वक्र y = x(1 - ln x),रेखा x = e^{-1},और x = e | vedclass

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Question

(B) क्षेत्रफल $A$,$x = e^{-1}$ से $x = e$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है।$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$माना $I =

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$\frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$

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(B) क्षेत्रफल $A$,$x = e^{-1}$ से $x = e$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है।$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$माना $I = \int x(1 - \ln x) \, dx = \int x \, dx - \int x \ln x \, dx$.$\int x \ln x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$u = \ln x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$.अतः,$I = \frac{x^2}{2} - (\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x$.अब,$e^{-1}$ से $e$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$A = [\frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x]_{e^{-1}}^{e}$$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \ln e) - (\frac{3e^{-2}}{4} - \frac{e^{-2}}{2} \ln e^{-1})$$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2}) - (\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{e^{-2}}{2})$$A = \frac{e^2}{4} - \frac{5e^{-2}}{4} = \frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$.

वक्र $y = x(1 - \ln x)$,रेखा $x = e^{-1}$,और $x = e^{-1}$ तथा $x = e$ के बीच धनात्मक $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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