यदि left| {begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b | vedclass

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Question

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है। हम तीसरी पंक्ति में सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|

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$a, b$ और $c$ समान होने चाहिए

Vedclass · Answer

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है। हम तीसरी पंक्ति में सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{lll}{a-b} & {b-c} & {c-a} \ {b-c} & {c-a} & {a-b} \ {c-a} & {a-b} & {b-c}\end{array}ight| + \left|\begin{array}{ccc}{0} & {b-c} & {c-a} \ {0} & {c-a} & {a-b} \ {1} & {a-b} & {b-c}\end{array}ight| = 0$पहला सारणिक $0$ है क्योंकि इसके स्तंभों का योग $0$ है।दूसरे सारणिक के लिए,पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:$1 \cdot ((b-c)(a-b) - (c-a)(c-a)) = 0$$(b-c)(a-b) - (c-a)^2 = 0$$ab - b^2 - ac + bc - (c^2 + a^2 - 2ac) = 0$$ab - b^2 - ac + bc - c^2 - a^2 + 2ac = 0$$ab + bc + ac - a^2 - b^2 - c^2 = 0$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$$2$ से गुणा करने पर:$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$चूंकि $a, b, c \in R$,यह दर्शाता है कि $a-b=0, b-c=0, c-a=0$,जिसका अर्थ है कि $a=b=c$.

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b - c}&{c - a} \\ {b - c}&{c - a}&{a - b} \\ {c - a + 1}&{a - b}&{b - c} \end{array}} \right| = 0$,जहाँ $a, b, c \in R - \{0\}$,तो:

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यदि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=k a^{2} b^{2} c^{2}$ है,तो $k=$

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$ किसके बराबर नहीं है?

बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$

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