मान लीजिए कि एक आदर्श गैस ($n$ मोल) $P = f(V)$ द्वारा दी गई प्रक्रिया में विस्तारित हो रही है,जो $(V_0, P_0)$ बिंदु से गुजरती है। सिद्ध कीजिए कि यदि वक्र $P = f(V)$ का ढाल $(P_0, V_0)$ से गुजरने वाले रुद्धोष्म (adiabatic) वक्र के ढाल से अधिक है,तो गैस $(P_0, V_0)$ पर ऊष्मा अवशोषित कर रही है।

(N/A) एक आदर्श गैस के लिए,अवशोषित ऊष्मा $dQ = dU + dW = nC_V dT + P dV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $PV = nRT$,हमारे पास $T = \frac{PV}{nR} = \frac{f(V)V}{nR}$ है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dT = \frac{1}{nR} [f(V) + V f'(V)] dV$ प्राप्त होता है।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dQ = n C_V \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{nR} \right) dV + f(V) dV$।
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ का उपयोग करने पर,$dQ = \left( \frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) \right) dV$ प्राप्त होता है।
गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित करने के लिए,$dV > 0$ के लिए $dQ > 0$ होना चाहिए।
इसके लिए $\frac{f(V) + V f'(V)}{\gamma - 1} + f(V) > 0$ आवश्यक है।
सरल करने पर,$f(V) + V f'(V) + (\gamma - 1)f(V) > 0$,जो $\gamma f(V) + V f'(V) > 0$ की ओर ले जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$f'(V) > -\gamma \frac{f(V)}{V}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म वक्र का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,ऊष्मा अवशोषण के लिए शर्त यह है कि प्रक्रिया वक्र का ढाल $f'(V)$,रुद्धोष्म वक्र के ढाल $-\gamma \frac{P_0}{V_0}$ से अधिक होना चाहिए।