Adiabatic Process Questions in Hindi

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं हो रहा है,इसलिए $\Delta Q = 0$ है।
अतः,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta W = -\Delta U$।
यदि आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ बढ़ती है,तो निकाय पर कार्य किया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U \propto T)$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है,इसलिए निकाय का तापमान भी बढ़ेगा।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$
जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T_1$ और $T_2$ प्रारंभिक और अंतिम तापमान हैं,और $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है।
चूंकि किसी दी गई गैस के लिए $\mu$,$R$,और $\gamma$ नियतांक हैं,इसलिए किया गया कार्य सीधे तापमान में परिवर्तन $(T_1 - T_2)$ पर निर्भर करता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(FLOT)$ के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U = -\Delta W$।
प्रसार प्रक्रिया में,निकाय परिवेश पर कार्य करता है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ धनात्मक होता है।
अतः,$\Delta U = -(\text{धनात्मक मान})$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U$ ऋणात्मक होगा।

(D) टायर का अचानक फटना एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है क्योंकि यह विस्तार बहुत तेजी से होता है,जिससे परिवेश के साथ ऊष्मा के आदान-प्रदान का समय नहीं मिलता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $P$ के बीच संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
इसे $T_1^\gamma P_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma P_2^{1-\gamma}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$T_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 4P_{atm}$,$P_2 = P_{atm}$,और $\gamma = 1.4$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{4P_{atm}}{P_{atm}} \right)^{\frac{1-1.4}{1.4}}$।
$\frac{T_2}{300} = (4)^{\frac{-0.4}{1.4}}$।
अतः,$T_2 = 300 \ (4)^{-0.4/1.4}$।

(C) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P V^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$,जिसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$।
दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 1 \text{ atm}$ ($NTP$ पर),अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{4}$,और $\gamma = \frac{3}{2}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{P_2}{1} = \left( \frac{V_1}{V_1/4} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$।
मान की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,अंतिम दाब $P_2 = 8 \text{ atm}$ होगा।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1$ और प्रारंभिक आयतन $V_1$ है।
मान लीजिए अंतिम दबाव $P_2$ और अंतिम आयतन $V_2 = V_1/8$ है।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$।
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^\gamma$।
मान रखने पर: $P_2 = P_1 (V_1 / (V_1/8))^{5/3}$।
$P_2 = P_1 (8)^{5/3}$।
$P_2 = P_1 (2^3)^{5/3} = P_1 (2^5) = 32 P_1$।
अतः,दबाव अपने प्रारंभिक दबाव का $32$ गुना हो जाएगा।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और घनत्व $d$ के बीच का संबंध $P \propto d^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,दाब का अनुपात $\frac{P'}{P} = \left( \frac{d'}{d} \right)^\gamma$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{d'}{d} = 32$ और $\gamma = 7/5$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P'}{P} = (32)^{7/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $\frac{P'}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^{(5 \times 7/5)} = 2^7$ प्राप्त होता है।
$2^7$ की गणना करने पर,हमें $128$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{P'}{P}$ का मान $128$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
सूत्र $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = 300 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
$T_2 = 300 \times \left( \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} \right)^2 = 300 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2$.
$T_2 = 300 \times \frac{9}{4} = 75 \times 9 = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \ K$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ से,हम $V = \frac{RT}{P}$ लिख सकते हैं।
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^\gamma = \text{स्थिरांक}$
$P \cdot \frac{T^\gamma}{P^\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{स्थिरांक}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम द्वारा दिया जाता है: $Q = \Delta U + W$। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,$Q = 0$,इसलिए $W = -\Delta U$ होगा।
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T$ होता है। $1 \text{ mole}$ गैस के लिए,$n = 1$ और $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ है।
अतः,$W = -[C_v(T_1 - T)] = -[\frac{R}{\gamma - 1}(T_1 - T)]$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $W = \frac{R}{\gamma - 1}(T - T_1)$ प्राप्त होता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,जहाँ $dU$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $dW$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि आंतरिक ऊर्जा में $2 \ J$ की कमी होती है,इसलिए $dU = -2 \ J$ है।
इन मानों को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = -2 \ J + dW$ प्राप्त होता है।
इससे $dW = 2 \ J$ प्राप्त होता है,जो गैस द्वारा किया गया कार्य है।
प्रश्न में गैस पर किया गया कार्य पूछा गया है।
गैस पर किया गया कार्य $= -dW = -2 \ J$।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए, समीकरण $PV = \text{constant}$ है। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P + V(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए समतापीय वक्र का ढाल $(dP/dV)_{\text{iso}} = -P/V$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, समीकरण $PV^{\gamma} = \text{constant}$ है। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $(dP/dV)_{\text{adia}} = -\gamma P/V$ मिलता है।
ढालों का अनुपात $\frac{(dP/dV)_{\text{adia}}}{(dP/dV)_{\text{iso}}} = \frac{-\gamma P/V}{-P/V} = \gamma$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta W = -\Delta U$।
जब गैस का प्रसार होता है,तो वह परिवेश पर कार्य करती है,इसलिए $\Delta W > 0$ होता है।
परिणामस्वरूप,$\Delta U$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि गैस की आंतरिक ऊर्जा कार्य करने में उपयोग होने के कारण कम हो जाती है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W$ का सूत्र है: $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
दिया गया है: $n = 1 \, \text{mole}$,$R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$,$\gamma = 1.4$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,और $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$।
मान रखने पर: $W = \frac{1 \times 8.31 \times (300 - 400)}{1.4 - 1}$।
$W = \frac{8.31 \times (-100)}{0.4} = \frac{-831}{0.4} = -2077.5 \, J$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि संपीड़न के दौरान गैस पर कार्य किया गया है। किए गए कार्य का परिमाण $2077.5 \, J$ है।

(C) जब संपीड़ित हवा अचानक एक पंचर से बाहर निकलती है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है क्योंकि विस्तार बहुत तेजी से होता है,जिससे परिवेश के साथ ऊष्मा के आदान-प्रदान का समय नहीं मिलता $(dQ = 0)$। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dU = dQ - dW$। चूंकि गैस बाहरी वातावरण के विरुद्ध विस्तार करके कार्य करती है $(dW > 0)$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $(dU)$ कम हो जाती है। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा सीधे उसके तापमान के समानुपाती होती है,इसलिए ट्यूब के अंदर की हवा का तापमान कम हो जाता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$।
$V^{\gamma-1}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इस व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = -(-\gamma P) = \gamma P$ प्राप्त होता है।
अतः,रुद्धोष्म आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $\gamma P$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) होता है।
परिभाषा के अनुसार,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि $dQ = 0$।
इसलिए,प्रक्रिया के दौरान निकाय की ऊष्मा सामग्री स्थिर रहती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = P_0$,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{8}$,और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{4}{3}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
$P_2 = P_0 \left( \frac{V}{V/8} \right)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (8)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (2^3)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (2)^4$
$P_2 = 16P_0$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P V^\gamma = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करते हुए,हम दाब को $P = \frac{RT}{V}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left( \frac{RT}{V} \right) V^\gamma = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R$ एक गैस नियतांक है,इसलिए हमें $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
इसलिए,हम लिख सकते हैं: $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
अंतिम तापमान $T_2$ के लिए सूत्र: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$.
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2 V_1$,और $\gamma = 1.40$.
मान रखने पर: $T_2 = 300 \left( \frac{V_1}{2 V_1} \right)^{1.40 - 1}$.
$T_2 = 300 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.4}$.
$T_2 = 300 \times (0.5)^{0.4} \approx 300 \times 0.7578 = 227.36 \ K$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$ होगा।
दिया गया है कि आंतरिक ऊर्जा में $100 \, J$ की कमी हुई है,इसलिए $\Delta U = -100 \, J$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\Delta W = -(-100 \, J) = +100 \, J$।
अतः,गैस द्वारा किया गया कार्य $100 \, J$ है।

(A) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = nC_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
$1$ मोल गैस के लिए,$n = 1$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
इसलिए,$\Delta U = 1 \times \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \times (T_2 - T_1)$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{R}{\gamma - 1}(T_2 - T_1)$ है।

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = 8 \ L$,$V_2 = 1 \ L$,और $\gamma = 5/3$.
मान रखने पर: $300 \times (8)^{(5/3 - 1)} = T_2 \times (1)^{(5/3 - 1)}$.
$300 \times (8)^{2/3} = T_2$.
$300 \times (2^3)^{2/3} = T_2$.
$300 \times 2^2 = T_2$.
$300 \times 4 = 1200 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^oC) = 1200 - 273 = 927^oC$.

(D) टायर फटने की प्रक्रिया अत्यंत तीव्र होती है। बहुत कम समय अंतराल के कारण,टायर के अंदर की गैस और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है $(dQ = 0)$। ऊष्मागतिकी (थर्मोडायनामिक्स) के प्रथम नियम के अनुसार,वह प्रक्रिया जिसमें परिवेश के साथ कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है,उसे रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया कहा जाता है। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$C_V$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T = T_f - T_i$ है।
यहाँ $n = 1$ मोल हीलियम दिया गया है।
अतः,$\Delta U = 1 \times C_V \times (T_f - T_i) = -C_V(T_i - T_f)$।
आंतरिक ऊर्जा में कमी,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का परिमाण (magnitude) है,जो $|\Delta U| = C_V(T_i - T_f)$ के बराबर है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिया गया है $T_1 = 273 \ K$,$V_2 = V_1/2$,और $\gamma = 1.41$।
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (2)^{0.41} \approx 273 \times 1.328 = 362.54 \ K$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है।
$W = \frac{8.314 \times (273 - 362.54)}{1.41 - 1} = \frac{8.314 \times (-89.54)}{0.41} \approx -1815.6 \ J$।
गैस पर किया गया कार्य $|W| \approx 1815 \ J$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,जिसका अर्थ है $dQ = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$। $dQ = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 = dU + dW$ या $dU = -dW$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dQ = 0$ है,इसलिए कुल ऊष्मा $Q$ स्थिर रहती है।
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $dS = dQ/T = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि एन्ट्रॉपी स्थिर रहती है। इसलिए,यह कथन कि 'एन्ट्रॉपी स्थिर नहीं है' गलत है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 18 + 273 = 291 \ K$,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = V/8$,और द्वि-परमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.4$ है।
मान रखने पर: $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma - 1}$.
$T_2 = 291 \times (V / (V/8))^{1.4 - 1} = 291 \times (8)^{0.4}$.
चूंकि $8^{0.4} = (2^3)^{0.4} = 2^{1.2} \approx 2.297$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668.4 \ K$.
अतः,संपीडन के बाद तापमान $668 \ K$ होगा।

(A) विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ का सूत्र $c = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $c = \frac{0}{m \Delta T} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रिया के दौरान गैस की विशिष्ट ऊष्मा शून्य होती है।

(D) रुद्धोष्म (Adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) होता है।
इसलिए,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि $dQ = 0$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर: $W = \frac{\mu R T_1}{\gamma - 1} \left[ 1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \right]$.
दिया गया है: $\mu = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,$\gamma = 5/3$,$R = 8.31 \text{ J/mol K}$.
$W = \frac{2 \times 8.31 \times 300}{(5/3 - 1)} \left[ 1 - \left(\frac{V}{2V}\right)^{5/3 - 1} \right]$.
$W = \frac{4986}{2/3} \left[ 1 - (1/2)^{2/3} \right]$.
$W = 7479 \times [1 - 0.62996] = 7479 \times 0.37004 \approx 2767.23 \text{ J}$.

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $P$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसे $T \propto P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ C = 300K$,अंतिम दबाव $P_2 = \frac{1}{8}P_1$,और $\gamma = 5/3$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{5/3 - 1}{5/3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{2/3}{5/3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{2/5}$.
$T_2 = 300 \times (8^{-1})^{2/5} = 300 \times (2^3)^{-2/5} = 300 \times 2^{-6/5} \approx 300 \times 0.435 = 131K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 131 - 273 = -142^\circ C$.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ और किया गया कार्य $\Delta W$,विनिमय की गई ऊष्मा $\Delta Q$ से इस प्रकार संबंधित हैं: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,जिसका अर्थ है $\Delta Q = 0$.
प्रथम नियम के समीकरण में $\Delta Q = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $0 = \Delta U + \Delta W$,या $\Delta U + \Delta W = 0$.
अतः,दिया गया समीकरण रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए मान्य है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और दाब के बीच का संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ है।
दिया गया है: $P_1 = 1 \text{ atm}$,$P_2 = 8 \text{ atm}$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,और $\gamma = 3/2$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = (8)^{\frac{3/2 - 1}{3/2}} = (8)^{\frac{1/2}{3/2}} = (8)^{1/3}$.
चूंकि $8^{1/3} = 2$,इसलिए $\frac{T_2}{300} = 2$.
अतः,$T_2 = 600 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(C) जब ट्यूब अचानक फट जाती है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और दबाव के बीच का संबंध है: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$।
यहाँ,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 K$ है।
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 8 \text{ atm}$ है।
ट्यूब फटने के बाद,अंतिम दबाव $P_2 = 1 \text{ atm}$ (वायुमंडलीय दबाव) होगा।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1.5 - 1}{1.5}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{0.5}{1.5}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$T_2 = 300 \times \frac{1}{2} = 150 K$।

(C) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, दाब और आयतन के बीच संबंध $PV^\gamma = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
दिया गया है: $P_1 = P$, $V_2 = \frac{V_1}{8}$, और $\gamma = 2.5 = \frac{5}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P \times V_1^{5/2} = P' \times \left( \frac{V_1}{8} \right)^{5/2}$.
$P' = P \times \left( \frac{V_1}{V_1/8} \right)^{5/2}$.
$P' = P \times (8)^{5/2}$.
चूंकि $8 = 2^3$, इसलिए $P' = P \times (2^3)^{5/2} = P \times 2^{15/2}$.

(A) एक आदर्श गैस के लिए रुद्धोष्म प्रक्रिया में,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि दो अलग-अलग अवस्थाओं $(P_1, V_1, T_1)$ और $(P_2, V_2, T_2)$ के लिए,संबंध इस प्रकार होगा:
$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,जहाँ $dU$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $dW$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
चूँकि $dQ = 0$ है,इसलिए $dU = -dW$ होता है।
प्रसार के दौरान,गैस परिवेश पर कार्य करती है,इसलिए $dW > 0$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $dU < 0$,जिसका अर्थ है कि गैस की आंतरिक ऊर्जा कम हो जाती है।
चूँकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे आनुपातिक $(U \propto T)$ होती है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी आने से तापमान में गिरावट आती है।
अतः,रुद्धोष्म प्रसार में,गैस का तापमान गिर जाता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$n$ मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
दिया गया है:
$n = 1 \text{ मोल}$
$T_i = T \ K$
$W = 6R \ J$
$\gamma = 5/3$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3 - 1)}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने और $T_f$ के लिए हल करने पर:
$6 = 1.5(T - T_f)$
$T - T_f = 6 / 1.5 = 4$
$T_f = T - 4$
अतः,गैस का अंतिम तापमान $(T - 4) \ K$ होगा।

(A) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = V/4$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \, K$,और $\gamma = 1.5$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
मान रखने पर: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} = T_1 \left( \frac{V}{V/4} \right)^{1.5 - 1} = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2$.
अतः,$T_2 = 2 \times 273 = 546 \, K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 - 273 = 273 \, K$ है।

(B) चूंकि प्रक्रिया अचानक होती है और बर्तन इंसुलेटेड है,इसलिए यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ है।
अतः,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
दिया गया है: $P_1 = 10^5 \ N/m^2$,$\gamma = 1.3$,और $V_2 = \frac{V_1}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
$P_2 = 10^5 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.3}$
$P_2 = 10^5 \times (2)^{1.3} \ N/m^2$.
अतः,अंतिम दबाव $2^{1.3} \times 10^5 \ N/m^2$ है।

(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में $\Delta Q = 0$ होता है,इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ प्राप्त होता है।
संपीड़न (compression) के मामले में,गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W$ ऋणात्मक होता है $(\Delta W < 0)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\Delta U = -(\text{ऋणात्मक मान})$,जिससे $\Delta U > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रुद्धोष्म संपीड़न के दौरान गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ और निकाय द्वारा किए गए कार्य $(\Delta W)$ के योग के बराबर होती है:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
समीकरण में $\Delta Q = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = \Delta U + \Delta W$
अतः,$\Delta U = - \Delta W$।

(B) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है। रुद्धोष्म समीकरण $P V^{\gamma} = \text{constant}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = V/4$ है।
संबंध $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{V}{V/4} \right)^{\gamma} = 4^{\gamma}$.
इसलिए,$P_2 = 4^{\gamma} P$.
चूंकि किसी भी गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ हमेशा $1$ से अधिक होता है (जैसे,द्वि-परमाणुक के लिए $1.4$,एक-परमाणुक के लिए $1.67$),इसलिए $4^{\gamma}$ का मान $4$ से अधिक होगा।
अतः,$P_2 > 4P$,जिसका अर्थ है कि अंतिम दाब $P$ से काफी अधिक होगा।

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 4$ है।
अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ है।
मान रखने पर,$\frac{P_2}{P_1} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $8:1$ है।

(B) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होता है।
दिया गया है: $n = 1 \, mol$,$\gamma = 1.4$,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 35^{\circ}C = 35 + 273 = 308 \, K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 308 - 300 = 8 \, K$.
मान रखने पर:
$\Delta U = 1 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times 8$
$\Delta U = \frac{8.3}{0.4} \times 8$
$\Delta U = 8.3 \times 20 = 166 \, J$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $166 \, J$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ होता है।
इसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$।
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{4}$।
रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = 1.4$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T_2 = T_1 \times \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/4} \right)^{1.4 - 1}$
$T_2 = 300 \times (4)^{0.4} \text{ K}$।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,इसलिए ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
अतः,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta W = -\Delta U$।
दिया गया है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -50\, J$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta W = -(-50\, J) = +50\, J$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य $50\, J$ है।

(B) गैस का रुद्धोष्म प्रत्यास्थता गुणांक $(E_{\phi})$ और समतापीय प्रत्यास्थता गुणांक $(E_{\theta})$ रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ द्वारा इस प्रकार संबंधित हैं:
$E_{\phi} = \gamma E_{\theta}$
अतः,समतापीय प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र है:
$E_{\theta} = \frac{E_{\phi}}{\gamma}$
दिया गया है:
$E_{\phi} = 2.1 \times 10^5 \ N/m^2$
$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$
मान रखने पर:
$E_{\theta} = \frac{2.1 \times 10^5}{1.4}$
$E_{\theta} = 1.5 \times 10^5 \ N/m^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।