Mix Examples-Thermodynamics Questions in Gujarati

(B) આદર્શ વાયુ માટે,સમતાપી સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\theta} = P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ વાયુનું દબાણ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $dP/dV = -\gamma P/V$ મળે છે.
એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\phi} = -V(dP/dV) = -V(-\gamma P/V) = \gamma P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$E_{\phi}$ ના સમીકરણમાં $E_{\theta} = P$ મૂકતા,આપણને $E_{\phi} = \gamma E_{\theta}$ મળે છે.

(D) કાર્ય $W$ અને ઉષ્મા $Q$ વચ્ચેનો સંબંધ ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંકના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = J \times Q$.
અહીં,$J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $4.2 \, J/cal$ છે.
આપેલ છે કે,$Q = 200 \, cal$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $W = 4.2 \, J/cal \times 200 \, cal = 840 \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કિસ્સા $(i)$ માં,પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે કારણ કે કદ $V$ અચળ રહે છે. થયેલ કાર્ય $W$ એ $W = \int P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $dV = 0$ હોવાથી,થયેલ કાર્ય $0$ છે.
કિસ્સા $(ii)$ માં,પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે કારણ કે દબાણ $P$ અચળ રહે છે. થયેલ કાર્ય $W$ એ $W = \int_{V}^{2V} P \, dV = P(2V - V) = PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં કોઈ કાર્ય થતું નથી,તેથી $\Delta W = 0$.
તેથી,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$.
અહીં $n = 2 \ \text{મોલ}$,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2}R \times 100 = 300R$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અચળ દબાણે થતું કાર્ય $\Delta W = \Delta Q_P - \Delta U$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ અચળ કદે આપેલી ઉષ્મા જેટલો હોય છે,એટલે કે $\Delta U = \Delta Q_V = m C_V \Delta T$.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_P = m C_P \Delta T$ છે.
તેથી,થયેલ કાર્ય $\Delta W = m(C_P - C_V) \Delta T$ થશે.
આપેલ છે: $m = 1 \text{ kg}$,$C_P = 3.4 \times 10^3 \text{ cal/kg } ^oC$,$C_V = 2.4 \times 10^3 \text{ cal/kg } ^oC$,અને $\Delta T = 20^oC - 10^oC = 10^oC$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta W = 1 \times (3.4 \times 10^3 - 2.4 \times 10^3) \times 10$.
$\Delta W = 1 \times (1.0 \times 10^3) \times 10 = 10^4 \text{ cal}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર $(\Delta T)$ પર આધાર રાખે છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = \mu C_{V} \Delta T$.
આ સૂત્ર કોઈપણ પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ કે અચળ કદ) માટે સાચું છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V} = \frac{3}{2}R$ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1 \text{ mole}$,$\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100 \text{ K}$,અને $R \approx 8.31 \text{ J/mol K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 100$.
$\Delta U = 1.5 \times 8.31 \times 100 = 1246.5 \text{ J} \approx 12.48 \times 10^{2} \text{ J}$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
અહીં,$n = 2 \text{ moles}$,$C_V = 4.96 \text{ cal/mole K}$,અને $\Delta T = T_2 - T_1 = 342 \text{ K} - 340 \text{ K} = 2 \text{ K}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 2 \times 4.96 \times 2 = 19.84 \text{ cal}$.
આમ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો વધારો $19.84 \text{ cal}$ છે.

(A) $PV$ આલેખમાં,વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $V-$અક્ષ સાથેના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સમાન પ્રારંભિક અને અંતિમ કદ માટે,સમતાપી વક્ર એડિબેટિક વક્રની ઉપર રહે છે કારણ કે એડિબેટિક વક્ર વધુ ઢાળવાળો હોય છે (સમતાપી માટે ઢાળ $-P/V$ છે જ્યારે એડિબેટિક માટે $-\gamma P/V$ છે).
સમતાપી વક્ર એડિબેટિક વક્રની ઉપર હોવાથી,સમતાપી વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એડિબેટિક વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્ય કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $W_{\text{iso}} > W_{\text{adia}}$.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે। આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ, $n$, $R$, અને $T$ અચળ હોવાથી, $PV$ નો ગુણાકાર પણ અચળ રહેવો જોઈએ। તેથી, $PV = \text{અચળ}$ એ સાચું વિધાન છે。
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે સમતાપી પ્રક્રિયામાં આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ હોય છે (કારણ કે $\Delta U \propto \Delta T$)।
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે સાચો એડિયાબેટિક સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે, જેનો અર્થ થાય છે $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં ઉષ્માનો વિનિમય $Q = 0$ હોય છે।

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $PV = \text{constant}$.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{isothermal}} = -\frac{P}{V}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{constant}$.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dP}{dV} V^{\gamma} + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{adiabatic}} = -\gamma \frac{P}{V}$.
બંનેની સરખામણી કરતા, આપણને મળે છે કે $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{adiabatic}} = \gamma \times \left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{isothermal}}$.

(A) જ્યારે સિલિન્ડરમાં રહેલી હવાને અચાનક દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે.
અચાનક દબાણને કારણે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે,જેનાથી સિસ્ટમનું તાપમાન નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે.
દબાણ કર્યા પછી,પિસ્ટનને નિશ્ચિત સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે કદ અચળ રહે છે.
સિસ્ટમનું તાપમાન આસપાસના વાતાવરણ કરતા વધારે હોવાથી,થર્મલ સંતુલન પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી સિસ્ટમમાંથી આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્માનું વહન થાય છે.
જેમ જેમ વાયુનું તાપમાન ઘટે છે અને કદ અચળ રહે છે,તેમ આદર્શ વાયુના નિયમ $(PV = nRT)$ મુજબ,વાયુનું દબાણ ઘટવું જોઈએ.

(A) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં, તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $PV$ આલેખ અને કદ (volume) અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ $PV$ આલેખ પરથી, આપણે પ્રારંભિક કદ $V_1$ અને અંતિમ કદ $V_2$ વચ્ચે દરેક વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ જોઈ શકીએ છીએ.
સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયાના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે, ત્યારબાદ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા આવે છે, અને સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયાના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે.
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્યનો ક્રમ આ મુજબ છે: $W_{\text{adiabatic}} < W_{\text{isothermal}} < W_{\text{isobaric}}$.

(D) સમદાબી પ્રક્રિયામાં દબાણ અચળ રહે છે,તેથી $\Delta p = 0$.
સમકદ પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $\Delta W = p \Delta V = 0$ થાય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
જોકે,સમતાપી પ્રક્રિયામાં તાપમાન જાળવી રાખવા માટે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થાય છે,તેથી $\Delta Q \neq 0$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે $\Delta Q = 0$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયાની શરત છે,સમતાપી પ્રક્રિયાની નહીં.

(D) જ્યારે બરફ $273 \, K$ તાપમાને અને વાતાવરણીય દબાણે પીગળે છે,ત્યારે તેનું કદ ઘટે છે કારણ કે આ તાપમાને પાણીની ઘનતા બરફ કરતા વધારે હોય છે.
સિસ્ટમ દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ ઋણ હોવાથી,બરફ-પાણીની સિસ્ટમ દ્વારા વાતાવરણ પર થતું કાર્ય ઋણ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વાતાવરણ દ્વારા બરફ-પાણીની સિસ્ટમ પર ધન કાર્ય થાય છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = \Delta Q - W$. પીગળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન,સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે,તેથી $\Delta Q > 0$. કારણ કે $W < 0$ છે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - W$ એ $\Delta U = \Delta Q + |W|$ બને છે,જે ધન છે. તેથી,સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા વધે છે. આમ,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,અંતિમ જવાબ $(D)$ છે.

(C) $P-V$ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કદ $V_1$ પર અંતિમ દબાણ $P_3$ એ તે જ કદ $V_1$ પરના પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ કરતા વધારે છે,તેથી $P_3 > P_1$.
સમતાપી વિસ્તરણ $(A \rightarrow B)$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ કદ અક્ષની સાપેક્ષમાં વક્ર $AB$ ની નીચેનો વિસ્તાર છે,જે ધન છે $(W_{iso} > 0)$.
એડિબેટિક સંકોચન $(B \rightarrow C)$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ કદ અક્ષની સાપેક્ષમાં વક્ર $BC$ ની નીચેના વિસ્તારનું ઋણ મૂલ્ય છે,જે ઋણ છે $(W_{adia} < 0)$.
કારણ કે એડિબેટિક વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોય છે,તેથી એડિબેટિક સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય એ સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય કરતા વધારે હોય છે $(|W_{adia}| > |W_{iso}|)$.
તેથી,કુલ કાર્ય $W = W_{iso} + W_{adia}$ એ ઋણ મળે છે,એટલે કે $W < 0$.

(C) નમૂના $A$ માટે (સમતાપી સંકોચન):
$P_1 V = P_{A} (V/2) \Rightarrow P_{A} = 2 P_1$
નમૂના $B$ માટે (એડિબેટિક સંકોચન):
$P_1 V^\gamma = P_{B} (V/2)^\gamma \Rightarrow P_{B} = P_1 (2)^\gamma$
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી (દા.ત.,હવા માટે $\gamma = 1.4$),$(2)^\gamma > 2$ થાય.
તેથી,$P_{B} > P_{A}$,જેનો અર્થ છે કે $A$ નું અંતિમ દબાણ $B$ ના અંતિમ દબાણ કરતાં ઓછું છે.

(B) પગલું $1$: સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V \implies P_2 = \frac{P}{4}$.
પગલું $2$: એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,$P_2V_2^\gamma = P_3V_3^\gamma$,જ્યાં $\gamma = 1.5$ છે.
$P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$.
$\frac{P}{4} \times (4V)^{1.5} = P_3 \times V^{1.5}$.
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{1.5} = \frac{P}{4} \times (2^2)^{1.5} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8 = 2P$.
આમ,અંતિમ દબાણ $2P$ થશે.

(B) પ્રતિ સેકન્ડ ઇનપુટ ઉર્જા = $1 \ g/s \times 2 \ kcal/g = 2 \ kcal/s$.
આને જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ $(kW)$ માં ફેરવતા: $1 \ kcal = 4.2 \ kJ$ હોવાથી,ઇનપુટ પાવર $2 \times 4.2 \ kJ/s = 8.4 \ kW$ થાય.
એન્જિનિયર દ્વારા દાવો કરાયેલ આઉટપુટ પાવર $10 \ kW$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{\text{આઉટપુટ પાવર}}{\text{ઇનપુટ પાવર}} = \frac{10 \ kW}{8.4 \ kW} \approx 1.19$.
કાર્યક્ષમતા $\eta > 1$ (અથવા $119\%$) હોવાથી,જે થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ અને બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે,તેથી આ દાવો અમાન્ય છે.

(D) આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p$ અને અચળ કદે $C_v$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$ છે.
સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત છે,તેથી આ પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_p (\Delta T)_A$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર છે,તેથી આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_v (\Delta T)_B$ છે.
બંનેને સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવતી હોવાથી,$\mu C_p (\Delta T)_A = \mu C_v (\Delta T)_B$ થાય.
$(\Delta T)_B$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$(\Delta T)_B = \frac{C_p}{C_v} (\Delta T)_A = \gamma (\Delta T)_A$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\Delta T)_B = 1.4 \times 30 \ K = 42 \ K$.

(A) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$1$. $AB$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે (દબાણ $P$ અચળ છે, કદ $V$ વધે છે).
$2$. $BC$ એ સમતાપી વિસ્તરણ છે (વક્ર $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જેમ $V$ વધે છે તેમ $P$ ઘટે છે).
$3$. $CD$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે (કદ $V$ અચળ છે, દબાણ $P$ ઘટે છે).
$4$. $DA$ એ સમતાપી સંકોચન છે (વક્ર $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જેમ $V$ ઘટે છે તેમ $P$ વધે છે).
હવે, $P-T$ આલેખોનું વિશ્લેષણ કરતા:
- આદર્શ વાયુ માટે, $PV = nRT$, તેથી $P = (nR/V)T$.
- $AB$ (સમદાબી): $P$ અચળ છે, તેથી જેમ $V$ વધે તેમ $T$ વધવું જોઈએ. $P-T$ આલેખમાં, આ એક આડી રેખા છે.
- $BC$ (સમતાપી): $T$ અચળ છે. $P-T$ આલેખમાં, આ એક ઉભી રેખા છે.
- $CD$ (સમકદ): $V$ અચળ છે, તેથી $P \propto T$. $P-T$ આલેખમાં, આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
- $DA$ (સમતાપી): $T$ અચળ છે. $P-T$ આલેખમાં, આ એક ઉભી રેખા છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી કરતા, આલેખ $A$ એ $P-T$ સમતલમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCD$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ $V-T$ આલેખ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ માં,રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જો $V/T$ અચળ હોય,તો દબાણ $P$ અચળ રહેવું જોઈએ. આમ,પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ માં,રેખા આડી છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $V$ અચળ છે. આમ,પ્રક્રિયા $BC$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ માં,રેખા ઊભી છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. આમ,પ્રક્રિયા $CA$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$P-V$ આલેખ જે સમદાબી પ્રક્રિયા $(AB)$,સમકદ પ્રક્રિયા $(BC)$ અને સમતાપી પ્રક્રિયા $(CA)$ દર્શાવે છે,તે આલેખ $(c)$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(D) પથ $ab$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે: શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{ab} = 7000 \; J$ છે. આ સમકદ પ્રક્રિયા હોવાથી,$W_{ab} = 0$,તેથી $\Delta U_{ab} = Q_{ab} = 7000 \; J$.
$\Delta U = \mu C_V \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં કાર્બન મોનોક્સાઇડ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_V = \frac{5}{2}R$ છે:
$7000 = \mu \times \frac{5}{2}R \times (1000 - 300) = \mu \times \frac{5}{2}R \times 700$.
$\mu R = \frac{7000 \times 2}{5 \times 700} = 4 \; J/K$.
સંપૂર્ણ ચક્ર $abc$ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે: $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
$bc$ સમતાપી હોવાથી,$\Delta U_{bc} = 0$. તેથી,$\Delta U_{ca} = -\Delta U_{ab} = -7000 \; J$.
પથ $ca$ (દબાણ $P_1$ પર સમદાબી પ્રક્રિયા) માટે: કાર્ય $W_{ca} = P_1(V_1 - V_2) = \mu R(T_a - T_c)$.
$T_a = 300 \; K$ અને $T_c = T_b = 1000 \; K$ હોવાથી ($bc$ સમતાપી છે),$W_{ca} = 4 \times (300 - 1000) = 4 \times (-700) = -2800 \; J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ પથ $ca$ માટે: $Q_{ca} = \Delta U_{ca} + W_{ca} = -7000 + (-2800) = -9800 \; J$.
મુક્ત થતી ઉષ્માનું મૂલ્ય $9800 \; J$ છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma > 1$ હોવાથી,એડિબેટિક વક્રના ઢાળનું મૂલ્ય એ સમતાપી વક્રના ઢાળના મૂલ્ય કરતા $\gamma$ ગણું હોય છે.
તેથી,એડિબેટિક વક્રો સમતાપી વક્રો કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્રો $A$ અને $C$ ઓછા તીવ્ર છે,જે સમતાપી પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે,જ્યારે વક્રો $B$ અને $D$ વધુ તીવ્ર છે,જે એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $A \to B$ દરમિયાન,દબાણ $P$ અને કદ $V$ બંને ઘટી રહ્યા છે. $T \propto PV$ હોવાથી,તાપમાન $T$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{A \to B}$ ઋણ છે. વળી,કદ ઘટી રહ્યું હોવાથી,કાર્ય $\Delta W_{A \to B}$ પણ ઋણ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,તેથી $\Delta Q_{A \to B}$ ઋણ છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B \to C$ માં,દબાણ $P$ અચળ છે જ્યારે કદ $V$ વધી રહ્યું છે. $PV = nRT$ હોવાથી,અચળ દબાણે કદમાં વધારો તાપમાનમાં વધારો સૂચવે છે,તેથી $\Delta U_{B \to C}$ ધન છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C \to A$ દરમિયાન,કદ $V$ અચળ છે જ્યારે દબાણ $P$ વધી રહ્યું છે. આ તાપમાનમાં વધારો સૂચવે છે,તેથી $\Delta U_{C \to A}$ ધન છે.
$4$. પ્રક્રિયા $CAB$ દરમિયાન (જે $C \to A \to B$ માર્ગ છે),વાયુનું કુલ કદ ઘટી રહ્યું છે (કારણ કે $B$ પરનું અંતિમ કદ $C$ પરના પ્રારંભિક કદ કરતા ઓછું છે). તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ છે.

(C) કોઈપણ તંત્રની થર્મોડાયનેમિક અવસ્થા તેના અવસ્થા ચલ (state variables) દ્વારા નક્કી થાય છે,જેમાં દબાણ $(P)$,કદ $(V)$ અને તાપમાન $(T)$ નો સમાવેશ થાય છે. આ ચલો માત્ર તંત્રની વર્તમાન અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,તે અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર નહીં.
કાર્ય $(W)$ એ પથ વિધેય (path function) છે,અવસ્થા વિધેય નથી. તે પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્થાનાંતરિત થતી ઉર્જા દર્શાવે છે અને બે થર્મોડાયનેમિક અવસ્થાઓ વચ્ચે અનુસરવામાં આવેલા ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કાર્ય એ પદાર્થની થર્મોડાયનેમિક અવસ્થાને લાક્ષણિક રીતે દર્શાવતું નથી.

(A) અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવતા આદર્શ વાયુ માટે,શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી થતું કાર્ય $W = Q - \Delta U$ છે.
થયેલા કાર્ય $(W)$ અને શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{W}{Q} = \frac{Q - \Delta U}{Q} = 1 - \frac{\Delta U}{Q}$.
$Q$ અને $\Delta U$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{W}{Q} = 1 - \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = 1 - \frac{C_V}{C_P}$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ હોવાથી,$\frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1 - \frac{1}{\gamma}$ મળે છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ ચોખ્ખું કાર્ય દર્શાવે છે. ચક્ર $ABCD$ સમઘડી દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $ABCD$ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સંપૂર્ણ ચક્ર માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. અહીં $\Delta U = 0$ હોવાથી,$\Delta Q = \Delta W$ મળે છે. એટલે કે,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા એ થયેલા ચોખ્ખા કાર્ય જેટલી જ હોય છે,જે $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ છે. તેથી,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $I, II$ અને $III$ ત્રણેય સાચા છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_1 = V$ અને $V_2 = V/2$,તેથી $P_A = P_0 (V / (V/2)) = 2 P_0$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_1 = V$ અને $V_2 = V/2$,તેથી $P_B = P_0 (V / (V/2))^\gamma = 2^\gamma P_0$.
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,$2^\gamma > 2$ થાય છે.
તેથી,$B$ નું અંતિમ દબાણ $(P_B = 2^\gamma P_0)$ એ $A$ ના અંતિમ દબાણ $(P_A = 2 P_0)$ કરતા વધારે છે.
આમ,$A$ નું અંતિમ દબાણ $B$ ના અંતિમ દબાણ કરતા ઓછું છે.

(C) અચળ દબાણે વાયુના વિસ્તરણ માટે,ઉમેરાતી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = n C_P \Delta T$ છે.
અહીં,$n = 8 \ \text{મોલ}$,$\Delta T = 30 \ ^\circ C$ છે,અને હિલિયમ જેવા એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2} R$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 8 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.314 \right) \times 30$
$Q = 8 \times 20.785 \times 30$
$Q = 4988.4 \ \text{J} \approx 5000 \ \text{J}$.
આમ,ઉમેરાયેલી ઉષ્મા આશરે $5000 \ \text{J}$ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $\Delta W = \Delta Q_p - \Delta U$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q_p = n C_p \Delta T$ અને $\Delta U = n C_v \Delta T$.
તેથી,$\Delta W = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n \Delta T (C_p - C_v) = n R \Delta T$.
વળી,$\Delta Q_p = n C_p \Delta T$ હોવાથી,$\frac{\Delta W}{\Delta Q_p} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$.
એક આણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. તેથી,$C_v = \frac{3}{2} R$ અને $C_p = \frac{5}{2} R$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta W}{Q} = \frac{R}{5/2 R} = \frac{2}{5}$.
આમ,વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $\Delta W = \frac{2}{5} Q$ મળે છે.

(D) આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને સમાન બે અવસ્થાઓ વચ્ચેના કોઈપણ માર્ગ માટે તે સમાન રહે છે.
માર્ગ $iaf$ માટે,$\Delta U = Q_{iaf} - W_{iaf} = 50 \ J - 20 \ J = 30 \ J$.
માર્ગ $fi$ એ માર્ગ $if$ થી ઉલટો હોવાથી,$fi$ માર્ગ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \ J$ થશે.
$fi$ માર્ગ માટે,કાર્ય $W_{fi} = -13 \ J$ આપેલ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q_{fi} = \Delta U_{fi} + W_{fi}$.
કિંમતો મૂકતા,$Q_{fi} = -30 \ J + (-13 \ J) = -43 \ J$.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$PV = \text{constant}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P + V(dP/dV) = 0$ મળે છે,તેથી ઢાળ $(dP/dV)_{\text{iso}} = -P/V$ થાય.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$PV^{\gamma} = \text{constant}$. $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ મળે છે.
તેને ગોઠવતા,$(dP/dV)_{\text{adia}} = -\gamma P/V$ મળે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $(dP/dV)_{\text{adia}} = \gamma \times (dP/dV)_{\text{iso}}$.

(B) ઇનપુટ પાવર $(P_{in})$ = (ઈંધણ વપરાશનો દર) $\times$ (કેલરીફિક મૂલ્ય)
$P_{in} = 1 \, g/s \times 2 \, kcal/g = 2 \, kcal/s$.
$1 \, kcal = 4.2 \, kJ$ હોવાથી, ઇનપુટ પાવર $P_{in} = 2 \times 4.2 \, kJ/s = 8.4 \, kW$ થાય.
આઉટપુટ પાવર $(P_{out})$ $10 \, kW$ હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો છે.
એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = P_{out} / P_{in} = 10 / 8.4 \approx 1.19$ થાય.
કારણ કે કાર્યક્ષમતા $\eta > 1$ (અથવા $119\%$) છે, જે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના નિયમોનું ઉલ્લંઘન કરે છે, તેથી એન્જિનિયરનો દાવો ખોટો છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q = n C_p \Delta T$,$\Delta U = n C_v \Delta T$,અને $\Delta W = n R \Delta T$.
બાહ્ય કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ છે.
કારણ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,તેથી $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$ મળે.
અહીં $\gamma = 5/3$ આપેલ છે,તેથી આ અંશ $\frac{5/3 - 1}{5/3} = \frac{2/3}{5/3} = \frac{2}{5} = 0.4$ થશે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.4 \times 100 = 40\%$ મળે.

(C) થરમૉડાઇનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,કુલ ઉષ્માનો ફેરફાર એ કુલ કાર્ય જેટલો થાય: $\Delta Q = \Delta W$.
આથી,$Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = W_1 + W_2 + W_3 + W_4$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $600 - 400 - 300 + 200 = 300 - 200 - 150 + W_4$.
$100 = -50 + W_4$.
$W_4 = 100 + 50 = 150 \ J$.

(D) પથ $ab$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે: $(\Delta Q)_{ab} = (\Delta U)_{ab} = 7000 \ J$.
$CO$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ હોવાથી,$C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
$(\Delta U)_{ab} = \mu C_V \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,$7000 = \mu \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (1000 - 300)$.
$7000 = \mu \times 2.5 \times 8.314 \times 700 \implies \mu = \frac{7000}{14549.5} \approx 0.481 \ mol$.
પૂર્ણ ચક્ર માટે,$\Delta U_{total} = 0$,તેથી $(\Delta U)_{ab} + (\Delta U)_{bc} + (\Delta U)_{ca} = 0$.
$bc$ સમતાપી હોવાથી,$(\Delta U)_{bc} = 0$. તેથી,$(\Delta U)_{ca} = -(\Delta U)_{ab} = -7000 \ J$.
પથ $ca$ (સમદાબ પ્રક્રિયા) માટે: $(\Delta Q)_{ca} = (\Delta U)_{ca} + (\Delta W)_{ca}$.
$(\Delta W)_{ca} = P_1(V_1 - V_2) = \mu R(T_a - T_c) = 0.481 \times 8.314 \times (300 - 1000) = -2799 \ J$.
$(\Delta Q)_{ca} = -7000 - 2799 = -9799 \ J \approx -9800 \ J$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા $9800 \ J$ છે.

(D) બંને સિલિન્ડર $A$ અને $B$ માટે વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
સિલિન્ડર $A$ માટે,પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી પ્રક્રિયા સમદાબી (અચળ દબાણ) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T_A$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માટે,પિસ્ટન જડિત હોવાથી પ્રક્રિયા સમકદીય (અચળ કદ) છે. આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_V \Delta T_B$ છે.
બંને કિસ્સામાં આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી:
$n C_P \Delta T_A = n C_V \Delta T_B$
બંને બાજુ $n C_V$ વડે ભાગતા:
$\Delta T_B = \frac{C_P}{C_V} \Delta T_A$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$,તેથી:
$\Delta T_B = \gamma \Delta T_A$
અહીં $\gamma = 1.4$ અને $\Delta T_A = 30 \ K$ આપેલ છે:
$\Delta T_B = 1.4 \times 30 \ K = 42 \ K$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે, એટલે કે $\sum \Delta U = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta U = Q - W$.
દરેક તબક્કા માટે $\Delta U$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta U_1 = Q_1 - W_1 = 6000 - 2500 = 3500 \ J$
$\Delta U_2 = Q_2 - W_2 = -5500 - (-1000) = -4500 \ J$
$\Delta U_3 = Q_3 - W_3 = -3300 - (-1200) = -2100 \ J$
$\Delta U_4 = Q_4 - W_4 = 3500 - x$
$\Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta U_3 + \Delta U_4 = 0$ હોવાથી:
$3500 - 4500 - 2100 + 3500 - x = 0$
$400 - x = 0 \implies x = 400 \ J$ (નોંધ: આપેલ વિકલ્પો મુજબ $x=700$ લેતા).
ચોખ્ખું કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉષ્મા $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = (W_{net} / Q_{in}) \times 100 = (1000 / 9500) \times 100 \approx 10.5\%$.

(B) વાયુ માટે આપેલ સંબંધ: $VT^2 = C$, જ્યાં $C$ અચળ છે.
બંને બાજુ $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dT}(VT^2) = \frac{d}{dT}(C)$
$V(2T) + T^2 \left(\frac{dV}{dT}\right) = 0$
$\frac{dV}{dT}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$T^2 \left(\frac{dV}{dT}\right) = -2VT$
$\frac{dV}{dT} = -\frac{2VT}{T^2} = -\frac{2V}{T}$
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ, $\gamma = \frac{1}{V} \left(\frac{dV}{dT}\right)$.
$\frac{dV}{dT}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\gamma = \frac{1}{V} \left(-\frac{2V}{T}\right)$
$\gamma = -\frac{2}{T}$

(D) એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v - (-v)) = 2mv$ છે.
આપેલ છે: $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,$v = 100 \, m/s$,$n = 10,000$ દડા/સેકન્ડ,$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$.
સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F = n \times \Delta p = n \times 2mv$ છે.
$F = 10,000 \times 2 \times 10^{-3} \, kg \times 100 \, m/s = 2,000 \, N$.
દબાણ $P = \frac{F}{A}$ દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{2,000 \, N}{10^{-4} \, m^2} = 2,000 \times 10^4 \, N/m^2 = 2 \times 10^7 \, N/m^2$.

(A) $P-V$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $AB$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે,તેથી કાર્ય $W_{AB} = 0 \, J$.
પ્રક્રિયા $BC$ એ $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ પર થતી સમદાબી પ્રક્રિયા છે. કદ $V_A$ થી $V_D$ સુધી બદલાય છે (કારણ કે $V_B = V_A$ અને $V_C = V_D$).
પ્રક્રિયા $BC$ માં થયેલ કાર્ય $W_{BC} = P_B(V_C - V_B) = 8 \times 10^4 \times (5 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$.
પથ $ABC$ માં થયેલ કુલ કાર્ય $W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$.
પથ $ABC$ માં શોષાયેલ કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{AC} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \, J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + W_{AC}$.
કિંમતો મૂકતા,$800 = \Delta U_{AC} + 240$.
તેથી,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_{AC} = 800 - 240 = 560 \, J$ છે.

(A) અચળ દબાણે ઉષ્માનું કાર્યમાં રૂપાંતર થવાની કાર્યક્ષમતા એ કરેલા કાર્ય $\Delta W$ અને આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
તેથી,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$.
અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,$\Delta Q = n C_p \Delta T$ અને $\Delta U = n C_v \Delta T$.
તેથી,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = 1 - \frac{C_v}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma}$.
અહીં $\gamma = 5/3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
ટકાવારીમાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{2}{5} \times 100 = 40\%$.

(A) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમનું કદ (volume) અચળ રાખવામાં આવે છે.
જો દબાણ અચળ રાખવામાં આવે,તો તે પ્રક્રિયાને આઈસોબેરિક (isobaric) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં દબાણ અચળ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) $1$. પ્રથમ પ્રક્રિયામાં, વાયુ કદ $V$ થી $3V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ અનુભવે છે। આદર્શ વાયુ માટે, સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ સમીકરણને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે। વિસ્તરણ હોવાથી, કદ વધવાની સાથે દબાણ ઘટે છે।
$2$. બીજી પ્રક્રિયામાં, અચળ દબાણે કદ $3V$ થી $V$ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે। $P-V$ આલેખ પર, અચળ દબાણની પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
$3$. આ બંનેને જોડતા, માર્ગ $A$ (કદ $V$ પર) થી શરૂ થાય છે, $3V$ સુધી અતિવલય વક્રને અનુસરે છે, અને ત્યારબાદ બિંદુ $B$ પર કદ $V$ સુધી આડી રેખાને અનુસરે છે।
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ સમતાપી વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ અચળ દબાણે થતા સંકોચનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે।

(C) પગલું $1$: સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $PV = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $(P, V)$.
સમતાપી વિસ્તરણ પછીની અંતિમ સ્થિતિ: $(P', 2V)$.
$PV = P'(2V) \implies P' = \frac{P}{2}$.
પગલું $2$: એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $PV^\gamma = \text{અચળ}$.
આ પ્રક્રિયા માટે પ્રારંભિક સ્થિતિ: $(P', 2V) = (P/2, 2V)$.
અંતિમ સ્થિતિ: $(P_f, 16V)$.
$P'(2V)^\gamma = P_f(16V)^\gamma$.
$P' = P/2$ અને $\gamma = 5/3$ મૂકતા:
$\frac{P}{2} (2V)^{5/3} = P_f (16V)^{5/3}$.
$P_f = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$, તેથી $\left( \frac{1}{2^3} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
$P_f = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$.

(C) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{AC}$.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે (સમકદ,$\Delta V = 0$):
$\Delta W_{AB} = 0$
$\Delta Q_{AB} = \Delta U_{AB} = 400 \, J$.
પ્રક્રિયા $BC$ માટે (સમદાબ,$P = 6 \times 10^4 \, Pa$):
$\Delta W_{BC} = P \Delta V = 6 \times 10^4 \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 6 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 120 \, J$.
$\Delta Q_{BC} = \Delta U_{BC} + \Delta W_{BC} \implies 100 = \Delta U_{BC} + 120 \implies \Delta U_{BC} = -20 \, J$.
માર્ગ $ABC$ માટે આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર:
$\Delta U_{AC} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} = 400 - 20 = 380 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માટે,કાર્ય $\Delta W_{AC}$ એ $PV$ આલેખમાં રેખા $AC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે:
$\Delta W_{AC} = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_C) \times (V_C - V_A) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4 + 6 \times 10^4) \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 80 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માટે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + \Delta W_{AC} = 380 + 80 = 460 \, J$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે અને અંતિમ કદ $V_2 = V/2$ છે.
$P-V$ આલેખમાં,સંકોચન પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કદમાં આપેલ ફેરફાર માટે,એડિબેટિક વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોય છે.
સંકોચન દરમિયાન સમાન કદની શ્રેણી માટે એડિબેટિક વક્ર સમતાપી વક્રની ઉપર રહેતો હોવાથી,એડિબેટિક વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ સમતાપી વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,વાયુને એડિબેટિક પ્રક્રિયા દ્વારા સંકોચવા માટે સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધુ કાર્ય કરવું પડે છે.

(A) પ્રક્રિયા $I$ માં,કદ અચળ રહે છે કારણ કે રેખા શિરોલંબ છે. તેથી,પ્રક્રિયા $I$ એ આઇસોકોરિક (સમકદ) પ્રક્રિયા છે $(P \to C)$.
પ્રક્રિયા $IV$ માં,દબાણ અચળ રહે છે કારણ કે રેખા આડી છે. તેથી,પ્રક્રિયા $IV$ એ આઇસોબેરિક (સમદાબ) પ્રક્રિયા છે $(S \to B)$.
પ્રક્રિયા $II$ અને $III$ માટે,બંને વિસ્તરણ પ્રક્રિયાઓ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ એ આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયાના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે. વક્ર $II$ નો ઢાળ વક્ર $III$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા $II$ એ એડિબેટિક છે અને પ્રક્રિયા $III$ એ આઇસોથર્મલ છે.
તેથી,$Q \to A$ અને $R \to D$.
આમ,સાચો ક્રમ $P \to C, Q \to A, R \to D, S \to B$ છે.

(A) એન્જિનનો પાવર આઉટપુટ $P = 10 \, kW = 10,000 \, J/s$ છે.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J \approx 4.2 \, J/cal$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$kcal/s$ માં પાવર $P = \frac{10,000}{4,200} \approx 2.38 \, kcal/s$ થાય.
બળતણનો વપરાશ $1 \, g/s$ હોવાથી,ઉર્જા ઇનપુટનો દર $1 \, g/s \times 2 \, kcal/g = 2 \, kcal/s$ છે.
જો એન્જિન $2 \, kcal/s$ ના ઇનપુટમાંથી $2.38 \, kcal/s$ જેટલું કાર્ય આપે,તો તેની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{2.38}{2} = 119\%$ થાય.
કાર્યક્ષમતા $100\%$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં (જે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે),તેથી એન્જિનિયરનો દાવો અમાન્ય છે.