a (a 0) का वह मान जिसके लिए वक्रों y = frac | vedclass

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Question

(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा इस प्रकार दिया गया है:$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$समाकलन का मूल्यांकन करने पर:

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$1$

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(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा इस प्रकार दिया गया है:$A = \int_{a}^{2a} \left( \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2} \right) dx$समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$A = \left[ \frac{x^2}{12} - \frac{1}{x} \right]_{a}^{2a}$$A = \left( \frac{(2a)^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$$A = \left( \frac{4a^2}{12} - \frac{1}{2a} \right) - \left( \frac{a^2}{12} - \frac{1}{a} \right)$$A = \frac{3a^2}{12} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a}$$A = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$माना $f(a) = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{2a}$. न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(a)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:$f'(a) = \frac{2a}{4} - \frac{1}{2a^2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2a^2}$$f'(a) = 0$ रखने पर:$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a^2}$$a^3 = 1$$a = 1$चूंकि $f''(a) = \frac{1}{2} + \frac{1}{a^3} > 0$ है $a > 0$ के लिए,इसलिए फलन का मान $a = 1$ पर न्यूनतम है।

$a$ $(a > 0)$ का वह मान जिसके लिए वक्रों $y = \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2}$,$y = 0$,$x = a$ और $x = 2a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल न्यूनतम है,है

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