Maxima and Minima Questions in Gujarati

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{8x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 - 16 = 0$,તેથી $x = 4$ અથવા $x = -4$ મળે.
અંતરાલ $[1, 6]$ હોવાથી,આપણે ફક્ત $x = 4$ ને ધ્યાનમાં લઈશું.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $[1, 6]$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} = 2.125$.
$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.083$.
$f(1) = \frac{17}{8}$,$f(4) = 1$,અને $f(6) = \frac{13}{12}$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $\frac{17}{8}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 e^{-3x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^{-3x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} + x^3 (-3 e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} (1 - x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$3x^2 e^{-3x} (1 - x) = 0$
અહીં $x > 0$ અને $e^{-3x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,એટલે કે $x = 1$.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ. $x < 1$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) < 0$ છે.
આમ,$f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(1) = (1)^3 e^{-3(1)} = e^{-3}$ છે.

(A) સ્થાનાંતર $x = t^4 - k t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
વેગ ન્યૂનતમ હોવાની શરત શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ શોધીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ પર વેગ ન્યૂનતમ હોવા માટે,સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન $t = 2$ પર શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\frac{dv}{dt} \big|_{t=2} = 12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(B) ઢાળ મહત્તમ હોય તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $f'(x)$ ને મહત્તમ બનાવવું પડશે. ધારો કે $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.
$g(x)$ મહત્તમ હોય તે માટે,આપણે $g'(x) = f''(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
$f''(x) = 0$ લેતા $2e^x \cos x = 0$ મળે છે. $e^x \neq 0$ હોવાથી,$\cos x = 0$ થાય.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = 0$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{3\pi}{2}$ પર થાય છે.
આપણે $g(x)$ નું દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ,જે $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ છે.
$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \frac{3\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
તેથી,ઢાળ $x = \frac{\pi}{2}$ પર મહત્તમ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$.
અંતરાલ $(1, 2)$ ની સીમાઓ પર કિંમત શોધતા:
$f(1) = 1^{4} - 4(1)^{3} + 4(1)^{2} + c = 1 - 4 + 4 + c = 1 + c$.
$f(2) = 2^{4} - 4(2)^{3} + 4(2)^{2} + c = 16 - 32 + 16 + c = c$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,જો $f(1) \cdot f(2) < 0$ હોય,તો અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$f(1) \cdot f(2) = (1 + c)c$.
$f(1) \cdot f(2) < 0$ માટે,આપણે $c(c + 1) < 0$ જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $c \in (-1, 0)$.
કારણ કે $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$,આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 0, 1, 2$ પર $f'(x) = 0$ થાય છે.
અંતરાલ $(1, 2)$ માં,$f'(x) < 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,જો $c \in (-1, 0)$ હોય,તો $f(x)$ ને $(1, 2)$ માં બરાબર એક શૂન્ય છે.

(A) આપેલ છે $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$.
$e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$.
$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે.
$f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$.
કારણ કે $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$,તેથી $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$f(x) = 1-x$.
હવે,$g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$.
$g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $-12, 3, 4$ ની આસપાસ $g'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x < -12$ માટે,$g'(x) < 0$.
$-12 < x < 3$ માટે,$g'(x) > 0$.
$3 < x < 4$ માટે,$g'(x) < 0$.
$x > 4$ માટે,$g'(x) < 0$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ $p = -12$ પર અને સ્થાનિક મહત્તમ $q = 3$ પર મળે છે.
તેથી,$|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

(C) આપેલ છે $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$ માટે.
$t \in (-1, 0)$ માટે,$f(t) = \frac{t+1}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$. તેથી $f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} = -\frac{t+2}{t^3}$. $t < 0$ હોવાથી,$t^3 < 0$,તેથી $t \in (-1, 0)$ માટે $f'(t) > 0$ થાય.
$t \in (-\infty, -1)$ માટે,$f(t) = \frac{-(t+1)}{t^2} = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}$. તેથી $f'(t) = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^3} = \frac{t+2}{t^3}$.
$f(t)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(t) < 0$ હોવું જોઈએ. $t^3 < 0$ હોવાથી,આપણે $t+2 > 0$ ની જરૂર છે,એટલે કે $t > -2$. આમ,$f(t)$ એ $(-2, -1)$ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
$(-2, -1)$ ને $(2\alpha, \alpha)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -1$ મળે છે.
હવે,$x > 2$ માટે $g(x) = 2\log_e(x-2) - x^2 + 4x + 1$.
$g'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + 4 = \frac{2 - 2x(x-2) + 4(x-2)}{x-2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} = \frac{-2(x-3)(x-1)}{x-2}$.
$x > 2$ માટે,$x = 3$ આગળ $g'(x) = 0$ થાય છે.
$x \in (2, 3)$ માટે,$g'(x) > 0$ અને $x > 3$ માટે,$g'(x) < 0$ થાય છે. તેથી,$x = 3$ આગળ $g(x)$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $g(3) = 2\log_e(3-2) - 3^2 + 4(3) + 1 = 2\log_e(1) - 9 + 12 + 1 = 0 - 9 + 13 = 4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 2025x^{2024} - 2000x^{1999}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે $x^{1999}(2025x^{25} - 2000) = 0$.
$x \in [0, 1]$ હોવાથી,ક્રાંતિક બિંદુ $x = (\frac{2000}{2025})^{1/25} = (\frac{80}{81})^{1/25} = \alpha$ છે.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{2025/25} - (\frac{80}{81})^{2000/25} = (\frac{80}{81})^{81} - (\frac{80}{81})^{80}$ ની ગણતરી કરતા.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{80} (\frac{80}{81} - 1) = (\frac{80}{81})^{80} (-\frac{1}{81}) = 80^{80} \cdot 81^{-80} \cdot (-81)^{-1} = 80^{80} \cdot (-81)^{-81}$.
આને $(80)^{80}(n)^{-81}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -81$ મળે છે.

(A) અંતરાલ $[0, 9]$ પર વિધેય $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ ની નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$3(x^2 - 12x + 32) = 0$
$3(x - 4)(x - 8) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 4$ અને $x = 8$ છે.
હવે,આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતરાલ $[0, 9]$ ના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેય $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0$
$f(4) = 4^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$
$f(8) = 8^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$
$f(9) = 9^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135$
આ કિંમતો $(0, 160, 128, 135)$ ની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે માનાંક વિધેય $|x+1|$ હંમેશા અનૃણ (non-negative) હોય છે,એટલે કે દરેક $x \in R$ માટે $|x+1| \ge 0$ થાય.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $-|x+1| \le 0$.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $-|x+1| + 3 \le 0 + 3$,જેનું સાદું રૂપ $f(x) \le 3$ થાય છે.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે પદ $-|x+1| = 0$ થાય,જે $x = -1$ આગળ શક્ય છે.
તેથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.