ અને $(41x+37) > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
જેમ $x$ ની કિંમત $2$ માંથી પસાર થાય છે તેમ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી,તેથી $x=2$ આગળ $f(x)$ ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા અથવા વિકલનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $u = \sin x$ અને $v = \cos x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $u^2 + v^2 = 1$.
$f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ માટે,વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin x = \cos x$ હોય.
$\sin x = \cos x$ લેતા,આપણને $\tan x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતોને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{1/\sqrt{2}} + e^{1/\sqrt{2}} = 2e^{1/\sqrt{2}}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $2e^{1/\sqrt{2}}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $\ell$ છે.
આપેલ છે કે વાયરની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી સેક્ટરની પરિમિતિ $2r + \ell = 20$ થાય.
આમ,$\ell = 20 - 2r$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2r = 10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,જે $0$ કરતા ઓછું છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(C) વિધેય $f(x) = |x^{2} - 1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપણે વિધેયના આલેખને જોઈને અથવા બિંદુઓની ચકાસણી કરીને તેનું વર્તન સમજી શકીએ છીએ.
$x = \pm 1$ આગળ,$f(x) = |(\pm 1)^{2} - 1| = |1 - 1| = 0$ થાય છે. નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) \geq 0$ છે. આમ,$x = \pm 1$ આગળ $f(x) = 0$ એ વિધેયનું નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ પણ છે.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = |0^{2} - 1| = |-1| = 1$ થાય છે. $x = 0$ ની નજીકની કિંમતો માટે,જેમ કે $x = 0.1$ અથવા $x = -0.1$,$f(0.1) = |(0.1)^{2} - 1| = |0.01 - 1| = 0.99$ મળે છે. કારણ કે $f(0) = 1 > 0.99$,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમનું બિંદુ છે.
તેથી,$f$ ને $x = \pm 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ અંતરાલ $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2x} = \frac{2x - (1+x^2)}{2x(1+x^2)} = \frac{-(x-1)^2}{2x(1+x^2)}$.
અહીં $-(x-1)^2 \leq 0$ અને $2x(1+x^2) > 0$ હોવાથી,$f'(x) \leq 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ આપેલ અંતરાલ પર ઘટતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત ડાબી બાજુના અંત્યબિંદુ $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર મળે છે:
$f_{\max} = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \ln 3$.
ન્યૂનતમ કિંમત જમણી બાજુના અંત્યબિંદુ $x = \sqrt{3}$ પર મળે છે:
$f_{\min} = f(\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \ln 3$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{x^2} = |x|$,વિધેયને $f(x) = 1 - |x|$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = 1 - |0| = 1$ થાય છે.
કોઈપણ $x \neq 0$ માટે,$|x| > 0$ હોવાથી,$f(x) = 1 - |x| < 1$ થાય છે.
દરેક $x$ માટે $f(x) \leq f(0)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$f$ ને $x = 0$ પર મહત્તમ મૂલ્ય (maxima) છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x)=0$ લો:
$6(x^{2}-3ax+2a^{2})=0 \Rightarrow 6(x-a)(x-2a)=0$.
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 12x-18a$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x=a$ માટે: $f''(a) = 12a-18a = -6a$. $a>0$ હોવાથી,$f''(a) < 0$,તેથી $f(x)$ ને $p=a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x=2a$ માટે: $f''(2a) = 12(2a)-18a = 6a$. $a>0$ હોવાથી,$f''(2a) > 0$,તેથી $f(x)$ ને $q=2a$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
શરત $p^{2}=q$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$a^{2} = 2a$.
$a>0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$a = 2$.

(B, C) ધારો કે $t$ સમયે પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $S_1$ છે અને બીજા કણનું સ્થાનાંતર $S_2$ છે.
પ્રથમ કણ માટે: $S_1 = u t$.
બીજા કણ માટે: $S_2 = \frac{1}{2} f t^2$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $D(t) = |S_1 - S_2| = |u t - \frac{1}{2} f t^2|$ છે.
મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $D(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dD}{dt} = u - f t = 0$.
આનાથી $t = \frac{u}{f}$ મળે છે.
$t = \frac{u}{f}$ સમયે,અંતર $D = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2} f(\frac{u}{f})^2 = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$ છે.
આમ,કણો $t = \frac{u}{f}$ સમયે મહત્તમ અંતરે હશે અને મહત્તમ અંતર $\frac{u^2}{2f}$ છે.
તેથી,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \exp\left(x^{\frac{1}{x}}\right)$. ધારો કે $g(x) = x^{\frac{1}{x}}$. કારણ કે $\exp(u)$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યાં મળશે જ્યાં $g(x)$ ન્યૂનતમ હોય.
$g(x)$ નો પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(g(x)) = \frac{\ln x}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
$g'(x) = 0$ લેતા $1 - \ln x = 0$,તેથી $x = e \approx 2.718$.
$x < e$ માટે $g'(x) > 0$ (વધતું) અને $x > e$ માટે $g'(x) < 0$ (ઘટતું).
કારણ કે $e \in [2, 5]$,વિધેય $g(x)$ એ $[2, e]$ માં વધે છે અને $[e, 5]$ માં ઘટે છે.
$[2, 5]$ પર $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત અંતિમ બિંદુઓ $x = 2$ અથવા $x = 5$ પર મળે.
$g(2) = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ અને $g(5) = 5^{1/5} \approx 1.3797$ ની સરખામણી કરતા.
$g(5) < g(2)$ હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5^{1/5}$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\exp\left(5^{\frac{1}{5}}\right)$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = 2|x-1| + |x-2|$.
અમે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: જો $x < 1$,તો $f(x) = -2(x-1) - (x-2) = -2x + 2 - x + 2 = -3x + 4$. અહીં ઢાળ $-3$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં ઘટે છે.
કિસ્સો $2$: જો $1 \leq x < 2$,તો $f(x) = 2(x-1) - (x-2) = 2x - 2 - x + 2 = x$. અહીં ઢાળ $1$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં વધે છે.
કિસ્સો $3$: જો $x \geq 2$,તો $f(x) = 2(x-1) + (x-2) = 2x - 2 + x - 2 = 3x - 4$. અહીં ઢાળ $3$ હોવાથી,વિધેય આ અંતરાલમાં વધે છે.
આમ,વિધેય $x=1$ સુધી ઘટે છે અને ત્યારબાદ વધવાનું શરૂ કરે છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x=1$ આગળ મળે છે.
$f(1) = 2|1-1| + |1-2| = 2(0) + |-1| = 0 + 1 = 1$.

(C) આપેલ છે,$f(x)=\sin x+2 \cos ^{2} x$,જ્યાં $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x = \cos x(1 - 4 \sin x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\cos x = 0$ અથવા $\sin x = \frac{1}{4}$.
અંતરાલ $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ માં,$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin x = \frac{1}{4}$ આ અંતરાલમાં શક્ય નથી કારણ કે $\sin x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતિમ બિંદુઓ અને નિર્ણાયક બિંદુ પર કિંમતો તપાસતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$.
આમ,$f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.