यदि a, b, c 0 और x, y, z in R है,तो सारणिक | vedclass

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Question

(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। हम जानते हैं कि $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ होता है। स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पह

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$0$

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(D) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। हम जानते हैं कि $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ होता है। स्तंभ संक्रिया $C_1 ightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है: $(a^x + a^{-x})^2 - (a^x - a^{-x})^2 = 4(a^x)(a^{-x}) = 4(a^0) = 4$. इसी प्रकार,दूसरी और तीसरी पंक्ति के लिए,पहले स्तंभ के अवयव $4$ हो जाते हैं। अब सारणिक इस प्रकार होगा: $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \ 4 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \ 4 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} ight|$. पहले स्तंभ से $4$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = 4 \left| \begin{array}{ccc} 1 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \ 1 & (b^y - b^{-y})^2 & 1 \ 1 & (c^z - c^{-z})^2 & 1 \end{array} ight|$. चूंकि पहला स्तंभ और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$

$\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ . . . . . . .

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $x \neq y \neq z$ है,तो $1+x y z$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$ है। यदि $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b$ और $c$ शून्येतर संख्याएँ हैं,तो $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2c^2 & bc & b+c \\ c^2a^2 & ca & c+a \\ a^2b^2 & ab & a+b \end{array} \right|$ का मान क्या होगा?

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