Properties of determinants Questions in Hindi

(C) $a = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$.
$b = 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2} \Rightarrow 2b = 3^n - 1$.
$c = 1 + 5 + 25 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{5^n - 1}{4} \Rightarrow 4c = 5^n - 1$.
सारणिक में मान रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके पहली पंक्ति को अलग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2^n & 3^n & 5^n \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right| - \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2^n & 3^n & 5^n \end{array}\right|$.
पहले सारणिक में पंक्ति $1$ और पंक्ति $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में पंक्ति $2$,पंक्ति $1$ का $2$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 - 0 = 0$.

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
विकल्प $(A)$: $\left|\begin{array}{ccc}a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2+1 & b^2+1 & c^2+1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \Delta + 0 = \Delta$.
विकल्प $(B)$: $C_1 \rightarrow C_1-C_2$ और $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ लागू करने पर,हमें $\left|\begin{array}{ccc}a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ प्राप्त होता है। $R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) = (a-b)(b-c)(b+c-a-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$ प्राप्त होता है,जो $\Delta$ का मान है।
विकल्प $(C)$: $\left|\begin{array}{ccc}a(a+1) & b(b+1) & c(c+1) \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$. $R_2$ को $R_1$ में जोड़ने पर,हमें $\left|\begin{array}{ccc}(a+1)^2 & (b+1)^2 & (c+1)^2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $\Delta$ होता है।
विकल्प $(D)$: सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$ का मान $\Delta$ के बराबर नहीं है।

(A) माना $A$ कोटि $n$ का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$ और $|-A| = (-1)^n |A|$,इसलिए $|A| = (-1)^n |A|$।
विषम कोटि के आव्यूह के लिए,$n = 3$,अतः $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$।
इसका अर्थ है कि $2|A| = 0$,जिसका तात्पर्य है कि $|A| = 0$।
अतः,विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना दिया गया सारणिक $\Delta$ है। स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \times [2(1+4\sin 4\theta) - 4\sin 4\theta] = 0$
$1 \times [2 + 8\sin 4\theta - 4\sin 4\theta] = 0$
$2 + 4\sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 4\theta < 2\pi$ है।
$4\theta$ के वे मान जिनके लिए $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ है,वे $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।
यदि $4\theta = \frac{7\pi}{6}$,तो $\theta = \frac{7\pi}{24}$।
यदि $4\theta = \frac{11\pi}{6}$,तो $\theta = \frac{11\pi}{24}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{7\pi}{24}$ सही मान है।

(D) दिया गया सारणिक: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$
स्तंभ संक्रियाएँ $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a^2-b^2 & b^2 & c^2-b^2 \\ a^3-b^3 & b^3 & c^3-b^3\end{array}\right|$
$C_1$ से $(a-b)$ और $C_3$ से $(c-b)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c+b \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2+bc+b^2\end{array}\right|$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c-a \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2-a^2+bc-ab\end{array}\right|$
चूंकि $c^2-a^2+bc-ab = (c-a)(c+a) + b(c-a) = (c-a)(a+b+c)$,अतः $C_3$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & 1 \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & a+b+c\end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \cdot (-1) \cdot [(a+b)(a+b+c) - (a^2+ab+b^2)]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a) [a^2+ab+ac+ab+b^2+bc - a^2-ab-b^2]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
$C_1$ से $2(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(a+b+c) \cdot (1) \cdot [(a+b+c)(a+b+c) - 0] = 2(a+b+c)^3$.

(C) दिया गया है कि $\det A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = K$.
हमें $\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + 2a_1 & b_2 + 2b_1 & c_2 + 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - 2R_1$ लागू करते हैं।
यह संक्रिया सारणिक के मान को नहीं बदलती है।
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ (a_2 + 2a_1) - 2a_1 & (b_2 + 2b_1) - 2b_1 & (c_2 + 2c_1) - 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
चूंकि परिणामी सारणिक $\det A$ के समान है,इसलिए $\det B = K$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & a+2b & a+3b \\ a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1 = (a+2b)-(a+b) = b$,$(a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+5b)-(a+4b) = b$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2 = (a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+4b)-(a+3b) = b$,$(a+6b)-(a+5b) = b$.
अतः,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & b & b \\ a+2b & b & b \\ a+4b & b & b\end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) मान लीजिए $P$ एक $n$ कोटि का वर्ग आव्यूह है।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं कि $|kP| = k^n |P|$,जहाँ $k$ एक अदिश स्थिरांक है।
इस प्रश्न में,सारणिक की कोटि $n = 3$ है और स्थिरांक गुणक $k = 3$ है।
यह दिया गया है कि मूल सारणिक का मान $|P| = A$ है।
अतः,नए सारणिक का मान $|3P| = 3^3 |P|$ होगा।
$|3P| = 27 \times A = 27A$.

(C) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। हम जानते हैं कि $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ होता है।
संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$C_1(1) = (\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 - (\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4(\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(2) = (\cos \theta + \sec \theta)^2 - (\cos \theta - \sec \theta)^2 = 4(\cos \theta)(\sec \theta) = 4(1) = 4$.
$C_1(3) = (\tan \theta + \cot \theta)^2 - (\tan \theta - \cot \theta)^2 = 4(\tan \theta)(\cot \theta) = 4(1) = 4$.
अब,सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 4 & (\sin \theta-\operatorname{cosec} \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\cos \theta-\sec \theta)^2 & 2020 \\ 4 & (\tan \theta-\cot \theta)^2 & 2020 \end{array}\right|$ है।
चूंकि पहला स्तंभ $C_1$ और तीसरा स्तंभ $C_3$ समानुपाती हैं (विशेष रूप से,$C_3 = 505 \times C_1$),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया सारणिक: $\left|\begin{array}{ccc}a+b+2c & a & b \\ c & 2a+b+c & b \\ c & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & 2a+b+c & b \\ 2(a+b+c) & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ से $2(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & 2a+b+c & b \\ 1 & a & a+2b+c\end{array}\right|=2$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c\end{array}\right|=2$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(a+b+c)(a+b+c)^2 = 2 \Rightarrow 2(a+b+c)^3 = 2 \Rightarrow (a+b+c)^3 = 1$.
अतः,$a+b+c = 1$.
हम जानते हैं कि: $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
चूंकि $a+b+c=1$,मान $(1)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ होगा।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2$ है।

(B) दिया गया है कि $\det(A) = 5$ और $\det(B^T \cdot A^T) = -15$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\det(M) = \det(M^T)$ होता है।
साथ ही,सारणिक के गुणधर्म के अनुसार $\det(X \cdot Y) = \det(X) \cdot \det(Y)$ होता है।
अतः,$\det(B^T \cdot A^T) = \det(B^T) \cdot \det(A^T) = \det(B) \cdot \det(A) = -15$।
$\det(A) = 5$ का मान रखने पर:
$\det(B) \cdot 5 = -15$।
इस प्रकार,$\det(B) = \frac{-15}{5} = -3$।

(C) मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{vmatrix}$.
हमें $D_1 + D_2 = 0$ दिया गया है।
$D_2$ में,तीसरी पंक्ति से $(-1)^n$ उभयनिष्ठ लेने पर: $D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ a & -b & c \end{vmatrix}$.
अब,$D_2$ पर स्तंभ संक्रियाएँ करने पर: $C_1$ और $C_2$ को आपस में बदलें,फिर $C_2$ और $C_3$ को आपस में बदलें। दो बार बदलने से चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
$D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix} = (-1)^n D_1$.
अतः,$D_1 + (-1)^n D_1 = 0 \Rightarrow (1 + (-1)^n) D_1 = 0$.
यह किसी भी $a, b, c$ के लिए सत्य होने हेतु,$1 + (-1)^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(-1)^n = -1$.
यह तब सत्य है जब $n$ एक विषम पूर्णांक हो।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ a & b & c \\ l & m & n\end{array}\right|$.
सबसे पहले,$C_1$ और $C_2$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = -\left|\begin{array}{ccc}\beta & \alpha & \gamma \\ b & a & c \\ m & l & n\end{array}\right|$.
इसके बाद,$C_2$ और $C_3$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = (-1)^2 \left|\begin{array}{ccc}\beta & \gamma & \alpha \\ b & c & a \\ m & n & l\end{array}\right|$.
अंत में,$R_1$ और $R_3$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}m & n & l \\ b & c & a \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right|$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 3$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,हम $\Delta_1$ को सरल करते हैं:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b^2-a^2 & c(a-b) \\ 0 & c^2-a^2 & b(a-c)\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b+a & -c \\ 0 & c+a & -b\end{array}\right|$
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर: $(b-a)(c-a) [-(b+a)b + c(c+a)] = (b-a)(c-a) [-b^2-ab+c^2+ac] = (b-a)(c-a) [(c-b)(c+b) + a(c-b)] = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
इसके बाद,हम $\Delta_2$ को सरल करते हैं:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{11}$,इसलिए $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)} = \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} = \frac{6}{11}$.
अतः,$11(a+b+c) = 6(ab+bc+ca)$.

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & (x+1) - x \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x - x(x-1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ को सरल करने पर:
$(x+1) - x = 1$.
$(x+1)x - x(x-1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x$.
$(x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) = x(x-1) [ (x+1) - (x-2) ] = x(x-1) [ 3 ] = 3x(x-1)$.
अतः,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2x & x(x-1) & 2x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & 3x(x-1) \end{array} \right|$.
यहाँ स्तंभ $C_1$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(100) = 0$।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & 1+\cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 1+4 \sin 4 \theta\end{array}\right| = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta\end{array}\right| = 0$
अब पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $(2 + 4\sin 4\theta)(1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 + 4\sin 4\theta = 0$.
अतः,$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $4\theta \in (0, 2\pi)$. $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए $4\theta$ के मान $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।
$4\theta = \frac{7\pi}{6}$ के लिए,$\theta = \frac{7\pi}{24}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{7\pi}{24}$ है।

(C) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$ है।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & c(b-a)+d(a-b) & c^2(b^2-a^2)+d^2(a^2-b^2) \\ 0 & c(a-b)+d(b-a) & c^2(a^2-b^2)+d^2(b^2-a^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
$R_1$ और $R_2$ से $(a-b)$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = (a-b)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & -(c-d) & -(c^2-d^2) \\ 0 & (c-d) & (c^2-d^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
इस सारणिक का विस्तार करने पर हमें $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right| = 0$.
दूसरे सारणिक से $xyz$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$.
स्तंभों की अदला-बदली ($C_1 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_3$) करने पर,दूसरा सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ बन जाता है।
अतः,$(1+xyz) \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = 0$.
चूंकि $x \neq y \neq z$,सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
इसलिए,$1+xyz = 0$।

(D) माना कि $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।
अतः,$n$-वाँ पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है कि $x = T_p = a R^{p-1}$,$y = T_q = a R^{q-1}$,और $z = T_r = a R^{r-1}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log x = \log a + (p-1) \log R$
$\log y = \log a + (q-1) \log R$
$\log z = \log a + (r-1) \log R$
अब,इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \\ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \\ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \\ \log a & q & 1 \\ \log a & r & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \\ (q-1) \log R & q & 1 \\ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
पहले सारणिक में,पहला स्तंभ तीसरे स्तंभ का $\log a$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ संक्रिया करने पर:
$\Delta = 0 + \log R \left|\begin{array}{lll} p-1 & p-1 & 1 \\ q-1 & q-1 & 1 \\ r-1 & r-1 & 1 \end{array}\right|$
यहाँ पहला और दूसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$ है।
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_1$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c))]$
$\Delta = (a+b+c) \cdot (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(D) माना $A = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
चूँकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$ है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके दूसरी पंक्ति को विभाजित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$।
प्रथम सारणिक का विस्तार करने पर: $p(qr - bc) - b(ar - ac) + c(ab - aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$।
अतः,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$।
अब,व्यंजक $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ पर विचार करें।
इसे $E = (1 + \frac{a}{p-a}) + (1 + \frac{b}{q-b}) + (1 + \frac{c}{r-c}) = 3 + \frac{a}{p-a} + \frac{b}{q-b} + \frac{c}{r-c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण $pqr - pbc - abr - acq = -2abc$ को $(p-a)(q-b)(r-c)$ से विभाजित करने पर परिणाम $2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ है।
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $x^k, y^k, z^k$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (xyz)^k \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$।
सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$ का मान $(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$ होता है।
अतः,$\Delta = (xyz)^k (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$।
हम $(xy+yz+zx) = xyz \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$\Delta = (xyz)^k (xyz) (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = (xyz)^{k+1} (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $(x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ से करने पर,हमें $(xyz)^{k+1} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $k+1 = 0$,अतः $k = -1$।

(D) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है। तब $n$-वाँ पद $a_n = ar^{n-1}$ है।
लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log a_n = \log a + (n-1) \log r$.
मान लीजिए $A = \log a$ और $D = \log r$ है। तब $\log a_n = A + (n-1)D$ होगा।
सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} A+(n-1)D & A+nD & A+(n+1)D \\ A+(n+2)D & A+(n+3)D & A+(n+4)D \\ A+(n+5)D & A+(n+6)D & A+(n+7)D \end{array}\right|$
अब पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$R_2 - R_1 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
$R_3 - R_2 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_2$ और $R_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a b & a c \\ a b & b^{2}+10 & b c \\ a c & b c & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a(a^{2}+10) & a^2 b & a^2 c \\ ab^2 & b(b^{2}+10) & b^2 c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^{2}+10)\end{array}\right|$.
$C_1, C_2, C_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a^{2} & a^{2} \\ b^{2} & b^{2}+10 & b^{2} \\ c^{2} & c^{2} & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2+10 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2+10\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ b^2 & 10 & 0 \\ c^2 & 0 & 10\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \times (10 \times 10) = 100(a^2+b^2+c^2+10)$.
अतः,सारणिक $100$ से विभाज्य है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$ और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & c+a \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 - C_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 2b & b+c & c\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 0 & c & c-a\end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = abc \cdot (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}c & c+a \\ c & c-a\end{array}\right| = -2ab^2c \cdot (c^2 - ac - c^2 - ac) = -2ab^2c \cdot (-2ac) = 4a^2b^2c^2$.
$k a^2b^2c^2$ से तुलना करने पर,$k = 4$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है।
हमारे पास $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1\end{array}\right|$ है।
$D_2$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}a+1 & a-1 & (-1)^{n+2} a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1} b \\ c-1 & c+1 & (-1)^{n} c\end{array}\right|$।
अब,$D_2$ के पहले और तीसरे स्तंभ को दो बार आपस में बदलने पर (या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर) ताकि यह $D_1$ की संरचना से मेल खाए:
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}(-1)^{n+2} a & a+1 & a-1 \\ (-1)^{n+1} b & b+1 & b-1 \\ (-1)^{n} c & c-1 & c+1\end{array}\right|$।
$D_1$ और $D_2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}a(1 + (-1)^{n+2}) & a+1 & a-1 \\ b(-1 + (-1)^{n+1}) & b+1 & b-1 \\ c(1 + (-1)^{n}) & c-1 & c+1\end{array}\right| = 0$।
सारणिक के शून्य होने के लिए,पहला स्तंभ शून्य होना चाहिए।
$1 + (-1)^{n+2} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+2} = -1$,जिसका अर्थ है कि $n+2$ विषम है,इसलिए $n$ विषम है।
$-1 + (-1)^{n+1} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+1} = 1$,जिसका अर्थ है कि $n+1$ सम है,इसलिए $n$ विषम है।
$1 + (-1)^{n} = 0 \Rightarrow (-1)^{n} = -1$,जिसका अर्थ है कि $n$ विषम है।
अतः,$n$ कोई भी विषम पूर्णांक है।

(C) मान लीजिए $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए,हम सारणिक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\log x}{\log x} & \frac{\log y}{\log x} & \frac{\log z}{\log x} \\ \frac{\log x}{\log y} & \frac{\log y}{\log y} & \frac{\log z}{\log y} \\ \frac{\log x}{\log z} & \frac{\log y}{\log z} & \frac{\log z}{\log z}\end{array}\right|$.
अब,$R_{1}$ से $\frac{1}{\log x}$,$R_{2}$ से $\frac{1}{\log y}$ और $R_{3}$ से $\frac{1}{\log z}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{\log x \cdot \log y \cdot \log z} \left|\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z \\ \log x & \log y & \log z\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}1+\omega & 0 & -\omega \\ 1+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2} \\ \omega+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$ है।
इकाई के घनमूल के गुणधर्म $1+\omega+\omega^{2} = 0$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $1+\omega = -\omega^{2}$,$1+\omega^{2} = -\omega$,और $\omega+\omega^{2} = -1$ है।
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega & \omega & -\omega^{2} \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
संक्रिया $R_{2} \to R_{2} - R_{3}$ लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega+1 & 0 & 0 \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = -\omega \left( (-\omega^{2})(0) - (-\omega)(-\omega+1) \right) = -\omega (\omega^{2} - \omega) = -\omega^{3} + \omega^{2} = -1 + \omega^{2}$.

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_{1} \rightarrow C_{1} - bC_{3}$ और $C_{2} \rightarrow C_{2} + aC_{3}$ को लागू करें।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2} & 2 a b - 2ab & -2 b \\ 2 a b - 2ab & 1-a^{2}+b^{2} + 2a^{2} & 2 a \\ 2 b - b(1-a^{2}-b^{2}) & -2 a + a(1-a^{2}-b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}+b^{2} & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^{2}+b^{2} & 2 a \\ b(1+a^{2}+b^{2}) & -a(1+a^{2}+b^{2}) & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$C_{1}$ और $C_{2}$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $(1+a^{2}+b^{2})$ बाहर लेने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \\ b & -a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|$
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1(1-a^{2}-b^{2} + 2a^{2}) - 0 + (-2b)(0 - b)]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} [1+a^{2}-b^{2} + 2b^{2}]$
$\Delta = (1+a^{2}+b^{2})^{2} (1+a^{2}+b^{2}) = (1+a^{2}+b^{2})^{3}$.