Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $Q = 0$ होता है।
समतापी प्रक्रिया के लिए,मुक्त की गई ऊष्मा $Q_{\text{rejected}} = -W = -nRT_0 \ln(V_f/V_i) = nRT_0 \ln(V_i/V_f)$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $V_f = V_0/2$,इसलिए $Q_{\text{rejected}} = nRT_0 \ln(2) \approx 0.693 nRT_0$ प्राप्त होता है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,मुक्त की गई ऊष्मा $Q_{\text{rejected}} = -n C_p \Delta T$ है। चूँकि $V \propto T$,यदि $V$ का मान $V_0/2$ हो जाता है,तो $T$ का मान $T_0/2$ हो जाएगा,इसलिए $\Delta T = -T_0/2$। अतः,$Q_{\text{rejected}} = -n (\frac{f}{2} + 1) R (-T_0/2) = (\frac{f}{4} + 0.5) nRT_0$।
एक-परमाणुक गैस $(f=3)$ के लिए,$Q_{\text{rejected}} = (0.75 + 0.5) nRT_0 = 1.25 nRT_0$।
मानों की तुलना करने पर,$1.25 nRT_0 > 0.693 nRT_0$,इसलिए,समदाबी प्रक्रिया में अधिकतम ऊष्मा मुक्त होती है।

(B) मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को संबंध $dQ = \mu C dT$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है और $dT$ तापमान में परिवर्तन है।
आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = \mu C_v dT$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई प्रक्रिया समीकरण: $dQ = 2dU$ है।
$dQ$ और $dU$ के व्यंजक रखने पर:
$\mu C dT = 2(\mu C_v dT)$
दोनों पक्षों को $\mu dT$ से विभाजित करने पर:
$C = 2C_v$
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
इसलिए,$C = 2 \times (\frac{3}{2}R) = 3R$ है।
इस प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $3R$ है।

(B) चक्र $ABCDA$ में किया गया कार्य $(W)$ आयत द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:
$W = (2P_0 - P_0) \times (2V_0 - V_0) = P_0 V_0$
प्रक्रिया $AB$ और $BC$ के दौरान ऊष्मा अवशोषित होती है:
प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $Q_{AB} = n C_v \Delta T = n (1.5 R) (T_B - T_A) = 1.5 (P_B V_B - P_A V_A) = 1.5 (2P_0 V_0 - P_0 V_0) = 1.5 P_0 V_0$
प्रक्रिया $BC$ (समदाबीय) के लिए: $Q_{BC} = n C_p \Delta T = n (2.5 R) (T_C - T_B) = 2.5 (P_C V_C - P_B V_B) = 2.5 (4P_0 V_0 - 2P_0 V_0) = 5 P_0 V_0$
कुल अवशोषित ऊष्मा $(Q_{in})$ = $Q_{AB} + Q_{BC} = 1.5 P_0 V_0 + 5 P_0 V_0 = 6.5 P_0 V_0 = \frac{13}{2} P_0 V_0$
तापीय दक्षता $(\eta)$ = $\frac{W}{Q_{in}} = \frac{P_0 V_0}{6.5 P_0 V_0} = \frac{1}{6.5} = \frac{2}{13} \approx 0.154$

(A) दिए गए $V - T$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $a \to b$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,इसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$a \to b$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें तापमान बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि आयतन भी बढ़ता है।
$2$. प्रक्रिया $b \to c$: यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में दी गई है। आरेख से देखा जा सकता है कि $V$ घटता है और $T$ बढ़ता है,इसलिए दबाव $P$ में काफी वृद्धि होनी चाहिए।
$3$. प्रक्रिया $c \to d$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है,जिसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$c \to d$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें तापमान घटता है,जिसका अर्थ है कि आयतन भी घटता है।
$4$. प्रक्रिया $d \to a$: यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में दी गई है। आरेख से देखा जा सकता है कि $V$ बढ़ता है और $T$ घटता है,इसलिए दबाव $P$ कम होना चाहिए।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो $P - V$ आरेख इन प्रक्रियाओं का सही प्रतिनिधित्व करता है,वह विकल्प $A$ है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
चरण $1$: संपीड़न प्रक्रिया के दौरान किए गए कार्य की गणना करें।
किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = 100 \times (1 - 2) = -100\,J$.
चरण $2$: गर्म करने की प्रक्रिया के दौरान आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें।
दिया गया है $\Delta Q = 150\,J$ और चूंकि यह एक स्थिर आयतन प्रक्रिया है,$\Delta W = 0$.
इसलिए,$\Delta Q = \Delta U = 150\,J$.
चरण $3$: आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन।
आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन दोनों प्रक्रियाओं में हुए परिवर्तनों का योग है।
$\Delta Q_{total} = \Delta U_{total} + \Delta W_{total}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta Q_{total} = 150\,J$ और $\Delta W_{total} = -100\,J$.
$150 = \Delta U + (-100)$.
$\Delta U = 150 + 100 = 250\,J$.
इस प्रकार,गैस की आंतरिक ऊर्जा $250\,J$ बढ़ जाती है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. समदाबी प्रक्रिया को एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ दबाव $P$ स्थिर रहता है, इसलिए ढाल $\frac{dP}{dV} = 0$ होती है।
$2$. समआयतनिक प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए ढाल $\frac{dP}{dV} = \infty$ होती है।
$3$. समतापीय प्रक्रिया को एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $PV = \text{स्थिरांक}$ होता है, इसलिए ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ होती है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर, विकल्प $A$ में दो क्षैतिज रेखाएं (समदाबी), एक ऊर्ध्वाधर रेखा (समआयतनिक) और एक वक्र रेखा (समतापीय) दिखाई देती है। अतः, यह चक्र $(A-B-C-D-A)$ को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए, तापमान स्थिर रहता है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$. अंतिम अवस्था: $(P_i, 2V)$.
$PV = P_i(2V) \implies P_i = \frac{P}{2} \implies P = 2P_i \quad ...(i)$
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$. अंतिम अवस्था: $(P_a, 2V)$.
$PV^{\gamma} = P_a(2V)^{\gamma} \implies P_a = P \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma} = P(2)^{-\gamma}$
एकपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
$P = 2P_i$ और $\gamma = \frac{5}{3}$ का मान रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P_a = (2P_i)(2)^{-5/3} = P_i \cdot 2^1 \cdot 2^{-5/3} = P_i \cdot 2^{1 - 5/3} = P_i \cdot 2^{-2/3}$
अतः, अनुपात $\frac{P_a}{P_i} = 2^{-2/3}$ है।

(A) दिया गया फलन $y = 1 - e^{-x}$ है।
जब $x = 0$ होता है,तो $y = 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0$ होता है। अतः,ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से शुरू होता है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$ होता है,$e^{-x} \to 0$ होता है,इसलिए $y \to 1 - 0 = 1$ होता है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,ग्राफ क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 1$ के करीब पहुँचता है।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = e^{-x}$ सभी $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि फलन निरंतर बढ़ रहा है।
इन गुणों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ $(0, 0)$ से शुरू होता है और $y = 1$ के करीब पहुँचता है,वह ग्राफ $A$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) प्रक्रिया $AB$ के लिए: आयतन $V$ स्थिर है $(V = V_1)$। अतः, किया गया कार्य $W_{AB} = \int P dV = 0$ है।
प्रक्रिया $BC$ के लिए: तापमान $T$ स्थिर है $(T = T_2)$। समतापीय प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य $W_{BC} = nRT_2 \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)$ होता है। यहाँ, $n = 1$, $V_i = V_1$, और $V_f = V_2$ है। इसलिए, $W_{BC} = R T_2 \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ है।
प्रक्रिया $CA$ के लिए: यह एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें आरेख $V-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, जिसका अर्थ है $V \propto T$, यानी दबाव $P$ स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया)। किया गया कार्य $W_{CA} = nR \Delta T = R(T_1 - T_2)$ है।

(D) कार्नोट चक्र में चार चरण होते हैं:
$1$. $AB$: समतापीय प्रसार ($T$ स्थिर, $P$ घटता है, $V$ बढ़ता है)।
$2$. $BC$: रुद्धोष्म प्रसार ($Q=0$, $T$ घटता है, $V$ बढ़ता है)।
$3$. $CD$: समतापीय संपीड़न ($T$ स्थिर, $P$ बढ़ता है, $V$ घटता है)।
$4$. $DA$: रुद्धोष्म संपीड़न ($Q=0$, $T$ बढ़ता है, $V$ घटता है)।
$T-V$ आरेख में, समतापीय प्रक्रियाएं ($AB$ और $CD$) क्षैतिज रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं क्योंकि $T$ स्थिर रहता है। रुद्धोष्म प्रक्रियाएं ($BC$ और $DA$) वक्र रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं क्योंकि $T$ और $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ है। अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) समदाबी प्रक्रिया के दौरान निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P(V_2 - V_1)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
दाब $P = 1 \text{ atm} \approx 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$। गणना की सरलता के लिए,हम $P = 10^5 \text{ Pa}$ लेते हैं।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1 \text{ cm}^3 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^3$।
अंतिम आयतन $V_2 = 1671 \text{ cm}^3 = 1671 \times 10^{-6} \text{ m}^3$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = (1671 - 1) \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 1670 \times 10^{-6} \text{ m}^3$।
जूल में किया गया कार्य: $W = 10^5 \times 1670 \times 10^{-6} \text{ J} = 167 \text{ J}$।
कार्य को जूल से कैलोरी में बदलने के लिए,ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $(J \approx 4.2 \text{ J/cal})$ से विभाजित करने पर:
$W = \frac{167}{4.2} \approx 39.76 \text{ cal}$।
निकटतम पूर्णांक में,किया गया कार्य लगभग $40 \text{ cal}$ है।

(D) $PT$ आरेख में:
$A \rightarrow B$: $P$ स्थिर है और $T$ घटता है। चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $V$ को घटना चाहिए। यह एक समदाबीय संपीड़न है।
$B \rightarrow C$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $P \propto T$,जिसका अर्थ है कि $V$ स्थिर है। चूंकि $P$ घटता है,इसलिए $T$ भी घटता है। यह एक समआयतनिक शीतलन है।
$C \rightarrow A$: रेखा मूल बिंदु से नहीं गुजर रही है। आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से,हमारे पास $P = (nR/V)T$ है। $PT$ ग्राफ का ढलान $nR/V$ है। चूंकि $C$ से $A$ तक $P$ और $T$ दोनों बढ़ते हैं,और ढलान धनात्मक है,यह एक ऐसी प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ $V$ बदलता है। $PV$ आरेख में सही निरूपण चित्र $818-$s925 में दिखाया गया है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 4V$ दिया गया है,इसलिए $P \times V = P_2 \times (4V)$।
अतः,$P_2 = P/4$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_2 V_2^{\gamma} = P_f V_f^{\gamma}$ है।
यहाँ $\gamma = 3/2$,$V_2 = 4V$,और $V_f = 16V$ है,इसलिए $\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_f \times (16V)^{3/2}$।
$P_f = \frac{P}{4} \times \left(\frac{4V}{16V}\right)^{3/2} = \frac{P}{4} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{P}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{P}{32}$।

(C) एक चक्र में किया गया कार्य $W = \oint P dV$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,इसलिए समदाबी प्रक्रियाओं के लिए $dV = \frac{nR}{P} dT$ होता है।
प्रक्रिया $AB$ और $CD$ समआयतनिक (स्थिर आयतन) हैं क्योंकि वे $P-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं पर स्थित हैं,इसलिए $W_{AB} = 0$ और $W_{CD} = 0$ है।
प्रक्रिया $BC$,$P_2$ दाब पर समदाबी है। कार्य $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = nR(T_C - T_B) = 6 \times R \times (2200 - 800) = 6R \times 1400 = 8400R$ है।
प्रक्रिया $DA$,$P_1$ दाब पर समदाबी है। कार्य $W_{DA} = P_1(V_A - V_D) = nR(T_A - T_D) = 6 \times R \times (600 - 1200) = 6R \times (-600) = -3600R$ है।
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 8400R + 0 - 3600R = 4800R$ है।
$R \approx 25/3\, J/(mol\cdot K)$ का उपयोग करने पर:
$W = 4800 \times (25/3) = 1600 \times 25 = 40000\, J = 40\, kJ$.

(C) एक आदर्श गैस के लिए,एक प्रक्रिया में किया गया कार्य $\Delta W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $V = \frac{nRT}{P}$ है। अतः,$dV = \frac{nR}{P} dT$ (नियत दाब पर) या $dV = -\frac{nRT}{P^2} dP$ (नियत तापमान पर)।
$1$. पथ $AB$ (नियत दाब $P = 2P_0$): $\Delta W_{AB} = P \Delta V = nR \Delta T = 1 \cdot R \cdot (2T - T) = RT$.
$2$. पथ $BC$ (नियत तापमान $T = 2T_0$): $\Delta W_{BC} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right) = 1 \cdot R \cdot (2T) \ln \left( \frac{2P}{P} \right) = 2RT \ln 2$.
$3$. पथ $CD$ (नियत दाब $P = P_0$): $\Delta W_{CD} = P \Delta V = nR \Delta T = 1 \cdot R \cdot (T - 2T) = -RT$.
$4$. पथ $DA$ (नियत तापमान $T = T_0$): $\Delta W_{DA} = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right) = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right) = 1 \cdot R \cdot (T) \ln \left( \frac{P}{2P} \right) = RT \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -RT \ln 2$.
कुल कार्य $\Delta W = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CD} + \Delta W_{DA} = RT + 2RT \ln 2 - RT - RT \ln 2 = RT \ln 2$.

(A) दिए गए $V-T$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $A \rightarrow B$: यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,इसलिए $V \propto T$ है। आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,इसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$A \rightarrow B$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $B \rightarrow C$: यह एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि $V$ स्थिर है। अतः,$B \rightarrow C$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $C \rightarrow A$: यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,$C \rightarrow A$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
अब,$P-V$ आरेखों का विश्लेषण करते हैं:
- विकल्प $A$ में,$A \rightarrow B$ एक समदाबी प्रक्रिया है (क्षैतिज रेखा),$B \rightarrow C$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है (ऊर्ध्वाधर रेखा),और $C \rightarrow A$ एक समतापीय प्रक्रिया है (हाइपरबोलिक वक्र)। यह दिए गए चक्र से मेल खाता है।

(A) दिए गए $P-V$ आरेख से,हम प्रत्येक प्रक्रिया का विश्लेषण करते हैं:
$1$. प्रक्रिया $A-B$: $V$ स्थिर है (समआयतनिक)। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $P \propto T$ होता है। यह $P-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. प्रक्रिया $B-C$: $P$ स्थिर है (समदाबी)। $PV = nRT$ से,चूंकि $P$ स्थिर है,इसलिए $V \propto T$ होता है। $P-T$ आरेख में,यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक धनात्मक ढाल वाली रेखा है।
$3$. प्रक्रिया $C-D$: $V$ स्थिर है (समआयतनिक)। $A-B$ की तरह,यह भी मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$4$. प्रक्रिया $D-A$: $P$ स्थिर है (समदाबी)। $B-C$ की तरह,यह भी मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(A)$ में दिया गया आरेख $P-T$ तल में इन प्रक्रियाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) $T-S$ आरेख में,विनिमय की गई ऊष्मा $Q$ प्रक्रिया वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दी जाती है,अर्थात $Q = \int T dS$।
दिए गए चक्र के लिए:
$1$. विस्तार प्रक्रिया (ऊपरी तिरछी रेखा) के दौरान अवशोषित ऊष्मा $(Q_1)$,$S_0$ से $2S_0$ तक की रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है:
$Q_1 = \text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (T_0 \times S_0) = \frac{3}{2} T_0 S_0$।
$2$. स्थिर तापमान प्रक्रिया (निचली क्षैतिज रेखा) के दौरान निष्कासित ऊष्मा $(Q_2)$,$2S_0$ से $S_0$ तक की रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है:
$Q_2 = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$।
$3$. प्रक्रिया $Q_3$ एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है (ऊर्ध्वाधर रेखा),इसलिए $Q_3 = 0$।
$4$. चक्र की दक्षता $\eta$ इस प्रकार दी जाती है:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$।
मान रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{\frac{3}{2} T_0 S_0} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।

(B) पथ $iaf$ के लिए:
$Q = 50 \, cal$,$W = 20 \, cal$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 50 - 20 = 30 \, cal$.
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए $i$ से $f$ तक किसी भी पथ के लिए $\Delta U$ समान रहता है।
$(i)$ पथ $ibf$ के लिए:
$Q = 36 \, cal$,$\Delta U = 30 \, cal$.
$W = Q - \Delta U = 36 - 30 = 6 \, cal$.
$(ii)$ पथ $fi$ (विपरीत पथ) के लिए:
$W = -13 \, cal$,$\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \, cal$.
$Q = \Delta U + W = -30 + (-13) = -43 \, cal$.
$(iii)$ दिया गया है $E_{int,i} = 10 \, cal$:
$E_{int,f} = E_{int,i} + \Delta U = 10 + 30 = 40 \, cal$.

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2\, mol$,$\Delta T = 10\, K$ (चूंकि $10\,^{\circ}C$ का परिवर्तन $10\, K$ के परिवर्तन के बराबर है),और $R = 8.31\, J/mol\cdot K$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = 2 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 10$
$\Delta U = 3 \times 8.31 \times 10$
$\Delta U = 24.93 \times 10 = 249.3\, J$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,आंतरिक ऊर्जा में लगभग परिवर्तन $250\, J$ है।

(A) चरण $1$: $V_{1}$ से $V_{2} = V_{1}/16$ तक रुद्धोष्म संपीड़न।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$।
दिया गया है $T_{1} = 300 \; K$,$\gamma = 1.4 = 7/5$,अतः $\gamma-1 = 0.4 = 2/5$।
$300 \times V_{1}^{2/5} = T_{2} \times (V_{1}/16)^{2/5}$।
$T_{2} = 300 \times (16)^{2/5} = 300 \times (2^{4})^{2/5} = 300 \times 2^{8/5}$।
$T_{2} = 300 \times 3.0314 = 909.42 \; K$।
चरण $2$: $V_{2}$ से $2V_{2}$ तक समदाबीय प्रसार।
समदाबीय प्रक्रिया के लिए,$V/T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $V_{2}/T_{2} = (2V_{2})/T_{f}$।
$T_{f} = 2 \times T_{2} = 2 \times 909.42 = 1818.84 \; K$।
निकटतम पूर्णांक में,अंतिम तापमान $1819 \; K$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$1818$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(D) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ एक रुद्धोष्म प्रसार है (दाब घटता है, आयतन बढ़ता है)।
$2$. प्रक्रिया $2 \rightarrow 3$ एक समदाबी संपीड़न है (दाब स्थिर रहता है, आयतन घटता है)।
$3$. प्रक्रिया $3 \rightarrow 1$ एक समआयतनिक तापन है (आयतन स्थिर रहता है, दाब बढ़ता है)।
अब, $V-T$ आरेखों का विश्लेषण करते हैं:
- प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ (रुद्धोष्म) के लिए: $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$। चूँकि आयतन बढ़ता है, इसलिए तापमान घटना चाहिए।
- प्रक्रिया $2 \rightarrow 3$ (समदाबी) के लिए: $V \propto T$। चूँकि आयतन घटता है, इसलिए तापमान घटना चाहिए।
- प्रक्रिया $3 \rightarrow 1$ (समआयतनिक) के लिए: $P \propto T$। चूँकि दाब बढ़ता है, इसलिए तापमान बढ़ना चाहिए।
इन प्रवृत्तियों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, विकल्प $D$ में दर्शाया गया $V-T$ आरेख सही है।

(N/A) नहीं। $1 \; atm$ दाब और $-60^{\circ} C$ पर,$CO_{2}$ वाष्प अवस्था में होता है। जैसे ही इसे समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,यह वाष्प क्षेत्र से सीधे ठोस क्षेत्र में चला जाता है,और द्रव अवस्था से होकर नहीं गुजरता है।
$(b)$ $4 \; atm$ दाब पर,जो त्रिक बिंदु दाब $5.11 \; atm$ से कम है,$CO_{2}$ को कमरे के तापमान से ठंडा करने पर यह सीधे वाष्प अवस्था से ठोस अवस्था में परिवर्तित हो जाता है (निक्षेपण)।
$(c)$ $10 \; atm$ दाब पर,जो त्रिक बिंदु दाब से अधिक है,ठोस $CO_{2}$ को $-65^{\circ} C$ से गर्म करने पर यह पहले गलन वक्र पर द्रव अवस्था में पिघलता है और फिर कमरे के तापमान तक पहुँचने पर वाष्पीकरण वक्र पर गैस अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
$(d)$ चूंकि $70^{\circ} C$ तापमान $CO_{2}$ के क्रांतिक तापमान $(31.1^{\circ} C)$ से अधिक है,इसलिए इसे केवल संपीड़न द्वारा द्रवित नहीं किया जा सकता है। यह वाष्प अवस्था में ही रहेगा,लेकिन इसका घनत्व बढ़ेगा और जैसे-जैसे दाब बढ़ेगा,यह आदर्श गैस व्यवहार से विचलित हो जाएगा।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है। निकाय पर किया गया कार्य $W_{adiabatic} = 22.3 \; J$ है। चिह्न परिपाटी के अनुसार,निकाय पर किया गया कार्य ऋणात्मक होता है,इसलिए $\Delta W = -22.3 \; J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,हमें $0 = \Delta U - 22.3 \; J$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\Delta U = 22.3 \; J$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए अवस्था $A$ और $B$ के बीच किसी भी प्रक्रिया के लिए $\Delta U$ समान रहता है।
दूसरी प्रक्रिया में,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q' = 9.35 \; cal = 9.35 \times 4.19 \; J = 39.1765 \; J$ है।
प्रथम नियम का पुनः उपयोग करने पर: $\Delta Q' = \Delta U + \Delta W'$,जहाँ $\Delta W'$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
$\Delta W' = \Delta Q' - \Delta U = 39.1765 \; J - 22.3 \; J = 16.8765 \; J$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,निकाय द्वारा किया गया कार्य $16.88 \; J$ है।

(N/A) $1$. कार्य का ऊष्मा में रूपांतरण: सर्दियों में,जब हम अपनी हथेलियों को आपस में रगड़ते हैं,तो रगड़ने में किया गया यांत्रिक कार्य ऊष्मीय ऊर्जा (ऊष्मा) में परिवर्तित हो जाता है,जिससे हमारी हथेलियाँ गर्म महसूस होती हैं।
$2$. ऊष्मा का कार्य में रूपांतरण: भाप इंजन (स्टीम इंजन) में,भाप से निकलने वाली ऊष्मीय ऊर्जा का उपयोग पिस्टन को धकेलने के लिए यांत्रिक कार्य करने में किया जाता है,जो बदले में ट्रेन के पहियों को घुमाता है।

(N/A) यांत्रिकी बलों और आघूर्णों (torques) के प्रभाव में कणों या निकायों की गति से संबंधित है। यह किसी निकाय की यांत्रिक स्थिति,जैसे कि उसकी स्थिति,वेग और गतिज ऊर्जा पर ध्यान केंद्रित करता है।
दूसरी ओर,ऊष्मागतिकी एक निकाय की आंतरिक स्थूल (macroscopic) स्थिति से संबंधित है,जिसे दबाव,आयतन और तापमान जैसे अवस्था चरों (state variables) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह पूरे निकाय की गति पर ध्यान केंद्रित नहीं करता है।
उदाहरण के लिए,जब बंदूक से गोली चलाई जाती है,तो उसकी यांत्रिक स्थिति (गतिज ऊर्जा) बदल जाती है। हालाँकि,जब गोली लकड़ी के टुकड़े से टकराती है और रुक जाती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा (ऊष्मा) में परिवर्तित हो जाती है,जिससे गोली और लकड़ी दोनों का तापमान बदल जाता है।
संक्षेप में,तापमान कणों की आंतरिक,अव्यवस्थित गति की ऊर्जा से संबंधित है,जबकि यांत्रिकी पूरे निकाय की व्यवस्थित गति से संबंधित है।

(A) हीट इंजन के लिए,दक्षता $\eta$ किए गए कार्य और स्रोत से अवशोषित ऊष्मा का अनुपात है: $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$।
कार्नोट इंजन के लिए,इसे तापमान के संदर्भ में $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है। अतः,$(a)$ का मिलान $(ii)$ और $(iii)$ से होता है।
हीट पंप के लिए,प्रदर्शन गुणांक $(COP)$ ठंडे जलाशय से निकाली गई ऊष्मा और किए गए कार्य का अनुपात है: $\text{COP} = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$। अतः,$(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(a-ii, iii)$ और $(b-i)$ है।

(B) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ समतापीय प्रसार $(a)$ के लिए,जैसे-जैसे आयतन $V$ बढ़ता है,दबाव $P$ घटता है,जो $P = nRT/V$ के अनुसार होता है। यह वक्र एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।
$(2)$ समदाबी प्रसार $(b)$ के लिए,दबाव $P$ स्थिर $P_i$ रहता है। यह वक्र एक क्षैतिज रेखा है।
$(3)$ चूंकि गैस समान प्रारंभिक दबाव $P_i$ से $V_i$ से $V_f$ तक फैलती है,समदाबी प्रक्रिया पूरे प्रसार के दौरान दबाव $P_i$ को बनाए रखती है,जबकि समतापीय प्रक्रिया में दबाव में कमी आती है।
$(4)$ ग्राफ़िक रूप से,$V_i$ से $V_f$ तक क्षैतिज रेखा $(P = P_i)$ के नीचे का क्षेत्रफल $P_i(V_f - V_i)$ के बराबर एक आयत है। समतापीय वक्र के नीचे का क्षेत्रफल छोटा होता है क्योंकि प्रक्रिया के दौरान दबाव $P_i$ से नीचे गिर जाता है।
$(5)$ इसलिए,समदाबी प्रसार $(b)$ में गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक होगा।

(N/A) ऊष्मा उन प्रक्रियाओं के दौरान दी जाती है जहाँ आंतरिक ऊर्जा और किया गया कार्य बढ़ता है। समतापीय विस्तार $B \to C$ में,ऊष्मा अवशोषित होती है $(Q_{BC} = nRT_B \ln(V_C/V_B) > 0)$। समआयतनिक तापन $A \to B$ में,ऊष्मा अवशोषित होती है $(Q_{AB} = nC_V(T_B - T_A) > 0)$। अतः,$A \to B$ और $B \to C$ में ऊष्मा दी जाती है।
$(b)$ इंजन शीतलन प्रक्रियाओं के दौरान परिवेश को ऊर्जा देता है: समआयतनिक शीतलन $C \to D$ और समतापीय संपीड़न $D \to A$।
$(c)$ किया गया कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$। चूंकि $AB$ और $CD$ समआयतनिक हैं,$W_{AB} = W_{CD} = 0$। $W_{BC} = nRT_B \ln(V_C/V_B) = P_B V_B \ln(2)$। $W_{DA} = nRT_A \ln(V_A/V_D) = P_A V_A \ln(1/2) = -P_A V_A \ln(2)$। कुल कार्य $W = (P_B - P_A) V_A \ln(2)$।
$(d)$ दक्षता $\eta = W / Q_{in}$। $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = C_V(T_B - T_A) + P_B V_B \ln(2) = \frac{3}{2}(P_B - P_A)V_A + P_B V_A \ln(2)$। $\eta = \frac{(P_B - P_A) V_A \ln(2)}{\frac{3}{2}(P_B - P_A)V_A + P_B V_A \ln(2)} = \frac{(P_B - P_A) \ln(2)}{\frac{3}{2}(P_B - P_A) + P_B \ln(2)}$.

(N/A) किसी प्रक्रिया के लिए,विनिमय की गई ऊष्मा $Q = nC\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$(a)$ $A$ से $B$ (समआयतनिक): $W = 0$,इसलिए $Q_{AB} = \Delta U = nC_V(T_B - T_A) = \frac{3}{2}nR(T_B - T_A)$। चूंकि $P_B > P_A$ और $V$ नियत है,$T_B > T_A$,इसलिए ऊष्मा अवशोषित होती है।
$(b)$ $B$ से $C$ (समदाबी): $Q_{BC} = nC_P(T_C - T_B) = n(\frac{5}{2}R)(T_C - T_B)$। चूंकि $V_C > V_B$,$T_C > T_B$,इसलिए ऊष्मा अवशोषित होती है।
$(c)$ $C$ से $D$ (रुद्धोष्म): परिभाषा के अनुसार,$Q_{CD} = 0$।
$(d)$ $D$ से $A$ (समदाबी): $Q_{DA} = nC_P(T_A - T_D) = n(\frac{5}{2}R)(T_A - T_D)$। चूंकि $V_A < V_D$,$T_A < T_D$,इसलिए ऊष्मा मुक्त होती है।

(N/A) किसी प्रक्रिया के लिए ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1 - x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x$ पॉलीट्रोपिक सूचकांक है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ढाल $(\frac{dP}{dV})_{ad} = -\gamma \frac{P_0}{V_0}$ होता है।
दी गई प्रक्रिया $P = f(V)$ के लिए,मान लीजिए ढाल $(\frac{dP}{dV})_{proc}$ है।
हमें दिया गया है कि $(\frac{dP}{dV})_{proc} > (\frac{dP}{dV})_{ad}$,जिसका अर्थ है $(\frac{dP}{dV})_{proc} > -\gamma \frac{P_0}{V_0}$।
एक सामान्य प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{P}{n(\frac{dT}{dV})}$ होती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$P + V(\frac{dP}{dV}) = nR(\frac{dT}{dV})$ प्राप्त होता है।
इसे ऊष्मा धारिता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$C = C_V + \frac{R}{1 - \frac{V}{P}(\frac{dP}{dV})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रक्रिया का ढाल रुद्धोष्म ढाल से अधिक है,हर $(1 - \frac{V}{P}(\frac{dP}{dV}))$ रुद्धोष्म प्रक्रिया के हर $(1 + \gamma)$ से छोटा हो जाता है।
अतः,ऊष्मा धारिता $C$ धनात्मक हो जाती है,जो दर्शाता है कि गैस ऊष्मा अवशोषित करती है।

(B) जल का विभाजन,जिसे जल का विद्युत अपघटन (electrolysis) भी कहा जाता है,जल के अणुओं $(H_2O)$ को हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ और ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ में तोड़ने की प्रक्रिया है।
इस अभिक्रिया में हाइड्रोजन और ऑक्सीजन परमाणुओं के बीच के मजबूत सहसंयोजक बंधों को तोड़ने के लिए ऊर्जा के इनपुट (आमतौर पर विद्युत के रूप में) की आवश्यकता होती है।
चूंकि अभिक्रिया को संचालित करने के लिए परिवेश से ऊर्जा अवशोषित की जाती है,इसलिए इसे एक ऊष्माशोषी (endothermic) प्रक्रिया के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(N/A) ऊष्मागतिकीय प्रक्रियाएँ निम्नलिखित रूप में परिभाषित की जाती हैं:
$(1)$ समतापीय प्रक्रिया (Isothermal process): वह प्रक्रिया जिसके दौरान निकाय का तापमान स्थिर रहता है,उसे समतापीय प्रक्रिया कहा जाता है।
$(2)$ समदाबी प्रक्रिया (Isobaric process): वह प्रक्रिया जिसके दौरान निकाय का दबाव स्थिर रहता है,उसे समदाबी प्रक्रिया कहा जाता है।
$(3)$ समआयतनिक प्रक्रिया (Isochoric process): वह प्रक्रिया जिसके दौरान निकाय का आयतन स्थिर रहता है,उसे समआयतनिक प्रक्रिया कहा जाता है।
$(4)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया (Adiabatic process): वह प्रक्रिया जिसमें निकाय में भौतिक परिवर्तन इस प्रकार होते हैं कि निकाय और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(\Delta Q = 0)$।
$(5)$ चक्रीय प्रक्रिया (Cyclic process): वह प्रक्रिया जिसमें निकाय परिवर्तनों की एक श्रृंखला से गुजरता है और अंत में अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है।
कुछ विशेष ऊष्मागतिकीय प्रक्रियाएँ नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं:

प्रक्रिया का प्रकार	विशेषता
समतापीय	तापमान स्थिर
समदाबी	दबाव स्थिर
समआयतनिक	आयतन स्थिर
रुद्धोष्म	ऊष्मा का प्रवाह नहीं $(\Delta Q = 0)$

(N/A) $P-V$ आरेख एक कार्नो चक्र को दर्शाता है,जिसमें दो समतापीय प्रक्रम और दो रुद्धोष्म प्रक्रम शामिल होते हैं।
$1$. समतापीय प्रसार: गैस स्थिर तापमान पर फैलती है।
$2$. रुद्धोष्म प्रसार: गैस परिवेश के साथ बिना किसी ऊष्मा विनिमय के फैलती है।
$3$. समतापीय संपीड़न: गैस स्थिर तापमान पर संकुचित होती है।
$4$. रुद्धोष्म संपीड़न: गैस परिवेश के साथ बिना किसी ऊष्मा विनिमय के संकुचित होती है।
रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्रों की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होते हैं क्योंकि रुद्धोष्म आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (bulk modulus),समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का $\gamma$ गुना होता है,जहाँ $\gamma > 1$ है।

(N/A) $1$. समतापीय प्रक्रिया: वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(T = \text{स्थिर})$. आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है $(dU = 0)$.
$2$. रुद्धोष्म प्रक्रिया: वह प्रक्रिया जिसमें निकाय और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(dQ = 0)$.
$3$. समदाबी प्रक्रिया: वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का दबाव स्थिर रहता है $(P = \text{स्थिर})$.
$4$. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम: आदर्श गैस के लिए, प्रथम नियम $dQ = dU + dW$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $dQ$ निकाय को दी गई ऊष्मा है, $dU$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है, और $dW$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।

(N/A) $1$. समआयतनिक प्रक्रिया: वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(dV = 0)$, उसे समआयतनिक प्रक्रिया कहते हैं। इस प्रक्रिया में निकाय द्वारा या निकाय पर कोई कार्य नहीं किया जाता है $(W = 0)$।
$2$. चक्रीय प्रक्रिया: यदि कोई निकाय परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है, तो उस प्रक्रिया को चक्रीय प्रक्रिया कहा जाता है। चक्रीय प्रक्रिया में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है $(\Delta U = 0)$।
$3$. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम: आदर्श गैस के लिए ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है, $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।

(N/A) किसी प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा या गैस पर किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
समतापीय संपीड़न (isothermal compression) से गुजरने वाली एक आदर्श गैस के लिए,समीकरण $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ है। चूंकि यह संपीड़न है,$V_f < V_i$ होता है,जिससे $W$ ऋणात्मक हो जाता है (गैस पर किया गया कार्य)।
रुद्धोष्म (adiabatic) संपीड़न के लिए,समीकरण $W = \frac{nR(T_f - T_i)}{\gamma - 1} = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है।

(B) बाह्य दहन इंजन में,ईंधन को इंजन सिलेंडर के बाहर जलाया जाता है। उत्पन्न ऊष्मा का उपयोग पानी को उच्च दबाव वाली भाप में बदलने के लिए किया जाता है,जो फिर यांत्रिक कार्य करने के लिए कार्यकारी पदार्थ के रूप में कार्य करती है। उदाहरणों में भाप इंजन और भाप टर्बाइन शामिल हैं।
आंतरिक दहन इंजन में,ईंधन को इंजन सिलेंडर के अंदर ही जलाया जाता है। ईंधन के दहन से उच्च दबाव वाली गैसें (हवा और ईंधन का मिश्रण) बनती हैं,जो पिस्टन को धक्का देने के लिए फैलती हैं,और कार्यकारी पदार्थ के रूप में कार्य करती हैं। उदाहरणों में पेट्रोल और डीजल इंजन शामिल हैं।

(N/A) रेफ्रिजरेटर के लिए निष्पादन गुणांक $(\alpha)$, ठंडे जलाशय से निकाली गई ऊष्मा $(Q_2)$ और निकाय पर किए गए कार्य $(W)$ का अनुपात है।
$\alpha = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$
अंश और हर को $Q_1$ से विभाजित करने पर:
$\alpha = \frac{Q_2 / Q_1}{1 - Q_2 / Q_1} \dots (1)$
कार्नोट इंजन के लिए दक्षता $\eta$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$
अतः, $\frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \eta \dots (2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\alpha = \frac{1 - \eta}{\eta}$
इस प्रकार, अभीष्ट संबंध $\alpha = \frac{1}{\eta} - 1$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 0$ होता है। चूंकि विशिष्ट ऊष्मा को $C = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए जैसे ही $\Delta T \to 0$ होता है,विशिष्ट ऊष्मा $C$ अनंत हो जाती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है। इस मान को सूत्र $C = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ में रखने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।

(N/A) $(i)$ यह उस दिशा के बारे में नहीं बताता है जिसमें ऊष्मा प्रवाहित होती है। यह केवल यह बताता है कि ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$(ii)$ यह यह समझाने में विफल रहता है कि ऊष्मा को किसी बाहरी प्रभाव के बिना एक चक्रीय प्रक्रिया में स्वचालित रूप से और पूरी तरह से कार्य में क्यों नहीं बदला जा सकता है।

(A) $1.$ सत्य। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
$2.$ सत्य। यदि बैटरी को बिना किसी ऊर्जा हानि के अत्यंत धीमी गति से चार्ज किया जाए,तो इसे एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया माना जाता है।
$3.$ असत्य। ऊंचाई से गिरता हुआ पानी एक अनुत्क्रमणीय (irreversible) प्रक्रिया है क्योंकि घर्षण और प्रभाव के कारण प्राप्त गतिज ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है,जिसे वापस प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
$4.$ असत्य। आंतरिक ऊर्जा,आयतन और द्रव्यमान विस्तृत (extensive) चर हैं (वे पदार्थ की मात्रा पर निर्भर करते हैं),जबकि दबाव,तापमान और घनत्व गहन (intensive) चर हैं (वे पदार्थ की मात्रा से स्वतंत्र होते हैं)।

(A) $1.$ सत्य। एक चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा जैसे अवस्था फलनों में परिवर्तन शून्य $(\Delta U = 0)$ होता है।
$2.$ असत्य। रुद्धोष्म प्रक्रिया में,ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(Q = 0)$,लेकिन कार्य किए जाने पर निकाय का तापमान बदल जाता है।
$3.$ असत्य। समतापीय प्रक्रिया में तापमान स्थिर रहता है। चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए $\Delta U = 0$ होता है।

(N/A) $1.$ चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है। चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $0$ होता है।
$2.$ जब रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में गैस पर कार्य किया जाता है तो गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है (जहाँ $Q = 0$,$\Delta U = -W$)।
$3.$ रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$। दिया गया है कि $V_2 = V_1 / 32$ और $\gamma = 1.4$,इसलिए $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = T_1 (32)^{1.4-1} = T_1 (32)^{0.4} = T_1 (2^5)^{2/5} = T_1 \times 2^2 = 4 T_1$.
$4.$ जल का त्रिक बिंदु $4.58 \text{ mm Hg}$ दाब और $273.16 \text{ K}$ तापमान पर होता है।

(N/A) $1.$ किसी पिंड का तापमान $1\,K$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा को उसकी ऊष्मा धारिता (thermal capacity) कहा जाता है।
$2.$ तापमान अंतर के बीच का संबंध $\Delta T_F = \frac{9}{5} \Delta T_C$ है। दिए गए $\Delta T_C = 10\,^{\circ}C$ के लिए,$\Delta T_F = \frac{9}{5} \times 10 = 18\,^{\circ}F$ होगा।
$3.$ समतापीय प्रक्रिया के लिए,$PV = \text{स्थिरांक}$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$P dV + V dP = 0$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर $V dP = -P dV$,जो सरल होकर $\frac{dP}{P} = -\frac{dV}{V}$ हो जाता है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है। किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\mu RT}{V} dV = \mu RT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right) = 2.303 \mu RT \log_{10} \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$(a)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है। अतः,$(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(a-iii, b-i)$ है।

(A) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$। इसे प्रथम नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है $\Delta U = -\Delta W$। अतः,$(a)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
$(b)$ समतापी प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$। इसे प्रथम नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta Q = 0 + \Delta W$,जिसका अर्थ है $\Delta Q = \Delta W$। अतः,$(b)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(a-iii), (b-ii)$ है।

(A) हीट इंजन के लिए,दक्षता $\eta$ को किए गए कार्य और ऊष्मा इनपुट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$ द्वारा दिया जाता है। कार्नोट इंजन के लिए,यह $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ में सरल हो जाता है। अतः,$(a)$ का मिलान $(ii)$ और $(iii)$ से होता है।
हीट पंप के लिए,प्रदर्शन गुणांक $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,$(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।

(B) यह स्थिति दिए गए $P-V$ ग्राफ में दिखाई गई है,जहाँ प्रत्येक प्रक्रिया के लिए परिवर्तन दर्शाया गया है।
प्रक्रिया $1$ समदाबीय विस्तार (स्थिर दबाव) को दर्शाती है और प्रक्रिया $2$ समतापीय विस्तार (स्थिर तापमान) को दर्शाती है।
चूंकि विस्तार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है,इसलिए हम दोनों वक्रों के नीचे के क्षेत्रफल की तुलना करते हैं।
ग्राफ से,प्रक्रिया $1$ (समदाबीय) के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल स्पष्ट रूप से प्रक्रिया $2$ (समतापीय) के वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से बड़ा है।
इसलिए,समदाबीय प्रक्रिया (स्थिति $b$) में गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक है।

(N/A) प्रक्रिया $AB$ में, आयतन स्थिर है $(dV = 0)$, इसलिए कार्य $dW = 0$। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, $dQ = dU + dW = dU$। चूँकि स्थिर आयतन पर दबाव बढ़ता है, तापमान बढ़ता है, इसलिए $dU > 0$। अतः, प्रक्रिया $AB$ में ऊष्मा दी जाती है।
$(b)$ प्रक्रिया $CD$ में, आयतन स्थिर है और दबाव घटता है, इसलिए तापमान घटता है। अतः, प्रक्रिया $CD$ में इंजन द्वारा परिवेश को ऊष्मा दी जाती है।
$(c)$ कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$। चूँकि $W_{AB} = 0$ और $W_{CD} = 0$, इसलिए $W = W_{BC} + W_{DA}$।
रुद्धोष्म प्रक्रियाओं के लिए, $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$।
$W_{BC} = \frac{P_B V_B - P_C V_C}{\gamma - 1}$ और $W_{DA} = \frac{P_D V_D - P_A V_A}{\gamma - 1}$।
दिया गया है $V_C = V_D = 2V_A = 2V_B$, और रुद्धोष्म संबंध $P_B V_B^\gamma = P_C V_C^\gamma$ और $P_A V_A^\gamma = P_D V_D^\gamma$:
$P_C = P_B(1/2)^{5/3}$ और $P_D = P_A(2)^{5/3}$।
$W = \frac{1}{\gamma - 1} [P_B V_B - P_B(1/2)^{5/3}(2V_B) + P_A(2)^{5/3}(2V_A) - P_A V_A]$
$W = \frac{3V_A}{2} [P_B(1 - 2^{-2/3}) + P_A(2^{8/3} - 1)]$।
$(d)$ दक्षता $\eta = 1 - \frac{|Q_{out}|}{Q_{in}} = 1 - \frac{C_v(T_C - T_D)}{C_v(T_B - T_A)} = 1 - \frac{P_C V_C - P_D V_D}{P_B V_B - P_A V_A} = 1 - \frac{2(P_C - P_D)}{P_B - P_A} = 1 - \frac{2(P_B 2^{-5/3} - P_A 2^{5/3})}{P_B - P_A}$.