एक गोले को दो समानांतर समतलों द्वारा काटकर गो | vedclass

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Question

(B) गोले के अनुप्रस्थ काट को दर्शाने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।वृत्त के चाप को $x$-अक्ष के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न ठोस का वक्र

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$10\pi \, cm^2$

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(B) गोले के अनुप्रस्थ काट को दर्शाने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।वृत्त के चाप को $x$-अक्ष के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \, ds$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx$ है।$x^2 + y^2 = 25$ से,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।अतः $ds = \sqrt{1 + (-\frac{x}{y})^2} \, dx = \sqrt{\frac{y^2 + x^2}{y^2}} \, dx = \sqrt{\frac{25}{y^2}} \, dx = \frac{5}{y} \, dx$।समाकलन की सीमाएँ $x_1 = 2 \, cm$ से $x_2 = 2 + 1 = 3 \, cm$ तक हैं।इस प्रकार,$S = 2\pi \int_{2}^{3} y \cdot \frac{5}{y} \, dx = 2\pi \int_{2}^{3} 5 \, dx$।$S = 2\pi [5x]_{2}^{3} = 2\pi (15 - 10) = 10\pi \, cm^2$।

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