फलन $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ अंतराल . . . . . . पर वर्धमान है,जहाँ $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ है।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A: f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ अंतराल $(1, 2)$ के बाहर वर्धमान है।
$R: x \in (1, 2)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है।
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $a$ का अधिकतम मान,जिसके लिए फलन $f_{a}(x)=\tan ^{-1} 2 x-3 a x+7$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ में वर्धमान है,$\bar{a}$ है,तो $f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$K$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$,$x$ के सभी धनात्मक वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान (decreasing) है।

मान लीजिए $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$ है। $f$ किस अंतराल में एक ह्रासमान (decreasing) फलन है?

फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ किस अंतराल में एक वर्धमान फलन है?