समीकरणों के निकाय की संगति की जाँच कीजिए: $x+3y=5$ और $2x+6y=8$.

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें: $4x - 3y = 3$ और $3x - 5y = 7$.

यदि $(x, y, z)=(\alpha, \beta, \gamma)$ युगपत रैखिक समीकरण निकाय $3x - 4y + z + 7 = 0$,$2x + 3y - z = 10$,और $x - 2y - 3z = 3$ का अद्वितीय हल है,तो $\alpha = $

मान लीजिए $\alpha, \beta (\alpha \neq \beta)$ $m$ के वे मान हैं जिनके लिए समीकरणों $x+y+z=1$,$x+2y+4z=m$,और $x+4y+10z=m^2$ के अनंत हल हैं। तो $\sum_{n=1}^{10}(n^\alpha+n^\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसके अवयव $1$ या $-1$ हैं और जिसके लिए समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ के ठीक तीन भिन्न हल हैं।

$\lambda$ के उन वास्तविक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $2x + 4y - \lambda z = 0$,$4x + \lambda y + 2z = 0$,और $\lambda x + 2y + 2z = 0$ के अनंत हल हैं।