$a$ $(a > 0)$ का वह मान जिसके लिए वक्रों $y = \frac{x}{6} + \frac{1}{x^2}$,$y = 0$,$x = a$ और $x = 2a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल न्यूनतम है,है

क्षेत्र $R = \{(x, y) : 0 \le y \le \frac{27}{x}, 1 \le x \le 9\}$ का क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए $n \geq 2$ एक प्राकृतिक संख्या है और $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जो इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x)= \begin{cases} n(1-2nx) & \text{यदि } 0 \leq x \leq \frac{1}{2n} \\ 2n(2nx-1) & \text{यदि } \frac{1}{2n} \leq x \leq \frac{3}{4n} \\ 4n(1-nx) & \text{यदि } \frac{3}{4n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\ \frac{n}{n-1}(nx-1) & \text{यदि } \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{cases}$
यदि $n$ इस प्रकार है कि वक्रों $x=0, x=1, y=0$ और $y=f(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $4$ है,तो फलन $f$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$0 \le x \le \pi$ के लिए,$y = x$ और $y = x + \sin x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल क्या है?

यदि सरल रेखा $x=b$,$y=(1-x)^2$,$y=0$ और $x=0$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को दो भागों $R_1 (0 \leq x \leq b)$ और $R_2 (b \leq x \leq 1)$ में इस प्रकार विभाजित करती है कि $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$ हो,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $y=a \sqrt{x}+b x$ बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है और इस वक्र,रेखा $x=4$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है,तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।