$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ के लिए गुणधर्म $1$ का सत्यापन कीजिए।
(N/A) हल: प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर,हमें परिवर्त सारणिक $\Delta_{1}$ प्राप्त होता है:
$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta_{1} = 2\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
स्पष्टतः,$\Delta = \Delta_{1}$ है।
अतः,गुणधर्म $1$ (यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को स्तंभों में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है) सत्यापित होता है।
$\Delta = 2\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर,हमें परिवर्त सारणिक $\Delta_{1}$ प्राप्त होता है:
$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta_{1} = 2\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}$
$= 2(0 - 20) + 3(-42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= -40 - 138 + 150 = -28$
स्पष्टतः,$\Delta = \Delta_{1}$ है।
अतः,गुणधर्म $1$ (यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को स्तंभों में बदल दिया जाए,तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है) सत्यापित होता है।
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यदि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}, \dots$ $G$.$P$. में हैं और प्रत्येक $i$ के लिए ${a_i} > 0$ है,तो सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} \log {a_n} & \log {a_{n+2}} & \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} & \log {a_{n+10}} \\ \log {a_{n+12}} & \log {a_{n+14}} & \log {a_{n+16}} \end{vmatrix}$ का मान क्या होगा?
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Difficult
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