Fundamental integration Questions in Gujarati

(A) અહીં સંકલન $a$ ચલની સાપેક્ષમાં કરવાનું છે.
અહીં $x$ ને અચળ ગણવામાં આવે છે,તેથી આપણે સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: $\int a^n \, da = \frac{a^{n+1}}{n+1} + c$.
$n = x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int a^x \, da = \frac{a^{x+1}}{x+1} + c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
તેથી,$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + c$ મળે છે.
$u = \sin x$ પાછું મૂકતા,આપણને $\log |\sin x| + c$ મળે છે.

(A) સંકલન $\int \frac{1}{x^4} \, dx$ શોધવા માટે,આપણે સંકલ્યને $x$ ની ઘાત તરીકે લખીએ છીએ:
$\int x^{-4} \, dx$.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (જ્યાં $n \neq -1$):
$\int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + c = \frac{x^{-3}}{-3} + c$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{1}{3x^3} + c$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${e^{\log f(x)}} = f(x)$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int {\frac{{{x^5} - {x^4}}}{{{x^3} - {x^2}}}\,dx}$
$= \int {\frac{{{x^4}(x - 1)}}{{{x^2}(x - 1)}}\,dx}$
$= \int {{x^2}\,dx}$
$= \frac{{{x^3}}}{3} + c$.

(A) સંકલન $\int {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\,dx}$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશના અવયવ પાડીને સંકલ્યને સરળ બનાવીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${x^4} + {x^2} + 1 = ({x^2} + 1)^2 - {x^2} = ({x^2} + 1 - x)({x^2} + 1 + x)$.
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int {\frac{({x^2} - x + 1)({x^2} + x + 1)}{{{x^2} - x + 1}}\,dx} = \int {({x^2} + x + 1)\,dx}$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int {x^2\,dx} + \int {x\,dx} + \int {1\,dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $\sec x$ નું સંકલન નીચે મુજબ છે:
$\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + c$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec x + \tan x = \frac{1}{\sec x - \tan x}$ થાય છે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\int \sec x \, dx = \log \left| \frac{1}{\sec x - \tan x} \right| + c$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^{-1}) = -\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int \sec x \, dx = -\log |\sec x - \tan x| + c$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$.
તેથી,$\int \sqrt{1 + \sin x} \, dx = \int |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \, dx$.
ધારો કે અંતરાલ જ્યાં $\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} > 0$ છે,ત્યારે:
$\int (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) \, dx = 2 \sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} + c = -2(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + c$.
કારણ કે $(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$,તેથી પરિણામ $-2\sqrt{1 - \sin x} + c$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ ની સાપેક્ષમાં $\cot x$ નું વિકલન $-\csc^2 x$ થાય છે.
તેથી,અનિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(A) સંકલન $\int (2\sin x + \frac{1}{x}) \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલનના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\int (2\sin x + \frac{1}{x}) \, dx = \int 2\sin x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \sin x \, dx = -\cos x + c_1$ અને $\int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + c_2$.
તેથી,$\int 2\sin x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx = 2(-\cos x) + \log |x| + c = -2\cos x + \log |x| + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$
$I = \sqrt{2} \int \cos \frac{x}{2} \, dx$
સંકલનના સૂત્ર $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{1}{2}$ છે:
$I = \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} + c$
$I = 2\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} + c$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\sin x \cos x = \sin 2x$ થાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sin 2x \,dx$
સંકલનના સૂત્ર $\int \sin(ax) \,dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{\cos 2x}{2} + c$
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1 - 2\sin^2 x}{2} + c$
$I = -\frac{1}{2} + \sin^2 x + c$
અહીં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,$- \frac{1}{2} + c$ ને નવા અચળાંક $C$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \sin^2 x + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) $\int \tan^2 x \, dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને અલગ કરીએ છીએ:
$= \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \sec^2 x \, dx = \tan x$ અને $\int 1 \, dx = x$ થાય છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $\tan x - x + c$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{\log(f(x))} = f(x)$ થાય છે.
તેથી,આપેલ સંકલન $\int {e^{\log (\sin x)}} \, dx = \int \sin x \, dx$ બને છે.
$\sin x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન $-\cos x + c$ થાય છે.
આમ,$\int \sin x \, dx = -\cos x + c$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int e^{x \log a} \cdot e^x \, dx$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{x \log a} = e^{\log(a^x)} = a^x$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int a^x \cdot e^x \, dx$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $I = \int (ae)^x \, dx$ થાય.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int k^x \, dx = \frac{k^x}{\log k} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k = ae$,આપણને $I = \frac{(ae)^x}{\log(ae)} + C$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{\sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2}}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}} \, dx$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec \frac{x}{2} \, dx$
સૂત્ર $\int \sec \theta \, d\theta = \log |\sec \theta + \tan \theta| + C$ નો ઉપયોગ કરતા અને $\frac{x}{2}$ માટે ચેઈન રૂલ લાગુ કરતા (જ્યાં વિકલન $\frac{1}{2}$ છે):
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}|}{1/2} + K$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} \log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}| + K$
$= \sqrt{2} \log |\sec \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}| + K$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos 2x - 1}{\cos 2x + 1} dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ અને $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{(1 - 2\sin^2 x) - 1}{(2\cos^2 x - 1) + 1} dx$
$I = \int \frac{-2\sin^2 x}{2\cos^2 x} dx$
$I = - \int \tan^2 x dx$
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = - \int (\sec^2 x - 1) dx$
$I = - \int \sec^2 x dx + \int 1 dx$
$I = - \tan x + x + c$
$I = x - \tan x + c$

(C) આપેલ સંકલન: $I = \int {\frac{{a{x^3} + b{x^2} + c}}{{{x^4}}}dx}$
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$I = \int {\left( {\frac{{a{x^3}}}{{{x^4}}} + \frac{{b{x^2}}}{{{x^4}}} + \frac{c}{{{x^4}}}} \right)dx}$
$I = \int {\left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}} + \frac{c}{{{x^4}}}} \right)dx}$
$I = \int {\frac{a}{x}dx + \int {b{x^{ - 2}}dx + \int {c{x^{ - 4}}dx} } }$
સંકલનના સૂત્રો $\int {\frac{1}{x}dx = \log |x|}$ અને $\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = a\log |x| + b\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}}} \right) + c\left( {\frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}}} \right) + C$
$I = a\log |x| - \frac{b}{x} - \frac{c}{{3{x^3}}} + C$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}dx} $.
આપણે સંકલ્યને $(x - 5)^{-2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$\int {x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ (જ્યાં $n \neq -1$):
$I = \int {(x - 5)^{-2} dx} = \frac{{{{(x - 5)}^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}} + c$
$I = \frac{{{{(x - 5)}^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c$
$I = - \frac{1}{{(x - 5)}} + c$.

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int \sqrt{2} \sqrt{1 + \sin x} \, dx$.
નિત્યસમ $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$I = \int \sqrt{2} (\sin(x/2) + \cos(x/2)) \, dx$.
$I = \sqrt{2} \int \sin(x/2) \, dx + \sqrt{2} \int \cos(x/2) \, dx$.
$I = \sqrt{2} [ -2 \cos(x/2) + 2 \sin(x/2) ] + c$.
$I = 2\sqrt{2} [ \sin(x/2) - \cos(x/2) ] + c$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} [ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x/2) - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(x/2) ] + c$.
$I = 4 [ \sin(x/2) \cos(\pi/4) - \cos(x/2) \sin(\pi/4) ] + c$.
$I = 4 \sin(x/2 - \pi/4) + c$.
$\sin(\theta) = -\cos(\theta + \pi/2)$ હોવાથી:
$I = -4 \cos(x/2 - \pi/4 + \pi/2) + c = -4 \cos(x/2 + \pi/4) + c$.
$-4 \cos(ax + b) + c$ સાથે સરખાવતા,$a = 1/2$ અને $b = \pi/4$ મળે છે.

(A) ઘાતાંકીય વિધેય $\int a^x \, dx$ નું સંકલન $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a > 0$ અને $a \neq 1$ છે.
અહીં,$a = 13$ છે.
તેથી,$\int 13^x \, dx = \frac{13^x}{\ln 13} + c$.
કલનશાસ્ત્રમાં $\log 13$ સામાન્ય રીતે પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે સંકલન $I = \int a^x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ઘાતાંકીય વિધેય $a^x$ નું વિકલન યાદ કરો:
$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$.
બંને બાજુ $\log a$ વડે ભાગતા (જ્યાં $a > 0$ અને $a \neq 1$),આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{a^x}{\log a} \right) = a^x$.
અનિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$ હોય,તો $\int f(x) \, dx = F(x) + c$ થાય.
તેથી,$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ ની સાપેક્ષમાં $\sec x$ નું વિકલન નીચે મુજબ છે:
$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$
અનિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x)$ હોય,તો $\int f(x) \, dx = F(x) + c$ થાય.
તેથી,$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણને સંકલન $I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) \, dx$ આપેલ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos 2x$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int -\cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + c$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{(x + 1)^2}{x(x^2 + 1)} \, dx$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$(x + 1)^2 = x^2 + 1 + 2x$ મળે છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{x^2 + 1 + 2x}{x(x^2 + 1)} \, dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા,$I = \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} \, dx + \int \frac{2x}{x(x^2 + 1)} \, dx$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા,$I = \int \frac{1}{x} \, dx + 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$.
આ પ્રમાણિત સ્વરૂપોનું સંકલન કરતા,$I = \log_e |x| + 2\tan^{-1} x + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x}}$.
આપણે સંકલનને $I = \int (1 - x)^{-1/2} dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
સંકલન સૂત્ર $\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -1$,$b = 1$,અને $n = -1/2$ છે:
$I = \frac{(1 - x)^{-1/2 + 1}}{(-1)(-1/2 + 1)} + c$
$I = \frac{(1 - x)^{1/2}}{(-1)(1/2)} + c$
$I = \frac{\sqrt{1 - x}}{-1/2} + c$
$I = -2\sqrt{1 - x} + c$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \frac{dx}{4x^2 + 9}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદમાંથી $4$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{dx}{4(x^2 + \frac{9}{4})} = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x^2 + (\frac{3}{2})^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{3}{2}$ છે:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3/2} \tan^{-1}(\frac{x}{3/2}) + c$.
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{2x}{3}) + c$.
$I = \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{2x}{3}) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.
$x = a \sec \theta$ આદેશ લેતા,$dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta \, d\theta}{a \tan \theta} = \int \sec \theta \, d\theta$.
$\sec \theta$ નું સંકલન $\log_e |\sec \theta + \tan \theta| + c$ થાય.
$x = a \sec \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \frac{x}{a}$ અને $\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}$ મળે.
તેથી,$I = \log_e \left| \frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right| + c = \log_e \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right| + c$.
લઘુગણકના નિયમ મુજબ,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \log_e |a| + c$. અહીં $-\log_e |a| + c$ ને નવો અચળાંક $c$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2}{x^2 + 4} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^2 + 4 - 4}{x^2 + 4} dx$
$I = \int \left( 1 - \frac{4}{x^2 + 4} \right) dx$
$I = \int 1 dx - 4 \int \frac{1}{x^2 + 2^2} dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = x - 4 \left( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) \right) + c$
$I = x - 2 \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + c$.

(C) સંકલન $I = \int \frac{dx}{a^2 - x^2}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{a^2 - x^2} = \frac{1}{(a - x)(a + x)} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x} \right)$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2a} \int \left( \frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2a} \left( \int \frac{1}{a + x} dx + \int \frac{1}{a - x} dx \right)$
$I = \frac{1}{2a} \left( \log |a + x| - \log |a - x| \right) + C$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log m - \log n = \log \left( \frac{m}{n} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સંકલન $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ એ એક પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર છે.
આદેશ $x = a \tan \theta$ લેતા,$dx = a \sec^2 \theta \ d\theta$ મળે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{a^2 \tan^2 \theta + a^2} = a \sec \theta$ થાય.
સંકલન $\int \frac{a \sec^2 \theta \ d\theta}{a \sec \theta} = \int \sec \theta \ d\theta$ સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે.
$\sec \theta$ નું સંકલન $\log |\sec \theta + \tan \theta| + c$ થાય છે.
હવે $\tan \theta = \frac{x}{a}$ અને $\sec \theta = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\log |\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} + \frac{x}{a}| + c = \log |\frac{x + \sqrt{x^2 + a^2}}{a}| + c = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| - \log |a| + c$ મળે.
અહીં $-\log |a| + c$ એ એક અચળાંક હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x - 2}{x^2 - 4x + 3} dx$.
$t = x^2 - 4x + 3$ આદેશ લેતા.
તેથી $dt = (2x - 4) dx = 2(x - 2) dx$,જેનો અર્થ છે કે $(x - 2) dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + c$.
$t = x^2 - 4x + 3$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \log |x^2 - 4x + 3| + c = \log \sqrt{|x^2 - 4x + 3|} + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $t = x^2 + 1$,તેથી $dt = 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
તેથી,$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^2 + 1}$.
બીજા ભાગ માટે,આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$.
બંને ભાગોને જોડતા,આપણને $I = \sqrt{x^2 + 1} + \log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $t = 3x - 5$. તેથી,$dt = 3 \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{3} \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \tan(3x - 5) \sec(3x - 5) \, dx = \int \tan(t) \sec(t) \cdot \frac{1}{3} \, dt$
$= \frac{1}{3} \int \sec(t) \tan(t) \, dt$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec(t) \tan(t)$ નું સંકલન $\sec(t) + c$ થાય છે,તેથી:
$= \frac{1}{3} \sec(t) + c$
$t = 3x - 5$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{3} \sec(3x - 5) + c$.

(B) $\int \tan^4 x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\int \tan^4 x \, dx = \int \tan^2 x (\tan^2 x) \, dx$
$= \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$= \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^2 x \, dx$
$= \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} = \frac{\tan^3 x}{3}$.
બીજા ભાગ માટે,$\int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{3} \tan^3 x - (\tan x - x) + c = \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + c$.

(A) ધારો કે $f(x) = t$. તેથી,$f'(x) \, dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \, dx = \int \frac{1}{t^2} \, dt$
$= \int t^{-2} \, dt$
$= \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + c$
$= \frac{t^{-1}}{-1} + c$
$= -\frac{1}{t} + c$
$= -\frac{1}{f(x)} + c$
$= -[f(x)]^{-1} + c$.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin 5x \sin 3x} \, dx$ છે.
કારણ કે $2x = 5x - 3x$,આપણે $\sin 2x = \sin(5x - 3x)$ લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \, dx$
$I = \int \left( \frac{\sin 5x \cos 3x}{\sin 5x \sin 3x} - \frac{\cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \right) \, dx$
$I = \int \left( \cot 3x - \cot 5x \right) \, dx$
સૂત્ર $\int \cot(ax) \, dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \log |\sin 3x| - \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int a^t (2 dt) = 2 \int a^t dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int a^t dt = \frac{a^t}{\log_e a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left( \frac{a^t}{\log_e a} \right) + c$.
કારણ કે $\frac{1}{\log_e a} = \log_a e$,તેથી:
$I = 2 a^t \log_a e + c$.
$t = \sqrt{x}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 a^{\sqrt{x}} \log_a e + c$.

(B) સંકલન $I = \int a^{3x + 3} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $t = 3x + 3$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = 3 dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int a^t \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int a^t dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int a^t dt = \frac{a^t}{\log_e a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^t}{\log_e a} + c$.
અંતે,$t = 3x + 3$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{a^{3x + 3}}{3 \log_e a} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,તેથી $dx = \cos \theta d\theta$.
સંકલન $I = \int \frac{1 + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int (1 + \sin^2 \theta) d\theta$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int (1 + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}) d\theta = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta + c = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + c$.
અહીં $\theta = \sin^{-1} x$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ હોવાથી,$I = \frac{3}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + c$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $I = \int \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \sec x \tan x \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec x$ નું વિકલન $\sec x \tan x$ થાય છે.
તેથી,$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + k$,જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^4 - 1}}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x \, dx}{x^2 \sqrt{(x^2)^2 - 1}}$.
$t = x^2$ આદેશ લેતા,$dt = 2x \, dx$,એટલે કે $x \, dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt/2}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \sec^{-1}(t) + k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + k$.
$t = x^2$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + k$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \sin^3 x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \sin^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \, dx = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (1 - u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^3}{3} - u + C$.
હવે $u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$.

(A) ધારો કે $I = \int {{x^x}(1 + \log x)\,dx} $.
વિધેય $f(x) = x^x$ ધ્યાનમાં લો.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\log f(x) = x \log x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ મળે છે.
આમ,$f'(x) = f(x)(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$.
કારણ કે $x^x$ નું વિકલન $x^x(1 + \log x)$ છે,તેથી $x^x(1 + \log x)$ નું સંકલન $x^x + C$ થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int {\frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}dx} $.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int {\frac{{{{\sec }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}dx} $.
$\tan x = t$ આદેશ લેતા,$\sec^2 x \, dx = dt$ થાય.
તેથી સંકલન $I = \int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}}} $ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \csc^4 x \, dx$.
આપણે $\csc^4 x$ ને $\csc^2 x \cdot \csc^2 x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \csc^2 x (1 + \cot^2 x) \, dx$
$I = \int \csc^2 x \, dx + \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx$
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = \cot x$,તેથી $du = -\csc^2 x \, dx$,એટલે કે $\csc^2 x \, dx = -du$.
$I = -\cot x + \int u^2 (-du)$
$I = -\cot x - \frac{u^3}{3} + c$
$I = -\cot x - \frac{\cot^3 x}{3} + c$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\int x \cos^2 x \, dx = \int x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{4}$.
બીજા ભાગ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરો: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = x$ અને $dv = \cos 2x \, dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx \right) = \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \int \sin 2x \, dx$.
$= \frac{x \sin 2x}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) = \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8}$.
બંને ભાગોને જોડતા: $\frac{x^2}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10}$.
તેથી,$\int \log_{10} x \, dx = \int \frac{\log_e x}{\log_e 10} \, dx = \frac{1}{\log_e 10} \int \log_e x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x + c$.
તેથી,$\int \log_{10} x \, dx = \frac{1}{\log_e 10} (x \log_e x - x) + c$.
$= \frac{x \log_e x}{\log_e 10} - \frac{x}{\log_e 10} + c$.
કારણ કે $\frac{\log_e x}{\log_e 10} = \log_{10} x$ અને $\frac{1}{\log_e 10} = \log_{10} e$,આપણને મળે છે:
$= x \log_{10} x - x \log_{10} e + c = x(\log_{10} x - \log_{10} e) + c$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_x e = \frac{1}{\log_e x}$.
તેથી,$\frac{1}{\log_x e} = \log_e x$.
સંકલન $\int \log_e x \, dx$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$,જ્યાં $u = \log_e x$ અને $v = 1$.
$\int \log_e x \cdot 1 \, dx = (\log_e x) \cdot x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \, dx$.
$= x \log_e x - \int 1 \, dx = x \log_e x - x + c$.
$= x(\log_e x - \log_e e) + c = x \log_e \left( \frac{x}{e} \right) + c$.

(D) સંકલન $I = \int \frac{1}{\cos x(1 + \cos x)} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંક અથવા બીજગણિતીય ફેરફારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{1}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{(1 + \cos x) - \cos x}{\cos x(1 + \cos x)} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{1 + \cos x}$.
હવે,દરેક પદનું અલગથી સંકલન કરો:
$I = \int \sec x \, dx - \int \frac{1}{1 + \cos x} \, dx$.
નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \log |\sec x + \tan x| - \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx$.
$I = \log |\sec x + \tan x| - \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$.
$\sec^2 \frac{x}{2}$ નું સંકલન $2 \tan \frac{x}{2}$ થાય છે:
$I = \log |\sec x + \tan x| - \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} + c$.
$I = \log |\sec x + \tan x| - \tan \frac{x}{2} + c$.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\int \sin 5x \cos 3x \; dx = \frac{1}{2} \int (\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) \; dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \; dx$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} - \frac{\cos 2x}{2} \right) + C$
$= -\frac{\cos 8x}{16} - \frac{\cos 2x}{4} + C$
આને આપેલ પદ $-\frac{\cos 8x}{16} + A$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $A = -\frac{\cos 2x}{4} + C$.