Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $\frac{W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ है।
चूंकि $\Delta U = n C_v \Delta T$ और $\Delta Q = n C_p \Delta T$,इसलिए $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंश $1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(D) समतापीय प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है। हालाँकि,ऊष्मा विनिमय $Q$ का शून्य होना आवश्यक नहीं है; यह किए गए कार्य के बराबर होता है $(Q = W)$।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,ऊष्मा विनिमय $Q$ शून्य होता है।
इसलिए,कथन 'समतापीय प्रक्रिया में,$Q = 0$' गलत है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_1 V_1 = P_2 V_2$ है। दिया गया है कि $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P \times V = P_2 \times 2V$,जिससे $P_2 = \frac{P}{2}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ है। दिया गया है कि $V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,और $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_3 = P_2 \left(\frac{V_2}{V_3}\right)^\gamma = \frac{P}{2} \left(\frac{2V}{16V}\right)^{5/3}$।
$P_3 = \frac{P}{2} \left(\frac{1}{8}\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$।

(D) स्थिर दाब पर, किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$, इसलिए $P \Delta V = nR \Delta T$।
अतः, $W = nR \Delta T$।
स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U = nC_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है $Q = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T = \frac{3}{2} (nR \Delta T)$।
चूंकि $W = nR \Delta T$, इसलिए $Q$ के समीकरण में $W$ का मान रखने पर:
$Q = \frac{3}{2} W$।

(B) समतापीय विस्तार के लिए,प्रक्रिया बॉयल के नियम का पालन करती है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
अतः,$P_i = P \times (V / 2V) = P / 2$।
रुद्धोष्म विस्तार के लिए,प्रक्रिया $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ संबंध का पालन करती है।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
अतः,$P_a = P \times (V / 2V)^{\gamma} = P / 2^{\gamma}$।
अब,अनुपात $\frac{P_i}{P_a}$ की गणना करने पर:
$\frac{P_i}{P_a} = \frac{P/2}{P/2^{\gamma}} = \frac{2^{\gamma}}{2} = 2^{\gamma-1}$।

(C) दिया गया है: $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3}{2}$.
स्थिति $I$: समतापीय प्रक्रिया $(T = \text{नियत})$
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 9V$ है।
$P \times V = P_2 \times 9V$
$P_2 = \frac{P}{9}$.
स्थिति $II$: रुद्धोष्म प्रक्रिया $(PV^\gamma = \text{नियत})$
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
यहाँ $P_2 = \frac{P}{9}$,$V_2 = 9V$,और $V_3 = V$ है।
$\frac{P}{9} \times (9V)^{3/2} = P_3 \times (V)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times \left(\frac{9V}{V}\right)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (9)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (3^2)^{3/2} = \frac{P}{9} \times 3^3 = \frac{P}{9} \times 27 = 3P$.
अतः,अंतिम दाब $3P$ है।

(B) नियत दाब पर प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
अतः,अनुपात $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = C_p : C_v : R$ होगा।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
इसलिए,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} R : \frac{5}{2} R : R$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{R}$ से गुणा करने पर,हमें $7 : 5 : 2$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $\gamma = \frac{5}{3}$.
चरण $1$: आयतन $V$ से $2V$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \times V = P_2 \times 2V$.
इसलिए,$P_2 = \frac{P}{2}$.
चरण $2$: आयतन $2V$ से $16V$ तक रुद्धोष्म प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^{\gamma}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( (2^{-3})^{5/3} \right) = \frac{P}{2} \times 2^{-5} = \frac{P}{2 \times 32} = \frac{P}{64}$.

(A) चूंकि गैस का प्रवाह एक अछूता नली में अचानक रुक जाता है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}m(2V)^2 = 2mV^2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,गैस को संपीड़ित करने के लिए किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $\Delta U = \frac{nR\Delta T}{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,इसलिए $\Delta U = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$ होगा।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$2mV^2 = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$.
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{2MV^2(\gamma-1)}{R}$.

(A) दिया गया है: स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा,$Q_p = 80 \ J$। गैस द्वारा किया गया कार्य,$W = 20 \ J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q_p = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
$\Delta U = Q_p - W = 80 \ J - 20 \ J = 60 \ J$।
हम जानते हैं कि $Q_p = n C_p \Delta T$ और $\Delta U = n C_v \Delta T$।
अतः,अनुपात $\frac{Q_p}{\Delta U} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{80}{60} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $4/3$ है।

(B) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T = \frac{n R \Delta T}{\gamma-1}$।
स्थिर दाब पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$,इसलिए $n R \Delta T = P \Delta V$ होता है।
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 3V - V = 2V$ है।
इसलिए,$n R \Delta T = P(2V) = 2PV$।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में रखने पर: $\Delta U = \frac{2PV}{\gamma-1}$।

(C) दिया गया है: दी गई ऊष्मा $Q = 100 \ J$,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 60 \ J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए किया गया कार्य $W = Q - \Delta U = 100 - 60 = 40 \ J$।
हम जानते हैं कि $\Delta U = n C_v \Delta T$ और $Q = n C_p \Delta T$।
अतः,$\frac{Q}{\Delta U} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{100}{60} = \frac{5}{3} \approx 1.67$।
चूंकि रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.67$ एक-परमाणुक गैस के लिए होता है,इसलिए गैस एक-परमाणुक है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = \frac{n f R \Delta T}{2}$ है।
$(i)$ नियत आयतन पर: $\Delta U_1 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
(ii) नियत दाब पर: $\Delta U_2 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
चूंकि तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1$ दोनों स्थितियों में समान है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन दोनों स्थितियों में समान होगा।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है।
$C_p = \frac{5}{2}R$ और $C_v = \frac{3}{2}R$ है।
स्थिर दाब पर आपूर्ति की गई कुल ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा $\Delta U = n C_v \Delta T = \frac{3}{2} nR \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने में उपयोग की गई ऊष्मा का प्रतिशत $= \frac{\Delta U}{Q} \times 100 = \frac{\frac{3}{2} nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 60\%$ है।
बाहरी कार्य करने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा $W = P \Delta V = nR \Delta T$ है।
बाहरी कार्य करने में उपयोग की गई ऊष्मा का प्रतिशत $= \frac{W}{Q} \times 100 = \frac{nR \Delta T}{\frac{5}{2} nR \Delta T} \times 100 = 40\%$ है।
अतः,प्रतिशत क्रमशः $40\%$ और $60\%$ हैं।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = C_p \Delta T$ है और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = C_V \Delta T$ है।
अतः,$\frac{\Delta Q}{\Delta U} = \frac{C_p \Delta T}{C_V \Delta T} = \frac{C_p}{C_V} = \gamma$। इसलिए,$A \rightarrow 4$।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = (C_p - C_V) \Delta T$।
अतः,$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{C_p \Delta T}{(C_p - C_V) \Delta T} = \frac{C_p}{C_p - C_V} = \frac{C_p/C_V}{(C_p/C_V) - 1} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$। इसलिए,$B \rightarrow 3$।
रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$। इसलिए,$C \rightarrow 2$।
हीट पंप के लिए,निष्पादन गुणांक $\alpha = \frac{Q_1}{W} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}$। इसलिए,$D \rightarrow 1$।
अतः,सही मिलान $A \rightarrow 4, B \rightarrow 3, C \rightarrow 2, D \rightarrow 1$ है।

$(A)$ गैस को $V_1 = 2 \,m^3$ से $V_2 = 1 \,m^3$ तक $P = 100 \,N m^{-2}$ के स्थिर दाब पर संपीड़ित किया जाता है।
गैस पर किया गया कार्य $W = -P \Delta V = -100 \times (1 - 2) = 100 \,J$ है।
नोट: गैस द्वारा किया गया कार्य $P \Delta V = -100 \,J$ है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य $+100 \,J$ है।
निकाय को दी गई ऊष्मा $Q = 150 \,J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W_{on}$।
$\Delta U = 150 \,J + 100 \,J = 250 \,J$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा $250 \,J$ बढ़ जाती है।

(D) दिया गया संबंध $V = k T^{2/3}$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = RT$ ($1 \ mole$ के लिए),इसलिए $P = \frac{RT}{V}$।
किया गया कार्य $W = \int P \ dV = \int \frac{RT}{V} \ dV$ द्वारा दिया जाता है।
$V = k T^{2/3}$ से,तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT$।
$V$ और $dV$ का मान कार्य के समाकलन में रखने पर:
$W = \int \frac{RT}{k T^{2/3}} \cdot (k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT) = \int R \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \ dT = \int \frac{2}{3} R \ dT$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 60 \ K$ दिया गया है,इसलिए किया गया कार्य:
$W = \frac{2}{3} R \int_{T_1}^{T_2} dT = \frac{2}{3} R \Delta T = \frac{2}{3} R (60) = 40 R$।

(D) दिया गया संबंध $V = K T^2$ है।
एक मोल गैस के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करने पर,हमें $P = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है।
$P$ के व्यंजक में $V = K T^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$P = \frac{RT}{K T^2} = \frac{R}{KT}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V = K T^2$ है,$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dV = 2KT dT$ प्राप्त होता है।
कार्य के समाकलन में $P$ और $dV$ का मान रखने पर:
$W = \int_{T_1}^{T_2} \left( \frac{R}{KT} \right) (2KT dT) = \int_{T_1}^{T_2} 2R dT$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 60 \text{ K}$ दिया गया है।
अतः,$W = 2R (T_2 - T_1) = 2R(60) = 120R$।

(C) कार्नोट ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
कार्नोट रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें ऊष्मा इंजन की दक्षता और रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{\eta}{\beta} = \frac{\frac{T_1 - T_2}{T_1}}{\frac{T_2}{T_1 - T_2}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
अनुपात $= \frac{T_1 - T_2}{T_1} \times \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{(T_1 - T_2)^2}{T_1 T_2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हीट इंजन के लिए,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक को $\alpha = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{\alpha} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_L} = \frac{Q_H}{Q_L} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q_H}{Q_L} = 1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$।
इसलिए,$\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{\alpha}{1 + \alpha}$।
इस मान को दक्षता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1 + \alpha - \alpha}{1 + \alpha} = \frac{1}{1 + \alpha}$।

(A) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $I$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ स्थिर है। यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है। अतः,$I-c$ है।
$2$. प्रक्रिया $IV$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि दाब $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है। अतः,$IV-b$ है।
$3$. प्रक्रियाएं $II$ और $III$ ऐसे वक्र हैं जो $P$ और $V$ दोनों में परिवर्तन दर्शाते हैं। चूँकि $II$ और $III$ समतापीय रेखाओं (isotherms) को काटते हैं,वे रुद्धोष्म (adiabatic) और समतापीय (isothermal) प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं। विकल्पों की तुलना करने पर,सही मिलान $I-c, II-a, III-d, IV-b$ है।

(C) प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = P$,$V_1 = V$.
चरण $1$: $V_2 = 27 V$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{P \times V}{27 V} = \frac{P}{27}$.
चरण $2$: $V_3 = V$ तक रुद्धोष्म संपीड़न।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = \frac{5}{3}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^\gamma = \frac{P}{27} \left( \frac{27 V}{V} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times (27)^{5/3} = \frac{P}{27} \times (3^3)^{5/3} = \frac{P}{27} \times 3^5$.
$P_3 = \frac{P}{27} \times 243 = 9 P$.
गैस का अंतिम दाब $9 P$ है।

(C) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{\text{iso}} = 0$ होता है।
दिया गया है कि कुल आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $\Delta U_{\text{total}} = -30 J$ है,और चूंकि पथ में दो समतापीय प्रक्रियाएं और एक रुद्धोष्म प्रक्रिया शामिल है,इसलिए $\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{\text{iso1}} + \Delta U_{\text{adiabatic}} + \Delta U_{\text{iso2}}$ होगा।
मान रखने पर: $-30 J = 0 + \Delta U_{\text{adiabatic}} + 0$,जिससे $\Delta U_{\text{adiabatic}} = -30 J$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार $\Delta Q = \Delta U + W$ होता है। चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $W_{\text{adiabatic}} = -\Delta U_{\text{adiabatic}}$ होगा।
अतः,$W_{\text{adiabatic}} = -(-30 J) = 30 J$।

(B) समतापीय प्रक्रिया का ढाल $(S_I)$,$\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल $(S_A)$,$\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,ढालों के बीच का संबंध $S_A = \gamma \times S_I$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{\gamma}$।
चूंकि विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{3}{2}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{S_I}{S_A} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$।

(A) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए:
$p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma$
ग्राफ से मान प्रतिस्थापित करने पर ($p_A = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$,$p_B = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_B = 1 \text{ m}^3$):
$32 \times 10^5 \times V_A^{5/3} = 1 \times 10^5 \times (1)^{5/3}$
$V_A^{5/3} = \frac{1}{32} = (2^{-5}) \Rightarrow V_A = (2^{-5})^{3/5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \text{ m}^3$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया $C \rightarrow D$ के लिए:
$p_C V_C^\gamma = p_D V_D^\gamma$
ग्राफ से मान प्रतिस्थापित करने पर ($p_C = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,$V_C = 8 \text{ m}^3$,$p_D = 32 \times 10^5 \text{ Pa}$):
$1 \times 10^5 \times (8)^{5/3} = 32 \times 10^5 \times V_D^{5/3}$
$(2^3)^{5/3} = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 2^5 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow 32 = 32 \times V_D^{5/3} \Rightarrow V_D = 1 \text{ m}^3$.
चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ में किया गया कुल कार्य:
$W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$
$W_{AB} = \frac{p_A V_A - p_B V_B}{\gamma - 1} = \frac{(32 \times 10^5 \times 1/8) - (1 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(4 - 1) \times 10^5}{2/3} = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{BC} = p_B(V_C - V_B) = 1 \times 10^5 \times (8 - 1) = 7 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{CD} = \frac{p_C V_C - p_D V_D}{\gamma - 1} = \frac{(1 \times 10^5 \times 8) - (32 \times 10^5 \times 1)}{5/3 - 1} = \frac{(8 - 32) \times 10^5}{2/3} = -36 \times 10^5 \text{ J}$.
$W_{DA} = p_D(V_A - V_D) = 32 \times 10^5 \times (1/8 - 1) = 32 \times 10^5 \times (-7/8) = -28 \times 10^5 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = (4.5 + 7 - 36 - 28) \times 10^5 \text{ J} = -52.5 \times 10^5 \text{ J}$.

(C) एक-परमाणुक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2} n R T$ होती है,इसलिए $U \propto T$ है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{V}$ है।
प्रक्रम $AB$ के लिए,$U$-$\rho$ आलेख में रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए $U = k \rho$ है। $U \propto T$ और $\rho \propto 1/V$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T \propto 1/V$ प्राप्त होता है,या $TV = \text{नियतांक}$।
$PV = nRT$ का उपयोग करने पर,हमें $(PV/nR)V = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है,इसलिए $PV^2 = \text{नियतांक}$। यह $m = 2$ सूचकांक वाली एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रम है।
मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-m} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{3R}{2} - R = \frac{R}{2}$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
प्रक्रम $BC$ में,$\rho$ नियत है,इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रम है। चूंकि $U$ घट रहा है,तापमान कम हो जाता है,इसलिए ऊष्मा का त्याग किया जाता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
समआयतनिक प्रक्रम के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है। विकल्प $C$ में यह $\frac{2R}{3}$ दी गई है,जो गलत है।
प्रक्रम $CA$ में,$U$ नियत है,इसलिए $T$ नियत है (समतापीय)। $W_{CA} = nRT \ln(V_A/V_C) = nRT \ln(\rho_C/\rho_A) = (\frac{2}{3} U_0) \ln(4\rho_0/\rho_0) = \frac{2}{3} U_0 \ln 4$ है। विकल्प $D$ सही है।

(A) प्रारंभिक स्थिति: $V_A = V_B = V$,$p_A = p_B = p$ है।
पात्र $A$ के लिए (समतापीय प्रक्रिया): $p_A V_A = p_A^{\prime} V_A^{\prime}$।
दिया है $V_A^{\prime} = V/2$,अतः $p V = p_A^{\prime} (V/2) \Rightarrow p_A^{\prime} = 2p$।
पात्र $B$ के लिए (रुद्धोष्म प्रक्रिया): $p_B V_B^{\gamma} = p_B^{\prime} (V_B^{\prime})^{\gamma}$।
दिया है $V_B^{\prime} = V/2$,अतः $p V^{\gamma} = p_B^{\prime} (V/2)^{\gamma} \Rightarrow p_B^{\prime} = p \cdot 2^{\gamma}$।
अंतिम दाबों का अनुपात $\frac{p_B^{\prime}}{p_A^{\prime}} = \frac{p \cdot 2^{\gamma}}{2p} = 2^{\gamma-1}$ होगा।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,समीकरण $pV = K$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{p}{V}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,समीकरण $pV^{\gamma} = K'$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{p}{V}$ प्राप्त होता है।
समतापीय वक्र के ढाल और रुद्धोष्म वक्र के ढाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{(\frac{dp}{dV})_{\text{iso}}}{(\frac{dp}{dV})_{\text{adia}}} = \frac{-p/V}{-\gamma p/V} = \frac{1}{\gamma}$।

(C) दिया गया ग्राफ एक $P-T$ आरेख है। एक चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख में घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। $P-T$ आरेख के लिए हम $PV = nRT$ संबंध का उपयोग कर सकते हैं।
आदर्श गैस के लिए, प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \int P dV$ है।
आदर्श गैस समीकरण से, $V = \frac{nRT}{P}$, इसलिए $dV = \frac{nR}{P} dT - \frac{nRT}{P^2} dP$।
दिए गए $P-T$ आरेख में, प्रक्रियाएँ $AB$ और $CD$ समआयतनिक (isochoric) हैं (क्योंकि वे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं पर स्थित हैं, $P \propto T \implies V = \text{स्थिर}$), और प्रक्रियाएँ $BC$ और $DA$ समदाबी (isobaric) हैं (क्योंकि $P$ स्थिर है)।
समआयतनिक प्रक्रियाओं ($AB$ और $CD$) में किया गया कार्य $0$ है।
समदाबी प्रक्रियाओं में किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T$ है।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (समदाबी, $P_B$ पर): $W_{BC} = nR(T_C - T_B) = 3R(2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$।
प्रक्रिया $DA$ के लिए (समदाबी, $P_A$ पर): $W_{DA} = nR(T_A - T_D) = 3R(400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$।
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$।

(C) सही कथन $1$ और $4$ हैं।
$1$. समतापीय प्रक्रिया के लिए, $pV = \text{स्थिरांक}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ प्राप्त होता है, जो ढाल $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ देता है। यह सही है।
$2$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $pV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ प्राप्त होता है, जो ढाल $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ देता है। अतः, कथन $2$ गलत है।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया में, आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए $dV = 0$। ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, और ढाल $\frac{dp}{dV}$ अपरिभाषित (या $\infty$) है। अतः, कथन $3$ गलत है।
$4$. समदाबी प्रक्रिया में, दबाव $p$ स्थिर रहता है, इसलिए $dp = 0$। ग्राफ आयतन अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है, और ढाल $\frac{dp}{dV} = 0$ है। यह सही है।

(A) जब $\Delta Q > 0$ होता है तो निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है। एक चक्रीय प्रक्रिया में,ऊष्मा उन खंडों के दौरान अवशोषित होती है जहाँ आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है और गैस द्वारा कार्य किया जाता है। $ABCDA$ चक्र को देखने पर:
$1$. पथ $A \rightarrow B$ (समआयतनिक): $W = 0$,$\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3p_0 - p_0) = 3 p_0 V_0$. चूँकि $\Delta U > 0$,ऊष्मा अवशोषित होती है: $\Delta Q_{AB} = 3 p_0 V_0$.
$2$. पथ $B \rightarrow C$ (समदाबी): $W = p \Delta V = 3p_0 (2V_0 - V_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} (p_C V_C - p_B V_B) = \frac{3}{2} (6 p_0 V_0 - 3 p_0 V_0) = 4.5 p_0 V_0$. ऊष्मा अवशोषित होती है: $\Delta Q_{BC} = \Delta U + W = 4.5 p_0 V_0 + 3 p_0 V_0 = 7.5 p_0 V_0$.
$3$. पथ $C \rightarrow D$ और $D \rightarrow A$: गैस ऊष्मा उत्सर्जित करती है क्योंकि आंतरिक ऊर्जा घटती है और गैस पर कार्य किया जाता है।
अवशोषित कुल ऊष्मा = $\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3 p_0 V_0 + 7.5 p_0 V_0 = 10.5 p_0 V_0$.

(D) दिया गया समीकरण $V = \frac{aT^3}{P}$ है।
स्थिर दाब $P$ के लिए,प्रारंभिक आयतन $V_1 = \frac{aT^3}{P}$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T_2 = 2T)$,तो नया आयतन $V_2 = \frac{a(2T)^3}{P} = \frac{8aT^3}{P}$ हो जाता है।
स्थिर दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P(V_2 - V_1)$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $W = P \left( \frac{8aT^3}{P} - \frac{aT^3}{P} \right) = P \left( \frac{7aT^3}{P} \right) = 7aT^3$.

(A) विभिन्न ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$1$. समतापीय प्रक्रिया: $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \mu RT \ln(\frac{V_2}{V_1})$। अतः,$i-c$।
$2$. समदाबी प्रक्रिया: दाब $P$ स्थिर है,इसलिए $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV = P(V_2 - V_1)$। अतः,$ii-d$।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया: आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $dV = 0$,जिसका अर्थ है $W = 0$। अतः,$iii-a$।
$4$. रुद्धोष्म प्रक्रिया: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{1}{\gamma - 1}[P_2 V_2 - P_1 V_1]$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)। अतः,$iv-b$।
इसलिए,सही मिलान $i-c, ii-d, iii-a, iv-b$ है।

(A) प्रारंभिक अवस्था: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
चरण $1$ (समदाबी विस्तार): आयतन दोगुना हो जाता है,इसलिए $V_2 = 2V$. चूंकि $P$ स्थिर है,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 300 \times 2 = 600 \ K$.
चरण $2$ (रुद्धोष्म प्रक्रिया): गैस का विस्तार/संपीड़न तब तक होता है जब तक $T_3 = T_1 = 300 \ K$ न हो जाए।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_2 - T_3)}{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है $\gamma = \frac{5}{3}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{2/3} = \frac{2 \times 8.3 \times 300 \times 3}{2} = 8.3 \times 900 = 7470 \ J$.

(D) दिया गया $p-V$ आरेख एक दक्षिणावर्त चक्रीय प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ को दर्शाता है।
$1$. $A \rightarrow B$: समदाबी प्रसार (दाब $p$ स्थिर है,आयतन $V$ बढ़ता है,इसलिए तापमान $T$ बढ़ता है)।
$2$. $B \rightarrow C$: समतापीय संपीड़न ($p \propto 1/V$,इसलिए $T$ स्थिर है,आयतन $V$ घटता है)।
$3$. $C \rightarrow D$: समआयतनिक संपीड़न (आयतन $V$ स्थिर है,दाब $p$ घटता है,इसलिए तापमान $T$ घटता है)।
$4$. $D \rightarrow A$: समतापीय प्रसार ($p \propto 1/V$,इसलिए $T$ स्थिर है,आयतन $V$ बढ़ता है)।
इन प्रक्रियाओं की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दिया गया $p-T$ आरेख इस चक्र को सही ढंग से दर्शाता है: $A \rightarrow B$ (समदाबी,$T$ बढ़ता है),$B \rightarrow C$ (समतापीय,$p$ घटता है),$C \rightarrow D$ (समआयतनिक,$T$ घटता है),$D \rightarrow A$ (समतापीय,$p$ बढ़ता है)। अतः,सही विकल्प $D$ है।

$(B)$. ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम संपर्क में रहने वाली प्रणालियों के बीच तापीय साम्यावस्था को परिभाषित करता है $(A-III)$.
$B$. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है $(B-IV)$.
$C$. गैस के मुक्त प्रसार में, बाहरी दबाव के विरुद्ध गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है, इसलिए किया गया कार्य शून्य होता है $(C-II)$.
$D$. ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम ऊष्मा के प्रवाह की दिशा के लिए मानदंड प्रदान करता है $(D-I)$.
अतः, सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-I$ है।

(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$A$. भाप का इंजन $\text{ऊष्मागतिकी}$ $\text{के}$ $\text{नियमों}$ $(II)$ पर कार्य करता है।
$B$. इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी $\text{इलेक्ट्रॉनों}$ $\text{की}$ $\text{तरंग}$ $\text{प्रकृति}$ $(III)$ का उपयोग करता है।
$C$. गैर-परावर्तक कोटिंग्स $\text{प्रकाश}$ $\text{के}$ $\text{व्यतिकरण}$ $(IV)$ पर आधारित हैं।
$D$. टोकामक $\text{प्लाज्मा}$ $\text{के}$ $\text{चुंबकीय}$ $\text{परिरोध}$ $(I)$ का उपयोग करता है।
अतः, सही क्रम $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(B) दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होती है,क्योंकि प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है और सिलेंडर इंसुलेटिंग है।
$Q = U_f - U_i$.
प्रारंभ में,सिलेंडर में $4 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक गैस $(f = 5)$ है।
$U_i = n \left( \frac{f}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 10 RT$.
विघटन के बाद,$2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक गैस $4 \text{ मोल}$ एक-परमाणुक गैस $(f = 3)$ में टूट जाती है। शेष $2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक ही रहते हैं।
अंतिम स्थिति: $4 \text{ मोल}$ एक-परमाणुक $(f = 3)$ और $2 \text{ मोल}$ द्वि-परमाणुक $(f = 5)$।
$U_f = n_{mono} \left( \frac{3}{2} RT \right) + n_{dia} \left( \frac{5}{2} RT \right) = 4 \left( \frac{3}{2} RT \right) + 2 \left( \frac{5}{2} RT \right) = 6 RT + 5 RT = 11 RT$.
अतः,$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(D) एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
स्थिर दाब पर,अवशोषित ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT$ है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ होता है।
अतः,$dW : dU : dQ$ का अनुपात $nR dT : \frac{5}{2} nR dT : \frac{7}{2} nR dT$ है।
$nR dT$ से विभाजित करने पर,हमें $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 5 : 7$ प्राप्त होता है।

(D) नियत दाब पर,$W = P \Delta V = nR \Delta T$,जिसका अर्थ है $W \propto \Delta T$.
दिया है $W_1 = W$ और $W_2 = 2W$,इसलिए $\frac{(\Delta T)_2}{(\Delta T)_1} = \frac{W_2}{W_1} = 2$,अतः $(\Delta T)_2 = 2(\Delta T)_1$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। दी गई ऊष्मा $Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = \frac{f_1}{2} nR(\Delta T)_1 + nR(\Delta T)_1 = (\frac{3}{2} + 1) nR(\Delta T)_1 = \frac{5}{2} nR(\Delta T)_1$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। दी गई ऊष्मा $Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = \frac{f_2}{2} nR(\Delta T)_2 + 2W = \frac{5}{2} nR(2(\Delta T)_1) + 2nR(\Delta T)_1 = (5 + 2) nR(\Delta T)_1 = 7nR(\Delta T)_1$.
अतः,अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{5}{2} nR(\Delta T)_1}{7nR(\Delta T)_1} = \frac{5}{14}$ है।
इस प्रकार,$Q_1 : Q_2 = 5 : 14$।

(B) दिया गया है: $n = 2 \text{ मोल}$,$\gamma = 4/3$,$T_1 = 327^{\circ} C = 600 \text{ K}$.
चरण $1$: रुद्धोष्म प्रसार।
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
यहाँ $V_2 = 8 V_1$ दिया गया है,इसलिए $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 600 \times (1/8)^{(4/3 - 1)} = 600 \times (1/8)^{1/3} = 600 \times (1/2) = 300 \text{ K}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य: $W_1 = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{2R(600 - 300)}{4/3 - 1} = \frac{2R(300)}{1/3} = 1800 R$.
चरण $2$: समआयतनिक प्रक्रिया।
समआयतनिक प्रक्रिया में आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $W_2 = 0$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 1800 R + 0 = 1800 R$.

(D) यह प्रक्रिया तीन चरणों में पूरी होती है:
चरण $I$: $V_0$ से $3V_0$ तक विस्तार जहाँ $p = p_0(V/V_0)$ है।
किया गया कार्य $W_I = \int_{V_0}^{3V_0} p dV = \int_{V_0}^{3V_0} \frac{p_0}{V_0} V dV = \frac{p_0}{V_0} \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_0}^{3V_0} = \frac{p_0}{2V_0} (9V_0^2 - V_0^2) = 4p_0 V_0$.
चरण $II$: समआयतनिक प्रक्रिया (आयतन $3V_0$ पर स्थिर है),इसलिए किया गया कार्य $W_{II} = 0$ है।
चरण $III$: स्थिर दाब $p_0$ पर $3V_0$ से $V_0$ तक समदाबीय संपीड़न।
किया गया कार्य $W_{III} = \int_{3V_0}^{V_0} p_0 dV = p_0 (V_0 - 3V_0) = -2p_0 V_0$.
कुल कार्य $W_{\text{total}} = W_I + W_{II} + W_{III} = 4p_0 V_0 + 0 - 2p_0 V_0 = 2p_0 V_0$.

(C) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
हवा के मोलों की संख्या $(n) = 2000 = 2 \times 10^3 \text{ mol}$.
प्रारंभिक तापमान $(T_i) = 34^{\circ} C$,अंतिम तापमान $(T_f) = 24^{\circ} C$.
तापमान में परिवर्तन $(\Delta T) = 24 - 34 = -10 \text{ K}$.
हवा के लिए,$\gamma = 1.4$. स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{R}{1.4 - 1} = \frac{R}{0.4}$ होती है।
मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{0.4} \right) \Delta T$
$\Delta U = (2 \times 10^3) \times \left( \frac{8.314}{0.4} \right) \times (-10)$
$\Delta U = - \frac{2 \times 8.314 \times 10^4}{0.4}$
$\Delta U = - \frac{16.628 \times 10^4}{0.4} = -41.57 \times 10^4 \text{ J} \approx -4.2 \times 10^5 \text{ J}$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, पूरे चक्र में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है, अर्थात $\sum \Delta U = 0$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए, $\Delta U = Q - W$.
अतः, $\sum (Q_i - W_i) = 0$.
$(Q_1 - W_1) + (Q_2 - W_2) + (Q_3 - W_3) + (Q_4 - W_4) = 0$
$(6000 - 2500) + (-5500 + 1000) + (-3000 + 1200) + (3500 - x) = 0$
$3500 - 4500 - 1800 + 3500 - x = 0$
$700 - x = 0 \implies x = 700 \ J$.
कुल कार्य $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
दक्षता $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100 = \frac{1000}{9500} \times 100 = 10.5 \%$.

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_p = \frac{5}{2}R$ होती है।
सिलिंडर $B$ में, पिस्टन स्थिर है, इसलिए प्रक्रिया सम-आयतनिक (isochoric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B$ है।
सिलिंडर $A$ में, पिस्टन स्वतंत्र है, इसलिए प्रक्रिया सम-दाबी (isobaric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में दी गई ऊष्मा समान है, इसलिए $n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$।
$\Delta T_A = 42 \,K$ दिया गया है, मान रखने पर: $\frac{3}{2} \Delta T_B = \frac{5}{2} \times 42$।
$3 \Delta T_B = 5 \times 42 = 210$।
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 \,K$।

(A) चक्र $ABCA$ में किया गया कुल कार्य $W_{ABCA} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है क्योंकि $T_A = T_B = T_1$ है। किया गया कार्य $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_B/V_A) = 3RT_1 \ln(3V_1/V_1) = 3RT_1 \ln(3)$ है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समदाबी प्रक्रिया है क्योंकि $P_B = P_C = P_2$ है। किया गया कार्य $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = P_2(V_1 - 3V_1) = -2P_2V_1$ है। बिंदु $B$ पर आदर्श गैस नियम के अनुसार,$P_2(3V_1) = nRT_1 = 3RT_1$,इसलिए $P_2V_1 = RT_1$ है। अतः,$W_{BC} = -2RT_1$ है।
$3$. प्रक्रिया $CA$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है क्योंकि $V_C = V_A = V_1$ है। किया गया कार्य $W_{CA} = 0$ है।
$4$. कुल कार्य $W_{ABCA} = 3RT_1 \ln(3) - 2RT_1 + 0 = RT_1[3 \ln(3) - 2]$ है।

(D) स्थिर दाब पर एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए:
$1$. किया गया कार्य $dW = P dV = nR dT$ है।
$2$. आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है,इसलिए $dU = n \left( \frac{5}{2} R \right) dT$ होगा।
$3$. अवशोषित ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{7}{2} R$ होती है,इसलिए $dQ = n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$ होगा।
$4$. अनुपात $dW : dU : dQ$ इस प्रकार है:
$dW : dU : dQ = nR dT : n \left( \frac{5}{2} R \right) dT : n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$
$nR dT$ से भाग देने पर:
$1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$
सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2 : 5 : 7$.