सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + x}&{a + y}&{a + z}\\{b + x}&{1 + b + y}&{b + z}\\{c + x}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $x \neq y \neq z$ है,तो $1+x y z$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\begin{vmatrix} ^9C_4 & ^9C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{10}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{11}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सारणिक का एक गुणनखंड है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हैं,तो सारणिक का मान शून्य होता है।
$(b)$ यदि किसी सारणिक की संगत पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान नहीं बदलता है।
$(c)$ यदि किसी सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान चिह्न में बदल जाता है।
इनमें से कौन से सही हैं?

यदि $2^{a_1}, 2^{a_2}, 2^{a_3}, \dots, 2^{a_n}$ एक $G.P.$ में हैं,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} \\ a_{2n+1} & a_{2n+2} & a_{2n+3} \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?