Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave) Questions in Gujarati

(A) ખેંચાયેલી દોરીમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,દોરીમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $T \propto x$.
આને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v \propto \sqrt{x}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે જ્યારે વિસ્તરણ $x_1 = x$ છે,અને નવી ઝડપ $v_2$ છે જ્યારે વિસ્તરણ $x_2 = 1.5x$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\sqrt{1.5} \approx 1.22$.
તેથી,$v_2 = 1.22 \,v$.

(C) લંબગત તરંગ એ એવું તરંગ છે જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે કંપન કરે છે.
ધ્વનિ તરંગો અને સ્પ્રિંગમાં સંકોચન તરંગો એ સંગત તરંગોના ઉદાહરણો છે,જેમાં કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે.
દોરીનું કંપન એ લંબગત તરંગનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,કારણ કે જ્યારે તરંગ દોરીની લંબાઈ સાથે આગળ વધે છે ત્યારે દોરીના કણો ઉપર અને નીચે ગતિ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ અનુપ્રસ્થ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ છે.
દોરીમાં અનુપ્રસ્થ તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$.
કિંમતો મૂકતા: $30 = \sqrt{\frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900 = \frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}$.
$T = 900 \times 1.3 \times 10^{-4} = 1170 \times 10^{-4} = 0.117 \ N$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 0.12 \ N$.

(C) ખેંચાયેલી દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.035 \; kg}{7 \; m} = 0.005 \; kg/m$.
આપેલ તણાવ $T = 60.5 \; N$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{60.5}{0.005}}$
$v = \sqrt{12100}$
$v = 110 \; m/s$.

(B) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ પદાર્થની ઘનતા છે),વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થાય.
બંને તાર સ્ટીલના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે. તેથી,$v \propto \frac{\sqrt{T}}{r}$.
આપેલ છે: $d_A = 2d_B \implies r_A = 2r_B$ અને $T_A = \frac{1}{2}T_B$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{T_A}{T_B}} \times \frac{r_B}{r_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : 2\sqrt{2}$ છે.

(B) તારની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{10^{-2}}{0.4} = 2.5 \times 10^{-2}\, kg/m$ છે.
તારમાં તરંગ પલ્સનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{1.6}{2.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{160}{2.5}} = \sqrt{64} = 8\, m/s$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,પલ્સ સમાન કળામાં શરૂઆતના બિંદુએ પાછો આવવો જોઈએ. જ્યારે પલ્સ જડિત છેડા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેની કળામાં $\pi$ જેટલો ફેરફાર થાય છે. બે પરાવર્તન પછી (કુલ $2L$ અંતર કાપ્યા પછી),પલ્સની કળામાં કુલ $2\pi$ જેટલો ફેરફાર થાય છે,જેથી તે તેની મૂળ કળામાં પાછો ફરે છે.
તેથી,પલ્સ દ્વારા $2L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t_{\min} = \frac{2L}{v} = \frac{2 \times 0.4}{8} = \frac{0.8}{8} = 0.1\, s$ છે.

(B) દોરી પરના લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$ છે.
મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે,દોરીમાં તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે લટકતા દોરીના ભાગના વજન જેટલું હોય છે. આ ભાગનું દળ $m' = \mu x = \left(\frac{M}{L}\right)x$ છે.
તેથી,$x$ અંતરે તણાવ $T = m'g = \left(\frac{M}{L}\right)xg$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{\left(\frac{M}{L}\right)xg}{\left(\frac{M}{L}\right)}} = \sqrt{gx}$.

(A) દોરડા પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
પલ્સની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f}$ એ વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$\lambda \propto \sqrt{T}$.
દોરડાના નીચેના છેડે (જ્યાં બ્લોક $m_2$ જોડાયેલ છે),તણાવ $T_1$ એ બ્લોકના વજનને કારણે છે: $T_1 = m_2 g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ દોરડા અને બ્લોક બંનેના વજનને કારણે છે: $T_2 = (m_1 + m_2) g$.
આમ,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2) g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$.

(D) દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ..........$(1)$
જ્યાં,$T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ (રેખીય ઘનતા) છે.
આ પ્રશ્નમાં:
દોરીમાં તણાવ $(T)$ એ છેડે લટકાવેલા બ્લોકના વજનને કારણે છે:
$T = m \times g = 1\, kg \times 10\, m/s^2 = 10\, N$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 0.001\, kg/m$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્ર $(1)$ માં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{10}{0.001}} = \sqrt{10000} = 100\, m/s$.
પલ્સ દ્વારા દોરીની લંબાઈ $(L = 1\, m)$ કાપવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$t = \frac{L}{v} = \frac{1\, m}{100\, m/s} = 0.01\, s$.

(C) દોરડા પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરડાની રેખીય દળ ઘનતા છે.
નીચેના છેડેથી $h$ ઊંચાઈએ,દોરડામાં તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચેના દોરડાના ભાગના વજનને કારણે હોય છે.
જો દોરડાની કુલ લંબાઈ $L$ અને કુલ દળ $M$ હોય,તો $\mu = \frac{M}{L}$.
$h$ લંબાઈના ભાગનું દળ $m = \mu h$ છે.
તેથી,$h$ ઊંચાઈએ તણાવ $T = mg = \mu h g$ છે.
આને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{\mu h g}{\mu}} = \sqrt{gh}$.
આ દર્શાવે છે કે $v \propto \sqrt{h}$,જે એક પરવલય સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $v$ એ $h$ સાથે વધે છે. આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(C) દોરી પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે $v = 100 \, m \, s^{-1}$ અને $\mu = 10^{-2} \, kg \, m^{-1}$.
$100 = \sqrt{\frac{T}{10^{-2}}} \implies 100^2 = \frac{T}{10^{-2}} \implies T = 10000 \times 10^{-2} = 100 \, N$.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળ $M$ ના વજન જેટલું હોય છે,તેથી $T = Mg = 100 \, N$. $g = 10 \, m \, s^{-2}$ લેતા,આપણને $M = \frac{100}{10} = 10 \, kg$ મળે છે.
ઢળતા સમતલ પરના દળ $m$ માટે,સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ,તેથી $T = mg \sin(30^o)$.
$100 = m \times 10 \times \frac{1}{2} \implies 100 = 5m \implies m = 20 \, kg$.
આમ,$\frac{m}{M} = \frac{20}{10} = 2$. વિકલ્પો જોતા,$m = 20 \, kg$ સાચું છે.

(C) પ્રથમ દોરીમાં તરંગની ઝડપ $V_1 = \sqrt{T/\mu}$ છે.
બીજી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $V_2 = \sqrt{T/(4\mu)} = V_1/2$ છે.
અહીં $V_2 < V_1$ હોવાથી,બીજું માધ્યમ ઘટ્ટ છે.
જ્યારે તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ જેટલો કળા તફાવત આવે છે,જે ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે.
પરાવર્તન ગુણાંક $R = (V_2 - V_1) / (V_2 + V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = (V_1/2 - V_1) / (V_1/2 + V_1) = (-V_1/2) / (3V_1/2) = -1/3$.
પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_r = R \times A_i = (-1/3) \times 6 \text{ mm} = -2 \text{ mm}$ છે.
આપાત તરંગ $Y_i = (6 \text{ mm}) \sin(5t + 40x)$ છે. પરાવર્તિત તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ($-x$ દિશામાં) ગતિ કરે છે,તેથી તેની કળા $(5t - 40x)$ થશે.
આમ,પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ $Y_r = -2 \sin(5t - 40x) \text{ mm}$ છે.

(D) દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે,તણાવ $T(x) = w + \mu x g$ છે,જ્યાં $w$ એ નીચેના છેડે લટકાવેલું વજન છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{w + \mu x g}{\mu}} = \sqrt{\frac{w}{\mu} + xg}$.
જેમ પલ્સ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,$x$ વધે છે,તેથી ઝડપ $v$ વધે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{w}{\mu} + xg$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2v \frac{dv}{dt} = g \frac{dx}{dt}$.
કારણ કે $\frac{dx}{dt} = v$,આપણને $2v \frac{dv}{dt} = gv$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dt} = \frac{g}{2}$ થાય છે.
આમ,પલ્સ $\frac{g}{2}$ ના અચળ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે $x$ એ દોરીના નીચેના છેડાથી અંતર છે. રેખીય દળ ઘનતા $\mu(x) = (\lambda/L)x$ છે.
પ્રવેગિત ફ્રેમમાં $x$ લંબાઈના ભાગના વજનને કારણે નીચેથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x)$ લાગે છે. અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + 2g = 3g$ છે.
$x$ લંબાઈના ભાગનું દળ $m(x) = \int_0^x \mu(x') dx' = \int_0^x (\lambda/L)x' dx' = \frac{\lambda x^2}{2L}$ છે.
તણાવ $T(x) = m(x) \cdot g_{eff} = \frac{3g\lambda x^2}{2L}$ છે.
તરંગનો વેગ $v(x) = \sqrt{T(x)/\mu(x)} = \sqrt{\frac{3g\lambda x^2 / 2L}{\lambda x / L}} = \sqrt{\frac{3gx}{2}}$ છે.
$v = dx/dt$ હોવાથી,$dt = dx / \sqrt{3gx/2} = \sqrt{2/3g} \cdot x^{-1/2} dx$ મળે.
$x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા,સમય $t = \int_0^L \sqrt{2/3g} \cdot x^{-1/2} dx = \sqrt{2/3g} \cdot [2x^{1/2}]_0^L = \sqrt{2/3g} \cdot 2\sqrt{L} = \sqrt{8L/3g}$ મળે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.02 \sin \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.50} \right) \right]$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{0.04} \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{0.50} \ rad/m$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / 0.04}{2\pi / 0.50} = \frac{0.50}{0.04} = 12.5 \ m/s$.
ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 0.04 \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા,$T = (12.5)^2 \times 0.04 = 156.25 \times 0.04 = 6.25 \ N$.

(A) દોરી પર તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતી દોરી માટે,$\mu = \frac{m}{l}$.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે,તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે રહેલી દોરીના વજનને કારણે હોય છે: $T = \mu x g$.
આને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{gx}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$.
ચલને અલગ કરતા: $x^{-1/2} dx = \sqrt{g} dt$.
$x=0$ થી $x=l$ અને $t=0$ થી $t=T_{total}$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{l} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{T_{total}} \sqrt{g} dt$.
$[2x^{1/2}]_{0}^{l} = \sqrt{g} T_{total}$.
$2\sqrt{l} = \sqrt{g} T_{total} \implies T_{total} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
અહીં $l = 20 \ m$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $T_{total} = 2\sqrt{\frac{20}{10}} = 2\sqrt{2} \ s$.

(C) હવામાં ધ્વનિનો વેગ $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,તેથી $V \propto \sqrt{T}$ અથવા $V^2 \propto T$ થાય.
વિકલ્પ $(A)$ વેગ વિરુદ્ધ દબાણ દર્શાવે છે,જે ખોટું છે કારણ કે આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ દબાણથી સ્વતંત્ર છે.
વિકલ્પ $(B)$ $V^2$ વિરુદ્ધ $^\circ C$ માં તાપમાન દર્શાવે છે. $V^2 \propto (t + 273.15)$ હોવાથી,$V^2$ વિરુદ્ધ $t$ $(^\circ C)$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા ન હોઈ શકે,પરંતુ તે $V^2$ અક્ષ પર ધન આંતરછેદ ધરાવતી રેખા હશે.
વિકલ્પ $(C)$ દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દર્શાવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે. આ સૂચવે છે કે $V \propto \sqrt{T}$,જે $V^2 \propto T$ સંબંધ દર્શાવે છે. તેથી,$V$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ $T$-અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય છે.
વિકલ્પ $(D)$ વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
તેથી,સાચો આલેખ $(C)$ છે.

(D) લંબગત તરંગમાં,દોરીના ઘટકો સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
$SHM$ માં રહેલા ઘટક માટે,સ્થાનાંતર $y$ એ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે,જે સરેરાશ સ્થાન $(y = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$ છે,જે અંતિમ સ્થાનો $(y = \pm A)$ પર મહત્તમ હોય છે.
બિંદુઓ $P$ અને $S$ શિખરો (અંતિમ સ્થાનો) પર છે,તેથી $P$ અને $S$ આગળના ઘટકોનો પ્રવેગ મહત્તમ છે.
બિંદુ $Q$ સરેરાશ સ્થાન પર છે,તેથી તેનો વેગ મહત્તમ છે,પરંતુ તેનું સ્થાનાંતર ફક્ત આ ક્ષણે જ શૂન્ય છે,હંમેશા નહીં.
બિંદુ $R$ ગર્ત (અંતિમ સ્થાન) પર છે,જ્યાં તેનો વેગ શૂન્ય છે અને તેની ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિજ છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $S$ આગળના ઘટકનો પ્રવેગ મહત્તમ છે.

(C) તરંગનું સમીકરણ $y = 2 \sin(20t - 10x)$ છે. તેને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 10 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{10} = 2 \ m/s$ થાય.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ઘનતા} \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 1 \ kg/m^3 \times 0.01 \ m^2 = 0.01 \ kg/m$.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ $M$ ના વજન દ્વારા મળે છે,તેથી $T = Mg$.
આ કિંમતોને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{Mg}{0.01}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{Mg}{0.01} \implies 4 = \frac{M \times 10}{0.01} \implies 4 = 1000M$.
તેથી,$M = \frac{4}{1000} = 0.004 \ kg$.

(B) દોરીમાં તણાવ $T$ એ તેનાથી લટકતા $M = 1 \ kg$ દળને કારણે છે. સિસ્ટમ $a = 2 \ m/s^2$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$ થશે.
દોરીમાં કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T$ (દોરીનું પોતાનું દળ અવગણતા,કારણ કે તે $1 \ kg$ ની સરખામણીમાં ખૂબ ઓછું છે) $T = M(g + a) = 1 \times 12 = 12 \ N$ થશે.
લંબગત તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\mu = 1.2 \ g/m = 1.2 \times 10^{-3} \ kg/m$.
$v = \sqrt{\frac{12}{1.2 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^4} = 100 \ m/s$.
ઝડપ અચળ હોવાથી,$L = 1 \ m$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v} = \frac{1}{100} = 0.01 \ s$ થશે.

(C) ધારો કે દોરી $1$ અને દોરી $2$ માં તણાવ અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ છે. દળ સંતુલનમાં હોવાથી:
$T_1 \sin(37^\circ) + T_2 \sin(53^\circ) = mg = 20 \times 10 = 200\ N$
$T_1 \cos(37^\circ) = T_2 \cos(53^\circ) \Rightarrow T_1 \times (4/5) = T_2 \times (3/5) \Rightarrow T_1 = (3/4) T_2$
ઊભી સંતુલન સમીકરણમાં $T_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$(3/4) T_2 \times (3/5) + T_2 \times (4/5) = 200 \Rightarrow (9/20 + 16/20) T_2 = 200 \Rightarrow (25/20) T_2 = 200 \Rightarrow T_2 = 160\ N$
$T_1 = (3/4) \times 160 = 120\ N$
દોરીઓની લંબાઈ $L_1 = 10 \sin(53^\circ) = 10 \times (4/5) = 8\ m$ અને $L_2 = 10 \sin(37^\circ) = 10 \times (3/5) = 6\ m$ છે.
તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે. તેથી,$v_1 = \sqrt{T_1/\mu}$ અને $v_2 = \sqrt{T_2/\mu}$.
લાગતો સમય $t = L/v$ છે. તેથી,$t_1/t_2 = (L_1/v_1) / (L_2/v_2) = (L_1/L_2) \times \sqrt{T_2/T_1}$.
$t_1/t_2 = (8/6) \times \sqrt{160/120} = (4/3) \times \sqrt{4/3} = \frac{4\sqrt{4}}{3\sqrt{3}}$.

(A) તરંગનું સમીકરણ $Y = A \sin(kx + \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.021 \sin(x + 30t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \, kg/m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 = \sqrt{\frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900 = \frac{T}{1.3 \times 10^{-4}}$.
$T = 900 \times 1.3 \times 10^{-4} = 1170 \times 10^{-4} = 0.117 \, N$.

(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.5\ kg}{20.0\ m} = 0.125\ kg/m$.
હવે,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{200\ N}{0.125\ kg/m}} = \sqrt{1600} = 40\ m/s$ ગણો.
વિક્ષેપને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v} = \frac{20.0\ m}{40\ m/s} = 0.5\ s$ છે.

(B) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $m$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\mu = m/L$ છે.
દોરીના નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ નો વિચાર કરો.
બિંદુ $P$ પર તણાવ $T$ એ તેની નીચે રહેલી દોરીના વજન જેટલું હોય છે,તેથી $T = (\mu x)g = \frac{m}{L}gx$.
દોરીમાં લંબગત સ્પંદની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{(\mu x)g}{\mu}} = \sqrt{gx}$ મળે છે.
જેમ સ્પંદ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ $x$ ઘટે છે,તેથી ઝડપ $v$ ઘટે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં ઝડપમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સ્પંદ નીચેની તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = -v = -\sqrt{gx}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{gx}) = \frac{g}{2\sqrt{gx}}$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,$a = \left(\frac{g}{2\sqrt{gx}}\right) \cdot (-\sqrt{gx}) = -g/2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે જેમ સ્પંદ નીચે જાય છે તેમ તેની ઝડપ $g/2$ ના અચળ દરે ઘટે છે.

(A) ધારો કે $x$ એ તારના નીચેના છેડેથી અંતર છે. નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચેના તારના વજન જેટલું હોય છે.
$x$ લંબાઈના તારનું દળ $m = \int_0^x \mu(x') dx' = \int_0^x \mu_0 x' dx' = \frac{\mu_0 x^2}{2}$ છે.
આમ,$x$ અંતરે તણાવ $T = mg = \frac{\mu_0 x^2 g}{2}$ છે.
$x$ અંતરે લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu_0 x^2 g / 2}{\mu_0 x}} = \sqrt{\frac{gx}{2}}$ છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{g}{2}} \sqrt{x}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\int_0^{l_0} x^{-1/2} dx = \int_0^t \sqrt{\frac{g}{2}} dt$.
$[2x^{1/2}]_0^{l_0} = \sqrt{\frac{g}{2}} t$.
$2\sqrt{l_0} = \sqrt{\frac{g}{2}} t$.
$t = 2\sqrt{l_0} \sqrt{\frac{2}{g}} = 2\sqrt{\frac{2l_0}{g}} = \sqrt{\frac{8l_0}{g}}$.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$\mu = \frac{M}{L}$,જ્યાં $M$ એ તારનું કુલ દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ હોવાથી,$M = \rho AL$ મળે.
$\mu$ ના સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\rho AL}{L} = \rho A$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$ થશે.

(C) આપેલ છે:
મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિ,$n = 50 \, Hz$
તારનું દળ,$M = 30 \, g = 30 \times 10^{-3} \, kg$
રેખીય દળ ઘનતા,$\mu = 4 \times 10^{-2} \, kg/m$
સૌ પ્રથમ,આપણે તારની લંબાઈ $(L)$ શોધીએ:
$\mu = M/L$ હોવાથી,$L = M/\mu$
$L = (30 \times 10^{-3} \, kg) / (4 \times 10^{-2} \, kg/m) = 0.75 \, m$
બંને છેડે જડિત તારમાં મૂળભૂત કંપન મોડ માટે:
$L = \lambda / 2$
$\lambda = 2L = 2 \times 0.75 \, m = 1.5 \, m$
લંબગત તરંગની ઝડપ $(v)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = n \lambda$
$v = 50 \, Hz \times 1.5 \, m = 75 \, m/s$

(A) દોરડામાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{L}{t} = \frac{43\, m}{1.4\, s} \approx 30.71\, m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરડાની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5.0\, kg}{43\, m} \approx 0.116\, kg/m$ છે.
ખેંચાયેલા દોરડામાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે.
તણાવબળ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $T = v^2 \mu = \left(\frac{43}{1.4}\right)^2 \times \frac{5.0}{43}$.
$T = \frac{43^2}{1.96} \times \frac{5}{43} = \frac{43 \times 5}{1.96} = \frac{215}{1.96} \approx 109.69\, N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તણાવબળ આશરે $110\, N$ છે.

(B) દોરીમાં ટ્રાન્સવર્સ તરંગનો વેગ $v = \frac{L}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L = 20 \, m$ અને $t = 0.5 \, s$ છે.
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \, m/s$.
દોરીમાં ટ્રાન્સવર્સ તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{2.5 \, kg}{20 \, m} = 0.125 \, kg/m$.
વેગના સૂત્રનો વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $T = v^2 \times \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (40)^2 \times 0.125 = 1600 \times 0.125 = 200 \, N$.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.03 \sin(450t - 9x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 450 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 9 \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{450}{9} = 50 \, m/s$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 5 \, g/m = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,તેથી $T = \mu v^2$.
કિંમતો મૂકતા,$T = (5 \times 10^{-3} \, kg/m) \times (50 \, m/s)^2$.
$T = 5 \times 10^{-3} \times 2500 = 5 \times 2.5 = 12.5 \, N$.

(A) ધારો કે દોરીનું દળ $m$ અને તેની લંબાઈ $l$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{l}$ છે.
દોરીના કોઈપણ બિંદુ પર તણાવ તે બિંદુની નીચે રહેલા દોરીના ભાગના વજન જેટલું હોય છે.
બિંદુ $A$ માટે,તેની નીચેની દોરીની લંબાઈ $\frac{l}{4}$ છે. તેથી,$A$ ની નીચેનું દળ $m_A = \mu \times \frac{l}{4} = \frac{m}{4}$ છે.
$A$ પર તણાવ $T_A = m_A g = \frac{mg}{4}$ છે.
$A$ પર તરંગની ઝડપ $v_A = \sqrt{\frac{T_A}{\mu}} = \sqrt{\frac{mg/4}{m/l}} = \sqrt{\frac{gl}{4}}$ છે.
બિંદુ $B$ માટે,તેની નીચેની દોરીની લંબાઈ $\frac{3l}{4}$ છે. તેથી,$B$ ની નીચેનું દળ $m_B = \mu \times \frac{3l}{4} = \frac{3m}{4}$ છે.
$B$ પર તણાવ $T_B = m_B g = \frac{3mg}{4}$ છે.
$B$ પર તરંગની ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{T_B}{\mu}} = \sqrt{\frac{3mg/4}{m/l}} = \sqrt{\frac{3gl}{4}}$ છે.
$v_B$ અને $v_A$ ની સરખામણી કરતા:
$v_B = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{gl}{4}} = \sqrt{3} v_A$.

(B) આપેલ છે: દોરીની લંબાઈ $L = 1\,m$,આવૃત્તિ $f = 300\,Hz$,વિભાગોની સંખ્યા $n = 3$.
જ્યારે દોરી $n$ વિભાગોમાં કંપન કરે છે,ત્યારે દરેક વિભાગની લંબાઈ $\lambda/2 = L/n$ થાય છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2L/n$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 2 \times 1 / 3 = 2/3\,m$.
લંબગત તરંગની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા મળે છે.
$v = 300 \times (2/3) = 200\,m/s$.

(C) $1$. હવામાં ધ્વનિના વેગ માટે, $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$. કારણ કે $\rho = \frac{PM}{RT}$, તેથી $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$. અચળ તાપમાને $(T)$, $v$ એ દબાણ $(P)$ થી સ્વતંત્ર છે। આમ, વિકલ્પ $A$ માંનો આલેખ ખોટો છે કારણ કે તે $P$ સાથે $v$ વધતો દર્શાવે છે。
$2$. હવામાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma R(T_c + 273)}{M}}$ છે। તેથી, $v^2 = \frac{\gamma R}{M}(T_c + 273)$. આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું રેખીય સમીકરણ છે જ્યાં $y = v^2$ અને $x = T_c$. વિકલ્પ $B$ માંનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે, જે ખોટું છે કારણ કે $T_c = 0^\circ C$ પર, $v^2 \neq 0$ થાય。
$3$. દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે। આ સૂચવે છે કે $v^2 = \frac{1}{\mu}T$, અથવા $v = \frac{1}{\sqrt{\mu}}\sqrt{T}$। આ $v$ અને $T$ વચ્ચે પરવલયાકાર સંબંધ દર્શાવે છે। વિકલ્પ $C$ માંનો આલેખ આ પરવલયાકાર નિર્ભરતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે。
તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાંના કોઈ પણ આલેખ સંપૂર્ણપણે સાચા નથી, પરંતુ આ પ્રકારના પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના આધારે, વિકલ્પ $C$ એ એકમાત્ર ભૌતિક રીતે સચોટ સંબંધ દર્શાવે છે。

(B) ખેંચાયેલા દોરડામાં લંબગત તરંગ પલ્સની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{T / \mu}$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરડામાં તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરડાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
દ્રઢ આધાર પરથી લટકાવેલા ભારે દોરડા માટે,નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે રહેલા દોરડાના વજનને કારણે હોય છે. જેમ જેમ પલ્સ નીચેના છેડેથી ઉપરના છેડા તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેમ પલ્સની નીચે રહેલા દોરડાની લંબાઈ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે પલ્સની નીચે રહેલા દોરડાનું વજન વધે છે.
પરિણામે,જેમ પલ્સ ઉપરની તરફ જાય છે તેમ પલ્સના સ્થાન પર તણાવ $T$ વધે છે. કારણ કે $v = \sqrt{T / \mu}$ અને $\mu$ અચળ છે,તેથી પલ્સ જેમ આધાર તરફ ગતિ કરે છે તેમ તેની ઝડપ $v$ વધે છે.

(C) આપેલ છે: તારની લંબાઈ,$L = 10 \, m$.
તારનું દળ,$M = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$.
તારમાં તણાવ,$T = 80 \, N$.
સૌ પ્રથમ,તારની રેખીય દળ ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ),જેને $\mu$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તેની ગણતરી કરો:
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{5 \times 10^{-3} \, kg}{10 \, m} = 5 \times 10^{-4} \, kg \cdot m^{-1}$.
ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{80 \, N}{5 \times 10^{-4} \, kg \cdot m^{-1}}} = \sqrt{16 \times 10^4} \, m \cdot s^{-1}$.
$v = 400 \, m \cdot s^{-1}$.

(B) દોરડામાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu} = f\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
જેમ જેમ સ્પંદ ગતિ કરે છે તેમ આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી $\lambda \propto \sqrt{T}$ થાય.
દોરડાના નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $2\,kg$ દળના બ્લોકને કારણે છે,તેથી $T_1 = 2g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ દોરડા $(6\,kg)$ અને બ્લોક $(2\,kg)$ ના કુલ દળને કારણે છે,તેથી $T_2 = (6 + 2)g = 8g$.
પ્રમાણસરતા $\lambda \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\lambda_2}{0.06} = \sqrt{\frac{8g}{2g}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = 0.06 \times 2 = 0.12\,m$.

(A) ધારો કે મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ તણાવ $T$ છે.
$x$ લંબાઈના દોરીના ટુકડાનું દળ $m_x = \frac{M}{L} x$ છે.
આ બિંદુએ તણાવ $T$ એ તેની નીચે રહેલી દોરીના ટુકડાના વજન જેટલું હોય છે:
$T = m_x \cdot g = \frac{M}{L} x g$.
દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ અને $\mu$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{(M/L) x g}{M/L}} = \sqrt{gx}$.

(D) દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે. દોરી માટે $T$ અને $\mu$ બંને સમાન હોવાથી,તેમાં ગતિ કરતા તમામ તરંગો માટે ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
જોકે,વેગ એ સદિશ રાશિ છે જેમાં ઝડપ અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. બે તરંગો એક જ દોરીમાં સમાન ઝડપ $v$ સાથે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી શકે છે (દા.ત.,એક $+x$ દિશામાં અને બીજું $-x$ દિશામાં).
આમ,આ બે તરંગોના વેગ $+v$ અને $-v$ હશે,જે અલગ-અલગ છે. તેથી,વિધાન કે તેઓના વેગ અલગ હોઈ શકે નહીં તે ખોટું છે.
કારણ સાચું છે કે ઝડપ માત્ર દોરીના સ્થિતિસ્થાપક અને જડત્વના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે,જે સમાન છે,પરંતુ વિધાન પોતે ખોટું છે.

(B) તણાયેલા તાર પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1 = 2.06 \times 10^{4} \; N$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ છે.
ધારો કે અંતિમ તણાવ $T_2 = T$ અને અંતિમ વેગ $v_2 = v/2$ છે.
પ્રમાણસરતા $v \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v/2}{v} = \sqrt{\frac{T}{2.06 \times 10^{4}}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T}{2.06 \times 10^{4}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{T}{2.06 \times 10^{4}}$.
$T = \frac{2.06 \times 10^{4}}{4} = 0.515 \times 10^{4} = 5.15 \times 10^{3} \; N$.

(C) તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ (રેખીય દળ ઘનતા) $\mu = \frac{m}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,દળ $m = 5.0 \times 10^{-3} \; kg$ અને લંબાઈ $L = 0.72 \; m$.
$\mu = \frac{5.0 \times 10^{-3} \; kg}{0.72 \; m} \approx 6.944 \times 10^{-3} \; kg/m$.
તારમાં તણાવ $T = 60 \; N$ છે.
ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{60}{6.944 \times 10^{-3}}} = \sqrt{8640.55} \approx 92.95 \; m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $93 \; m/s$ મળે છે.

(D) દોરીનું દળ,$M = 2.50 \; kg$.
દોરીમાં તણાવ,$T = 200 \; N$.
દોરીની લંબાઈ,$l = 20.0 \; m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ,$\mu = \frac{M}{l} = \frac{2.50}{20} = 0.125 \; kg \; m^{-1}$.
દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $(v)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
$v = \sqrt{\frac{200}{0.125}} = \sqrt{1600} = 40 \; m/s$.
તેથી,વિક્ષેપને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{l}{v} = \frac{20}{40} = 0.50 \; s$.

(B) સ્ટીલના તારની લંબાઈ,$l = 12.0 \;m$.
સ્ટીલના તારનું દળ,$m = 2.10 \;kg$.
લંબગત તરંગની ઝડપ,$v = 343 \;m s^{-1}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ,$\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.10}{12.0} = 0.175 \;kg \;m^{-1}$.
તણાવ $T$ માટે,લંબગત તરંગની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા મેળવી શકાય છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (343)^2 \times 0.175 = 117649 \times 0.175 = 20588.575 \;N$.
ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 2.06 \times 10^{4} \;N$.

(N/A) દોરી પર લંબગત તરંગોની ઝડપ બે પરિબળો દ્વારા નક્કી થાય છે: $(i)$ રેખીય દળ ઘનતા અથવા એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અને $(ii)$ તણાવ $T$.
દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ એ દોરીનું દળ $m$ અને તેની લંબાઈ $l$ નો ગુણોત્તર છે. તેથી,તેનું પરિમાણ $[M^1 L^{-1}]$ છે. તણાવ $T$ એ બળનું પરિમાણ ધરાવે છે,એટલે કે $[M^1 L^1 T^{-2}]$.
આપણે $\mu$ અને $T$ ને એવી રીતે જોડવા પડશે કે જેથી $v$ [પરિમાણ $(L T^{-1})$] મળે.
જોઈ શકાય છે કે ગુણોત્તર $\frac{T}{\mu}$ નું પરિમાણ $[L^2 T^{-2}]$ છે.
$\left[\frac{T}{\mu}\right] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[M^1 L^{-1}]} = [L^2 T^{-2}]$
તેથી,જો $v$ માત્ર $T$ અને $\mu$ પર આધાર રાખતું હોય,તો તેમની વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ હોવો જોઈએ:
$v = C \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
અહીં $C$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે અને તે સાબિત થાય છે કે $C = 1$.
તેથી,ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગોની ઝડપ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

(N/A) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં:
$T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવબળ છે (ન્યૂટન,$N$ માં માપવામાં આવે છે),
$\mu$ એ દોરીની રેખીય દળ ઘનતા છે (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ,$kg/m$ માં માપવામાં આવે છે).

(A) ખેંચાયેલા તારમાં તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે. ધારો કે અંતિમ તણાવ $T_2 = 4T_1$ છે અને અંતિમ ઝડપ $v_2$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2v_1$. તરંગની ઝડપ બમણી થઈ જશે.

(B) તણાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L}$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
જો લંબાઈ $L$ અડધી કરવામાં આવે $(L' = L/2)$ અને દળ $m$ અચળ રહે,તો નવી રેખીય દળ ઘનતા $\mu' = \frac{m}{L/2} = 2\mu$ થાય.
જો તણાવ $T$ અચળ રહે,તો નવી ઝડપ $v' = \sqrt{\frac{T}{\mu'}} = \sqrt{\frac{T}{2\mu}} = \frac{1}{\sqrt{2}} v$ થાય.

(A) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho$.
આ કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
અહીં $L$,$T$,અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 3r$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f_2$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{f_2}{f_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$ થાય.
આમ,આવૃત્તિ $1/3$ ના ગુણાંકમાં બદલાશે.

(A) તણાવયુક્ત તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ) છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 12 \ m$
દળ $M = 2.10 \ kg$
તણાવ $T = 2.06 \times 10^4 \ N$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{2.10}{12} \ kg/m = 0.175 \ kg/m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2.06 \times 10^4}{0.175}}$
$v = \sqrt{117714.28} \approx 343.09 \ m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $343 \ m/s$ મળે છે.

(B) દોરડા પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,$v = f \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \lambda$.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $m = 2 \, kg$ દળના બ્લોકને કારણે છે:
$T_1 = mg = 2g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ બ્લોક અને દોરડાના કુલ દળ $M = 6 \, kg$ ને કારણે છે:
$T_2 = (M + m)g = (6 + 2)g = 8g$.
સંબંધ $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 6 \times \sqrt{4} = 6 \times 2 = 12 \, cm$.

(C) આપેલ દોરીના તરંગનું સમીકરણ $y=0.002 \sin (300 t-15 x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 300 \ rad/s$
$k = 15 \ rad/m$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \frac{300}{15} = 20 \ m/s$.
દોરીમાં તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$ મળે.
$T = \mu v^2$.
કિંમતો મૂકતા,$T = 0.1 \times (20)^2$.
$T = 0.1 \times 400 = 40 \ N$.