वक्रों y = -sqrt{-x} और x = -sqrt{-y} द्वारा | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $x, y \le 0$ के लिए $y = -\sqrt{-x}$ और $x = -\sqrt{-y}$ हैं।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = -x$ और $x^2 = -y$ प्राप्त होता ह

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$1/3$ है

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(B) दिए गए वक्र $x, y \le 0$ के लिए $y = -\sqrt{-x}$ और $x = -\sqrt{-y}$ हैं।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = -x$ और $x^2 = -y$ प्राप्त होता है।ये तीसरे चतुर्थांश में खुलने वाले परवलय हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = -x^2$ को $y^2 = -x$ में प्रतिस्थापित करें:$(-x^2)^2 = -x \Rightarrow x^4 = -x \Rightarrow x(x^3 + 1) = 0$.चूंकि $x \le 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = -1$ हैं।जब $x = 0, y = 0$। जब $x = -1, y = -1$।क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 0$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$A = \int_{-1}^{0} (	ext{ऊपरी वक्र} - 	ext{निचला वक्र}) dx$अंतराल $[-1, 0]$ में,वक्र $y = -\sqrt{-x}$,$y = -x^2$ के ऊपर है।$A = \int_{-1}^{0} (-\sqrt{-x} - (-x^2)) dx = \int_{-1}^{0} (x^2 - \sqrt{-x}) dx$$A = [\frac{x^3}{3} - \frac{(-x)^{3/2}}{3/2} 	imes (-1)]_{-1}^{0} = [\frac{x^3}{3} + \frac{2}{3}(-x)^{3/2}]_{-1}^{0}$$A = (0 + 0) - (\frac{-1}{3} + \frac{2}{3}(1)) = -(-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$.चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होना चाहिए,हम निरपेक्ष मान लेते हैं: $A = 1/3$.

वक्रों $y = -\sqrt{-x}$ और $x = -\sqrt{-y}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x, y \le 0$ है।

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