एक तृतीय कोटि के सारणिक में, प्रथम स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को दो पदों के योग के रुप में, द्वितीय स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को तीन पदों के योग के रुप में तथा तृतीय स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को चार पदों के योग के रुप में लिखा गया है, तब इस सारणिक को $ n$  विभिन्न सारणिकों के योग के रुप में लिख सकते हैं, जहाँ  $n$ का मान है              

प्रत्येक में $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:

$(-2,0),(0,4),(0, \mathrm{k})$

सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:

$\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & 5 \\
1 & 1 & -2 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right|$

निम्न में से किस क्रमित युग्म $(\mu, \delta)$ के लिए रैखिक समीकरण निकाय $x+2 y+3 z=1$, $3 x+4 y+5 z=\mu$, $4 x+4 y+4 z=\delta$ असंगत (inconsistent) है?

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1/a}&{{a^2}}&{bc}\\{1/b}&{{b^2}}&{ca}\\{1/c}&{{c^2}}&{ab}\end{array}\,} \right| = $

यदि $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + b + c}\\{3a}&{4a + 3b}&{5a + 4b + 3c}\\{6a}&{9a + 6b}&{11a + 9b + 6c}\end{array}\,} \right|$ जहाँ $a = i,b = \omega ,c = {\omega ^2}$, तब $\Delta $का मान होगा