અ Gujarati
Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave) Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Waves and Sound · Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave)
102+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 102 questions in Gujarati
51
DifficultMCQ
એક સમાન તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $0.135 \, g/cm$ છે. તેમાં $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ સ્વરૂપનું લંબગત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે,જ્યાં $x$ મીટરમાં અને $t$ સેકન્ડમાં છે. તો,તારમાં તણાવનું અપેક્ષિત મૂલ્ય $x \times 10^{-2} \, N$ છે. $x$ નું મૂલ્ય શોધો (નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરો).
A
$12.15$
B
$121.5$
C
$1215$
D
$24.3$
Solution
(C) આપેલ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 0.135 \, g/cm = 0.135 \times 10^{-3} \, kg / 10^{-2} \, m = 0.0135 \, kg/m$ છે.
તરંગનું સમીકરણ $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
તેથી,$T = v^2 \mu = (30)^2 \times 0.0135 = 900 \times 0.0135 = 12.15 \, N$.
આપણને $T = x \times 10^{-2} \, N$ આપેલ છે,તેથી $12.15 = x \times 10^{-2}$.
આમ,$x = 12.15 \times 100 = 1215$.
તરંગનું સમીકરણ $y = -0.21 \sin(x + 30t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \, m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
તેથી,$T = v^2 \mu = (30)^2 \times 0.0135 = 900 \times 0.0135 = 12.15 \, N$.
આપણને $T = x \times 10^{-2} \, N$ આપેલ છે,તેથી $12.15 = x \times 10^{-2}$.
આમ,$x = 12.15 \times 100 = 1215$.
0 likes
View Solution52
MediumMCQ
જો ખેંચાયેલી દોરીમાં તણાવ $4\, \%$ વધારવામાં આવે,તો તેમાં ઉત્પન્ન થતા લંબગત તરંગોની ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો ......... $\%$ હશે.
A
$1$
B
$2$
C
$0$
D
$4$
Solution
(B) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln v = \frac{1}{2} \ln T - \frac{1}{2} \ln \mu$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં તણાવમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 4\, \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{1}{2} \times (4\, \%) = 2\, \%$.
તેથી,તરંગની ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો $2\, \%$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln v = \frac{1}{2} \ln T - \frac{1}{2} \ln \mu$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં તણાવમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 4\, \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{1}{2} \times (4\, \%) = 2\, \%$.
તેથી,તરંગની ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો $2\, \%$ છે.
0 likes
View Solution53
EasyMCQ
જો ખેંચાયેલી દોરી પરનું પ્રારંભિક તણાવ બમણું કરવામાં આવે,તો દોરી પરના લંબગત તરંગની પ્રારંભિક અને અંતિમ ઝડપનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$ \sqrt{2} : 1 $
B
$ 1 : \sqrt{2} $
C
$ 1 : 2 $
D
$ 1 : 1 $
Solution
(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu$ અચળ રહે છે,તેથી ઝડપ એ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_i = T$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_f = 2T$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v_i$ અને અંતિમ ઝડપ $v_f$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T}{2T}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.
અહીં $\mu$ અચળ રહે છે,તેથી ઝડપ એ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_i = T$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_f = 2T$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v_i$ અને અંતિમ ઝડપ $v_f$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T}{2T}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.
0 likes
View Solution54
AdvancedMCQ
$L$ લંબાઈ અને સમાન રેખીય ઘનતા ધરાવતું એક દોરડું છત પરથી લટકે છે. દોરડાના મુક્ત છેડાની નજીક ઉત્પન્ન થયેલ ટ્રાન્સવર્સ વેવ પલ્સ,દોરડામાં ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
A
જેમ પલ્સ ઉપર જાય છે તેમ તેની ઝડપ ઘટે છે.
B
પલ્સને દોરડાની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $\sqrt{L}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
C
દોરડાની લંબાઈ પર તણાવ અચળ રહેશે.
D
દોરડાની લંબાઈ પર પલ્સની ઝડપ અચળ રહેશે.
Solution
(B) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે આવેલા વિભાગ પર તણાવ $T = m g = \mu x g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ દોરડાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
દોરડા પર તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{g x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = \sqrt{g x}$,જેમ પલ્સ ઉપર જાય છે તેમ ઝડપ વધે છે (જેમ $x$ વધે છે તેમ).
$x$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{g x}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પુનઃગોઠવણ કરતા $dx / \sqrt{x} = \sqrt{g} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $0$ થી $x$ અને $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \sqrt{g} dt$ મળે છે.
$2\sqrt{x} = \sqrt{g} t$,જે સૂચવે છે કે $t = 2\sqrt{\frac{x}{g}}$.
કુલ લંબાઈ $L$ માટે,લાગતો સમય $t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ છે,તેથી $t \propto \sqrt{L}$.
દોરડા પર તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{g x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = \sqrt{g x}$,જેમ પલ્સ ઉપર જાય છે તેમ ઝડપ વધે છે (જેમ $x$ વધે છે તેમ).
$x$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધવા માટે,આપણે $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{g x}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પુનઃગોઠવણ કરતા $dx / \sqrt{x} = \sqrt{g} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $0$ થી $x$ અને $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \sqrt{g} dt$ મળે છે.
$2\sqrt{x} = \sqrt{g} t$,જે સૂચવે છે કે $t = 2\sqrt{\frac{x}{g}}$.
કુલ લંબાઈ $L$ માટે,લાગતો સમય $t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ છે,તેથી $t \propto \sqrt{L}$.
0 likes
View Solution55
MediumMCQ
દોરી પર પ્રસરતા લંબગત તરંગને સમીકરણ $y = 2 \sin (10x + 300t)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ મીટરમાં છે અને $t$ સેકન્ડમાં છે. જો કંપન કરતી દોરીની રેખીય ઘનતા $0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ હોય,તો દોરીમાં તણાવ .............. $N$ છે.
A
$5.4$
B
$0.054$
C
$54$
D
$0.0054$
Solution
(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = 2 \sin (10x + 300t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 10 \, rad/m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 300 \, rad/s$ મળે છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ છે. તેને $SI$ એકમો $(kg/m)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$\mu = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \, kg}{10^{-2} \, m} = 6 \times 10^{-5} \, kg/m$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{300}{10} = 30 \, m/s$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ તણાવ $T$ અને રેખીય ઘનતા $\mu$ સાથે $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (30)^2 \times (6 \times 10^{-5}) = 900 \times 6 \times 10^{-5} = 5400 \times 10^{-5} = 0.054 \, N$.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 10 \, rad/m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 300 \, rad/s$ મળે છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 0.6 \times 10^{-3} \, g/cm$ છે. તેને $SI$ એકમો $(kg/m)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$\mu = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \, kg}{10^{-2} \, m} = 6 \times 10^{-5} \, kg/m$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{300}{10} = 30 \, m/s$ છે.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ તણાવ $T$ અને રેખીય ઘનતા $\mu$ સાથે $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (30)^2 \times (6 \times 10^{-5}) = 900 \times 6 \times 10^{-5} = 5400 \times 10^{-5} = 0.054 \, N$.
0 likes
View Solution56
DifficultMCQ
એક તાંબાના તારને બે છેડેથી મજબૂત આધાર વડે પકડી રાખવામાં આવ્યો છે. $50^{\circ} C$ તાપમાને તાર બિલકુલ ખેંચાયેલો છે,જેમાં તણાવ નહિવત છે. જો $Y=1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha=1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ અને $\rho=9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$ હોય,તો $30^{\circ} C$ તાપમાને આ તારમાં લંબગત તરંગોની ઝડપ .......... $m/s$ હશે.
A
$64.6$
B
$16.2$
C
$23.2$
D
$32.2$
Solution
(A) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે તારમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $F/A = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં,તણાવ $T = F = Y A \alpha \Delta T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho A$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$.
આપેલ છે: $Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,$\rho = 9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$,અને $\Delta T = 50^{\circ} C - 30^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
ઝડપની ગણતરી કરતા: $v = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.6 \times 10^{-5} \times 20}{9.2 \times 10^3}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^7}{9.2 \times 10^3}} = \sqrt{4173.9} \approx 64.6 \, m/s$.
ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં,તણાવ $T = F = Y A \alpha \Delta T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho A$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$.
આપેલ છે: $Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 1.6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,$\rho = 9.2 \times 10^3 \, kg/m^3$,અને $\Delta T = 50^{\circ} C - 30^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
ઝડપની ગણતરી કરતા: $v = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.6 \times 10^{-5} \times 20}{9.2 \times 10^3}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^7}{9.2 \times 10^3}} = \sqrt{4173.9} \approx 64.6 \, m/s$.
0 likes
View Solution57
MediumMCQ
સમાન ઘનતા અને $L$ લંબાઈના લટકતા દોરડાના નીચેના છેડે એક પલ્સ ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે પલ્સ દોરડાના મધ્યબિંદુએ પહોંચે ત્યારે તેની ઝડપ કેટલી હશે?
A
$\sqrt{2 g L}$
B
$\sqrt{g L}$
C
$\sqrt{\frac{g L}{2}}$
D
$\frac{\sqrt{g L}}{2}$
Solution
(C) દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની રેખીય દળ ઘનતા છે.
$L$ લંબાઈ અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા ધરાવતા લટકતા દોરડા માટે,નીચેના છેડેથી $y$ અંતરે તણાવ $T$ તેની નીચે રહેલા દોરડાના ભાગના વજનને કારણે હોય છે.
$y$ લંબાઈના દોરડાના ભાગનું દળ $m = \mu y$ છે.
આમ,$y$ અંતરે તણાવ $T = \mu y g$ છે.
$y$ અંતરે પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\mu y g}{\mu}} = \sqrt{gy}$ છે.
દોરડાના મધ્યબિંદુએ,$y = \frac{L}{2}$ થાય.
તેથી,મધ્યબિંદુએ પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{g \left(\frac{L}{2}\right)} = \sqrt{\frac{g L}{2}}$ થશે.
$L$ લંબાઈ અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા ધરાવતા લટકતા દોરડા માટે,નીચેના છેડેથી $y$ અંતરે તણાવ $T$ તેની નીચે રહેલા દોરડાના ભાગના વજનને કારણે હોય છે.
$y$ લંબાઈના દોરડાના ભાગનું દળ $m = \mu y$ છે.
આમ,$y$ અંતરે તણાવ $T = \mu y g$ છે.
$y$ અંતરે પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\mu y g}{\mu}} = \sqrt{gy}$ છે.
દોરડાના મધ્યબિંદુએ,$y = \frac{L}{2}$ થાય.
તેથી,મધ્યબિંદુએ પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{g \left(\frac{L}{2}\right)} = \sqrt{\frac{g L}{2}}$ થશે.
0 likes
View Solution58
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈ અને $M$ દળનું એક દોરડું છત પરથી મુક્ત રીતે લટકે છે. જો દોરડાના નીચેના છેડાથી ઉપરના છેડા સુધી લંબગત તરંગને પહોંચતા લાગતો સમય $T$ હોય,તો પ્રથમ અડધી લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?
A
$T$
B
$T\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)$
C
$\frac{T}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{T}{2}$
Solution
(C) દોરડા પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T_s}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_s$ એ તણાવ છે અને $\mu = \frac{M}{L}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
નીચેથી $x$ અંતરે,તણાવ $T_s$ એ તેની નીચે રહેલા દોરડાના દળને કારણે છે,જે $m = \frac{M}{L} x$ છે. તેથી,$T_s = \left(\frac{M}{L} x\right)g$.
$x$ અંતરે ઝડપ $v(x) = \sqrt{\frac{(M/L)xg}{M/L}} = \sqrt{gx}$ છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$.
કુલ સમય $T$ શોધવા માટે $x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા:
$T = \int_0^L \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^L = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$.
હવે,પ્રથમ અડધી લંબાઈ ($x=0$ થી $x=L/2$) કાપવા માટેનો સમય $T_1$ શોધવા માટે:
$T_1 = \int_0^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^{L/2} = 2\sqrt{\frac{L}{2g}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
નીચેથી $x$ અંતરે,તણાવ $T_s$ એ તેની નીચે રહેલા દોરડાના દળને કારણે છે,જે $m = \frac{M}{L} x$ છે. તેથી,$T_s = \left(\frac{M}{L} x\right)g$.
$x$ અંતરે ઝડપ $v(x) = \sqrt{\frac{(M/L)xg}{M/L}} = \sqrt{gx}$ છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$.
કુલ સમય $T$ શોધવા માટે $x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા:
$T = \int_0^L \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^L = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$.
હવે,પ્રથમ અડધી લંબાઈ ($x=0$ થી $x=L/2$) કાપવા માટેનો સમય $T_1$ શોધવા માટે:
$T_1 = \int_0^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_0^{L/2} = 2\sqrt{\frac{L}{2g}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
0 likes
View Solution59
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈના એક સમાન દોરડાના નીચેના છેડે ઉત્પન્ન થયેલ લંબગત સ્પંદ ઉપરની દિશામાં ગતિ કરે છે. તેને દોરડાની સંપૂર્ણ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?
A
$\sqrt{\frac{L}{2g}}$
B
$\sqrt{\frac{2L}{g}}$
C
$\sqrt{\frac{L}{g}}$
D
$\sqrt{\frac{4L}{g}}$
Solution
(D) દોરડાના મુક્ત છેડેથી $x$ અંતરે લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પંદ નીચેના છેડેથી શરૂ થતો હોવાથી,નીચેથી $x$ અંતરે વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ થશે.
સમય માટે ગોઠવતા,આપણને $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે.
$L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ શોધવા માટે,આપણે $0$ થી $L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$T = \int_{0}^{L} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} \int_{0}^{L} x^{-1/2} dx$.
$T = \frac{1}{\sqrt{g}} [2x^{1/2}]_{0}^{L} = \frac{1}{\sqrt{g}} (2\sqrt{L}) = 2\sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
સ્પંદ નીચેના છેડેથી શરૂ થતો હોવાથી,નીચેથી $x$ અંતરે વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ થશે.
સમય માટે ગોઠવતા,આપણને $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે.
$L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ શોધવા માટે,આપણે $0$ થી $L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$T = \int_{0}^{L} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} \int_{0}^{L} x^{-1/2} dx$.
$T = \frac{1}{\sqrt{g}} [2x^{1/2}]_{0}^{L} = \frac{1}{\sqrt{g}} (2\sqrt{L}) = 2\sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution60
EasyMCQ
એક સ્ટીલના તાર જેનું એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$ છે,તે $70 \, N$ ના તણાવ હેઠળ છે. તારમાં લંબગત તરંગોની ઝડપ $......... \, m/s$ હશે.
A
$200$
B
$100$
C
$10$
D
$50$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 70 \, N$
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{70}{7.0 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{70}{0.007}}$
$v = \sqrt{10000}$
$v = 100 \, m/s$
તેથી,લંબગત તરંગની ઝડપ $100 \, m/s$ છે.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 70 \, N$
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{70}{7.0 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{70}{0.007}}$
$v = \sqrt{10000}$
$v = 100 \, m/s$
તેથી,લંબગત તરંગની ઝડપ $100 \, m/s$ છે.
0 likes
View Solution61
MediumMCQ
બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે ખેંચાયેલી દોરીના કંપન માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $50\,Hz$ છે. દોરીનું દળ $18\,g$ છે અને તેની રેખીય દળ ઘનતા $20\,g/m$ છે. દોરીમાં ઉત્પન્ન થતા લંબગત તરંગોની ઝડપ $..........\,m/s$ છે.
A
$90$
B
$45$
C
$30$
D
$15$
Solution
(A) આપેલ છે:
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$
દોરીનું દળ $m = 18\,g = 0.018\,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 20\,g/m = 0.02\,kg/m$
પગલું $1$: દોરીની લંબાઈ $(L)$ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \frac{m}{L}$,તેથી $L = \frac{m}{\mu} = \frac{18\,g}{20\,g/m} = 0.9\,m$.
પગલું $2$: આવૃત્તિ અને તરંગની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ.
બંને છેડે જડિત દોરીના મૂળભૂત મોડ માટે,લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા જેટલી હોય છે: $L = \frac{\lambda}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
$L = 0.9\,m$ મૂકતા,આપણને $\lambda = 2 \times 0.9 = 1.8\,m$ મળે છે.
પગલું $3$: તરંગની ઝડપ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
તરંગની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 50\,Hz \times 1.8\,m = 90\,m/s$.
આમ,લંબગત તરંગોની ઝડપ $90\,m/s$ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$
દોરીનું દળ $m = 18\,g = 0.018\,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 20\,g/m = 0.02\,kg/m$
પગલું $1$: દોરીની લંબાઈ $(L)$ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \frac{m}{L}$,તેથી $L = \frac{m}{\mu} = \frac{18\,g}{20\,g/m} = 0.9\,m$.
પગલું $2$: આવૃત્તિ અને તરંગની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ.
બંને છેડે જડિત દોરીના મૂળભૂત મોડ માટે,લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા જેટલી હોય છે: $L = \frac{\lambda}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
$L = 0.9\,m$ મૂકતા,આપણને $\lambda = 2 \times 0.9 = 1.8\,m$ મળે છે.
પગલું $3$: તરંગની ઝડપ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
તરંગની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 50\,Hz \times 1.8\,m = 90\,m/s$.
આમ,લંબગત તરંગોની ઝડપ $90\,m/s$ છે.
3 likes
View Solution62
AdvancedMCQ
એક બ્લોક $M$ એ એક સમાન દોરડાના નીચેના છેડે લટકાવેલ છે,જેનું એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અચળ છે. દોરડાનો ઉપરનો છેડો $O$ પાસે એક નિશ્ચિત દ્રઢ આધાર સાથે જોડાયેલ છે. દોરડા પર $O$ બિંદુએ $\lambda_0$ તરંગલંબાઈ ધરાવતું એક ટ્રાન્સવર્સ વેવ પલ્સ (પલ્સ $1$) ઉત્પન્ન થાય છે. આ પલ્સને $A$ બિંદુ સુધી પહોંચતા $T_{OA}$ સમય લાગે છે. જો $M$ ની સ્થિતિને ખલેલ પહોંચાડ્યા વિના $A$ બિંદુએ $\lambda_0$ તરંગલંબાઈ ધરાવતો વેવ પલ્સ (પલ્સ $2$) ઉત્પન્ન કરવામાં આવે,તો તેને $O$ બિંદુ સુધી પહોંચતા $T_{AO}$ સમય લાગે છે. નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
A
$B, C, D$
B
$A, B, D$
C
$B, C$
D
$C, D$
Solution
(B) દોરડા પરના કોઈપણ બિંદુએ ટ્રાન્સવર્સ પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T(x)$ એ તે બિંદુએ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$1$. $O$ થી $A$ તરફ જતા પલ્સ $1$ માટે,$O$ થી $x$ અંતરે તણાવ $T(x) = (M + \mu x)g$ છે.
$2$. $A$ થી $O$ તરફ જતા પલ્સ $2$ માટે,$O$ થી $x$ અંતરે તણાવ પણ $T(x) = (M + \mu x)g$ છે.
દોરડા પર તણાવનું મૂલ્ય બંને માર્ગો માટે સમાન હોવાથી,કોઈપણ બિંદુ $x$ પર બંને પલ્સની ઝડપ સમાન હશે. તેથી,લાગતો સમય $T_{OA} = T_{AO}$ થાય. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. કોઈપણ બિંદુ $x$ પર ઝડપ $v(x)$ સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$4$. દોરડા પર ટ્રાન્સવર્સ તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે,જે આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$5$. જેમ પલ્સ $O$ થી $A$ તરફ જાય છે,તેમ તણાવ વધે છે,તેથી ઝડપ $v$ વધે છે. $v = f\lambda$ હોવાથી અને આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધવી જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,વિકલ્પો $A, B, C,$ અને $D$ બધા સાચા છે.
$1$. $O$ થી $A$ તરફ જતા પલ્સ $1$ માટે,$O$ થી $x$ અંતરે તણાવ $T(x) = (M + \mu x)g$ છે.
$2$. $A$ થી $O$ તરફ જતા પલ્સ $2$ માટે,$O$ થી $x$ અંતરે તણાવ પણ $T(x) = (M + \mu x)g$ છે.
દોરડા પર તણાવનું મૂલ્ય બંને માર્ગો માટે સમાન હોવાથી,કોઈપણ બિંદુ $x$ પર બંને પલ્સની ઝડપ સમાન હશે. તેથી,લાગતો સમય $T_{OA} = T_{AO}$ થાય. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. કોઈપણ બિંદુ $x$ પર ઝડપ $v(x)$ સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$4$. દોરડા પર ટ્રાન્સવર્સ તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે,જે આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$5$. જેમ પલ્સ $O$ થી $A$ તરફ જાય છે,તેમ તણાવ વધે છે,તેથી ઝડપ $v$ વધે છે. $v = f\lambda$ હોવાથી અને આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધવી જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,વિકલ્પો $A, B, C,$ અને $D$ બધા સાચા છે.
0 likes
View Solution63
MediumMCQ
સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલા અને વર્તુળાકાર આડછેદ ધરાવતા બે તારને સમાન તણાવબળ હેઠળ ખેંચવામાં આવે છે. ત્યારબાદ બંને તારમાંથી લંબગત તરંગ પસાર કરવામાં આવે છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ તારમાં તરંગનો વેગ $v_1$ છે અને $R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા તારમાં તરંગનો વેગ $v_2$ છે. તો $\frac{v_2}{v_1} = $
A
$\sqrt{2}$
B
$2$
C
$8$
D
$4$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $R$ એ આડછેદની ત્રિજ્યા છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે. આપેલ છે કે બંને તાર માટે તણાવબળ $T$ સમાન છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{R}$ મળે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_1}{R_2}$.
અહીં $R_1 = R$ અને $R_2 = R/2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R}{R/2} = 2$ મળે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $R$ એ આડછેદની ત્રિજ્યા છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે. આપેલ છે કે બંને તાર માટે તણાવબળ $T$ સમાન છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{R^2}} \propto \frac{1}{R}$ મળે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R_1}{R_2}$.
અહીં $R_1 = R$ અને $R_2 = R/2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R}{R/2} = 2$ મળે.
0 likes
View Solution64
MediumMCQ
એક કંપન કરતી દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ છે. દોરી પર એક લંબગત તરંગ પ્રસરણ પામે છે જેનું સમીકરણ $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ મીટરમાં અને $t$ સેકન્ડમાં માપવામાં આવે છે. દોરીમાં તણાવ આશરે કેટલું હશે ($N$ માં)?
A
$0.12$
B
$0.48$
C
$1.20$
D
$4.80$
Solution
(A) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ દ્વારા મળે છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ અને તરંગની ઝડપ $v$ સાથે $T = \mu v^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $T = (1.3 \times 10^{-4}) \times (30)^2$.
$T = 1.3 \times 10^{-4} \times 900 = 1.3 \times 0.09 = 0.117 \ N$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તણાવ આશરે $0.12 \ N$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.021 \sin(x + 30t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{1} = 30 \ m/s$ દ્વારા મળે છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ અને તરંગની ઝડપ $v$ સાથે $T = \mu v^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $\mu = 1.3 \times 10^{-4} \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $T = (1.3 \times 10^{-4}) \times (30)^2$.
$T = 1.3 \times 10^{-4} \times 900 = 1.3 \times 0.09 = 0.117 \ N$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તણાવ આશરે $0.12 \ N$ મળે છે.
0 likes
View Solution65
AdvancedMCQ
ત્રણ જોડાયેલા તાર $S_1, S_2$ અને $S_3$ ની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો,જેની સમાન રેખીય દળ ઘનતા અનુક્રમે $\mu \text{ kg/m}$,$4\mu \text{ kg/m}$ અને $16\mu \text{ kg/m}$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $S_1$ અને $S_2$ બિંદુ $P$ પર જોડાયેલા છે,જ્યારે $S_2$ અને $S_3$ બિંદુ $Q$ પર જોડાયેલા છે,અને $S_3$ નો બીજો છેડો દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. એક તરંગ જનરેટર $O$ એ $S_1$ ના મુક્ત છેડા સાથે જોડાયેલ છે. જનરેટરથી આવતા તરંગને $y = y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $y_0, \omega$ અને $k$ યોગ્ય પરિમાણોના અચળાંકો છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે:
$(A)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $P$ થી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ $y = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_1$ એક ધન અચળાંક છે.
$(B)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $P$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત તરંગ $y = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_2$ એક ધન અચળાંક છે.
$(C)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $Q$ થી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ $y = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t - kx + \pi) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_3$ એક ધન અચળાંક છે.
$(D)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $Q$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત તરંગ $y = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_4$ એક ધન અચળાંક છે.
$(A)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $P$ થી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ $y = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_1$ એક ધન અચળાંક છે.
$(B)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $P$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત તરંગ $y = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - kx) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_2$ એક ધન અચળાંક છે.
$(C)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $Q$ થી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ $y = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t - kx + \pi) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_3$ એક ધન અચળાંક છે.
$(D)$ જ્યારે તરંગ પ્રથમ વખત $Q$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પારગમિત તરંગ $y = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx) \text{ cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha_4$ એક ધન અચળાંક છે.
A
$(A, C)$
B
$(A, D)$
C
$(B, C)$
D
$(B, D)$
Solution
(B) આપાત તરંગ $y_i = y_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
બિંદુ $P$ પર,તરંગ $\mu$ ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાંથી $4\mu$ ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાં જાય છે. તે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જતું હોવાથી,પરાવર્તિત તરંગમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. તેથી,$y_r = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi)$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$S_2$ માં પારગમિત તરંગ સમાન આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવે છે. તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે. $T$ અચળ હોવાથી,$v \propto 1/\sqrt{\mu}$. તેથી,$v_2 = v_1 / \sqrt{4} = v_1 / 2$. $v = \omega/k$ હોવાથી,આપણને $k_2 = 2k$ મળે છે. પારગમિત તરંગ $y_t = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ છે. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
બિંદુ $Q$ પર,તરંગ $S_2$ (ઘનતા $4\mu$) માંથી $S_3$ (ઘનતા $16\mu$) માં જાય છે. $Q$ પર આપાત તરંગ $y_i = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ છે. તે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જતું હોવાથી,$Q$ પર પરાવર્તિત તરંગમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. તેથી,$y_r = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t + 2kx + \pi)$. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$S_3$ માં પારગમિત તરંગ માટે,$v_3 = v_2 / \sqrt{16/4} = v_2 / 2 = v_1 / 4$. તેથી,$k_3 = 4k$. પારગમિત તરંગ $y_t = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx)$ છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(D)$ છે.
બિંદુ $P$ પર,તરંગ $\mu$ ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાંથી $4\mu$ ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાં જાય છે. તે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જતું હોવાથી,પરાવર્તિત તરંગમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. તેથી,$y_r = \alpha_1 y_0 \cos(\omega t + kx + \pi)$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$S_2$ માં પારગમિત તરંગ સમાન આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવે છે. તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે. $T$ અચળ હોવાથી,$v \propto 1/\sqrt{\mu}$. તેથી,$v_2 = v_1 / \sqrt{4} = v_1 / 2$. $v = \omega/k$ હોવાથી,આપણને $k_2 = 2k$ મળે છે. પારગમિત તરંગ $y_t = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ છે. વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
બિંદુ $Q$ પર,તરંગ $S_2$ (ઘનતા $4\mu$) માંથી $S_3$ (ઘનતા $16\mu$) માં જાય છે. $Q$ પર આપાત તરંગ $y_i = \alpha_2 y_0 \cos(\omega t - 2kx)$ છે. તે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જતું હોવાથી,$Q$ પર પરાવર્તિત તરંગમાં $\pi$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. તેથી,$y_r = \alpha_3 y_0 \cos(\omega t + 2kx + \pi)$. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$S_3$ માં પારગમિત તરંગ માટે,$v_3 = v_2 / \sqrt{16/4} = v_2 / 2 = v_1 / 4$. તેથી,$k_3 = 4k$. પારગમિત તરંગ $y_t = \alpha_4 y_0 \cos(\omega t - 4kx)$ છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(D)$ છે.
0 likes
View Solution66
DifficultMCQ
$L$ લંબાઈ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ધાતુના તારમાં $V$ વેગથી લંબગત તરંગ ગતિ કરે છે. તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ પ્રતિબળ કેટલું હશે?
A
$V \rho^{2}$
B
$\frac{V^{2}}{\rho}$
C
$\frac{\rho}{V^{2}}$
D
$V^{2} \rho$
Solution
(D) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ (રેખીય દળ ઘનતા) છે.
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
વેગના સમીકરણમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
તણાવ પ્રતિબળ (જેને $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) શોધવા માટે પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
તેથી,તારમાં તણાવ પ્રતિબળ $V^{2} \rho$ છે.
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
વેગના સમીકરણમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
તણાવ પ્રતિબળ (જેને $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) શોધવા માટે પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
તેથી,તારમાં તણાવ પ્રતિબળ $V^{2} \rho$ છે.
0 likes
View Solution67
DifficultMCQ
એક દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $10^{-6} \,kg/cm$ છે. તેમાં ઉત્પન્ન થતા સરળ આવર્ત તરંગનું સમીકરણ $Y=0.2 \sin(2x+80t) \,m$ છે. દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે ($N$ માં)?
A
$0.16$
B
$0.0016$
C
$1.6$
D
$16$
Solution
(A) તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તણાવ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T = v^2 \mu$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
આપેલ તરંગ સમીકરણ $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ સાથે કરતા,આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 80 \,rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $K = 2 \,rad/m$ મેળવીએ છીએ.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.
તણાવ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T = v^2 \mu$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
આપેલ તરંગ સમીકરણ $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ સાથે કરતા,આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 80 \,rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $K = 2 \,rad/m$ મેળવીએ છીએ.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.
0 likes
View Solution68
MediumMCQ
એક તાર $PQ$ ની લંબાઈ $4.8 \ m$ અને દળ $0.06 \ kg$ છે. બીજો તાર $QR$ ની લંબાઈ $2.56 \ m$ અને દળ $0.2 \ kg$ છે. બંને તારની ત્રિજ્યા સમાન છે અને તેમને જોડીને એક જ તાર બનાવવામાં આવ્યો છે. આ તાર $80 \ N$ ના તણાવ હેઠળ છે. $3.5 \ cm$ કંપવિસ્તાર ધરાવતું તરંગ $P$ છેડેથી $PQ$ તાર પર મોકલવામાં આવે છે. તરંગને તારના બીજા છેડે પહોંચતા લાગતો સમય શોધો (પ્રસરણ દરમિયાન કોઈ પાવરનો વ્યય થતો નથી). ($s$ માં)
A
$0.1$
B
$0.12$
C
$0.14$
D
$0.16$
Solution
(C) તાર $PQ$ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m_{PQ} = \frac{0.06}{4.8} = \frac{1}{80} \ kg/m$ છે.
તાર $QR$ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ છે.
તાર $PQ$ માં તરંગનો વેગ $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ છે.
તાર $PQ$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ છે.
તાર $QR$ માં તરંગનો વેગ $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ છે.
તાર $QR$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ છે.
તાર $QR$ માટે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m_{QR} = \frac{0.2}{2.56} = \frac{5}{64} \ kg/m$ છે.
તાર $PQ$ માં તરંગનો વેગ $v_{PQ} = \sqrt{\frac{T}{m_{PQ}}} = \sqrt{\frac{80}{1/80}} = \sqrt{6400} = 80 \ m/s$ છે.
તાર $PQ$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L_{PQ}}{v_{PQ}} = \frac{4.8}{80} = 0.06 \ s$ છે.
તાર $QR$ માં તરંગનો વેગ $v_{QR} = \sqrt{\frac{T}{m_{QR}}} = \sqrt{\frac{80}{5/64}} = \sqrt{\frac{80 \times 64}{5}} = \sqrt{16 \times 64} = 4 \times 8 = 32 \ m/s$ છે.
તાર $QR$ માં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{L_{QR}}{v_{QR}} = \frac{2.56}{32} = 0.08 \ s$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t = t_1 + t_2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 \ s$ છે.
0 likes
View Solution69
EasyMCQ
$0.4 \,N$ ના તણાવ હેઠળ રહેલી દોરીમાં ઉત્પન્ન થતા સરળ આવર્ત તરંગનું સમીકરણ $y=4 \sin (3x+60t) \,m$ છે. દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ કેટલું હશે?
A
$10^{-3} \,kg \,m^{-1}$
B
$10^{-5} \,kg \,m^{-1}$
C
$10^{-3} \,g \,cm^{-1}$
D
$10^{-5} \,g \,cm^{-1}$
Solution
(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y=A \sin (kx+\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y=4 \sin (3x+60t)$ સાથે સરખાવતા,તરંગ સંખ્યા $k=3 \,m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega=60 \,rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{V^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 0.4 \,N$ અને $V = 20 \,m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$.
આપેલ સમીકરણ $y=4 \sin (3x+60t)$ સાથે સરખાવતા,તરંગ સંખ્યા $k=3 \,m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega=60 \,rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{V^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 0.4 \,N$ અને $V = 20 \,m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$.
0 likes
View Solution70
DifficultMCQ
$12 \ m$ લંબાઈ અને $6 \ kg$ દળ ધરાવતું એક સમાન દોરડું એક દ્રઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલું છે. દોરડાના મુક્ત છેડે $2 \ kg$ દળનો બ્લોક બાંધેલો છે. દોરડાના નીચેના છેડે $0.06 \ m$ તરંગલંબાઈનું એક લંબગત સ્પંદ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે. જ્યારે આ સ્પંદ દોરડાના ઉપરના છેડે પહોંચે ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ($m$ માં)?
A
$0.12$
B
$0.4$
C
$0.8$
D
$0.16$
Solution
(A) દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = f \lambda = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
જેમ જેમ સ્પંદ આગળ વધે છે તેમ તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી $\lambda \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $2 \ kg$ દળના બ્લોકને કારણે છે: $T_1 = 2g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ બ્લોક $(2 \ kg)$ અને દોરડા $(6 \ kg)$ બંનેનું વજન ઉઠાવે છે: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 0.06 \ m$,તેથી $\lambda_2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$.
જેમ જેમ સ્પંદ આગળ વધે છે તેમ તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી $\lambda \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $2 \ kg$ દળના બ્લોકને કારણે છે: $T_1 = 2g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ બ્લોક $(2 \ kg)$ અને દોરડા $(6 \ kg)$ બંનેનું વજન ઉઠાવે છે: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 0.06 \ m$,તેથી $\lambda_2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$.
0 likes
View Solution71
MediumMCQ
$0.1 \, kg$ દળ ધરાવતી એક દોરી $1.6 \, N$ ના તણાવ હેઠળ છે. દોરીની લંબાઈ $1 \, m$ છે. એક લંબગત તરંગ દોરીના એક છેડેથી શરૂ થાય છે. તરંગને બીજા છેડે પહોંચતા લાગતો સમય કેટલો હશે ($s$. માં)?
A
$0.30$
B
$0.50$
C
$0.25$
D
$0.75$
Solution
(C) આપેલ છે: દોરીનું દળ $m = 0.1 \, kg$, તણાવ $T = 1.6 \, N$, લંબાઈ $\ell = 1 \, m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$.
દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
કિંમતો મૂકતા, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.
બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$.
દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
કિંમતો મૂકતા, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.
બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$.
0 likes
View Solution72
MediumMCQ
એક લંબગત તરંગ $V$ વેગ સાથે દોરી પર ગતિ કરી રહ્યું છે. દોરીમાં વિસ્તરણ $x$ છે. જો દોરીને $50 \%$ જેટલી ખેંચવામાં આવે,તો દોરી પર તરંગની ઝડપ આશરે કેટલી થશે? (હૂકનો નિયમ પાળવામાં આવે છે)
A
$(0.7) V$
B
$(1.22) V$
C
$(1.1) V$
D
$(0.9) V$
Solution
(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$T = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
દોરીનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,$\mu = \frac{m}{L}$. જ્યારે દોરી ખેંચાય છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$ વધે છે. જોકે,નાના વિસ્તરણ માટે,$\mu$ માં થતો ફેરફાર એ તણાવ $T$ માં થતા ફેરફારની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
તેથી,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = x$ અને અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$.
તેથી,નવી ઝડપ $V_2 \approx 1.22 V$ થશે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$T = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
દોરીનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,$\mu = \frac{m}{L}$. જ્યારે દોરી ખેંચાય છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$ વધે છે. જોકે,નાના વિસ્તરણ માટે,$\mu$ માં થતો ફેરફાર એ તણાવ $T$ માં થતા ફેરફારની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
તેથી,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = x$ અને અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$.
તેથી,નવી ઝડપ $V_2 \approx 1.22 V$ થશે.
0 likes
View Solution73
MediumMCQ
$L$ લંબાઈ,$M$ દળ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો એક સમાન ધાતુનો તાર $T$ તણાવ હેઠળ છે. જો તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $V$ હોય,તો તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે?
A
$\frac{V}{T\rho}$
B
$\frac{T}{V^{2}\rho}$
C
$\frac{T^{2}}{V\rho}$
D
$\frac{V^{2}}{T\rho}$
Solution
(B) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
વળી,દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
વળી,દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$.
0 likes
View Solution74
MediumMCQ
એક સમાન ધાતુના તારની લંબાઈ $L$,દળ $M$ અને ઘનતા $\rho$ છે. તે $T$ તણાવ હેઠળ છે અને $v$ એ તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ છે. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે?
A
$\frac{v^{2} \rho}{T}$
B
$\frac{T}{v^{2} \rho}$
C
$T^{2} \rho v$
D
$Tv^{2} \rho$
Solution
(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$ હોવાથી,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$ હોવાથી,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$.
0 likes
View Solution75
EasyMCQ
$R_{1}$ અને $R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે $Cu$ તાર એવા છે કે $(R_{1} > R_{2})$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A
લંબગત તરંગ જાડા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરે છે
B
લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરે છે
C
બંને તારમાં સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે
D
ગતિ કરતું નથી
Solution
(B) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v \propto \frac{1}{R}$.
અહીં $R_{1} > R_{2}$ હોવાથી,જાડા તારમાં વેગ $v_{1}$ એ પાતળા તારના વેગ $v_{2}$ કરતા ઓછો હશે $(v_{1} < v_{2})$.
તેથી,લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કારણ કે $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v \propto \frac{1}{R}$.
અહીં $R_{1} > R_{2}$ હોવાથી,જાડા તારમાં વેગ $v_{1}$ એ પાતળા તારના વેગ $v_{2}$ કરતા ઓછો હશે $(v_{1} < v_{2})$.
તેથી,લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
0 likes
View Solution76
MediumMCQ
$20 \,m$ લાંબો અને $50 \,N$ વજન ધરાવતો એક સમાન તાર શિરોલંબ લટકે છે. તારના મધ્યબિંદુએ તરંગની ઝડપ કેટલી હશે? (ગુરુત્વપ્રવેગ $= g = 10 \,ms^{-2}$)
A
$4 \,ms^{-1}$
B
$10 \sqrt{2} \,ms^{-1}$
C
$10 \,ms^{-1}$
D
શૂન્ય $ms^{-1}$
Solution
(C) તારનું દળ $m = \frac{W}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,kg$ છે.
તારની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ છે.
તારના મધ્યબિંદુએ તણાવ $T$ એ તારના નીચેના અડધા ભાગના વજન જેટલું હોય છે.
નીચેના અડધા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ છે.
તેથી,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$.
તરંગની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$.
તારની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{5}{20} = 0.25 \,kg/m$ છે.
તારના મધ્યબિંદુએ તણાવ $T$ એ તારના નીચેના અડધા ભાગના વજન જેટલું હોય છે.
નીચેના અડધા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{2} = 2.5 \,kg$ છે.
તેથી,$T = m'g = 2.5 \times 10 = 25 \,N$.
તરંગની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \,ms^{-1}$.
0 likes
View Solution77
MediumMCQ
$0.2 \ kg$ દળ ધરાવતી એક દોરી $2.5 \ N$ ના તણાવ હેઠળ છે. દોરીની લંબાઈ $2 \ m$ છે. એક લંબગત તરંગ દોરીના એક છેડેથી શરૂ થાય છે. તરંગને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે ($s$ માં)?
A
$0.2$
B
$0.4$
C
$0.6$
D
$0.8$
Solution
(B) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $(m)$:
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
લંબગત તરંગનો વેગ $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
તરંગને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
લંબગત તરંગનો વેગ $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
તરંગને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$
0 likes
View Solution78
MediumMCQ
$L$ લંબાઈ અને $m_1$ દળ ધરાવતું એક સમાન દોરડું એક દ્રઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલું છે. દોરડાના મુક્ત છેડે $m_2$ દળનો એક બ્લોક બાંધેલો છે. દોરડાના નીચેના છેડે $\lambda_1$ તરંગલંબાઈ ધરાવતું લંબગત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે આ તરંગ દોરડાના ઉપરના છેડે પહોંચે છે ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ થાય છે. ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધો.
A
$\left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
B
$\left[\frac{m_1+m_2}{m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
C
$\left[\frac{m_1}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
D
$\left[\frac{m_2}{m_1-m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$
Solution
(A) ધારો કે નીચેના છેડે તરંગનો વેગ $v_1$ છે અને ઉપરના છેડે $v_2$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $n$ અચળ રહેતી હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{n}$ પરથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$ મળે.
દોરડા પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$v \propto \sqrt{T}$.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $m_2$ દળના બ્લોકને કારણે છે,તેથી $T_1 = m_2 g$.
ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ દોરડા અને બ્લોકના કુલ દળને કારણે છે,તેથી $T_2 = (m_1 + m_2) g$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.
તરંગની આવૃત્તિ $n$ અચળ રહેતી હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{n}$ પરથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1}$ મળે.
દોરડા પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$v \propto \sqrt{T}$.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $m_2$ દળના બ્લોકને કારણે છે,તેથી $T_1 = m_2 g$.
ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ દોરડા અને બ્લોકના કુલ દળને કારણે છે,તેથી $T_2 = (m_1 + m_2) g$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)g}{m_2 g}} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} = \left[\frac{m_2}{m_1+m_2}\right]^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.
0 likes
View Solution79
EasyMCQ
$r_1$ અને $r_2$ $(r_1 > r_2)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે તાંબાના તાર પર સમાન તણાવ લગાડવામાં આવે છે અને તેમને ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે. તો લંબગત તરંગો
A
બંને તારમાં ગતિ કરશે નહીં
B
બંને તારમાં સમાન વેગથી ગતિ કરશે
C
પાતળા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરશે
D
જાડા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરશે
Solution
(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho \cdot A$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્ય (તાંબુ) ના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\mu = \rho \cdot \pi r^2$ થાય.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
અહીં $T$,$\rho$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$v \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી પાતળા તાર $(r_2)$ માં વેગ જાડા તાર $(r_1)$ કરતા વધારે હશે.
આમ,લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરશે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho \cdot A$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્ય (તાંબુ) ના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\mu = \rho \cdot \pi r^2$ થાય.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
અહીં $T$,$\rho$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$v \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી પાતળા તાર $(r_2)$ માં વેગ જાડા તાર $(r_1)$ કરતા વધારે હશે.
આમ,લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરશે.
0 likes
View Solution80
MediumMCQ
એક સમાન ધાતુના તારની લંબાઈ $L$,દળ $M$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તે $T$ જેટલા તણાવ હેઠળ છે અને $V$ એ તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ છે. તારની ઘનતા કેટલી હશે?
A
$\frac{A T}{V^2}$
B
$\frac{T}{A^2 V}$
C
$\frac{T}{V^2 A}$
D
$\frac{V^2}{A^2 T}$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે તારનું દળ $M$,લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ થાય.
તારનું દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times A \times L$ હોવાથી,$\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ મળે.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
ઘનતા $\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.
આપેલ છે કે તારનું દળ $M$,લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ થાય.
તારનું દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times A \times L$ હોવાથી,$\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ મળે.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
ઘનતા $\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.
0 likes
View Solution81
MediumMCQ
$M$ દળ ધરાવતી એક દોરી $T$ તણાવ હેઠળ છે. દોરીની લંબાઈ $L$ છે. જો દોરીના એક છેડેથી લંબગત તરંગ શરૂ થાય,તો વિક્ષોભને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?
A
$\sqrt{\frac{L M}{T}}$
B
$\sqrt{L M T}$
C
$\sqrt{\frac{T}{L M}}$
D
$\sqrt{\frac{L T}{M}}$
Solution
(A) દોરી પરના લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે,જે $\mu = \frac{M}{L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વેગના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ મળે છે.
વિક્ષોભને દોરીની $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ દ્વારા મળે છે.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ મળે છે.
વેગના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ મળે છે.
વિક્ષોભને દોરીની $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ દ્વારા મળે છે.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ મળે છે.
0 likes
View Solution82
MediumMCQ
એક દોરી પર લંબગત તરંગ પ્રસરણ પામે છે. કંપન કરતી દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $10^{-3} \ kg/m$ છે. તરંગનું સમીકરણ $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ છે,જ્યાં $x$ અને $Y$ મીટરમાં અને સમય $t$ સેકન્ડમાં છે. દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે ($N$ માં)?
A
$0.2$
B
$0.250$
C
$0.225$
D
$0.325$
Solution
(C) લંબગત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 15 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15}{1} = 15 \ m/s$ થાય.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 10^{-3} \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $15 = \sqrt{\frac{T}{10^{-3}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$225 = \frac{T}{10^{-3}}$.
તેથી,$T = 225 \times 10^{-3} \ N = 0.225 \ N$.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 15 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15}{1} = 15 \ m/s$ થાય.
દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 10^{-3} \ kg/m$ આપેલ છે,તેથી $15 = \sqrt{\frac{T}{10^{-3}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$225 = \frac{T}{10^{-3}}$.
તેથી,$T = 225 \times 10^{-3} \ N = 0.225 \ N$.
0 likes
View Solution83
EasyMCQ
સમાન દ્રવ્યની બનેલી બે દોરીઓ $A$ અને $B$ ને સમાન તણાવબળથી ખેંચવામાં આવે છે. દોરી $A$ ની ત્રિજ્યા દોરી $B$ ની ત્રિજ્યા કરતા બમણી છે. દોરી $A$ પર લંબગત તરંગ $V_A$ ઝડપથી અને દોરી $B$ પર $V_B$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B}$ કેટલો થાય?
A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$2$
D
$4$
Solution
(B) ખેંચાયેલી દોરી પર ગતિ કરતા લંબગત તરંગનો વેગ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવબળ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ દોરીની ત્રિજ્યા છે,તેથી $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ મળે.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે ($\rho$ અચળ છે) અને તણાવબળ $T$ સમાન છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $V \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_A = 2r_B$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ દોરીની ત્રિજ્યા છે,તેથી $V = \sqrt{\frac{T}{\rho \cdot \pi r^2}}$ મળે.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે ($\rho$ અચળ છે) અને તણાવબળ $T$ સમાન છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $V \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_A = 2r_B$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_B}{2r_B} = \frac{1}{2}$.
0 likes
View Solution84
EasyMCQ
$1 \ m$ લંબાઈના ધાતુના તારનું દળ $10 \times 10^{-3} \ kg$ છે. જો તાર પર $100 \ N$ નું તણાવ બળ લગાડવામાં આવે,તો લંબગત તરંગની ઝડપ કેટલી હશે ($ms^{-1}$ માં)?
A
$100$
B
$10$
C
$200$
D
$0.1$
Solution
(A) આપેલ છે: તારની લંબાઈ,$l = 1 \ m$; તારનું દળ,$m = 10 \times 10^{-3} \ kg$; તણાવ બળ,$T = 100 \ N$.
ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 10 \times 10^{-3} \ kg/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{100}{10 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = \sqrt{10000} = 100 \ ms^{-1}$.
તેથી,લંબગત તરંગની ઝડપ $100 \ ms^{-1}$ છે.
ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 10 \times 10^{-3} \ kg/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{100}{10 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = \sqrt{10000} = 100 \ ms^{-1}$.
તેથી,લંબગત તરંગની ઝડપ $100 \ ms^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution85
MediumMCQ
$81 \text{ cm}$ લંબાઈના સ્ટીલના તારનું દળ $5 \times 10^{-3} \text{ kg}$ છે. જો તાર $50 \text{ N}$ ના તણાવ હેઠળ હોય, તો તાર પર લંબગત તરંગોની ઝડપ કેટલી હશે ($\text{ m s}^{-1}$ માં)?
A
$100$
B
$105$
C
$90$
D
$60$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L}$.
આપેલ છે: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$.
$\mu$ ની ગણતરી કરો: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$.
હવે, કિંમતોને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકો:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$.
આમ, લંબગત તરંગની ઝડપ $90 \text{ m s}^{-1}$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L}$.
આપેલ છે: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$.
$\mu$ ની ગણતરી કરો: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$.
હવે, કિંમતોને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકો:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$.
આમ, લંબગત તરંગની ઝડપ $90 \text{ m s}^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution86
MediumMCQ
$80 \ cm$ લંબાઈ ધરાવતી ખેંચાયેલી દોરી પર પ્રસરતા લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y=1.5 \sin \{(5 \times 10^{-3} x) + 20 t\}$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ $cm$ માં છે અને સમય $t$ સેકન્ડમાં છે. જો દોરીનું દળ $3 \ g$ હોય,તો દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે ($N$ માં)?
A
$12$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \ rad/s$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$.
ખેંચાયેલી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
તેથી,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$.
આપેલ સમીકરણ $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \ rad/s$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$.
ખેંચાયેલી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
તેથી,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$.
0 likes
View Solution87
MediumMCQ
જ્યારે તણાવ $120 \,N$ હોય ત્યારે દોરી પરના તરંગની ઝડપ $150 \,ms^{-1}$ છે. તરંગની ઝડપમાં $20 \%$ નો વધારો કરવા માટે તણાવમાં કેટલા ટકા વધારો કરવો પડે?
A
$44$
B
$40$
C
$20$
D
$22$
Solution
(A) દોરી પરના તરંગ માટે, ઝડપ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu$ અચળ હોવાથી, $v \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_1 = 150 \,ms^{-1}$ અને $T_1 = 120 \,N$.
આપણે ઝડપમાં $20 \%$ નો વધારો કરવા માંગીએ છીએ, તેથી $v_2 = v_1 + 0.20 v_1 = 1.2 v_1$.
પ્રમાણસરતા $v \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1.44 = \frac{T_2}{120}$.
$T_2 = 1.44 \times 120 = 172.8 \,N$.
તણાવમાં ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\% \Delta T = \frac{172.8 - 120}{120} \times 100 = \frac{52.8}{120} \times 100 = 44 \%$.
અહીં $\mu$ અચળ હોવાથી, $v \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_1 = 150 \,ms^{-1}$ અને $T_1 = 120 \,N$.
આપણે ઝડપમાં $20 \%$ નો વધારો કરવા માંગીએ છીએ, તેથી $v_2 = v_1 + 0.20 v_1 = 1.2 v_1$.
પ્રમાણસરતા $v \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1.44 = \frac{T_2}{120}$.
$T_2 = 1.44 \times 120 = 172.8 \,N$.
તણાવમાં ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\% \Delta T = \frac{172.8 - 120}{120} \times 100 = \frac{52.8}{120} \times 100 = 44 \%$.
0 likes
View Solution88
MediumMCQ
$L$ લંબાઈની એક દોરીને $\frac{L}{20}$ જેટલી ખેંચવામાં આવે છે અને તેમાં લંબગત તરંગોની ઝડપ $v$ છે. જ્યારે તેને $\frac{L}{10}$ જેટલી ખેંચવામાં આવે ત્યારે તરંગની ઝડપ કેટલી હશે? (ધારો કે હૂકનો નિયમ લાગુ પડે છે.)
A
$2 v$
B
$\frac{v}{\sqrt{2}}$
C
$v \sqrt{2}$
D
$4 v$
Solution
(C) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,ખેંચાયેલી દોરીમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $\Delta l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $T = k \Delta l$.
દોરીનું દળ અને લંબાઈ અચળ રહેતી હોવાથી,$\mu$ અચળ છે. આમ,$v \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\Delta l}$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $\Delta l_1 = \frac{L}{20}$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ આપેલ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,વિસ્તરણ $\Delta l_2 = \frac{L}{10}$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}} = \sqrt{\frac{L/10}{L/20}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v_2 = v \sqrt{2}$.
હૂકના નિયમ મુજબ,ખેંચાયેલી દોરીમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $\Delta l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $T = k \Delta l$.
દોરીનું દળ અને લંબાઈ અચળ રહેતી હોવાથી,$\mu$ અચળ છે. આમ,$v \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\Delta l}$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $\Delta l_1 = \frac{L}{20}$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ આપેલ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,વિસ્તરણ $\Delta l_2 = \frac{L}{10}$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}} = \sqrt{\frac{L/10}{L/20}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v_2 = v \sqrt{2}$.
0 likes
View Solution89
MediumMCQ
બે તારની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે અને તેમના દ્રવ્યોની ઘનતાનો ગુણોત્તર $1: 4$ છે. જો બંને તાર પર સમાન તણાવ લગાડવામાં આવે,તો તેમાં ઉત્પન્ન થતા લંબગત તરંગોની ઝડપનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$1: 16$
B
$16: 1$
C
$1: 4$
D
$4: 1$
Solution
(D) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{\rho \times \text{કદ}}{\text{લંબાઈ}} = \rho \times A = \rho \times \pi R^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $R$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
વેગના સૂત્રમાં $\mu$ મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$ છે.
બંને તાર માટે તણાવ $T$ સમાન હોવાથી,ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{\rho \times \text{કદ}}{\text{લંબાઈ}} = \rho \times A = \rho \times \pi R^2$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $R$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
વેગના સૂત્રમાં $\mu$ મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ અને ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$ છે.
બંને તાર માટે તણાવ $T$ સમાન હોવાથી,ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.
0 likes
View Solution90
MediumMCQ
જ્યારે ખેંચાયેલા તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અડધું કરવામાં આવે અને તણાવ બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે તેમાં લંબગત તરંગોના પ્રસરણની ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતાં $k$ ગણી થાય છે. તો,$k$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$1$
B
$4$
C
$2$
D
$8$
Solution
(C) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે,તેથી ઝડપ:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
આ સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
આપેલ છે કે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A_1}{2}$ અને નવું તણાવ $T_2 = 2T_1$ છે,તેથી નવી ઝડપ $v_2$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
આમ,$v_2 = 2v_1$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે,તેથી ઝડપ:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
આ સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
આપેલ છે કે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A_1}{2}$ અને નવું તણાવ $T_2 = 2T_1$ છે,તેથી નવી ઝડપ $v_2$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
આમ,$v_2 = 2v_1$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.
0 likes
View Solution91
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, $9 \, kg$ દળનો બ્લોક $1 \, mm^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાર વડે લટકાવેલ છે, જે લિફ્ટમાં છે અને લિફ્ટ $2 \, ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ઉપર જઈ રહી છે। જો તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $120 \, ms^{-1}$ હોય, તો તારના દ્રવ્યની ઘનતા શોધો। (ગુરુત્વપ્રવેગ $= 10 \, ms^{-2}$)
A
$1.5 \, g \, cm^{-3}$
B
$3.5 \, g \, cm^{-3}$
C
$5.5 \, g \, cm^{-3}$
D
$7.5 \, g \, cm^{-3}$
Solution
(D) જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, અને $a = 2 \, ms^{-2}$ આપેલ છે, તેથી $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$.
તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \rho A$, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
અહીં $v = 120 \, ms^{-1}$ અને $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે, તેથી $v^2 = \frac{T}{\rho A}$.
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$.
$g \, cm^{-3}$ માં ફેરવતા, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।
અહીં $m = 9 \, kg$, $g = 10 \, ms^{-2}$, અને $a = 2 \, ms^{-2}$ આપેલ છે, તેથી $T = 9(10 + 2) = 9 \times 12 = 108 \, N$.
તાર પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \rho A$, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે।
અહીં $v = 120 \, ms^{-1}$ અને $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે, તેથી $v^2 = \frac{T}{\rho A}$.
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $\rho = \frac{T}{v^2 A} = \frac{108}{(120)^2 \times 10^{-6}} = \frac{108}{14400 \times 10^{-6}} = \frac{108}{0.0144} = 7500 \, kg \, m^{-3}$.
$g \, cm^{-3}$ માં ફેરવતા, $\rho = 7500 \times 10^{-3} \, g \, cm^{-3} = 7.5 \, g \, cm^{-3}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।
0 likes
View Solution92
MediumMCQ
$1 \,m$ લંબાઈ અને $490 \,g$ દળ ધરાવતી એક દોરીને $25 \,N$ ના તણાવ હેઠળ રાખવામાં આવે છે. તેના પર $120 \,Hz$ આવૃત્તિનું તરંગ મોકલવામાં આવે છે. આ તરંગની ઝડપ કેટલી હશે ($\,m/s$ માં)?
A
$7.14$
B
$0.71$
C
$0.51$
D
$51.0$
Solution
(A) ખેંચાયેલી દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 25 \,N$
લંબાઈ $L = 1 \,m$
દળ $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 25 \,N$
લંબાઈ $L = 1 \,m$
દળ $M = 490 \,g = 0.49 \,kg$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L} = \frac{0.49 \,kg}{1 \,m} = 0.49 \,kg/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{25}{0.49}} = \sqrt{\frac{2500}{49}} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \,m/s$.
0 likes
View Solution93
DifficultMCQ
એક ભારે સમાન દોરડું છત પરથી ઊભી રીતે લટકાવેલું છે અને સંતુલનમાં છે. દોરડાના નીચેના છેડે એક પલ્સ (તરંગ) ઉત્પન્ન થાય છે જે દર્શાવ્યા મુજબ ઉપર તરફ ગતિ કરે છે. જેમ જેમ પલ્સ દોરડામાં ઉપર જાય છે,તેમ કોઈપણ ક્ષણે તેનો પ્રવેગ કેટલો હશે? ($g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે).
A
અચળ અને $\frac{g}{2}$ જેટલો
B
ચલિત પરંતુ જ્યારે પલ્સ દોરડાની બરાબર મધ્યમાં હોય ત્યારે $\frac{g}{2}$ જેટલો
C
અચળ અને $g$ જેટલો
D
ચલિત પરંતુ જ્યારે પલ્સ દોરડાની બરાબર મધ્યમાં હોય ત્યારે $g$ જેટલો
Solution
(A) ધારો કે દોરડાનું કુલ દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ છે.
દોરડાના નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે પલ્સને ધ્યાનમાં લો.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે રહેલા $x$ લંબાઈના દોરડાના વજન જેટલું હોય છે: $T = \mu x g$.
પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પલ્સનો પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
$v = \sqrt{xg}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ મળે.
વળી,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$.
તેથી,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{g}{2}$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,પલ્સનો પ્રવેગ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
દોરડાના નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે પલ્સને ધ્યાનમાં લો.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે તણાવ $T$ એ તે બિંદુની નીચે રહેલા $x$ લંબાઈના દોરડાના વજન જેટલું હોય છે: $T = \mu x g$.
પલ્સની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{xg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પલ્સનો પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
$v = \sqrt{xg}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g}$ મળે.
વળી,$\frac{dx}{dt} = v = \sqrt{xg}$.
તેથી,$a = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{g} \right) \cdot \sqrt{xg} = \frac{1}{2} \sqrt{g} \cdot \sqrt{g} = \frac{g}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{g}{2}$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,પલ્સનો પ્રવેગ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
0 likes
View Solution94
MediumMCQ
ખેંચાયેલી દોરી પર પ્રસરતા લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y = 3 \sin (4x + 200t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ અને $y$ મીટરમાં છે અને સમય $t$ સેકન્ડમાં છે. જો દોરી પર લાગતું તણાવ $500 \ N$ હોય,તો દોરીની રેખીય ઘનતા કેટલી હશે ($kg \ m^{-1}$ માં)?
A
$0.25$
B
$0.4$
C
$0.2$
D
$0.1$
Solution
(C) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin(4x + 200t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 4 \ m^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{v^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 500 \ N$ અને $v = 50 \ m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$.
આમ,દોરીની રેખીય ઘનતા $0.2 \ kg \ m^{-1}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin(4x + 200t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 4 \ m^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{v^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 500 \ N$ અને $v = 50 \ m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$.
આમ,દોરીની રેખીય ઘનતા $0.2 \ kg \ m^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution95
DifficultMCQ
એક ખેંચાયેલી દોરી '$A$' માં લંબગત તરંગની ઝડપ '$v$' છે. સમાન લંબાઈ અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી દોરી '$B$' પર સમાન તણાવ લગાડવામાં આવે છે. જો દોરી '$B$' ના દ્રવ્યની ઘનતા '$A$' કરતા $2\%$ વધારે હોય,તો દોરી '$B$' માં લંબગત તરંગની ઝડપ કેટલી હશે?
A
$\sqrt{1.04} v$
B
$\sqrt{1.02} v$
C
$\frac{v}{\sqrt{1.04}}$
D
$\frac{v}{\sqrt{1.02}}$
Solution
(D) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho$,તેથી ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બંને દોરીઓ માટે તણાવ $T$ અને ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ મળે.
ધારો કે $\rho_A = \rho$. તો $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ થાય.
દોરી '$B$' માં ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થશે.
તેથી,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ મળે.
કારણ કે $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho$,તેથી ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બંને દોરીઓ માટે તણાવ $T$ અને ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ મળે.
ધારો કે $\rho_A = \rho$. તો $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ થાય.
દોરી '$B$' માં ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થશે.
તેથી,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ મળે.
0 likes
View Solution96
DifficultMCQ
$0.1 \,kg$ દળ અને $2.45 \,m$ લંબાઈનું એક સમાન દોરડું એક દ્રઢ આધાર પરથી લટકે છે. દોરડામાં ઉત્પન્ન થયેલા લંબગત તરંગને દોરડાની સંપૂર્ણ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે ($\,s$ માં)? ($g = 9.8 \,m/s^2$ લો).
A
$0.5$
B
$1.6$
C
$1.2$
D
$1.0$
Solution
(D) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે દોરડામાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી, આપણને $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ મળે છે。
પદોને ગોઠવતા, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે。
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા, કુલ સમય $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $l = 2.45 \,m$ અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી, આપણને $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ મળે છે。
પદોને ગોઠવતા, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે。
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા, કુલ સમય $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $l = 2.45 \,m$ અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.
0 likes
View Solution97
DifficultMCQ
$3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ ની રેખીય ઘનતા ધરાવતી ખેંચાયેલી દોરી પર પ્રસરતા લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ છે,જ્યાં $x$ મીટરમાં અને $t$ સેકન્ડમાં છે. દોરીમાં તણાવ (ન્યૂટનમાં) કેટલું હશે?
A
$0.24$
B
$0.48$
C
$1.2$
D
$1.8$
Solution
(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
તરંગ સંખ્યા $k = 1.5 \ m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ આપેલ છે.
તણાવ $T$ માટે સૂત્ર: $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
તરંગ સંખ્યા $k = 1.5 \ m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ આપેલ છે.
તણાવ $T$ માટે સૂત્ર: $T = v^2 \mu$.
કિંમતો મૂકતા: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.
0 likes
View Solution98
EasyMCQ
$50 \ cm$ લંબાઈ અને $10 \ g$ વજન ધરાવતો એક તાર એક છેડે સ્પ્રિંગ સાથે અને બીજા છેડે સ્થિર દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $50 \ N/m$ છે અને તે $1 \ cm$ જેટલી ખેંચાયેલી છે. જો દીવાલની નજીક તાર પર તરંગ પલ્સ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે,તો તેને સ્પ્રિંગ સુધી પહોંચતા કેટલો સમય લાગશે ($s$ માં)?
A
$0.1$
B
$0.2$
C
$0.3$
D
$0.4$
Solution
(A) તારમાં તણાવ $T$ સ્પ્રિંગ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે: $T = kx = 50 \ N/m \times 0.01 \ m = 0.5 \ N$.
તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{0.5 \ m} = 0.02 \ kg/m$.
તાર પર તરંગ પલ્સની ઝડપ $v$ નીચે મુજબ છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.5}{0.02}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
પલ્સને તારની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે: $t = \frac{l}{v} = \frac{0.5 \ m}{5 \ m/s} = 0.1 \ s$.
તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{0.5 \ m} = 0.02 \ kg/m$.
તાર પર તરંગ પલ્સની ઝડપ $v$ નીચે મુજબ છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.5}{0.02}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
પલ્સને તારની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે: $t = \frac{l}{v} = \frac{0.5 \ m}{5 \ m/s} = 0.1 \ s$.
0 likes
View SolutionWaves and Sound — Speed of Mechanical Wave on String (Transverse wave) · Frequently Asked Questions
1Are these Waves and Sound questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Waves and Sound Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.