a त्रिज्या वाले गोले से काटे गए h ऊँचाई के गो | vedclass

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Question

(A) गोलीय कैप का आवश्यक आयतन $x^2 + y^2 = a^2$ वृत्त के $ABCA$ क्षेत्र को $x$-अक्ष के परितः घुमाकर प्राप्त किया जाता है।यहाँ,$CA = h$ और $OA = a$ है।इ

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$\frac{\pi}{3}h^2(3a - h)$

Vedclass · Answer

(A) गोलीय कैप का आवश्यक आयतन $x^2 + y^2 = a^2$ वृत्त के $ABCA$ क्षेत्र को $x$-अक्ष के परितः घुमाकर प्राप्त किया जाता है।यहाँ,$CA = h$ और $OA = a$ है।इसलिए,$OC = OA - CA = a - h$ है।अतः,$x$ का मान $a - h$ से $a$ तक बदलता है।आवश्यक आयतन $V = \int_{a - h}^{a} \pi y^2 dx$ है।चूँकि $x^2 + y^2 = a^2$,इसलिए $y^2 = a^2 - x^2$ है।$V = \pi \int_{a - h}^{a} (a^2 - x^2) dx$$V = \pi \left[ a^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{a - h}^{a}$$V = \pi \left[ (a^3 - \frac{a^3}{3}) - (a^2(a - h) - \frac{(a - h)^3}{3}) \right]$$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3 - 3a^2h + 3ah^2 - h^3}{3}) \right]$$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (a^3 - a^2h - \frac{a^3}{3} + a^2h - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$$V = \pi \left[ \frac{2a^3}{3} - (\frac{2a^3}{3} - ah^2 + \frac{h^3}{3}) \right]$$V = \pi (ah^2 - \frac{h^3}{3}) = \frac{\pi h^2}{3}(3a - h)$.

$a$ त्रिज्या वाले गोले से काटे गए $h$ ऊँचाई के गोलीय कैप (spherical cap) का आयतन किसके बराबर है?

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