Special types of matrices, Transpose of matrices and Trace of matrices Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ થાય.
ભાગ $1$: ધારો કે $AB$ સંમિત છે.
તેથી $(AB)^{\prime} = AB$.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B^{\prime}A^{\prime} = AB$ મળે છે.
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ હોવાથી,આ દર્શાવે છે કે $BA = AB$.
ભાગ $2$: પ્રતિપક્ષે,ધારો કે $AB = BA$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $AB$ સંમિત છે,એટલે કે $(AB)^{\prime} = AB$.
$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ થાય.
$A$ અને $B$ સંમિત હોવાથી,$B^{\prime}A^{\prime} = BA$ થાય.
આપેલ છે કે $BA = AB$,તેથી $(AB)^{\prime} = AB$ થાય.
આમ,$AB$ સંમિત શ્રેણિક છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી:
$A' = A$ અને $B' = B$ ........ $(1)$
આપણે $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક તપાસવો પડશે:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'$
$= B'A' - A'B'$
$= BA - AB$ (સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= -(AB - BA)$
કારણ કે $(AB - BA)' = -(AB - BA)$,તેથી સાબિત થાય છે કે $(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(A) ધારો કે $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તો $A^{\prime} = A$ ......... $(1)$
વિચારો
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime}$
$= (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$ $[(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}]$
$= B^{\prime}A^{\prime}(B)$ $[(B^{\prime})^{\prime} = B]$
$= B^{\prime}(A^{\prime}B)$
$= B^{\prime}(AB)$ $[$ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા $]$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}AB$
આમ,જો $A$ સંમિત શ્રેણિક હોય,તો $B^{\prime}AB$ પણ સંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,ધારો કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તો $A^{\prime} = -A$ ......... $(2)$
વિચારો
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime} = (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$
$= (B^{\prime}A^{\prime})B$
$= B^{\prime}(-A)B$ $[$ $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા $]$
$= -B^{\prime}AB$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = -B^{\prime}AB$
આમ,જો $A$ વિસંમિત શ્રેણિક હોય,તો $B^{\prime}AB$ પણ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ,શ્રેણિક $B^{\prime}AB$ એ સંમિત અથવા વિસંમિત છે,જો $A$ અનુક્રમે સંમિત અથવા વિસંમિત હોય.

(C) જો $A$ એ સંમિત અને વિસંમિત બંને શ્રેણિક હોય,તો વ્યાખ્યા મુજબ આપણી પાસે $A^{\prime} = A$ અને $A^{\prime} = -A$ છે.
$A^{\prime}$ માટેના આ બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $A = -A$ મળે છે.
બંને બાજુ $A$ ઉમેરતા,આપણને $A + A = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2A = 0$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $A = 0$ મળે છે.
તેથી,$A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5A = \begin{bmatrix} 1+4 & 2-2 & 0+10 \\ 6+4 & -3-2 & 3+12 \\ -5+0 & 3+2 & 1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
હવે,$(2)$ પરથી,$B = 2A - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$:
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{Tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$\operatorname{Tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{Tr}(A) - \operatorname{Tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ અને $AA^{T} = I_{2}$.
પ્રથમ,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,ગુણાકાર $AA^{T}$ ગણો:
$AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\alpha \\ \alpha & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \alpha \\ -\alpha & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + \alpha^{2} & \alpha - \alpha\beta \\ \alpha - \alpha\beta & \alpha^{2} + \beta^{2} \end{bmatrix}$.
કારણ કે $AA^{T} = I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$1 + \alpha^{2} = 1 \Rightarrow \alpha^{2} = 0 \Rightarrow \alpha = 0$.
$\alpha - \alpha\beta = 0 \Rightarrow 0 - 0\beta = 0$ (જે હંમેશા સાચું છે).
$\alpha^{2} + \beta^{2} = 1 \Rightarrow 0 + \beta^{2} = 1 \Rightarrow \beta^{2} = 1$.
આપણે $\alpha^{4} + \beta^{4}$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$\alpha^{4} + \beta^{4} = (0)^{2} + (1)^{2} = 0 + 1 = 1$.

(A) આપેલ છે,$A^T = A$,$B^T = -B$,$C^T = -C$.
$(S1)$ માટે,ધારો કે $M = A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}$.
તેથી,$M^T = (A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13})^T = (B^{26})^T (A^{13})^T - (A^{13})^T (B^{26})^T$.
કારણ કે $B^T = -B$,$(B^T)^{26} = (-B)^{26} = B^{26}$.
તેથી,$M^T = B^{26} A^{13} - A^{13} B^{26} = -(A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}) = -M$.
આમ,$M$ વિસંમિત છે. $(S1)$ ખોટું છે.
$(S2)$ માટે,ધારો કે $N = A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26}$.
તેથી,$N^T = (A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26})^T = (C^{13})^T (A^{26})^T - (A^{26})^T (C^{13})^T$.
કારણ કે $C^T = -C$,$(C^T)^{13} = (-C)^{13} = -C^{13}$.
તેથી,$N^T = (-C^{13}) A^{26} - A^{26} (-C^{13}) = -C^{13} A^{26} + A^{26} C^{13} = N$.
આમ,$N$ સંમિત છે. $(S2)$ સાચું છે.
તેથી,માત્ર $S2$ સાચું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $P^{\top} = 2P + I$ છે.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$(P^{\top})^{\top} = (2P + I)^{\top}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(P^{\top})^{\top} = P$,તેથી $P = 2P^{\top} + I$ થાય.
આ સમીકરણમાં $P^{\top} = 2P + I$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = 2(2P + I) + I$.
$P = 4P + 2I + I$.
$P = 4P + 3I$.
પદોને ગોઠવતા,$3P = -3I$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $P = -I$.
તેથી,કોઈપણ સ્તંભ શ્રેણિક $X \neq 0$ માટે,$PX = (-I)X = -X$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $X$ અને $Y$ વિસંમિત છે,તેથી $X^T = -X$ અને $Y^T = -Y$. આપેલ છે કે $Z$ સંમિત છે,તેથી $Z^T = Z$.
$(A)$ માટે: $(Y^3 Z^4 - Z^4 Y^3)^T = (Z^4)^T (Y^3)^T - (Y^3)^T (Z^4)^T = Z^4 (-Y)^3 - (-Y)^3 Z^4 = -Z^4 Y^3 + Y^3 Z^4 = Y^3 Z^4 - Z^4 Y^3$. આ સંમિત છે.
$(B)$ માટે: $(X^{44} + Y^{44})^T = (X^{44})^T + (Y^{44})^T = (X^T)^{44} + (Y^T)^{44} = (-X)^{44} + (-Y)^{44} = X^{44} + Y^{44}$. આ સંમિત છે.
$(C)$ માટે: $(X^4 Z^3 - Z^3 X^4)^T = (Z^3)^T (X^4)^T - (X^4)^T (Z^3)^T = Z^3 (X^T)^4 - (X^T)^4 Z^3 = Z^3 X^4 - X^4 Z^3 = -(X^4 Z^3 - Z^3 X^4)$. આ વિસંમિત છે.
$(D)$ માટે: $(X^{23} + Y^{23})^T = (X^{23})^T + (Y^{23})^T = (X^T)^{23} + (Y^T)^{23} = (-X)^{23} + (-Y)^{23} = -(X^{23} + Y^{23})$. આ વિસંમિત છે.
આમ,$(C)$ અને $(D)$ વિસંમિત શ્રેણિકો છે.

(A) શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક,જેને $A'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેની હાર અને સ્તંભોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A'$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હારના ઘટકોને પ્રથમ સ્તંભ સાથે અને બીજી હારના ઘટકોને બીજા સ્તંભ સાથે બદલીએ છીએ.
આમ,$A' = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = -A$ અને $B^{\prime} = -B$ થાય.
ગુણાકારના પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$.
$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(AB)^{\prime} = (-B)(-A)$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^{\prime} = BA$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^T = A$ અને $B^T = B$ થાય.
ધારો કે શ્રેણિક $X = AB - BA$ છે.
$X$ સંમિત છે કે વિસંમિત તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધીએ:
$X^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$.
ગુણધર્મ $(PQ)^T = Q^T P^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X^T = B^T A^T - A^T B^T$.
$A^T = A$ અને $B^T = B$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$X^T = BA - AB = -(AB - BA) = -X$.
$X^T = -X$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેથી પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A + A^{\prime} = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{\prime}$ નો સરવાળો કરતા:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha + \sin \alpha & -\cos \alpha + \cos \alpha \\ \cos \alpha - \cos \alpha & \sin \alpha + \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેને $I$ સાથે સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આથી $2 \sin \alpha = 1$,એટલે કે $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ માટે $\alpha$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.

(B) શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક કહેવાય જો $A^T = -A$ હોય.
વિસંમિત શ્રેણિક માટે,મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $a = 0$.
વધુમાં,તમામ $i, j$ માટે $A_{ij} = -A_{ji}$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$A_{12} = 2$ અને $A_{21} = b$,તેથી $b = -2$.
$A_{13} = -3$ અને $A_{31} = c$,તેથી $c = -(-3) = 3$.
$A_{23} = 4$ અને $A_{32} = -4$,જે $4 = -(-4)$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$a = 0$,$b = -2$,અને $c = 3$.
સરવાળો કરતા: $a+b+c = 0 + (-2) + 3 = 1$.

(C) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોય જો $A = A^T$ થાય,જેનો અર્થ છે કે દરેક $i, j$ માટે $A_{ij} = A_{ji}$ થાય.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 2x+3 \\ x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ માટે,સંમિતતાની શરત $A_{12} = A_{21}$ છે.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને $2x + 3 = x - 2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા,આપણને $x + 3 = -2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $x = -5$ મળે છે.
તેથી,$x$ ની સાચી કિંમત $-5$ છે.

(B) $n$ કક્ષાના કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે $A^T = -A$ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A^T| = |-A|$ મળે છે.
કારણ કે $|A^T| = |A|$ અને $|-A| = (-1)^n |A|$,તેથી $|A| = (-1)^n |A|$ થાય.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,$n = 3$ છે,તેથી $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને સંમિત અને વિસંમિત શ્રેણિકના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$A = \frac{A + A^{\prime}}{2} + \frac{A - A^{\prime}}{2}$.
અહીં,$\frac{A + A^{\prime}}{2}$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $\frac{A - A^{\prime}}{2}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = B + \frac{C}{2}$,જ્યાં $B$ વિસંમિત છે અને $C$ સંમિત છે.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $B = \frac{A - A^{\prime}}{2}$ અને $\frac{C}{2} = \frac{A + A^{\prime}}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $C = A + A^{\prime}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $ A = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
$ A $ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $ A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} $ છે.
$ A $ અને $ A^{T} $ નો સરવાળો કરતા:
$ A+A^{T} = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta + \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta + \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta - \sin 2 \theta & \cos 2 \theta + \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cos 2 \theta & 0 \\ 0 & 2 \cos 2 \theta \end{bmatrix} $.
આને $ (2 \cos 2 \theta) I $ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $ I $ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $ A+A^{T} = I $,તેથી $ (2 \cos 2 \theta) I = I $.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$ 2 \cos 2 \theta = 1 $ મળે,જેનો અર્થ છે કે $ \cos 2 \theta = \frac{1}{2} $.
કારણ કે $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $,તેથી $ 2 \theta = \frac{\pi}{3} $,જે આપણને $ \theta = \frac{\pi}{6} $ આપે છે.

(A) આપેલ છે કે $ A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $.
તેથી $ A $ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $ A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $ થાય.
હવે,ગુણાકાર $ A A^{\prime} $ ની ગણતરી કરતા:
$ A A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} $
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $.

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $A \cdot A^{\prime}$ શોધીએ:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} (\cos \theta)(\cos \theta) + (\sin \theta)(\sin \theta) & (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) \\ (-\sin \theta)(\cos \theta) + (\cos \theta)(\sin \theta) & (-\sin \theta)(-\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta & -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
આમ,$A \cdot A^{\prime} = I$,જે એકમ શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે,$A^T = -A$.
ધારો કે $P = A^{2021}$.
તેથી,$P^T = (A^{2021})^T = (A^T)^{2021}$.
$A^T = -A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $P^T = (-A)^{2021} = (-1)^{2021} A^{2021}$.
કારણ કે $2021$ એ એકી સંખ્યા છે,તેથી $(-1)^{2021} = -1$.
આમ,$P^T = -A^{2021} = -P$.
$P^T = -P$ હોવાથી,$A^{2021}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ થાય.
$PQ - QP$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈએ:
$(PQ - QP)^{\prime} = (PQ)^{\prime} - (QP)^{\prime}$
$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(PQ - QP)^{\prime} = Q^{\prime}P^{\prime} - P^{\prime}Q^{\prime}$
$P^{\prime} = P$ અને $Q^{\prime} = Q$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$(PQ - QP)^{\prime} = QP - PQ$
$(PQ - QP)^{\prime} = -(PQ - QP)$
શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$PQ - QP$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^{\prime} = -B$.
$A^{\prime} B A$ સંમિત છે કે વિસંમિત તે ચકાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈએ:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} (A^{\prime})^{\prime}$
ગુણધર્મ $(XYZ)^{\prime} = Z^{\prime} Y^{\prime} X^{\prime}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} A$
કારણ કે $B^{\prime} = -B$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} (-B) A = -(A^{\prime} B A)$
જેથી,શ્રેણિક $A^{\prime} B A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$A^{\prime} B A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
અહીં $A^2 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક) હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ શૂન્યઘાતી (nilpotent) શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AA^T$ ની ગણતરી કરો:
$AA^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -3 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A + A^T$ ની ગણતરી કરો:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -1-2 & 2+4 \\ -2-1 & 3+3 & -3-4 \\ 4+2 & -4-3 & 5+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$AA^T - (A + A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$\begin{bmatrix} 6 & -11 & 18 \\ -11 & 22 & -35 \\ 18 & -35 & 57 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -3 & 6 \\ -3 & 6 & -7 \\ 6 & -7 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 12 \\ -8 & 16 & -28 \\ 12 & -28 & 47 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$.
આપણે $\operatorname{Tr}(A^2-A)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$A-I$ ની ગણતરી કરો:
$A-I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$A(A-I)$ ની ગણતરી કરો:
$A^2-A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
પરિણામી શ્રેણિકના વિકર્ણ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$d_{11} = (1)(0) + (1)(1) + (3)(2) = 0 + 1 + 6 = 7$.
$d_{22} = (1)(1) + (7)(6) + (9)(3) = 1 + 42 + 27 = 70$.
$d_{33} = (2)(3) + (3)(9) + (7)(6) = 6 + 27 + 42 = 75$.
ટ્રેસ એ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે:
$\operatorname{Tr}(A^2-A) = 7 + 70 + 75 = 152$.

(A) ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ તેના મુખ્ય વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 7 \\ 0 & 7 & 9 \\ 11 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ ઘટકો $a_{11} = 1$,$a_{22} = 7$,અને $a_{33} = 9$ છે.
ટ્રેસ $tr(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ થાય.
$tr(A) = 1 + 7 + 9 = 17$.
તેથી,શ્રેણિકનો ટ્રેસ $17$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,ગુણાકાર $A A^T$ શોધીએ:
$A A^T = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} (9+9+16) & (6+9+16) & (0+3+4) \\ (6+9+16) & (4+9+16) & (0+3+4) \\ (0+3+4) & (0+3+4) & (0+1+1) \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} 34 & 31 & 7 \\ 31 & 29 & 7 \\ 7 & 7 & 2 \end{bmatrix}$.
અહીં $(A A^T)^T = A A^T$ હોવાથી,શ્રેણિક $A A^T$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{T} = A$ અને $B^{T} = B$ થાય.
આપણને $X = AB + BA$ અને $Y = AB - BA$ આપેલ છે.
આપણે $(XY)^{T}$ શોધવાનું છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$X^{T}$ અને $Y^{T}$ શોધીએ:
$X^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = BA + AB = X$.
$Y^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = BA - AB = -(AB - BA) = -Y$.
હવે,$(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$.
$Y^{T}$ અને $X^{T}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(XY)^{T} = (-Y)(X) = -YX$.

(C) આપેલ છે,$\left(A^T-\frac{1}{2} I\right)\left(A-\frac{1}{2} I\right) = \left(A^T+\frac{1}{2} I\right)\left(A+\frac{1}{2} I\right) = I$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$A^T A - \frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I = A^T A + \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I$.
બંને બાજુથી $A^T A + \frac{1}{4} I$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A$.
પદોને ગોઠવતા:
$0 = A^T + A$.
તેથી,$A^T = -A$.
આ વિસંમિત શ્રેણિક માટેની શરત છે. તેથી,$A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = -A$.
$A^{2n}$ માટે:
$(A^{2n})^T = (A^T)^{2n} = (-A)^{2n} = (-1)^{2n} A^{2n} = A^{2n}$.
કારણ કે $(A^{2n})^T = A^{2n}$,તેથી $A^{2n}$ એ સંમિત શ્રેણિક છે. આમ,વિધાન $1$ અસત્ય છે.
$A^{2n+1}$ માટે:
$(A^{2n+1})^T = (A^T)^{2n+1} = (-A)^{2n+1} = (-1)^{2n+1} A^{2n+1} = -A^{2n+1}$.
કારણ કે $(A^{2n+1})^T = -A^{2n+1}$,તેથી $A^{2n+1}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. આમ,વિધાન $2$ સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને સંમિત શ્રેણિક $B$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $C$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ અને $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$.
$C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & -0.5 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-AB + BA = 0$,એટલે કે $AB = BA$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2 & y+4 \\ 2x+1 & 2y+2 \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y & 2x+y \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$2y+2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
આપેલ છે કે $C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & y \end{bmatrix}$,તેથી $C$ નો ટ્રેસ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે: $\operatorname{Trace}(C) = x + y = 2 + 1 = 3$.

(A) આપેલ છે કે $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધો:
$A^T=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right]$.
હવે,$(A+A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$A+A^T=\left[\begin{array}{lll}1+1 & 2+4 & 3+3 \\ 4+2 & 3+3 & 2+4 \\ 3+3 & 4+2 & 5+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,$(A-A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$A-A^T=\left[\begin{array}{lll}1-1 & 2-4 & 3-3 \\ 4-2 & 3-3 & 2-4 \\ 3-3 & 4-2 & 5-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$.
અંતે,બંને શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$(A+A^T)(A-A^T)=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}0+12+0 & -4+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+20 & 0-12+0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}12 & 8 & -12 \\ 12 & 0 & -12 \\ 12 & 8 & -12\end{array}\right] = 4\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -3\end{array}\right]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $P$ માટે,તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ટ્રેસ એ શ્રેણિકના ટ્રેસ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $\operatorname{Tr}(P) = \operatorname{Tr}(P^T)$.
વળી,$\operatorname{Tr}(P - P^T) = \operatorname{Tr}(P) - \operatorname{Tr}(P^T) = 0$ અને $\operatorname{Tr}(P + P^T) = \operatorname{Tr}(P) + \operatorname{Tr}(P^T) = 2\operatorname{Tr}(P)$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 + 2\operatorname{Tr}(P) + \frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} + \operatorname{Tr}(P) \times \operatorname{Tr}(P) = 0$
કારણ કે $\operatorname{Tr}(P) \neq 0$,તેથી $\frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} = 1$.
આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $2\operatorname{Tr}(P) + 1 + (\operatorname{Tr}(P))^2 = 0$.
આ $\operatorname{Tr}(P)$ ના સંદર્ભમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે:
$(\operatorname{Tr}(P))^2 + 2\operatorname{Tr}(P) + 1 = 0$
$(\operatorname{Tr}(P) + 1)^2 = 0$
$\operatorname{Tr}(P) = -1$.

(B) આપેલ છે કે $A+B$ સંમિત છે,તેથી $(A+B)^T = A+B \Rightarrow A^T+B^T = A+B$.
આપેલ છે કે $A-B$ વિસંમિત છે,તેથી $(A-B)^T = -(A-B) \Rightarrow A^T-B^T = -A+B$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2A^T = 2B \Rightarrow B = A^T$.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2B^T = 2A \Rightarrow B^T = A$.
અહીં $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \\ 3 & -4 & 5\end{array}\right]$ હોવાથી,$B = A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right]$ મળે.
આપેલ છે કે $D = C^T$,અને $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$,તેથી $D = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$B+D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $A'$ શોધો:
$A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $AA'$ ની ગણતરી કરો:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+4+9) & (4+10+18) & (7+16+27) \\ (4+10+18) & (16+25+36) & (28+40+54) \\ (7+16+27) & (28+40+54) & (49+64+81) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ શ્રેણિક $B$ માટે,$(B')' = B$. કારણ કે $AA'$ એ સંમિત શ્રેણિક છે (કારણ કે $(AA')' = (A')'A' = AA'$),તેથી $(AA')' = AA'$.
તેથી,$(AA')' = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ થાય.
ધારો કે $P = AB - BA$.
$P$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક લેતા:
$P^{\prime} = (AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
$(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$P^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$ મૂકતા:
$P^{\prime} = BA - AB = -(AB - BA) = -P$.
આમ,$P^{\prime} = -P$ હોવાથી,$AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) જો શ્રેણિક $A = A^T$ હોય,તો તેને સંમિત શ્રેણિક કહેવાય,જ્યાં $A^T$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & x-1 \\ 2x+3 & x+2 \end{bmatrix}$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ મેળવવા માટે હાર અને સ્તંભની અદલાબદલી કરતા: $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2x+3 \\ x-1 & x+2 \end{bmatrix}$.
$A = A^T$ હોવાથી,અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$x-1 = 2x+3$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $-1 = x+3$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $x = -4$.
આમ,$x$ ની કિંમત $-4$ છે.

(A) કોઈ શ્રેણિક $M$ સંમિત કહેવાય જો $M^{T} = M$ હોય.
ધારો કે શ્રેણિક $M = A + A^{T}$ છે.
$M$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,આપણને $M^{T} = (A + A^{T})^{T}$ મળે છે.
ગુણધર્મ $(X + Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$M^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A^{T})^{T} = A$,તેથી $M^{T} = A^{T} + A = A + A^{T} = M$.
અહીં $M^{T} = M$ હોવાથી,શ્રેણિક $A + A^{T}$ સંમિત છે.

(B) શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય હોવા માટે,તેની હાર પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો હોવા જોઈએ. ધારો કે હાર $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$ છે.
$1$. $\vec{r}_1 = (0, a, a)$ માટે,$|\vec{r}_1|^2 = 0^2 + a^2 + a^2 = 2a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $\vec{r}_2 = (2b, b, -b)$ માટે,$|\vec{r}_2|^2 = (2b)^2 + b^2 + (-b)^2 = 4b^2 + b^2 + b^2 = 6b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$3$. $\vec{r}_3 = (c, -c, c)$ માટે,$|\vec{r}_3|^2 = c^2 + (-c)^2 + c^2 = 3c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
લંબકોણીયતા ચકાસતા: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0(2b) + a(b) + a(-b) = ab - ab = 0$.
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_3 = 0(c) + a(-c) + a(c) = -ac + ac = 0$.
$\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3 = 2b(c) + b(-c) + (-b)(c) = 2bc - bc - bc = 0$.
આમ,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.