Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(D) सबसे पहले,हम दोनों अंतरालों के लिए $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$x \le 0$ के लिए,$f(x) = x e^{3x}$। गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = e^{3x} + 3x e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = 2x^3 + x$। अतः $f'(x) = 6x^2 + 1$।
इस प्रकार,$f'(x) = \begin{cases} e^{3x}(1 + 3x), & x \le 0 \\ 6x^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$।
$f'(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,इसका अवकलज $f''(x) > 0$ होना चाहिए।
$x < 0$ के लिए,$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{3x}(1 + 3x)] = 3e^{3x}(1 + 3x) + 3e^{3x} = 3e^{3x}(2 + 3x)$।
$f''(x) > 0$ रखने पर,$3e^{3x}(2 + 3x) > 0$। चूंकि सभी $x$ के लिए $3e^{3x} > 0$ है,इसलिए $2 + 3x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -\frac{2}{3}$।
$x > 0$ के लिए,$f''(x) = \frac{d}{dx}[6x^2 + 1] = 12x$। $f''(x) > 0$ रखने पर,$12x > 0$,जिसका अर्थ है $x > 0$।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर $f'(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 1$ और $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1$। चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $f'(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।
अतः,$f'(x)$ अंतराल $x \in (-\frac{2}{3}, \infty)$ के लिए एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = e^x - e^{-x} + \cos x$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x} + \cos x) = e^x + e^{-x} - \sin x$.
हम जानते हैं कि $e^x + e^{-x} = 2 \cosh x$.
चूंकि $e^x + e^{-x} \ge 2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए ($AM$-$GM$ असमिका द्वारा) और $\sin x \le 1$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,हमारे पास है:
$f'(x) = (e^x + e^{-x}) - \sin x \ge 2 - 1 = 1$.
चूंकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ हमेशा वर्धमान (increasing) है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ ह्रासमान है,हमें $f'(x)$ ज्ञात करना होगा और $f'(x) < 0$ रखना होगा।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{d}{dx} \int e^x (x - 1)(x - 2) dx = e^x (x - 1)(x - 2)$ है।
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
अतः,$e^x (x - 1)(x - 2) < 0$ है।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए असमिका $(x - 1)(x - 2) < 0$ में बदल जाती है।
द्विघात समीकरण $(x - 1)(x - 2) = 0$ के मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$ अपने मूलों के बीच ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(1, 2)$ में ह्रासमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \ln |x|$ है।
फलन के एकदिष्ट ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x - \frac{1}{x}$.
अवकलज को शून्य से कम रखें: $4x - \frac{1}{x} < 0$.
इसे सरल करने पर $\frac{4x^2 - 1}{x} < 0$ प्राप्त होता है,जो $\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x} < 0$ है।
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ अंश या हर शून्य हो: $x = -1/2, 0, 1/2$.
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x \in (-\infty, -1/2)$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x \in (-1/2, 0)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x \in (0, 1/2)$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x \in (1/2, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$.
अतः,फलन $(-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2)$ अंतराल में एकदिष्ट ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^3 - x^2 + 100x + 1001$.
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 2x + 100$.
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(100) = 4 - 1200 = -1196$ है।
चूंकि $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन के लिए,यदि $a > b$ है,तो $f(a) > f(b)$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{1999} > \frac{1}{2000}$ है,इसलिए $f\left(\frac{1}{1999}\right) > f\left(\frac{1}{2000}\right)$ सत्य है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x - 1|}{x^2}$.
स्थिति $1$: यदि $x < 1$ और $x \neq 0$ है,तो $f(x) = \frac{-(x - 1)}{x^2} = \frac{1 - x}{x^2} = x^{-2} - x^{-1}$.
$f'(x) = -2x^{-3} + x^{-2} = \frac{-2 + x}{x^3} = \frac{x - 2}{x^3}$.
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$,अतः $\frac{x - 2}{x^3} < 0$.
यह $x \in (0, 1)$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $f(x) = \frac{x - 1}{x^2} = x^{-1} - x^{-2}$.
$f'(x) = -x^{-2} + 2x^{-3} = \frac{-x + 2}{x^3} = \frac{-(x - 2)}{x^3}$.
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$,अतः $\frac{-(x - 2)}{x^3} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{x - 2}{x^3} > 0$.
यह $x \in (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में ह्रासमान है।

(C) माना $f(x) = |x^2 - |x| - 2|$ है।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम इसका विश्लेषण $x \ge 0$ के लिए करते हैं,जहाँ $f(x) = |x^2 - x - 2| = |(x-2)(x+1)|$ है।
$x \ge 0$ के लिए,$x+1 > 0$ है,इसलिए $f(x) = |x-2|(x+1)$ है।
यदि $0 \le x < 2$ है,तो $f(x) = (2-x)(x+1) = -x^2 + x + 2$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = -2x + 1$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
फलन $(0, 1/2)$ में वर्धमान है और $(1/2, 2)$ में ह्रासमान है।
अतः,फलन $1/2$ को समाहित करने वाले किसी भी अंतराल में एकदिष्ट नहीं है,जैसे कि $(0, 2)$।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,$x \in (0, 2)$ वह सही अंतराल है जहाँ फलन एकदिष्ट नहीं है।

(C) $S_1$ का विश्लेषण: मान लीजिए $f(x) = e^x$ है। तब $f'(x) = e^x > 0$ है। फलन $g(x) = \frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{e^x}{e^x} = 1$ है। चूँकि $g(x) = 1$ एक अचर फलन है,यह वर्धमान फलन नहीं है। अतः,$S_1$ गलत है।
$S_2$ का विश्लेषण: $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x > 0$ और $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x > 0$ है। चूँकि अवकलज धनात्मक हैं,इसलिए $\sin x$ और $\tan x$ दोनों $(0, \frac{\pi}{2})$ में वर्धमान फलन हैं। अतः,$S_2$ सही है।
इसलिए,$S_1$ गलत है और $S_2$ सही है।

(D) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $f(x) = \begin{cases} \frac{-(x-1)}{x^2} & x < 1 \\ \frac{x-1}{x^2} & x \geq 1 \end{cases}$.
अवकलज $f'(x)$ की गणना करने पर:
$x < 1$ के लिए,$f(x) = \frac{-x+1}{x^2} = -x^{-1} + x^{-2}$,अतः $f'(x) = x^{-2} - 2x^{-3} = \frac{x-2}{x^3}$.
$x > 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x-1}{x^2} = x^{-1} - x^{-2}$,अतः $f'(x) = -x^{-2} + 2x^{-3} = \frac{-(x-2)}{x^3}$.
फलन $f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $x < 1$. हमें $\frac{x-2}{x^3} < 0$ की आवश्यकता है। चूंकि $x^3$ और $x$ के चिह्न समान होते हैं,इसका अर्थ है $x(x-2) < 0$,जो $x \in (0, 2)$ देता है। $x < 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in (0, 1)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $x > 1$. हमें $\frac{-(x-2)}{x^3} < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{x-2}{x^3} > 0$. यह तब सत्य है जब $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ हो। $x > 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में ह्रासमान है।

(B) $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ के रूप वाले फलन के लिए,इसके एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f(x) = \frac{u}{v}$ का अवकलज $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ होता है।
यहाँ,$u = \lambda \sin x + 3 \cos x$ और $v = 2 \sin x + 6 \cos x$ है।
$u' = \lambda \cos x - 3 \sin x$ और $v' = 2 \cos x - 6 \sin x$ है।
$u'v - uv' = (\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) - (\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x)$।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2\lambda \sin x \cos x + 6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$।
सरल करने पर,$2\lambda \sin x \cos x$ और $-18 \sin x \cos x$ पद कट जाते हैं।
शेष पद: $6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x + 6\lambda \sin^2 x - 6 \cos^2 x = 6(\lambda - 1)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 6(\lambda - 1)$।
$f'(x) > 0$ के लिए,$6(\lambda - 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda - 1 > 0$,अर्थात $\lambda > 1$।

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $f(x) = \begin{cases} (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6, & x \ge 3 \\ (x-2)(-(x-3)) = -(x^2 - 5x + 6) = -x^2 + 5x - 6, & x < 3 \end{cases}$.
जब $x \ge 3$ है,तब $f'(x) = 2x - 5$। चूंकि $x \ge 3$,इसलिए $2x - 5 \ge 2(3) - 5 = 1 > 0$। अतः,$f(x)$ अंतराल $[3, \infty)$ पर वर्धमान है।
जब $x < 3$ है,तब $f'(x) = -2x + 5$। फलन तब वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है $-2x + 5 > 0$,या $x < \frac{5}{2}$।
इन अंतरालों को मिलाने पर,फलन $(-\infty, \frac{5}{2}) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।

(B) फलन $f(x)$ के $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \leqslant 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x - 2ax + b$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x - 2a$.
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leqslant 0$ सभी $x$ के लिए होना चाहिए।
$\sqrt{3} \cos x + \sin x \leqslant 2a$.
हम जानते हैं कि $A \cos x + B \sin x$ का मान $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$A = \sqrt{3}$ और $B = 1$,इसलिए $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$.
अतः,$\sqrt{3} \cos x + \sin x$ का अधिकतम मान $2$ है।
असमानता $2 \leqslant 2a$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$2 \leqslant 2a$ अर्थात $a \geqslant 1$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) अंतराल $[a, b]$ पर एक वर्धमान फलन $f(x)$ का सतत या अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।
$1$. चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$[a, b]$ में किसी भी $x_1 < x_2$ के लिए,$f(x_1) \leq f(x_2)$ होता है।
$2$. $f(x)$ का परिसर $[f(a), f(b)]$ का उपसमुच्चय है,लेकिन यदि फलन असतत है तो यह $[f(a), f(b)]$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है।
$3$. $f'(x)$ सभी बिंदुओं पर मौजूद नहीं हो सकता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ हमेशा सही नहीं है।
$4$. किसी भी $c \in (f(a), f(b))$ के लिए,यदि $f(x) = c$ के दो अलग-अलग हल $x_1 < x_2$ होते,तो $f(x_1) = f(x_2) = c$ होता। यदि फलन सख्ती से वर्धमान है,तो यह असंभव है। इसलिए,विकल्प $D$ सबसे उपयुक्त है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^t}{{\sin }^{ - 1}}(t - 1)\ln t\,dt}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^\prime(x) = e^x \sin^{-1}(x-1) \ln x$.
$f(x)$ का प्रांत समाकल्य के प्रांत द्वारा निर्धारित होता है: $x > 0$ और $-1 \leq x-1 \leq 1$,जिसका अर्थ है $x \in (0, 2]$.
अब,अंतराल $(0, 2]$ में $f^\prime(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$1$. सभी $x$ के लिए $e^x > 0$ है।
$2$. $x \in (0, 1)$ के लिए $\ln x < 0$ और $x \in (1, 2]$ के लिए $\ln x > 0$ है।
$3$. $x \in (0, 1)$ के लिए $\sin^{-1}(x-1) < 0$ और $x \in (1, 2]$ के लिए $\sin^{-1}(x-1) > 0$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए: $f^\prime(x) = (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) > 0$.
$x \in (1, 2]$ के लिए: $f^\prime(x) = (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+) > 0$.
$x = 1$ पर,$f^\prime(1) = 0$ है। चूंकि सभी $x \in (0, 2]$ के लिए $f^\prime(x) \geq 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए होना चाहिए।
$f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} + 2m \cos x = \cos x (e^{\sin x} + 2m)$।
चूंकि $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$,इसलिए $\cos x > 0$ है।
अतः,हमें $e^{\sin x} + 2m > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए चाहिए।
इसका अर्थ है $2m > -e^{\sin x}$,या $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक बदलता है,$\sin x$,$0$ से $1$ तक बदलता है।
इसलिए,$e^{\sin x}$,$e^0 = 1$ से $e^1 = e$ तक बदलता है।
अतः,$-\frac{e^{\sin x}}{2}$,$-\frac{1}{2}$ से $-\frac{e}{2}$ तक बदलता है।
असमिका $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$m$ को $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ के उच्चक (supremum) से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$-\frac{e^{\sin x}}{2}$ का उच्चक $-\frac{1}{2}$ है।
अतः,$m \ge -\frac{1}{2}$,जो कि $\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$ है।

(C) कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt = x \cdot g'(x)$
चूँकि $g$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \geq -2$ के लिए $g'(x) \geq 0$ है।
अब,$f'(x) = x \cdot g'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \in [-2, 0)$ के लिए,$x < 0$ और $g'(x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \leq 0$ है। अतः,$f(x)$,$[-2, 0)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
$2$. $x > 0$ के लिए,$x > 0$ और $g'(x) \geq 0$,इसलिए $f'(x) \geq 0$ है। अतः,$f(x)$,$(0, \infty)$ पर एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$f(x)$,$x \in [-2, 0)$ के लिए ह्रासमान है और $x > 0$ के लिए वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2 \log_e(x - 2) - x^2 + 4x + 1$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$x - 2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 2$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{2}{x - 2} - 2x + 4$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{2 - 2x(x - 2) + 4(x - 2)}{x - 2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x + 4x - 8}{x - 2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x - 2}$.
अंश का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = \frac{-2(x^2 - 4x + 3)}{x - 2} = \frac{-2(x - 3)(x - 1)}{x - 2}$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$\frac{-2(x - 3)(x - 1)}{x - 2} > 0 \Rightarrow \frac{(x - 3)(x - 1)}{x - 2} < 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,अंतराल $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ के लिए $f'(x) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ का प्रांत $x > 2$ है,इसलिए $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ और $(2, \infty)$ का प्रतिच्छेदन $(2, 3)$ है।
अतः,फलन $(2, 3)$ अंतराल में वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
इसे हम $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\cos(2x) = -\sin(4x)$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x)$ बढ़ता है यदि $f'(x) > 0$ हो,जिसका अर्थ है $-\sin(4x) > 0$,या $\sin(4x) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\pi < 4x < 2\pi$ हो।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\pi/4 < x < \pi/2$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $\pi/4 < x < 3\pi/8$,$(\pi/4, \pi/2)$ का एक उपसमुच्चय है।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया अंतराल सही है।

(A) दिया गया फलन $y = [x(x - 3)]^2 = (x^2 - 3x)^2$ है।
फलन के वर्धमान होने के अंतराल को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं और इसे शून्य से अधिक रखते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 3x)(2x - 3) = 2x(x - 3)(2x - 3)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$,अर्थात $2x(x - 3)(2x - 3) > 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0$,$x = 3/2$ और $x = 3$ हैं।
संख्या रेखा पर अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$. $x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$.
$2$. $x \in (0, 3/2)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$.
$3$. $x \in (3/2, 3)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$.
$4$. $x \in (3, \infty)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$.
अतः,फलन $x \in (0, 3/2) \cup (3, \infty)$ के लिए वर्धमान है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही अंतराल $0 < x < 3/2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
यहाँ,$u = \lambda \sin x + 3 \cos x$ और $v = 2 \sin x + 6 \cos x$ है।
$u' = \lambda \cos x - 3 \sin x$ और $v' = 2 \cos x - 6 \sin x$ है।
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) - (\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x)}{(2 \sin x + 6 \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$(\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) = 2\lambda \sin x \cos x + 6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x$.
$(\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x) = 2\lambda \sin x \cos x - 6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x$.
इनका अंतर लेने पर:
अंश $= (6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x) - (-6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x) = 6\lambda(\cos^2 x + \sin^2 x) - 6(\sin^2 x + \cos^2 x) = 6\lambda - 6 = 6(\lambda - 1)$.
अतः,$f'(x) = \frac{6(\lambda - 1)}{(2 \sin x + 6 \cos x)^2}$.
फलन के एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि हर एक वर्ग है,यह हमेशा धनात्मक है। इसलिए,$6(\lambda - 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda - 1 > 0$,यानी $\lambda > 1$।

(B) दिया गया है कि $f''(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
माना $H(x) = f(1 - x) + 2f(x/2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $H'(x) = -f'(1 - x) + f'(x/2)$ प्राप्त होता है।
$H(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $H'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-f'(1 - x) + f'(x/2) > 0$,या $f'(x/2) > f'(1 - x)$।
चूंकि $f'(x)$ एक ह्रासमान फलन है,$f'(a) > f'(b)$ का अर्थ $a < b$ होता है।
इसलिए,$x/2 < 1 - x$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x/2 + x < 1 \Rightarrow 3x/2 < 1 \Rightarrow x < 2/3$।
अतः,$H(x)$ अंतराल $(0, 2/3)$ में वर्धमान है।
इसी प्रकार,$H(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $H'(x) < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $f'(x/2) < f'(1 - x)$,जो $x/2 > 1 - x$ की ओर ले जाता है,या $x > 2/3$।
अतः,$H(x)$ अंतराल $(2/3, 2)$ में ह्रासमान है।

(A) $\phi(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\phi'(x) = 3(f(x))^2 f'(x) - 6f(x) f'(x) + 4f'(x) + 5 + 3 \cos x - 4 \sin x$
$f'(x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\phi'(x) = f'(x) [3(f(x))^2 - 6f(x) + 4] + 5 + 3 \cos x - 4 \sin x$
द्विघात पद $3(f(x))^2 - 6f(x) + 4$ का विश्लेषण करने पर:
विविक्तकर $D = (-6)^2 - 4(3)(4) = 36 - 48 = -12 < 0$.
चूंकि मुख्य गुणांक धनात्मक है,इसलिए सभी $f(x) \in R$ के लिए $3(f(x))^2 - 6f(x) + 4 > 0$ है।
त्रिकोणमितीय पद $3 \cos x - 4 \sin x$ का विश्लेषण करने पर:
$a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
अतः,$3 \cos x - 4 \sin x$ का परिसर $[-5, 5]$ है।
इसलिए,$\phi'(x) = f'(x) \cdot [\text{धनात्मक मान}] + 5 + [\text{मान } [-5, 5] \text{ में}]$.
चूंकि $5 + [-5, 5] \ge 0$,यदि $f'(x) \ge 0$ (अर्थात $f$ वर्धमान है),तो $\phi'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $\phi$ वर्धमान है।

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1+t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.
चूंकि $t > 0$,$1+t^2 > 1$,इसलिए $0 < x < 1$.
हमें मिलता है $1+t^2 = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{1-x}{x}$.
साथ ही,$y = \frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} \cdot x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{x^2}{(1-x)/x} = \frac{x^3}{1-x}$.
चूंकि $t > 0$,$y > 0$,इसलिए $y = \sqrt{\frac{x^3}{1-x}}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}} \cdot \frac{(1-x)(3x^2) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2y} \cdot \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{2y(1-x)^2}$.
$f$ के वर्धमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$.
चूंकि $y > 0$ और $(1-x)^2 > 0$,हमें $3x^2 - 2x^3 > 0$ की आवश्यकता है।
$x^2(3 - 2x) > 0$.
$x \in (0, 1)$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए हमें $3 - 2x > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x < 3/2$.
चूंकि $x$ का मान $(0, 1)$ तक सीमित है,फलन सभी $x \in (0, 1)$ के लिए वर्धमान है।

(D) दिया गया है $y = 2x + \cot^{-1} x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$.
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 2 - \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x} \cdot \left( \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} - 1 \right)$
$= 2 - \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \right)$
$= 2 - \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
चूंकि $x^2 \geq 0$,इसलिए $1+x^2 \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ और $0 < \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \leq 1$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2 - (\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) \geq 2 - (1 + 1) = 0$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\frac{dy}{dx} \geq 0$ है,इसलिए फलन $y$,$(-\infty, \infty)$ पर बढ़ता है।

(D) दिया गया है $g(x) = 2f(\frac{x}{2}) + f(2 - x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $g'(x) = 2f'(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} + f'(2 - x) \cdot (-1) = f'(\frac{x}{2}) - f'(2 - x)$.
हमें दिया गया है कि $f''(x) < 0$ सभी $x \in (0, 2)$ के लिए है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $f'(\frac{x}{2}) - f'(2 - x) > 0$,या $f'(\frac{x}{2}) > f'(2 - x)$.
चूंकि $f'(x)$ एक ह्रासमान फलन है,$f'(a) > f'(b)$ का अर्थ है $a < b$.
इसलिए,$\frac{x}{2} < 2 - x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{x}{2} + x < 2 \implies \frac{3x}{2} < 2 \implies x < \frac{4}{3}$.
अतः,$g(x)$ अंतराल $(0, 4/3)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ है।
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5x + 7) = 3x^2 - 6x + 5$.
अब,हम $f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $f'(x) = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x-1)^2 - 3 + 5 = 3(x-1)^2 + 2$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $(x-1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $3(x-1)^2 + 2 \ge 2 > 0$ होगा।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ $R$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$.
$f(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$-\sin 4x > 0 \implies \sin 4x < 0$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta < 0$ के लिए $\theta \in (\pi, 2\pi)$ होता है।
इसलिए,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ में एक वर्धमान फलन है।

(C) माना $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$
$x > 0$ के लिए,$x^2e^x$ स्पष्ट रूप से वर्धमान है क्योंकि इसका अवकलज $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ है।
अब $h(x) = x^2e^{-x}$ पर विचार करें।
$h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x).$
$0 < x < 2$ के लिए,$h'(x) > 0$ है,लेकिन $x > 2$ के लिए,$h'(x) < 0$ है।
अतः,$h(x)$ सभी $x > 0$ के लिए वर्धमान नहीं है,इसलिए कथन $-2$ असत्य है।
अब,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x) + \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) = (2x+x^2)e^x + (2x-x^2)e^{-x} = 2x(e^x+e^{-x}) + x^2(e^x-e^{-x}).$
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $e^x > e^{-x}$ है,इसलिए $e^x - e^{-x} > 0$ है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए वर्धमान है।
इसलिए,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ असत्य है।

(C) माना फलन $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$,जहाँ $x \in (0, \infty)$ है।
अवकलन करने पर,$h'(x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \cos x \le 1$ होता है,इसलिए सभी $x$ के लिए $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ है।
चूंकि $h'(x) \ge 0$ है और $h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए फलन $h(x)$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $h(x) \ge 0$ है।
अतः,$x \ge \sin x$,जिसका अर्थ है कि $g(x) \ge f(x)$ सत्य है। इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए,हम जानते हैं कि सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $\sin x \le 1$ है और $\lim_{x \to \infty} x = \infty$ है। कथन $2$ के दोनों भाग सत्य हैं।
हालाँकि,यह तथ्य कि $\sin x \le 1$ और $x \to \infty$ है,$x - \sin x$ के व्यवहार पर विचार किए बिना $x \ge \sin x$ को सीधे सिद्ध नहीं करता है। इसलिए,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1-x)} + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} [2x^2 - x - 1]$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x + 1)(x - 1)$
$f'(x) = -2 e^{x(1-x)} (x + 1/2)(x - 1)$
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x(1-x)} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x + 1/2)(x - 1)$ पर निर्भर करता है।
$x \in [-1/2, 1]$ के लिए,गुणनफल $(x + 1/2)(x - 1) \leq 0$ होता है।
इसलिए,$-(x + 1/2)(x - 1) \geq 0$ होता है।
अतः,$x \in [-1/2, 1]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[-1/2, 1]$ पर वर्धमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
भागफल नियम या श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $v = \sqrt{a^2 + x^2}$। तब $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $g(x) = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$। पद के आगे ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,इसका अवकलज $\frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
यहाँ $a^2, b^2 > 0$ है और हर हमेशा धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in (0, 2)$ के लिए $f''(x) > 0$ है,इसलिए अवकलज $f'(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
स्थिति $I$: यदि $x > 1$ है,तो $x > 2 - x$ होगा। चूंकि $f'(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > f'(2 - x)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) > 0$ है। अतः,$\phi(x)$ अंतराल $(1, 2)$ पर वर्धमान है।
स्थिति $II$: यदि $x < 1$ है,तो $x < 2 - x$ होगा। चूंकि $f'(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) < f'(2 - x)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) < 0$ है। अतः,$\phi(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर ह्रासमान है।
इसलिए,$\phi(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर ह्रासमान और $(1, 2)$ पर वर्धमान है।

(A) $h(x) = f(g(x))$
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
दिया है $f(x) = e^x - x$,इसलिए $f'(x) = e^x - 1$.
दिया है $g(x) = x^2 - x$,इसलिए $g'(x) = 2x - 1$.
अतः,$h'(x) = (e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1)$.
फलन $h(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$h'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1) \geq 0$.
स्थिति $1$: दोनों गुणनखंड अ-ऋणात्मक हों।
$e^{x^2 - x} - 1 \geq 0 \Rightarrow e^{x^2 - x} \geq 1 \Rightarrow x^2 - x \geq 0 \Rightarrow x(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [1, \infty)$.
स्थिति $2$: दोनों गुणनखंड अ-धनात्मक हों।
$e^{x^2 - x} - 1 \leq 0 \Rightarrow x^2 - x \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2x - 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$x$ का समुच्चय $[0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ और $f^{\prime \prime}(x) < 0$ है,अतः फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर वर्धमान और अवतल (concave downwards) है।
मान लीजिए $m_1$ बिंदु $(a, f(a))$ और $(c, f(c))$ से गुजरने वाली छेदक रेखा की ढाल है,और $m_2$ बिंदु $(c, f(c))$ और $(b, f(b))$ से गुजरने वाली छेदक रेखा की ढाल है।
$m_1 = \frac{f(c)-f(a)}{c-a}$ और $m_2 = \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
चूंकि फलन अवतल है,इसलिए जैसे-जैसे हम दाईं ओर बढ़ते हैं,छेदक रेखा की ढाल कम होती जाती है। इसलिए,$m_1 > m_2$.
$m_1$ और $m_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(c)-f(a)}{c-a} > \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
आवश्यक अनुपात को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{f(c)-f(a)}{f(b)-f(c)} > \frac{c-a}{b-c}$.

(A) माना $x_{1}$ और $x_{2}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में कोई दो संख्याएँ हैं,जहाँ $x_{1} < x_{2}$ है।
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें $7x_{1} < 7x_{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $7x_{1} - 3 < 7x_{2} - 3$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f(x_{1}) < f(x_{2})$ है।
चूँकि $x_{1} < x_{2}$ का तात्पर्य $f(x_{1}) < f(x_{2})$ है,जो सभी $x_{1}, x_{2} \in R$ के लिए सत्य है,अतः फलन $f(x) = 7x - 3$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर निरंतर वर्धमान है।
वैकल्पिक रूप से,अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $f'(x) = \frac{d}{dx}(7x - 3) = 7$ है।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = 7 > 0$ है,इसलिए फलन $R$ पर निरंतर वर्धमान है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$,$R$ पर वर्धमान है या नहीं,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x^{2} + 4x) = 3x^{2} - 6x + 4$
अब,हम $f'(x)$ के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखते हैं:
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x) + 4$
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x + 1 - 1) + 4$
$f'(x) = 3((x - 1)^{2} - 1) + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} - 3 + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} + 1$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x - 1)^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए $3(x - 1)^{2} \geq 0$ होगा।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $3(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि अवकलज $f'(x)$ प्रांत $R$ के सभी $x$ के लिए $0$ से बड़ा है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ पर वर्धमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \cos x$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
अंतराल $(0, \pi)$ में,$\sin x$ का मान सदैव धनात्मक होता है (अर्थात,$\sin x > 0$)।
इसलिए,प्रत्येक $x \in (0, \pi)$ के लिए $f'(x) = -\sin x < 0$ होता है।
चूँकि अंतराल $(0, \pi)$ में अवकलज ऋणात्मक है,अतः फलन $f(x) = \cos x$ अंतराल $(0, \pi)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \cos x$ किस अंतराल में वर्धमान या ह्रासमान है,हम पहले इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $-\sin x > 0$,जो सरल होकर $\sin x < 0$ हो जाता है।
अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में,ज्या (sine) फलन ऋणात्मक होता है (यह तीसरे और चौथे चतुर्थांश में स्थित है)।
चूँकि प्रत्येक $x \in (\pi, 2\pi)$ के लिए $\sin x < 0$ है,इसलिए $f'(x) = -\sin x > 0$ होता है।
अतः,फलन $f(x) = \cos x$ अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में निरंतर वर्धमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \cos x$ है।
चरण $1$: फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$.
चरण $2$: अंतराल $(0, 2\pi)$ में $f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण कीजिए।
$(a)$ $x \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin x > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) = -\sin x < 0$ है। अतः,फलन $f$ अंतराल $(0, \pi)$ में ह्रासमान है।
$(b)$ $x \in (\pi, 2\pi)$ के लिए,$\sin x < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) = -\sin x > 0$ है। अतः,फलन $f$ अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में वर्धमान है।
चरण $3$: निष्कर्ष।
चूंकि फलन अंतराल $(0, \pi)$ में ह्रासमान है और अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में वर्धमान है,इसलिए यह पूरे अंतराल $(0, 2\pi)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

(A) हमें दिया गया है $f(x) = x^{2} - 4x + 6$.
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2x - 4 = 0$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $x = 2$ वास्तविक संख्या रेखा को दो अंतरालों में विभाजित करता है: $(-\infty, 2)$ और $(2, \infty)$.
$(a)$ अंतराल $(2, \infty)$ में,किसी भी $x > 2$ के लिए,$f'(x) = 2x - 4 > 0$ है। अतः,फलन $f$ अंतराल $(2, \infty)$ में वर्धमान है।
$(b)$ अंतराल $(-\infty, 2)$ में,किसी भी $x < 2$ के लिए,$f'(x) = 2x - 4 < 0$ है। अतः,फलन $f$ अंतराल $(-\infty, 2)$ में ह्रासमान है।

(A) हमें दिया गया है $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 12x^2 - 12x - 72$
$f'(x) = 12(x^2 - x - 6)$
$f'(x) = 12(x - 3)(x + 2)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$12(x - 3)(x + 2) = 0$
$x = 3$ या $x = -2$।
बिंदु $x = -2$ और $x = 3$ वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,और $(3, \infty)$।
प्रत्येक अंतराल में $f'(x)$ का चिह्न जाँचने पर:
$1$. $(-\infty, -2)$ के लिए,$x = -3$ लें: $f'(-3) = 12(-6)(-1) = 72 > 0$। अतः,$f$ वर्धमान है।
$2$. $(-2, 3)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f'(0) = 12(-3)(2) = -72 < 0$। अतः,$f$ ह्रासमान है।
$3$. $(3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लें: $f'(4) = 12(1)(6) = 72 > 0$। अतः,$f$ वर्धमान है।

(N/A) हमारे पास $f(x) = \sin 3x$ है।
अतः,$f'(x) = 3 \cos 3x$ होगा।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे $3 \cos 3x = 0$ या $\cos 3x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ है,इसलिए $3x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right]$ होगा।
अतः,$3x = \frac{\pi}{2}$ या $3x = \frac{3\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{\pi}{2}$।
बिंदु $x = \frac{\pi}{6}$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ को दो उप-अंतरालों में विभाजित करता है: $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ और $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$।
जब $x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ है,तो $0 \leq 3x < \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए $\cos 3x > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$ पर वर्धमान है।
जब $x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ है,तो $\frac{\pi}{2} < 3x \leq \frac{3\pi}{2}$ होता है,इसलिए $\cos 3x < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f'(x) < 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर ह्रासमान है।

(N/A) हमें दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$.
अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \cos x - \sin x$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,$\cos x = \sin x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$। चूँकि $0 \leq x \leq 2 \pi$ है,इसलिए हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5 \pi}{4}$ हैं।
बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5 \pi}{4}$ अंतराल $[0, 2 \pi]$ को तीन भागों में विभाजित करते हैं: $[0, \frac{\pi}{4})$,$(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4})$,और $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$।
इन अंतरालों में $f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:

अंतराल	$f^{\prime}(x)$ का चिह्न	फलन की प्रकृति
$[0, \frac{\pi}{4})$	$f^{\prime}(x) > 0$	$f$ वर्धमान है
$(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4})$	$f^{\prime}(x) < 0$	$f$ ह्रासमान है
$(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$	$f^{\prime}(x) > 0$	$f$ वर्धमान है

अतः,$f$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ में वर्धमान है और $(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4})$ में ह्रासमान है।

(A) माना $x_{1}$ और $x_{2}$ कोई दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $x_{1} < x_{2}$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $3x_{1} < 3x_{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $17$ जोड़ने पर,हमें $3x_{1} + 17 < 3x_{2} + 17$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f(x_{1}) < f(x_{2})$।
चूँकि $x_{1} < x_{2}$ का तात्पर्य $f(x_{1}) < f(x_{2})$ है,सभी $x_{1}, x_{2} \in R$ के लिए,अतः फलन $f(x) = 3x + 17$ $R$ पर निरंतर वर्धमान है।
वैकल्पिक विधि:
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 17) = 3$।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = 3 > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ $R$ पर निरंतर वर्धमान है।

(N/A) माना $x_{1}$ और $x_{2}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में कोई दो संख्याएँ हैं,जहाँ $x_{1} < x_{2}$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2x_{1} < 2x_{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चरघातांकी फलन $f(t) = e^{t}$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए $e^{2x_{1}} < e^{2x_{2}}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $f(x_{1}) < f(x_{2})$ है।
अतः,$x_{1} < x_{2}$ होने पर $f(x_{1}) < f(x_{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए फलन $f(x) = e^{2x}$ समुच्चय $R$ पर निरंतर वर्धमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \sin x$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
अब हम अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
किसी भी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\cos x$ का मान हमेशा धनात्मक होता है (क्योंकि कोण प्रथम चतुर्थांश में स्थित है)।
अतः,$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f'(x) = \cos x > 0$ है।
चूँकि दिए गए अंतराल में अवकलज $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin x$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में निरंतर वर्धमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \sin x$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल को निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
हम अंतराल $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ पर विचार कर रहे हैं,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में,कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है,अर्थात सभी $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के लिए $\cos x < 0$ होता है।
चूँकि सभी $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ के लिए $f'(x) = \cos x < 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin x$ अंतराल $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = \sin x$ है।
हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \cos x$.
$(A)$ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\cos x > 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$.
अतः,$f(x)$,$(0, \frac{\pi}{2})$ में निरंतर वर्धमान है।
$(B)$ $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$\cos x < 0$,जिसका अर्थ है $f'(x) < 0$.
अतः,$f(x)$,$(\frac{\pi}{2}, \pi)$ में निरंतर ह्रासमान है।
$(C)$ चूँकि फलन अंतराल $(0, \pi)$ के एक भाग में निरंतर वर्धमान है और दूसरे भाग में निरंतर ह्रासमान है,इसलिए यह पूरे अंतराल $(0, \pi)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=2 x^{2}-3 x$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x) = 4x - 3$.
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x) = 0$ रखते हैं:
$4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
बिंदु $x = \frac{3}{4}$ वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अंतरालों में विभाजित करता है: $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ और $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$.
$(a)$ अंतराल $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$ के लिए,एक परीक्षण बिंदु $x = 1$ लें। तब $f^{\prime}(1) = 4(1) - 3 = 1 > 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$ में निरंतर वर्धमान है।
$(b)$ अंतराल $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ के लिए,एक परीक्षण बिंदु $x = 0$ लें। तब $f^{\prime}(0) = 4(0) - 3 = -3 < 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2}-36x+7) = 6x^{2}-6x-36$.
अब,अवकलज का गुणनखंड करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 6(x^{2}-x-6) = 6(x-3)(x+2)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$6(x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -2$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, 3)$,और $(3, \infty)$.
हम प्रत्येक अंतराल में $f^{\prime}(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$1$. $x \in (-\infty, -2)$ के लिए,$x = -3$ लें: $f^{\prime}(-3) = 6(-3-3)(-3+2) = 6(-6)(-1) = 36 > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
$2$. $x \in (-2, 3)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f^{\prime}(0) = 6(0-3)(0+2) = 6(-3)(2) = -36 < 0$. अतः,$f$ ह्रासमान है।
$3$. $x \in (3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लें: $f^{\prime}(4) = 6(4-3)(4+2) = 6(1)(6) = 36 > 0$. अतः,$f$ वर्धमान है।
निष्कर्ष:
$(a)$ फलन $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।
$(b)$ फलन $(-2, 3)$ में ह्रासमान है।