वक्र {y^2}(2a - x) = {x^3} और रेखा x = 2a के | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र ${y^2}(2a - x) = {x^3}$ है।चूंकि $y$ की घात सम है,इसलिए वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।$y$ को वास्तविक होने के लिए,$\frac{{x^3}}{

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$\frac{3\pi {a^2}}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वक्र ${y^2}(2a - x) = {x^3}$ है।चूंकि $y$ की घात सम है,इसलिए वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।$y$ को वास्तविक होने के लिए,$\frac{{x^3}}{{2a - x}} \ge 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $0 \le x रेखा $x = 2a$ वक्र के लिए अनंतस्पर्शी (asymptote) है।$x$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल $A = \int_0^{2a} y \, dx = \int_0^{2a} \sqrt{\frac{x^3}{2a - x}} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।मान लीजिए $x = 2a \sin^2 	heta$,तो $dx = 4a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$.जब $x = 0, 	heta = 0$ और जब $x = 2a, 	heta = \frac{\pi}{2}$.$A = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{8a^3 \sin^6 	heta}{2a \cos^2 	heta}} \cdot 4a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{2a \sqrt{2a} \sin^3 	heta}{\sqrt{2a} \cos 	heta} \cdot 4a \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta = 8a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 	heta \, d	heta$.वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 	heta \, d	heta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$.अतः,$A = 8a^2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi {a^2}}{2}$.इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

वक्र ${y^2}(2a - x) = {x^3}$ और रेखा $x = 2a$ के बीच $x$-अक्ष के ऊपर घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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