વક્ર y = x(1 - ln x),રેખા x = e^{-1},અને x = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = e^{-1}$ થી $x = e$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરવાથી મળે છે.$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$ધારો કે $I = \in

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = e^{-1}$ થી $x = e$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરવાથી મળે છે.$A = \int_{e^{-1}}^{e} x(1 - \ln x) \, dx$ધારો કે $I = \int x(1 - \ln x) \, dx = \int x \, dx - \int x \ln x \, dx$.$\int x \ln x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$u = \ln x$ અને $dv = x \, dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$ મળે.$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$.તેથી,$I = \frac{x^2}{2} - (\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x$.હવે,$e^{-1}$ થી $e$ સુધી નિશ્ચિત સંકલન મેળવતા:$A = [\frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x]_{e^{-1}}^{e}$$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \ln e) - (\frac{3e^{-2}}{4} - \frac{e^{-2}}{2} \ln e^{-1})$$A = (\frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2}) - (\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{e^{-2}}{2})$$A = \frac{e^2}{4} - \frac{5e^{-2}}{4} = \frac{e^2 - 5e^{-2}}{4}$.

વક્ર $y = x(1 - \ln x)$,રેખા $x = e^{-1}$,અને $x = e^{-1}$ તથા $x = e$ વચ્ચેના ધન $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો:

Similar Questions

પરવલય $y=x^{2}$ અને $y=|x|$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર $x = 2 - y - y^2$ અને $Y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે વક્ર $y=\sin x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$y = |x - 1|$ અને $y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module