Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(N/A) प्रक्रिया $A$ से $B$ के लिए,आयतन नियत है इसलिए किया गया कार्य $dW = 0$ है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dQ = dU + dW = dU + 0 = dU = nC_V dT = nC_V(T_B - T_A) = (1)(\frac{3}{2}R)(T_B - T_A) = \frac{3}{2}(RT_B - RT_A)$। आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करने पर,हमें $dQ = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A)$ प्राप्त होता है।
$(b)$ प्रक्रिया $B$ से $C$ के लिए,दाब नियत है। किया गया कार्य $dW = P_B(V_C - V_B)$ है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dQ = dU + dW = nC_V(T_C - T_B) + P_B(V_C - V_B) = \frac{3}{2}(P_C V_C - P_B V_B) + P_B(V_C - V_B)$। चूंकि $P_B = P_C$,यह सरल होकर $dQ = \frac{3}{2}P_B(V_C - V_B) + P_B(V_C - V_B) = \frac{5}{2}P_B(V_C - V_B)$ हो जाता है।
$(c)$ प्रक्रिया $C$ से $D$ के लिए,यह एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है,इसलिए विनिमय की गई ऊष्मा $dQ = 0$ है।
$(d)$ प्रक्रिया $D$ से $A$ के लिए,दाब $P_A$ पर नियत है। गैस का आयतन $V_D$ से $V_A$ तक संकुचित होता है। प्रक्रिया $(b)$ की तरह ही,विनिमय की गई ऊष्मा $dQ = \frac{5}{2}P_A(V_A - V_D)$ होगी।

(N/A) एक आदर्श गैस के लिए,अवशोषित ऊष्मा $dQ = dU + dW = nC_V dT + P dV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $PV = nRT$,हमारे पास $T = \frac{PV}{nR} = \frac{f(V)V}{nR}$ है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dT = \frac{1}{nR} [f(V) + V f'(V)] dV$ प्राप्त होता है।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dQ = n C_V \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{nR} \right) dV + f(V) dV$।
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ का उपयोग करने पर,$dQ = \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) \right) dV$ प्राप्त होता है।
गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित करने के लिए,$dV > 0$ के लिए $dQ > 0$ होना चाहिए।
इसके लिए $\frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) > 0$ आवश्यक है।
सरल करने पर,$f(V) + V f'(V) + (\gamma - 1)f(V) > 0$,जो $\gamma f(V) + V f'(V) > 0$ की ओर ले जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$f'(V) > -\gamma \frac{f(V)}{V}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म वक्र का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,ऊष्मा अवशोषण के लिए शर्त यह है कि प्रक्रिया वक्र का ढाल $f'(V)$,रुद्धोष्म वक्र के ढाल $-\gamma \frac{P_0}{V_0}$ से अधिक होना चाहिए।

(C) हीट इंजन की दक्षता $\eta$ को किए गए कुल कार्य और आपूर्ति की गई कुल ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} = \frac{Q_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}}$
यहाँ,एक चक्र में आदान-प्रदान की गई कुल ऊष्मा $Q_{\text{net}} = 1915 - 40 + 125 - Q = 2000 - Q$ है।
आपूर्ति की गई ऊष्मा $(Q_{\text{in}})$ सभी धनात्मक ऊष्मा विनिमय का योग है: $Q_{\text{in}} = 1915 + 125 = 2040\, J$.
दिया गया है कि $\eta = 50.0\% = 0.5$,इसलिए:
$0.5 = \frac{2000 - Q}{2040}$
$1020 = 2000 - Q$
$Q = 2000 - 1020 = 980\, J$.

(A) $(I)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया: $\Delta Q = 0$. परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है।
$(II)$ समतापी प्रक्रिया: तापमान स्थिर रहता है $(\Delta T = 0)$। चूंकि आंतरिक ऊर्जा $\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T$ होती है,इसलिए $\Delta U = 0$ होता है।
$(III)$ समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन स्थिर रहता है $(\Delta V = 0)$। किया गया कार्य $W = \int P \cdot dV = 0$ होता है।
$(IV)$ समदाबी प्रक्रिया: दबाव स्थिर रहता है। यहाँ,$W = P\Delta V \neq 0$,$\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T \neq 0$,और $\Delta Q = nC_p\Delta T \neq 0$ होता है।

(D) प्रक्रिया $A \rightarrow B$ (समआयतनिक) के लिए: $V_A = V_B$। $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$\frac{P_A}{T_A} = \frac{P_B}{T_B}$। दिया गया है $\frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{5}$,इसलिए $T_B = \frac{T_A}{5} = \frac{400}{5} = 80 \, K$।
$A \rightarrow B$ में दी गई ऊष्मा: $Q_1 = n C_V (T_B - T_A) = 1 \times \frac{3}{2} R (80 - 400) = \frac{3}{2} \times 8.31 \times (-320) = -3988.8 \, J$।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ (समदाबीय) के लिए: $P_B = P_C$। $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}$। चूँकि $T_C = 400 \, K$ और $T_B = 80 \, K$ है,इसलिए $V_C = V_B \frac{400}{80} = 5 V_B$।
$B \rightarrow C$ में दी गई ऊष्मा: $Q_2 = n C_P (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2} R (400 - 80) = \frac{5}{2} \times 8.31 \times 320 = 6648 \, J$।
कुल दी गई ऊष्मा: $Q = Q_1 + Q_2 = -3988.8 + 6648 = 2659.2 \, J$।

(A) सिलिंडर $A$ (समदाबी प्रक्रिया) के लिए,दी गई ऊष्मा $Q_A = n C_p \Delta T_A$ है।
सिलिंडर $B$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए,दी गई ऊष्मा $Q_B = n C_v \Delta T_B$ है।
यह दिया गया है कि $Q_A = Q_B$ और गैस की मात्रा $n$ समान है,इसलिए $n C_p \Delta T_A = n C_v \Delta T_B$ होगा।
अतः,$\Delta T_B = \frac{C_p}{C_v} \Delta T_A$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
मान रखने पर,$\Delta T_B = 1.4 \times 30\, K = 42\, K$।

(A) ऊष्मागतिकी में,ऊष्मा और कार्य को पथ फलन के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
यहाँ,$\Delta U$ (आंतरिक ऊर्जा) एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
हालाँकि,किया गया कार्य $(\Delta W)$ निकाय की अवस्था को बदलने के लिए अपनाई गई विशिष्ट प्रक्रिया या पथ पर निर्भर करता है।
चूंकि $\Delta U$ एक अवस्था फलन है और $\Delta W$ एक पथ फलन है,इसलिए आदान-प्रदान की गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ को भी अपनाए गए पथ पर निर्भर होना चाहिए।
अतः,ऊष्मा और कार्य दोनों ही पथ फलन हैं।

(D) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य प्रत्येक व्यक्तिगत प्रक्रिया में किए गए कार्य का योग होता है।
$1$. प्रक्रिया $A \rightarrow B$ (समतापीय विस्तार) के लिए:
$W_{AB} = nRT \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) = nRT \ln \left(\frac{2V_{1}}{V_{1}}\right) = nRT \ln 2$.
$2$. प्रक्रिया $B \rightarrow C$ (समदाबीय संपीड़न) के लिए:
चूँकि $A$ से $B$ तक की प्रक्रिया समतापीय है,$P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$। दिया गया है $V_{2} = 2V_{1}$,इसलिए $P_{1}V_{1} = P_{2}(2V_{1})$,जिसका अर्थ है $P_{2} = \frac{P_{1}}{2}$।
$W_{BC} = P_{2}(V_{1} - V_{2}) = P_{2}(V_{1} - 2V_{1}) = -P_{2}V_{1}$।
बिंदु $B$ पर आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर,$P_{2}V_{2} = nRT$,इसलिए $P_{2}(2V_{1}) = nRT$,जिससे $P_{2}V_{1} = \frac{nRT}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$W_{BC} = -\frac{nRT}{2}$।
$3$. प्रक्रिया $C \rightarrow A$ (समआयतनिक परिवर्तन) के लिए:
चूँकि आयतन स्थिर $(V_{1})$ है,किया गया कार्य $W_{CA} = 0$ है।
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = nRT \ln 2 - \frac{nRT}{2} + 0 = nRT \left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right)$।

(B) समतापीय प्रक्रिया: इस प्रक्रिया में, निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(\Delta T = 0)$। अतः, $(a) \rightarrow (ii)$।
$(b)$ समआयतनिक प्रक्रिया: इस प्रक्रिया में, निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(\Delta V = 0)$। अतः, $(b) \rightarrow (iii)$।
$(c)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया: इस प्रक्रिया में, निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(\Delta Q = 0)$। अतः, ऊष्मा की मात्रा स्थिर रहती है। इसलिए, $(c) \rightarrow (iv)$।
$(d)$ समदाबी प्रक्रिया: इस प्रक्रिया में, निकाय का दाब स्थिर रहता है $(\Delta P = 0)$। अतः, $(d) \rightarrow (i)$।
इसलिए, सही मिलान $(a) \rightarrow (ii), (b) \rightarrow (iii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ है।

(C) दी गई प्रक्रिया समीकरण: $P = kV^{3}$ है।
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$,हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
$P$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{nRT}{V} = kV^{3}$,जिसका अर्थ है $kV^{4} = nRT$।
दोनों पक्षों का तापमान के सापेक्ष अवकलन करने पर: $4kV^{3} dV = nR dT$।
चूंकि $P = kV^{3}$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $4P dV = nR dT$,जिससे $P dV = \frac{nR dT}{4}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int P dV = \int_{T_i}^{T_f} \frac{nR}{4} dT$।
$W = \frac{nR}{4} (T_f - T_i) = \frac{nR}{4} (300 - 100) = \frac{nR}{4} (200) = 50nR$।
अतः,किया गया कार्य $50nR$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया $A-B$ के लिए:
$W_{AB} = nRT \ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right) = RT \ln \left(\frac{2V_1}{V_1}\right) = RT \ln 2$.
समआयतनिक प्रक्रिया $B-C$ के लिए:
चूंकि आयतन स्थिर है,$W_{BC} = 0$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया $C-A$ के लिए:
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ होता है।
यहाँ,$P_C = \frac{P_1}{4}$,$V_C = 2V_1$,$P_A = P_1$,$V_A = V_1$.
$W_{CA} = \frac{P_C V_C - P_A V_A}{\gamma - 1} = \frac{(\frac{P_1}{4})(2V_1) - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{\frac{P_1 V_1}{2} - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{-\frac{P_1 V_1}{2}}{\gamma - 1} = -\frac{RT}{2(\gamma - 1)}$.
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = RT \ln 2 + 0 - \frac{RT}{2(\gamma - 1)} = RT \left(\ln 2 - \frac{1}{2(\gamma - 1)}\right)$.

(B) गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P\,dV$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर: $W = \int \frac{nRT}{V}\,dV$।
दिए गए संबंध $V = KT^{2/3}$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $dV = K \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3}\,dT$।
$V$ और $dV$ के मानों को समाकलन में रखने पर: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{nRT}{KT^{2/3}} \cdot \left( \frac{2}{3} K T^{-1/3} \right) dT$।
व्यंजक को सरल करने पर: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \,dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \,dT$।
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $W = \frac{2}{3} nR (T_2 - T_1)$।
यहाँ $\Delta T = T_2 - T_1 = 90\,K$ और $n = 1$ मोल लेने पर: $W = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot R \cdot 90 = 60R$।
अतः,$x = 60$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$Q = \Delta U + W.$
दिया गया है कि $W = Q/5,$ अतः $Q = \Delta U + Q/5.$
इसलिए,$\Delta U = Q - Q/5 = 4Q/5.$
कठोर द्विपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है,जहाँ $C_v = \frac{5}{2}R.$
साथ ही,$Q = n C \Delta T,$ जहाँ $C$ मोलर ऊष्मा धारिता है।
इन मानों को $\Delta U = \frac{4}{5}Q$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n C_v \Delta T = \frac{4}{5} (n C \Delta T).$
$C_v = \frac{4}{5} C \implies C = \frac{5}{4} C_v.$
$C_v = \frac{5}{2}R$ रखने पर,$C = \frac{5}{4} \times \frac{5}{2} R = \frac{25}{8} R.$
इसे $\frac{xR}{8}$ के साथ तुलना करने पर,$x = 25$ प्राप्त होता है।

(A) $P-V$ आरेख में,रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जबकि समतापीय प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
सभी गैसों के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma > 1$ होता है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र के ढाल का परिमाण समतापीय वक्र के ढाल से अधिक होता है।
अतः,रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
ग्राफ को देखने पर:
$1$ समआयतनिक प्रक्रिया (नियत आयतन) को दर्शाता है।
$4$ समदाबी प्रक्रिया (नियत दाब) को दर्शाता है।
$2$ और $3$ के बीच,वक्र $2$ वक्र $3$ की तुलना में अधिक तीव्र है।
इस प्रकार,वक्र $2$ रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है और वक्र $3$ समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ है।
दिया गया है,$W = \frac{Q}{4}$।
अतः,$\Delta U = \Delta Q - W = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n (\frac{3}{2}R) \Delta T$ होता है।
इसलिए,$n (\frac{3}{2}R) \Delta T = \frac{3Q}{4} \Rightarrow n \Delta T = \frac{Q}{2R}$।
मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$n \Delta T$ का मान रखने पर,हमें $C = \frac{Q}{Q / (2R)} = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(B) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f} = 1.4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
$1 + \frac{2}{f} = 1.4 \Rightarrow \frac{2}{f} = 0.4 \Rightarrow f = 5$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गैस की गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\Delta U = K.E._{initial}$
$\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} (nm) v^2$,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
चूंकि $M = m \times N_A$ और $R = k_B \times N_A$,इसलिए $m = \frac{M}{N_A}$ है।
$\frac{5}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} n M v^2$
$\Delta T = \frac{M v^2}{5R}$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। इसलिए,कुल अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$,गैस द्वारा किए गए कुल कार्य $\Delta W$ के बराबर होती है।
$\Delta Q_{\text{cycle}} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} + \Delta Q_{CA} = 40 + 0 - 60 = -20 \ J$.
चूंकि $\Delta Q_{\text{cycle}} = \Delta W_{\text{cycle}}$,इसलिए $\Delta W_{\text{cycle}} = -20 \ J$.
कुल कार्य $\Delta W_{\text{cycle}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ है।
चित्र से,प्रक्रिया $AB$ समआयतनिक (isochoric) है (ऊर्ध्वाधर रेखा),इसलिए $W_{AB} = 0$.
दिया गया है $W_{BC} = -50 \ J$ (गैस पर किया गया कार्य)।
अतः,$-20 = 0 + (-50) + W_{CA}$.
$W_{CA} = -20 + 50 = 30 \ J$.

(D) प्रसारण प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
दिए गए $P-V$ आरेख से,$V_{i}$ से $V_{f}$ तक आयतन में समान परिवर्तन के लिए,समदाबी प्रक्रिया वक्र $(3)$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है,उसके बाद समतापीय प्रक्रिया वक्र $(1)$ है,और रुद्धोष्म प्रक्रिया वक्र $(2)$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे छोटा है।
इसलिए,किए गए कार्य का क्रम इस प्रकार है: $W_{2} < W_{1} < W_{3}$.

(B) प्रारंभिक स्थिति: $P_{1} = 2 \times 10^{7} \; Pa$,$V_{1} = V$,$T_{1} = 300 \; K$.
चरण $1$: समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$ होता है।
दिया गया है $V_{2} = 2V_{1} = 2V$।
अतः,$P_{2} = P_{1} \times (V_{1} / V_{2}) = (2 \times 10^{7}) \times (V / 2V) = 1 \times 10^{7} \; Pa$।
चरण $2$: रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_{2}V_{2}^{\gamma} = P_{3}V_{3}^{\gamma}$ होता है।
दिया गया है $V_{3} = 2V_{2} = 4V$ और $\gamma = 1.5$।
अतः,$P_{3} = P_{2} \times (V_{2} / V_{3})^{\gamma} = (1 \times 10^{7}) \times (V_{2} / 2V_{2})^{1.5} = (1 \times 10^{7}) \times (1/2)^{1.5}$।
$P_{3} = (1 \times 10^{7}) / 2^{1.5} = (1 \times 10^{7}) / 2.8284 = 3.536 \times 10^{6} \; Pa$।

(A) $A.$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$ होती है। यदि $\Delta T$ दोगुना हो जाता है,तो ऊष्मा हानि की दर दोगुनी हो जाती है। अतः,$A$ सही है।
$B.$ किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma e A T^4$ होती है। उत्सर्जित विकिरण का अनुपात $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{T_P}{T_Q}\right)^4$ है। तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_P = 10 + 273 = 283 K$ और $T_Q = 20 + 273 = 293 K$। इस प्रकार,$\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{283}{293}\right)^4 \approx 0.87$। हालाँकि,$1.035^4 \approx 1.15$ का उपयोग करने पर,$1:1.15$ सही है। अतः,$B$ सही है।
$C.$ दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{100}{400} = 0.75$ यानी $75\%$। अतः,$C$ सही है।
$D.$ चूंकि $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$,यदि $\Delta T$ चार गुना हो जाता है,तो ऊष्मा हानि की दर चार गुना हो जाएगी,न कि दोगुनी। अतः,$D$ गलत है।
इसलिए,कथन $A, B$ और $C$ सही हैं।

(B) परिवर्ती तापमान स्रोत $T$ और नियत तापमान सिंक $T_0 = 200 \,K$ के बीच कार्य करने वाले हीट इंजन के लिए,अधिकतम कार्य तब प्राप्त होता है जब इंजन हर क्षण एक कार्नो इंजन के रूप में कार्य करता है।
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_0}{T}$ द्वारा दी जाती है।
गर्म पिंड से ली गई सूक्ष्म ऊष्मा $dQ_{in} = -C dT$ के लिए किया गया सूक्ष्म कार्य $dW = \eta dQ_{in} = (1 - \frac{T_0}{T})(-C dT)$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 600 \,K$ से अंतिम तापमान $T_f = 400 \,K$ तक समाकलन करने पर:
$W = \int_{600}^{400} -(1 - \frac{200}{T}) C dT = C \int_{400}^{600} (1 - \frac{200}{T}) dT$.
यहाँ $C = 1 \,J/K$ दिया गया है:
$W = [T - 200 \ln T]_{400}^{600} = (600 - 400) - 200(\ln 600 - \ln 400)$.
$W = 200 - 200 \ln(600/400) = 200 - 200 \ln(3/2) = 200(1 - \ln(3/2)) \,J$.

(B) माना चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ है।
$A \rightarrow B$ समदाबी (isobaric),$B \rightarrow C$ रुद्धोष्म (adiabatic) और $C \rightarrow A$ समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
माना $T_A = T_{min}$ और $T_B = T_{max}$ है। अनुपात $x = T_B / T_A$ है।
समदाबी प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए: $Q_{AB} = n C_p (T_B - T_A) = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) (T_B - T_A)$.
समतापीय प्रक्रिया $C \rightarrow A$ के लिए: $Q_{CA} = n R T_A \ln(V_A / V_C)$.
चूंकि $B \rightarrow C$ रुद्धोष्म है,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}$। चूंकि $T_C = T_A$,इसलिए $T_B V_B^{\gamma-1} = T_A V_C^{\gamma-1}$।
अतः,$(V_C / V_B)^{\gamma-1} = T_B / T_A = x$,जिससे $V_C / V_B = x^{1/(\gamma-1)}$।
साथ ही,समदाबी प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,$V_B / V_A = T_B / T_A = x$।
इसलिए,$V_C / V_A = (V_C / V_B) \cdot (V_B / V_A) = x^{1/(\gamma-1)} \cdot x = x^{\gamma/(\gamma-1)}$।
दक्षता $\eta = 1 - |Q_{CA}| / Q_{AB} = 1 - [n R T_A \ln(V_C / V_A)] / [n R \frac{\gamma}{\gamma-1} (T_B - T_A)]$।
मान रखने पर: $\eta = 1 - [T_A \cdot \frac{\gamma}{\gamma-1} \ln x] / [\frac{\gamma}{\gamma-1} T_A (x - 1)] = 1 - \frac{\ln x}{x - 1}$।
दिया गया है $\eta = 0.5$,इसलिए $0.5 = 1 - \frac{\ln x}{x - 1} \Rightarrow \frac{\ln x}{x - 1} = 0.5 \Rightarrow \ln x = 0.5(x - 1) \Rightarrow \ln x = \ln(e^{0.5(x-1)})$।
अतः,$x = e^{0.5(x-1)} \Rightarrow x^2 = e^{x-1}$।

(A) प्रसार वक्र चित्र में दिखाए गए हैं। रुद्धोष्म वक्र का ढाल $\frac{dp}{dV} = -\gamma \left(\frac{p}{V}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\gamma_{\text{diatomic}} = \frac{7}{5} = 1.4$ और $\gamma_{\text{monoatomic}} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ है,इसलिए $\gamma_{\text{diatomic}} < \gamma_{\text{monoatomic}}$ है।
इसका अर्थ है कि एकपरमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म प्रसार वक्र द्विपरमाणुक गैस की तुलना में अधिक तीव्र (steep) है। चूंकि दोनों गैसें समान प्रारंभिक अवस्था से शुरू होती हैं और समान अंतिम अवस्था तक पहुँचती हैं,इसलिए $p-V$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल किए गए कार्य को दर्शाता है। प्रसार प्रक्रिया के दौरान द्विपरमाणुक गैस का वक्र एकपरमाणुक गैस के वक्र के ऊपर स्थित होता है,इसलिए द्विपरमाणुक गैस के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल एकपरमाणुक गैस के वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक होता है।
अतः,द्विपरमाणुक गैस द्वारा किया गया कार्य एकपरमाणुक गैस द्वारा किए गए कार्य से अधिक है।

(B) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ होता है।
मान लीजिए अवस्थाएँ $A, B, C, D$ हैं जो क्रमशः $V_A = 8.0 \, m^3, V_B = 1.0 \, m^3, V_C = 10.0 \, m^3, V_D = 80.0 \, m^3$ आयतन के अनुरूप हैं।
चरण $1$ $(A \to B)$: रुद्धोष्म संपीड़न।
$T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1} \implies T_2 (8)^{5/3-1} = T_1 (1)^{5/3-1} \implies T_2 (8)^{2/3} = T_1 (1)^{2/3} \implies T_2 (4) = T_1 \implies T_1/T_2 = 4$.
चरण $3$ $(C \to D)$: रुद्धोष्म प्रसार।
$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1} \implies T_1 (10)^{5/3-1} = T_2 (80)^{5/3-1} \implies T_1 (10)^{2/3} = T_2 (80)^{2/3} \implies T_1/T_2 = (80/10)^{2/3} = 8^{2/3} = 4$.
दोनों चरण पुष्टि करते हैं कि $T_1/T_2 = 4$।

(A) प्रक्रिया का समीकरण $pV^{5/3} \cdot e^{-pV/E_0} = C_1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(p) + \frac{5}{3} \ln(V) = \ln(C_1) + \frac{pV}{E_0}$।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{p} \frac{dp}{dV} + \frac{5}{3V} = \frac{1}{E_0} \left( p + V \frac{dp}{dV} \right)$।
$\frac{dp}{dV}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dp}{dV} \left( \frac{1}{p} - \frac{V}{E_0} \right) = \frac{p}{E_0} - \frac{5}{3V}$।
$pV = RT$ का उपयोग करते हुए,$p = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है। इसका मान रखने पर,समतापीय संपीड्यता $k = -\frac{1}{V} \frac{dV}{dp}$ प्राप्त की जा सकती है।
जैसे $T \to \infty$,$\frac{1}{RT}$ वाले पद शून्य की ओर जाते हैं।
अतः,$k = -\frac{1}{V} \frac{dV}{dp} = \frac{1/p - V/E_0}{p/E_0 - 5/3V} \cdot \frac{1}{V} \approx \text{स्थिरांक}$ जब $T \to \infty$।

(A) दिए गए $T-S$ चक्र में:
$b-c$ और $a-d$ समतापीय प्रक्रियाएं हैं। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = nC_vT)$, इसलिए इन प्रक्रियाओं के दौरान $U$ स्थिर रहता है। इस प्रकार, $U-V$ आरेख पर, ये क्षैतिज रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं।
$a-b$ और $c-d$ समएन्ट्रोपिक (रुद्धोष्म) प्रक्रियाएं हैं $(S = \text{स्थिर})$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिर}$। चूंकि $U \propto T$, हमारे पास $UV^{\gamma-1} = \text{स्थिर}$ है, जिसका अर्थ है $U \propto V^{1-\gamma}$। यह $U-V$ आरेख पर एक वक्र को दर्शाता है।
प्रक्रियाओं की तुलना करने पर: $b-c$ में, $T$ उच्च है, इसलिए $U$ उच्च है। $a-d$ में, $T$ कम है, इसलिए $U$ कम है। इस प्रकार, $U-V$ आरेख पर चक्र में विभिन्न $U$ स्तरों पर दो क्षैतिज रेखाएं होती हैं, जो दो वक्रों द्वारा जुड़ी होती हैं। यह विकल्प $A$ में दिए गए निरूपण से मेल खाता है।

(C) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम बताता है कि $dQ = dU + dW$। एक आदर्श गैस के लिए,$dU = nC_v dT$। सीधी रेखा पथ $XY$ के साथ,निकाय विभिन्न समतापी वक्रों से होकर गुजरता है।
प्रारंभिक बिंदु $X$ और अंतिम बिंदु $Y$ पर तापमान समान होता है क्योंकि वे एक ही रुद्धोष्म पर स्थित होते हैं। हालाँकि,चूंकि सीधी रेखा पथ $XY$ रुद्धोष्म के ऊपर स्थित है,इसलिए गैस का तापमान पहले रुद्धोष्म से दूर उच्च तापमान वाले समतापी वक्रों की ओर बढ़ने पर बढ़ता है,जो किसी मध्यवर्ती बिंदु $Z$ पर अधिकतम हो जाता है,और फिर बिंदु $Y$ के करीब आने पर घटता है।
चूंकि $dQ = nC_v dT + p dV$ है,और पूरी प्रक्रिया के दौरान $dV > 0$ है,इसलिए ऊष्मा विनिमय $dT$ के चिह्न पर निर्भर करता है। $X$ से $Z$ तक,तापमान बढ़ता है $(dT > 0)$,इसलिए ऊष्मा अवशोषित होती है। $Z$ से $Y$ तक,तापमान घटता है $(dT < 0)$,और गैस द्वारा किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन से अधिक हो जाता है,जिससे ऊष्मा मुक्त होती है। इस प्रकार,ऊष्मा $X$ से $Z$ तक अवशोषित होती है और $Z$ से $Y$ तक मुक्त होती है।

(D) एक पूर्ण ऊष्मागतिक चक्र में किया गया कुल कार्य प्रत्येक व्यक्तिगत प्रक्रिया में किए गए कार्य का योग होता है:
$W_{\text{total}} = W_{12} + W_{23} + W_{31}$
दिया गया है कि कुल कार्य $W_{\text{total}} = 10 \, J$ है।
समआयतनिक प्रक्रिया $(2 \rightarrow 3)$ में,आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $W_{23} = 0 \, J$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $(3 \rightarrow 1)$ में गैस द्वारा किया गया कार्य $-20 \, J$ दिया गया है।
इन मानों को कुल कार्य के समीकरण में रखने पर:
$10 \, J = W_{12} + 0 \, J + (-20 \, J)$
$10 \, J = W_{12} - 20 \, J$
$W_{12} = 30 \, J$
समतापीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ होता है। इसलिए,समतापीय प्रक्रिया $(1 \rightarrow 2)$ के लिए:
$\Delta Q_{12} = 0 + W_{12} = 30 \, J$ है।
अतः,समतापीय प्रक्रिया में निकाय को दी गई ऊष्मा $30 \, J$ है।

(B) प्रसार प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आयतन $V$ से $2V$ तक फैलने वाली एक आदर्श गैस के लिए,समतापीय प्रक्रिया को $p-V$ आरेख पर वक्र $AB$ द्वारा और रुद्धोष्म प्रक्रिया को वक्र $AC$ द्वारा दर्शाया गया है।
चूंकि रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है,इसलिए आयतन में समान परिवर्तन के लिए समतापीय वक्र $AB$ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल रुद्धोष्म वक्र $AC$ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल से अधिक होता है।
इसलिए,समतापीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $(W_i)$,रुद्धोष्म प्रक्रिया में किए गए कार्य $(W_a)$ से अधिक है।
चूंकि गैस का प्रसार हो रहा है,इसलिए दोनों स्थितियों में किया गया कार्य धनात्मक है।
अतः,$W_i > W_a > 0$।

(D) दिया गया है,आंतरिक ऊर्जा $U = a V^3$ है।
एक आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2} n R T$ होता है। चूँकि $n = 1$ है और एकपरमाणुक गैस $(f = 3)$ मानते हुए,$U = \frac{3}{2} R T$ होगा।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{3}{2} R T = a V^3$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस नियम $P V = R T$ का उपयोग करते हुए,$R T = P V$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{2} P V = a V^3 \Rightarrow P = \frac{2 a}{3} V^2$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W = \int_{V_i}^{V_f} P dV$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_i = V$ और $V_f = 2V$ है।
$W = \int_{V}^{2V} \frac{2 a}{3} V^2 dV = \frac{2 a}{3} \left[ \frac{V^3}{3} \right]_{V}^{2V} = \frac{2 a}{9} (8V^3 - V^3) = \frac{2 a}{9} (7V^3) = \frac{14 a V^3}{9}$।
प्रारंभिक अवस्था में $a V^3 = \frac{3}{2} R T$ है,इसलिए $a V^3 = \frac{3}{2} R T$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{14}{9} \times \left( \frac{3}{2} R T \right) = \frac{7}{3} R T$।

(B) यह चक्र $A$ से $B$ तक के सीधी रेखा पथ और $B$ से $A$ तक के रुद्धोष्म पथ से बना है।
$A$ से $B$ तक सीधी रेखा पथ के साथ,गैस का विस्तार होता है और तापमान बदलता है। चूंकि पथ एक सीधी रेखा है,इसलिए ऊष्मा का आदान-प्रदान बदलता रहता है। विशेष रूप से,सीधी रेखा पर विस्तार के दौरान गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है।
$B$ से $A$ तक वक्र पथ पर,प्रक्रिया रुद्धोष्म है,जिसका अर्थ है कि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है $(dQ = 0)$।
हालाँकि,एक पूर्ण चक्र में,गैस द्वारा कार्य करने के लिए,ऊष्मा को एक स्रोत से अवशोषित किया जाना चाहिए और कुछ ऊष्मा को सिंक में मुक्त किया जाना चाहिए। इस विशिष्ट चक्र में,सीधी रेखा के विस्तार के दौरान ऊष्मा अवशोषित होती है और रुद्धोष्म संपीड़न के दौरान मुक्त होती है। इसलिए,विकल्प $B$ ऊष्मा विनिमय विशेषताओं का सही वर्णन करता है।

(D) चक्रीय प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W$,जहाँ $\Delta W$ $p-V$ आरेख में त्रिभुज $ABC$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} (V_2 - V_1)(p_2 - p_1)$.
प्रक्रिया $AB$ (समदाबी,$p = p_1$) के लिए:
$\Delta Q_{AB} = n C_p \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_2)$.
प्रक्रिया $BC$ (समआयतनिक,$V = V_2$) के लिए:
$\Delta Q_{BC} = n C_V \Delta T = n (\frac{3}{2} R) \Delta T = \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)$.
$\Delta Q_{total} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} + \Delta Q_{AC} = \Delta W$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q_{AC} = \Delta W - \Delta Q_{AB} - \Delta Q_{BC}$.
मान रखने पर:
$\Delta Q_{AC} = \frac{1}{2}(V_2 - V_1)(p_2 - p_1) - [\frac{5}{2} p_1 (V_1 - V_2) + \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)]$.
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta Q_{AC} = 2(p_2 V_2 - p_1 V_1) + \frac{1}{2}(p_1 V_2 - p_2 V_1)$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रियाओं $BC$ और $DA$ के लिए:
$P_{12} V_2^\gamma = P_{34} V_3^\gamma \quad \dots(i)$
$P_{34} V_4^\gamma = P_{12} V_1^\gamma \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$P_{12} P_{34} (V_2 V_4)^\gamma = P_{12} P_{34} (V_1 V_3)^\gamma$
$V_2 V_4 = V_1 V_3 \Rightarrow \frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4}$
समदाबी प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$T_1 = \frac{P_{12} V_1}{nR}, T_2 = \frac{P_{12} V_2}{nR}, T_3 = \frac{P_{34} V_3}{nR}, T_4 = \frac{P_{34} V_4}{nR}$
दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_{rejected}}{Q_{supplied}} = 1 - \frac{n C_p (T_3 - T_4)}{n C_p (T_2 - T_1)} = 1 - \frac{T_3 - T_4}{T_2 - T_1}$
$T$ के मान रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{\frac{P_{34}}{nR}(V_3 - V_4)}{\frac{P_{12}}{nR}(V_2 - V_1)} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{V_2 - V_1} \right)$
चूंकि $\frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4} = k$,इसलिए $V_2 = k V_3$ और $V_1 = k V_4$.
$\eta = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{k(V_3 - V_4)} \right) = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12} k} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \cdot \frac{V_3}{V_2} = 1 - \frac{T_3}{T_2} = 1 - \frac{T_4}{T_1}$

(C) चक्र की दक्षता $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{supplied}}}$ द्वारा दी जाती है।
नेट कार्य $W_{\text{net}}$,$P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल है। अर्ध-अक्षों $a = \frac{V_{0}}{2}$ और $b = \frac{P_{0}}{2}$ वाले चौथाई दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $W_{\text{net}} = \frac{1}{4} \pi a b = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{V_{0}}{2}\right) \left(\frac{P_{0}}{2}\right) = \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$ है।
गैस को केवल $CA$ प्रक्रिया के दौरान ऊष्मा दी जाती है। $CA$ प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{CA} = n C_{V} \Delta T = \frac{3}{2} R (T_{A} - T_{C})$ है। $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$T_{A} = \frac{(3/2 P_{0}) V_{0}}{R} = \frac{3 P_{0} V_{0}}{2R}$ और $T_{C} = \frac{P_{0} (V_{0}/2)}{R} = \frac{P_{0} V_{0}}{2R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} R \left(\frac{3 P_{0} V_{0}}{2R} - \frac{P_{0} V_{0}}{2R}\right) = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$ है।
$CA$ पथ के दौरान किया गया कार्य वक्र $CA$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो आयत का क्षेत्रफल प्लस चौथाई दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है: $W_{CA} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{2}\right) + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = \frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$ है।
कुल दी गई ऊष्मा $Q_{\text{supplied}} = W_{CA} + \Delta U_{CA} = \left(\frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}\right) + \frac{3}{2} P_{0} V_{0} = 2 P_{0} V_{0} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = P_{0} V_{0} \left(2 + \frac{\pi}{16}\right) = P_{0} V_{0} \left(\frac{32 + \pi}{16}\right)$ है।
दक्षता $\eta = \frac{\pi P_{0} V_{0} / 16}{P_{0} V_{0} (32 + \pi) / 16} = \frac{\pi}{32 + \pi}$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
$1$. आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन है, जिसका अर्थ है कि इसमें परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है, न कि अपनाए गए पथ पर।
$2$. ऊष्मा $(Q)$ और कार्य $(W)$ पथ फलन हैं। इनके मान दो अवस्थाओं के बीच संक्रमण के लिए अपनाई गई विशिष्ट प्रक्रिया या पथ पर निर्भर करते हैं।
$3$. चूंकि कथन $B$ और $C$ सही हैं, और कथन $A$ को भी पथ निर्भरता के संदर्भ में देखा जाता है, इसलिए ऊष्मागतिकी के संदर्भ में सभी कथन सही माने जाते हैं।

(D) $P-T$ ग्राफ में:
$1.$ प्रक्रिया $A$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। यह एक समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है।
$2.$ प्रक्रिया $B$ एक क्षैतिज रेखा है, जिसका अर्थ है कि दबाव $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है।
$3.$ प्रक्रिया $C$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, जिसका अर्थ है कि $P \propto T$। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, यदि $P/T = nR/V$ स्थिर है, तो आयतन $V$ स्थिर होना चाहिए। यह एक समआयतनिक प्रक्रिया को दर्शाता है।
$4.$ प्रक्रिया $D$ एक वक्र है जहाँ ढाल $dP/dT$ तापमान के साथ बढ़ता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$, जो $P-T$ तल में एक गैर-रेखीय संबंध की ओर ले जाता है। अतः, $D$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है।
अतः, सही विकल्प $D$ - रुद्धोष्म प्रक्रिया है।

(B) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $A \longrightarrow B$: दाब $P$ स्थिर है जबकि आयतन $V$ बढ़ता है। यह एक समदाबी प्रसार है।
$2$. प्रक्रिया $B \longrightarrow C$: यह एक समतापीय प्रक्रिया है ($T$ स्थिर है)। आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,इसलिए $P \propto 1/V$। वक्र एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।
$3$. प्रक्रिया $C \longrightarrow D$: आयतन $V$ स्थिर है जबकि दाब $P$ घटता है। यह एक समआयतनिक शीतलन प्रक्रिया है।
$4$. प्रक्रिया $D \longrightarrow A$: यह एक समतापीय प्रक्रिया है ($T$ स्थिर है)। $B \longrightarrow C$ की तरह ही,$P \propto 1/V$।
अब,$P-T$ आरेख का विश्लेषण करते हैं:
- समदाबी प्रक्रिया $(A \longrightarrow B)$ के लिए,$V \propto T$। चूँकि $V$ बढ़ता है,इसलिए स्थिर $P$ पर $T$ को बढ़ना चाहिए।
- समतापीय प्रक्रिया $(B \longrightarrow C)$ के लिए,$T$ स्थिर है,इसलिए आरेख एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड है।
- समआयतनिक प्रक्रिया $(C \longrightarrow D)$ के लिए,$P \propto T$। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
- समतापीय प्रक्रिया $(D \longrightarrow A)$ के लिए,$T$ स्थिर है,इसलिए आरेख एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड है।
इन विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही $P-T$ आरेख विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) यह प्रक्रिया समतापीय है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दी गई ऊष्मा $Q$ के बराबर है।
$20$ मोल द्विपरमाणुक गैस की प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा: $U_{\text{initial}} = n_1 \times C_{v1} \times T = 20 \times \frac{5}{2} R T = 50 R T$.
वियोजन के बाद,$8$ मोल द्विपरमाणुक गैस के $16$ मोल एकपरमाणुक गैस बन जाते हैं और $12$ मोल द्विपरमाणुक गैस शेष रहती है।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा: $U_{\text{final}} = (12 \times \frac{5}{2} R T) + (16 \times \frac{3}{2} R T) = 30 R T + 24 R T = 54 R T$.
दी गई ऊष्मा ऊर्जा $Q = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = 54 R T - 50 R T = 4 R T$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$,इसलिए $Q = W$ प्राप्त होता है।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $PV$ आरेख द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूँकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W$ धनात्मक है $(W > 0)$।
अतः,निकाय को दी गई कुल ऊष्मा ऊर्जा $Q$ धनात्मक होनी चाहिए $(Q > 0)$,जिसका अर्थ है कि निकाय को ऊष्मा प्रदान की गई है।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है। दिया गया है कि $V_2 = 2V_1$,इसलिए $P_1 V_1 = P_2 (2V_1)$,जिससे $P_2 = P_1 / 2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दाब में और कमी करके नया दाब $P'$ कर दिया जाता है। हम $(P', 2V_1)$ अवस्था से रुद्धोष्म प्रक्रिया द्वारा मूल अवस्था $(P_1, V_1)$ तक पहुँचना चाहते हैं।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P' (2V_1)^\gamma = P_1 (V_1)^\gamma$,जहाँ नियॉन जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$ है।
$P' (2)^\gamma = P_1 \implies P' = P_1 (2)^{-\gamma} = P_1 (2)^{-5/3}$।
समतापीय प्रसार के अंत में दाब $P_2 = P_1 / 2 = P_1 (2)^{-1}$ था।
दाब में आवश्यक भिन्नात्मक ह्रास $\frac{P_2 - P'}{P_2} = \frac{P_1 (2)^{-1} - P_1 (2)^{-5/3}}{P_1 (2)^{-1}} = 1 - \frac{(2)^{-5/3}}{(2)^{-1}} = 1 - 2^{-5/3 + 1} = 1 - 2^{-2/3}$ है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
यह दिया गया है कि गैस द्वारा किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है,इसलिए $\Delta W = \Delta U$.
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $\Delta Q = \Delta U + \Delta U = 2\Delta U$.
हम जानते हैं कि $\Delta Q = nC\Delta T$ और $\Delta U = nC_v\Delta T$,जहाँ $C$ प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता है और $C_v$ स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता है।
अतः,$nC\Delta T = 2nC_v\Delta T$,जिसे सरल करने पर $C = 2C_v$ प्राप्त होता है।
एक आदर्श गैस के लिए,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $C_v = \frac{R}{1.5 - 1} = \frac{R}{0.5} = 2R$.
अतः,$C = 2 \times (2R) = 4R$.

(A) अवस्था परिवर्तन के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 3 \times 10^5\,Pa$ और $\Delta V = 1600\,cm^3 = 1600 \times 10^{-6}\,m^3 = 1.6 \times 10^{-3}\,m^3$ है।
अतः,$W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480\,J$ है।
यह दिया गया है कि कुल दी गई ऊष्मा $(Q)$ का $10\%$ इस कार्य के लिए उपयोग किया जाता है।
इसलिए,$0.10 \times Q = 480\,J$,जिसका अर्थ है कि $Q = 4800\,J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
इस प्रकार,$\Delta U = \Delta Q - W = 4800\,J - 480\,J = 4320\,J$ है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $10\%$ ऊष्मा का उपयोग कार्य के लिए किया जाता है,इसलिए $90\%$ ऊष्मा का उपयोग आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए किया जाता है।
$\Delta U = 0.90 \times 4800\,J = 4320\,J$।

(B) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
समतापीय प्रक्रम के लिए, तापमान $T$ स्थिर रहता है, इसलिए $\Delta T = 0$, जिसका अर्थ है $\Delta U = 0$। अतः, $A \longrightarrow II$।
रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए, ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, इसलिए $\Delta U = -\Delta W$। यदि गैस द्वारा कार्य किया जाता है, तो $\Delta W > 0$, इसलिए $\Delta U < 0$, जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा कम हो जाती है। अतः, $B \longrightarrow I$।
समआयतनिक प्रक्रम के लिए, आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए $\Delta V = 0$। चूंकि कार्य $\Delta W = P \Delta V$ होता है, इसलिए गैस पर या गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः, $C \longrightarrow IV$।
समदाबी प्रक्रम के लिए, दबाव $P$ स्थिर रहता है। अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ का उपयोग आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ को बढ़ाने और कार्य $\Delta W = P \Delta V$ करने के लिए किया जाता है। अतः, $D \longrightarrow III$।
इसलिए, सही मिलान $A-II, B-I, C-IV, D-III$ है।

(A) एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए जहाँ अणु घूमते हैं लेकिन दोलन नहीं करते हैं,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{5+2}{2}R = \frac{7}{2}R$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ है।
स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मा $Q = nC_p\Delta T = 735\,J$ है।
अतः,$n\left(\frac{7}{2}R\right)\Delta T = 735$,जिससे हमें $nR\Delta T = 735 \times \frac{2}{7} = 210\,J$ प्राप्त होता है।
आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = nC_v\Delta T = n\left(\frac{5}{2}R\right)\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$nR\Delta T$ का मान रखने पर,हमें $\Delta U = \frac{5}{2} \times 210 = 5 \times 105 = 525\,J$ प्राप्त होता है।

(D) कथन $I:$ $\Delta Q > 0$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। यदि किसी निकाय में ऊष्मा जोड़ी जाती है,तो निकाय द्वारा ऐसा कार्य $W$ किया जा सकता है कि $W > \Delta Q$ हो,जिसके परिणामस्वरूप $\Delta U < 0$ (आंतरिक ऊर्जा और तापमान में कमी) हो सकती है। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II:$ निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है। यदि $W > 0$ है,तो $\int P \, dV > 0$ होगा। गैस के लिए दाब $P$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $dV$ धनात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि निकाय का आयतन बढ़ना चाहिए। अतः,कथन $II$ सत्य है।

(D) पात्र $A$ में समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
दिया गया है कि $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = V/8$।
$P \cdot V = P_A \cdot (V/8) \implies P_A = 8P$।
पात्र $B$ में रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है,जहाँ एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$ है।
$P \cdot V^{5/3} = P_B \cdot (V/8)^{5/3}$।
$P_B = P \cdot (V / (V/8))^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,$P_B = 32P$।
गैस $B$ के अंतिम दाब और गैस $A$ के अंतिम दाब का अनुपात $\frac{P_B}{P_A} = \frac{32P}{8P} = 4$ है।

(A) $P-V$ आरेख में,रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया का ढाल समतापी (isothermal) प्रक्रिया के ढाल का $\gamma$ गुना होता है। इसलिए,अधिक खड़ी वक्र रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाती है।
$1$. वक्र $B$,वक्र $A$ की तुलना में अधिक खड़ी है,इसलिए प्रक्रिया $B$ रुद्धोष्म है। रुद्धोष्म प्रक्रिया का समीकरण $PV^\gamma = k$ होता है।
$2$. वक्र $A$ कम खड़ी है,इसलिए प्रक्रिया $A$ समतापी है। समतापी प्रक्रिया का समीकरण $PV = k$ होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है जो प्रक्रिया $B$ को रुद्धोष्म $(PV^\gamma = k)$ और प्रक्रिया $A$ को समतापी $(PV = k)$ के रूप में पहचानता है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dQ = du + dW$.
किसी प्रक्रिया के लिए,$C dT = C_V dT + P dV$,जहाँ $C$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
$dT$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $C = C_V + P \frac{dV}{dT}$.
दिया गया अवस्था समीकरण $PV^2 = RT$ है।
नियत दाब $P$ पर $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(2V) \frac{dV}{dT} = R$.
अतः,$P \frac{dV}{dT} = \frac{R}{2}$.
इस मान को $C$ के समीकरण में रखने पर:
$C = C_V + \frac{R}{2}$.

(B) $A$ से $B$ पथ के लिए, प्रक्रिया $PV^3 = RT$ का पालन करती है। यहाँ $T = 300 \, K$ है।
$W_{AB} = \int_{V_A}^{V_B} P \, dV = \int_{2}^{4} \frac{RT}{V^3} \, dV = RT \int_{2}^{4} V^{-3} \, dV$
$W_{AB} = 8 \times 300 \times \left[ \frac{V^{-2}}{-2} \right]_{2}^{4} = 2400 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \right) = -1200 \times \left( \frac{1-4}{16} \right) = -1200 \times \left( -\frac{3}{16} \right) = 225 \, J$.
$B$ से $C$ पथ के लिए, यह $P = 10 \, Pa$ पर एक समदाबीय प्रक्रिया है जहाँ आयतन $V = 4 \, m^3$ से $V = 2 \, m^3$ तक बदलता है।
$W_{BC} = P(V_C - V_B) = 10(2 - 4) = -20 \, J$.
$C$ से $A$ पथ के लिए, यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है जहाँ $V = 2 \, m^3$ स्थिर है, इसलिए $W_{CA} = 0 \, J$.
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 225 - 20 + 0 = 205 \, J$.