Heat Engine and Carnot Cycle Questions in Hindi

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है,$T_2$ सिंक का तापमान है,$W$ कार्य आउटपुट है और $Q$ दी गई ऊष्मा है।
दिया गया है: $T_1 = 600\,K$,$T_2 = 300\,K$,और $W = 800\,J$.
$Q$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Q = \left( \frac{T_1}{T_1 - T_2} \right) W$.
मान रखने पर: $Q = \left( \frac{600}{600 - 300} \right) \times 800$.
$Q = \left( \frac{600}{300} \right) \times 800 = 2 \times 800 = 1600\,J$.
अतः,प्रति चक्र दी गई ऊष्मा ऊर्जा $1600\,J$ है।

(D) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ को $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_1$ और $T_2$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान हैं।
दिया गया है $T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \, K$ और $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \, K$.
$\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$ या $\frac{1}{5}$.
चूँकि दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1}$ है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ उच्च तापमान पर अवशोषित ऊष्मा है:
$W = \eta \times Q_1 = \frac{1}{5} \times (6 \times 10^4 \, J) = 1.2 \times 10^4 \, J$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $\eta = 30\% = 0.3$,$T_2 = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350\,K$.
मान रखने पर: $0.3 = 1 - \frac{350}{T_1}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{350}{T_1} = 1 - 0.3 = 0.7$.
$T_1$ के लिए हल करने पर: $T_1 = \frac{350}{0.7} = 500\,K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दक्षता $100\%$ होने के लिए,हम $\eta = 1$ रखते हैं।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{T_2}{T_1} = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $T_2 = 0\, K$ (परम शून्य तापमान)।
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता केवल तभी $100\%$ हो सकती है यदि सिंक का तापमान परम शून्य हो।

(C) कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
यहाँ,स्रोत का तापमान $T_1 = 411 + 273 = 684 \, K$ और सिंक का तापमान $T_2 = 69 + 273 = 342 \, K$ है।
दक्षता के सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\eta = 1 - \frac{342}{684} = 1 - 0.5 = 0.5$।
प्रति चक्र किया गया कार्य $PV$ आरेख द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है,जिसे $W = \eta \times Q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि अवशोषित ऊष्मा $Q = 1000 \, J$ है,इसलिए $W = 0.5 \times 1000 = 500 \, J$ प्राप्त होता है।

(B) एक कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta$ सिंक $(T_2)$ और स्रोत $(T_1)$ के तापमान के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
दिया गया है,$T_1 = T$ और $T_2 = T/3$.
इसलिए,$\eta = 1 - \frac{T/3}{T} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
साथ ही,दक्षता को $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $Q_1$ अवशोषित ऊष्मा है और $Q_2$ अस्वीकृत ऊष्मा है।
दक्षता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} = 1 - \frac{Q_2}{Q}$
$\frac{Q_2}{Q} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$Q_2 = \frac{Q}{3}$.
अतः,अस्वीकृत ऊष्मा की मात्रा $Q/3$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
दिया गया है: सिंक का तापमान $T_2 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
दक्षता $\eta = 25\% = 0.25$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 400 - 273 = 127^\circ C$.

(A) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है: $\eta = 70\% = 0.7$ और $T_1 = 1000 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.7 = 1 - \frac{T_2}{1000}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_2}{1000} = 1 - 0.7 = 0.3$.
अतः,$T_2 = 0.3 \times 1000 = 300 \ K$.

(A) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ और $T_2$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान हैं।
सबसे पहले,तापमान को केल्विन में बदलें: $T(K) = T(^oC) + 273$।
प्रथम स्थिति के लिए: $T_1 = 200 + 273 = 473 \ K$ और $T_2 = 0 + 273 = 273 \ K$।
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$।
दूसरी स्थिति के लिए: $T_1 = 0 + 273 = 273 \ K$ और $T_2 = -200 + 273 = 73 \ K$।
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$।
अब,अनुपात की गणना करें: $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200/473}{200/273} = \frac{273}{473} \approx 0.577$।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$.
सबसे पहले, तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_{source} = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$T_{sink} = -123^{\circ}C = -123 + 273 = 150 \ K$.
अब, इन मानों को दक्षता सूत्र में रखें:
$\eta = 1 - \frac{150}{300} = 1 - 0.5 = 0.5$.
इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, $100$ से गुणा करें:
$\eta = 0.5 \times 100 = 50\%$.

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है (केल्विन में)।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$
अब,इन मानों को दक्षता के सूत्र में रखें:
$\eta = 1 - \frac{300}{500}$
$\eta = 1 - 0.6 = 0.4$
अतः,इंजन की दक्षता $0.4$ होगी।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ स्रोत का तापमान है।
प्रथम स्थिति में,तापमान $T_H = 800 \ K$ और $T_L = 500 \ K$ हैं। अतः,$\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$।
द्वितीय स्थिति में,तापमान $T_H = x \ K$ और $T_L = 600 \ K$ हैं। अतः,$\eta_2 = 1 - \frac{600}{x}$।
चूंकि दक्षता समान है,$\eta_1 = \eta_2$,इसलिए $\frac{3}{8} = 1 - \frac{600}{x}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{600}{x} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{600 \times 8}{5} = 120 \times 8 = 960 \ K$ प्राप्त होता है।

(A) हीट इंजन की अधिकतम सैद्धांतिक दक्षता कार्नोट दक्षता सूत्र द्वारा दी जाती है: $\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ और $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\eta_{\max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ या $25\%$.
चूंकि ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम कहता है कि समान दो तापमानों के बीच काम करने वाले किसी भी हीट इंजन की दक्षता कार्नोट दक्षता से अधिक नहीं हो सकती है,इसलिए $26\%$ की दक्षता असंभव है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ स्रोत का तापमान केल्विन में है।
पहली स्थिति के लिए: $T_H = 200 + 273 = 473 \ K$ और $T_L = 0 + 273 = 273 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $T_H = 0 + 273 = 273 \ K$ और $T_L = -200 + 273 = 73 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
दक्षता का अनुपात $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200/473}{200/273} = \frac{273}{473} \approx \frac{1}{1.73}$ है।
अतः,अनुपात $1 : 1.73$ है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रारंभ में,$\eta_1 = 0.5$ और $T_2 = 500 \ K$ है।
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \implies \frac{500}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 1000 \ K$.
अब,स्रोत का तापमान $T_1 = 1000 \ K$ स्थिर रखते हुए दक्षता को बढ़ाकर $\eta_2 = 0.6$ कर दिया जाता है।
$0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000} \implies \frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400 \ K$.
अतः,सिंक का आवश्यक तापमान $400 \ K$ होगा।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
$100\%$ दक्षता प्राप्त करने के लिए,हमें $\eta = 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = 0$।
यह स्थिति केवल तभी पूरी हो सकती है जब $T_2 = 0 \text{ K}$ (परम शून्य तापमान) हो।
ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार,सीमित चरणों में परम शून्य तापमान तक पहुँचना असंभव है।
इसके अलावा,यदि $T_2 = 0 \text{ K}$ होता,तो स्रोत से ली गई सारी ऊष्मा कार्य में परिवर्तित हो जाती,जो ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम (केल्विन-प्लांक कथन) का उल्लंघन है।
इसलिए,हम परम शून्य तापमान तक नहीं पहुँच सकते।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \, \text{K}$,$T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$,और $Q_1 = 3 \times 10^6 \, \text{cal}$.
ऊष्मा को जूल में बदलने पर: $Q_1 = 3 \times 10^6 \times 4.2 \, \text{J} = 12.6 \times 10^6 \, \text{J}$.
दक्षता $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\eta = \frac{W}{Q_1}$,इसलिए किया गया कार्य $W = \eta \times Q_1 = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \, \text{J} = 2 \times 4.2 \times 10^6 \, \text{J} = 8.4 \times 10^6 \, \text{J}$ होगा।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दक्षता $\eta$ को अधिकतम करने के लिए,अनुपात $\frac{T_2}{T_1}$ न्यूनतम होना चाहिए।
आइए प्रत्येक विकल्प के लिए अनुपात की गणना करें:
$(a)$ $\frac{60}{80} = 0.75$
$(b)$ $\frac{80}{100} = 0.80$
$(c)$ $\frac{40}{60} \approx 0.667$
$(d)$ $\frac{20}{40} = 0.50$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ के लिए अनुपात न्यूनतम है। अतः,$40 K$ और $20 K$ के संयोजन के लिए दक्षता सबसे अधिक है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ को इंजन द्वारा किए गए कार्य और स्रोत से अवशोषित ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक उत्क्रमणीय (reversible) कार्नोट चक्र के लिए,दक्षता केवल स्रोत और सिंक के तापमान पर निर्भर करती है।
कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र इस प्रकार है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
जहाँ:
$T_1$ स्रोत का परम तापमान है (केल्विन में)।
$T_2$ सिंक का परम तापमान है (केल्विन में)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक आदर्श ऊष्मा इंजन (कार्नोट इंजन) की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$।
प्रथम स्थिति में,दक्षता $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ है।
द्वितीय स्थिति में,नया स्रोत तापमान $T_1' = 2T_1$ और नया सिंक तापमान $T_2' = 2T_2$ है।
नई दक्षता $\eta'$ इस प्रकार है: $\eta' = \frac{T_1' - T_2'}{T_1'} = \frac{2T_1 - 2T_2}{2T_1}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\eta' = \frac{2(T_1 - T_2)}{2T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \eta$।
अतः,दक्षता अपरिवर्तित रहती है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \text{ K}$ और $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ है।
उच्च तापमान पर अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = 6 \times 10^4 \text{ cal}$ है।
सूत्र $W = Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right)$ का उपयोग करने पर:
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{500 - 400}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times \left( \frac{100}{500} \right)$
$W = 6 \times 10^4 \times 0.2 = 1.2 \times 10^4 \text{ cal}$।
अतः,कार्य में परिवर्तित ऊष्मा की मात्रा $1.2 \times 10^4 \text{ cal}$ है।

(C) कार्नोट इंजन $A$ के लिए,दक्षता $\eta_A = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{W_A}{Q_1}$ है।
कार्नोट इंजन $B$ के लिए,दक्षता $\eta_B = \frac{T_2 - T_3}{T_2} = \frac{W_B}{Q_2}$ है।
चूंकि इंजन $A$ द्वारा अस्वीकार की गई ऊष्मा,इंजन $B$ द्वारा प्राप्त की गई ऊष्मा है,इसलिए $Q_2 = Q_1(1 - \eta_A) = Q_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ है।
यह दिया गया है कि कार्य आउटपुट समान हैं,$W_A = W_B$,जिसका अर्थ है $Q_1 \eta_A = Q_2 \eta_B$.
मान रखने पर: $Q_1 \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1} \right) = Q_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right) \left( \frac{T_2 - T_3}{T_2} \right)$.
इसे सरल करने पर,हमें $T_1 - T_2 = T_2 - T_3$ प्राप्त होता है।
अतः,$2T_2 = T_1 + T_3$,जिससे $T_2 = \frac{T_1 + T_3}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $T_2 = \frac{800 + 300}{2} = \frac{1100}{2} = 550 \ K$.

(D) एक उत्क्रमणीय इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
प्रारंभ में,$\eta = \frac{1}{6}$,इसलिए $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$ ...$(i)$
जब सिंक का तापमान $62^\circ C$ (जो $62 \ K$ के बराबर है) कम किया जाता है,तो नई दक्षता $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ हो जाती है।
नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 62$ है।
अतः,$\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
समीकरण में $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ रखने पर: $1 - \frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$1 - (\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1}) = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{5}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{6} + \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K = (372 - 273)^\circ C = 99^\circ C$.
अब,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K = (310 - 273)^\circ C = 37^\circ C$.

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ ठंडे जलाशय का तापमान है और $T_1$ गर्म जलाशय का तापमान है।
दिया गया है $T_2 = 7 + 273 = 280 \, K$ और प्रारंभिक दक्षता $\eta_1 = 0.5$ है।
$0.5 = 1 - \frac{280}{T_1} \implies \frac{280}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 560 \, K$।
नई दक्षता $\eta_2 = 0.7$ के लिए,समान ठंडे जलाशय तापमान $T_2 = 280 \, K$ के साथ:
$0.7 = 1 - \frac{280}{T_1'} \implies \frac{280}{T_1'} = 0.3 \implies T_1' = \frac{280}{0.3} = 933.33 \, K$।
उच्च तापमान जलाशय के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 933.33 - 560 = 373.33 \, K$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,तापमान में वृद्धि लगभग $380 \, K$ है।

(D) $1$. $P-V$ आरेख में एक बंद लूप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल एक पूर्ण चक्र के दौरान गैस द्वारा किए गए कुल कार्य को दर्शाता है। चूंकि चक्र दक्षिणावर्त है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है (गैस द्वारा किया गया कार्य)। अतः,कथन $I$ सही है।
$2$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W + \Delta U$। एक पूर्ण चक्र के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है क्योंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है और निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है। अतः,कथन $III$ सही है।
$3$. चूंकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta W$ हो जाता है। इसका अर्थ है कि गैस द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा,गैस द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर है,जो चक्र $ABCD$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर है। अतः,कथन $II$ सही है।
अतः,कथन $I, II$ और $III$ तीनों सही हैं।

(A) $T-S$ आरेख के नीचे का क्षेत्रफल प्रक्रिया में ऊष्मा के आदान-प्रदान को दर्शाता है।
दिए गए चक्र के लिए, अवशोषित ऊष्मा $(Q_{in})$ $S_0$ से $2S_0$ तक की ऊपरी तिरछी रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है।
यह क्षेत्रफल एक आयत और एक त्रिभुज का योग है: $Q_{in} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (2T_0 - T_0) \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0 + \frac{1}{2} T_0 S_0 = 1.5 T_0 S_0$.
निकाली गई ऊष्मा $(Q_{out})$ $T_0$ तापमान पर $2S_0$ से $S_0$ तक की निचली क्षैतिज रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है: $Q_{out} = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$ है।
मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{1.5 T_0 S_0} = 1 - \frac{1}{1.5} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(B) तापमान $T_{1} = 627 + 273 = 900 \text{ K}$ और $T_{2} = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ हैं।
दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
अवशोषित ऊष्मा $Q_{1} = 3 \times 10^{6} \text{ cal} = 3 \times 10^{6} \times 4.2 \text{ J} = 12.6 \times 10^{6} \text{ J}$.
इंजन द्वारा किया गया कार्य $W = \eta \times Q_{1} = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^{6} \text{ J} = 8.4 \times 10^{6} \text{ J}$.

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
$\eta$ को अधिकतम करने के लिए,अनुपात $\frac{T_2}{T_1}$ न्यूनतम होना चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए अनुपात की गणना करने पर:
$A: \frac{60}{80} = 0.75$
$B: \frac{80}{100} = 0.80$
$C: \frac{40}{60} \approx 0.67$
$D: \frac{20}{40} = 0.50$
चूंकि विकल्प $D$ के लिए अनुपात सबसे कम है,इसलिए $T_1 = 40 \ K$ और $T_2 = 20 \ K$ के लिए दक्षता सबसे अधिक होगी।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $T_1 = 227 + 273 = 500 \, K$ और $T_2 = 127 + 273 = 400 \, K$.
स्रोत से अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = 6 \times 10^{4} \, cal$ है।
दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_1}$ के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,जहाँ $W$ इंजन द्वारा किया गया कुल कार्य है।
इसलिए,$W = Q_1 \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right)$.
मान रखने पर: $W = 6 \times 10^{4} \left( 1 - \frac{400}{500} \right)$.
$W = 6 \times 10^{4} \left( 1 - 0.8 \right) = 6 \times 10^{4} \times 0.2$.
$W = 1.2 \times 10^{4} \, cal$.

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = -123 + 273 = 150 \, K$.
सूत्र में मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{150}{300}$.
सरल करने पर: $\eta = 1 - 0.5 = 0.5$.
प्रतिशत में बदलने पर: $\eta = 0.5 \times 100 = 50\%$.

(A) दिया गया है: स्रोत द्वारा दी गई ऊष्मा $Q_1 = 200 \, cal$,सिंक को निष्कासित ऊष्मा $Q_2 = 150 \, cal$,स्रोत का तापमान $T_1 = 400 \, K$ है।
एक ऊष्मा इंजन के लिए,ऊष्मा का अनुपात तापमान के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
सिंक के तापमान $T_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T_2 = \frac{Q_2}{Q_1} \times T_1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T_2 = \frac{150}{200} \times 400$।
$T_2 = 0.75 \times 400 = 300 \, K$।
अतः,सिंक का तापमान $300 \, K$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान (केल्विन में) है।
दिया गया है: $\eta = 25\% = 0.25$ और $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 400 - 273 = 127^{\circ}C$.

(A) ऊष्मा-इंजन की अधिकतम सैद्धांतिक दक्षता कार्नोट दक्षता सूत्र द्वारा दी जाती है: $\eta_{max} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$.
यहाँ,स्रोत का तापमान $T_H = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
सिंक का तापमान $T_L = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
इन मानों को रखने पर: $\eta_{max} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ या $25\%$.
चूंकि वैज्ञानिक $26\%$ दक्षता का दावा करता है,जो कि अधिकतम संभव कार्नोट दक्षता $25\%$ से अधिक है,इसलिए यह दावा ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करता है।
अतः,यह असंभव है।

(A) यहाँ तापमान $T_2 = 27 \, ^\circ C = 300 \, K$ और $T_1 = 927 \, ^\circ C = 1200 \, K$ दिए गए हैं।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{1200} = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}$ होती है।
साथ ही,दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1}$,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
दिया गया है कि $W = 12.6 \times 10^{6} \, J$।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{12.6 \times 10^{6}}{Q_1}$।
अतः,$Q_1 = \frac{4 \times 12.6 \times 10^{6}}{3} = 4 \times 4.2 \times 10^{6} = 16.8 \times 10^{6} \, J$।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
अब,इन मानों को दक्षता के सूत्र में रखें:
$\eta = 1 - \frac{500}{1000} = 1 - 0.5 = 0.5$
अतः,अधिकतम संभव दक्षता $1/2$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = (1 - \frac{T_L}{T_H}) \times 100$ है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ स्रोत का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $40 = (1 - \frac{T_L}{500}) \times 100$.
$0.4 = 1 - \frac{T_L}{500} \implies \frac{T_L}{500} = 0.6 \implies T_L = 300 \ K$.
दूसरी स्थिति के लिए,सिंक का तापमान $T_L$ स्थिर $300 \ K$ रहता है और दक्षता $\eta$ $60\%$ हो जाती है:
$60 = (1 - \frac{300}{T_H'}) \times 100$.
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_H'} \implies \frac{300}{T_H'} = 0.4$.
$T_H' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$.

(C) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4 = 7/5$ है।
कार्नोट चक्र में,रुद्धोष्म प्रसार तापमान $T_1$ (स्रोत) और $T_2$ (सिंक) के बीच होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ है।
अतः,$T_1 V_B^{\gamma - 1} = T_2 V_C^{\gamma - 1}$,जहाँ $V_B = V$ और $V_C = 32V$ है।
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_B}{V_C} \right)^{\gamma - 1} = \left( \frac{V}{32V} \right)^{1.4 - 1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{0.4} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$ है।
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$ प्राप्त होता है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
दिया गया है $T_2 = 7^{\circ}C = 280 \ K$ और $\eta_1 = 0.5$ है।
$0.5 = 1 - \frac{280}{T_1} \Rightarrow \frac{280}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 560 \ K$।
अब,समान सिंक तापमान $T_2 = 280 \ K$ के साथ $\eta_2 = 0.7$ के लिए:
$0.7 = 1 - \frac{280}{T_1'} \Rightarrow \frac{280}{T_1'} = 0.3 \Rightarrow T_1' = \frac{280}{0.3} = 933.33 \ K$।
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 933.33 - 560 = 373.33 \ K$ है।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार,तापमान में वृद्धि लगभग $380 \ K$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$\eta = 1/6$,इसलिए $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_1 = \frac{6}{5}T_2$.
जब सिंक का तापमान $62^{\circ}C$ कम किया जाता है,तो नया तापमान $T_2' = T_2 - 62$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta' = 2\eta = 2(1/6) = 1/3$ है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
समीकरण में $T_1 = \frac{6}{5}T_2$ रखने पर: $\frac{T_2 - 62}{(6/5)T_2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{5(T_2 - 62)}{6T_2} = \frac{2}{3} \implies 15(T_2 - 62) = 12T_2 \implies 15T_2 - 930 = 12T_2$.
$3T_2 = 930 \implies T_2 = 310 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ}C$.
अब,$T_1 = \frac{6}{5} \times 310 = 6 \times 62 = 372 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \quad \dots(i)$
जब सिंक का तापमान $T_2$ को $62^{\circ}C$ कम किया जाता है (जो निरपेक्ष पैमाने पर $62 K$ के बराबर है),तो नया तापमान $T_2' = T_2 - 62$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta' = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = 2\eta$ है।
$\eta = 1/6$ रखने पर,$\eta' = 2 \times (1/6) = 1/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \quad \dots(ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6}T_1$.
$T_2$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6} \implies T_1 = 62 \times 6 = 372 K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.
अब,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ}C$.
इस प्रकार,सिंक का तापमान $37^{\circ}C$ और स्रोत का तापमान $99^{\circ}C$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है कि $\eta = 0.40$ और $T_2 = 300 \ K$,इसलिए $0.40 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
$\frac{300}{T_1} = 0.60 \implies T_1 = \frac{300}{0.60} = 500 \ K$.
अब,दक्षता में उसके मूल मान से $50\%$ की वृद्धि की जाती है। नई दक्षता $\eta' = \eta + 0.50 \times \eta = 0.40 + 0.20 = 0.60$.
सिंक के तापमान $T_2 = 300 \ K$ को स्थिर रखते हुए,नया स्रोत तापमान $T_1'$ इस प्रकार है: $\eta' = 1 - \frac{T_2}{T_1'}$.
$0.60 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.40$.
$T_1' = \frac{300}{0.40} = 750 \ K$.
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 \ K - 500 \ K = 250 \ K$ होगी।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है कि $\eta = 0.5$ और $T_2 = 500 \ K$,इसलिए $0.5 = 1 - \frac{500}{T_1}$,जिससे $\frac{500}{T_1} = 0.5$ प्राप्त होता है,अर्थात $T_1 = 1000 \ K$।
अब,स्रोत के तापमान $T_1 = 1000 \ K$ को स्थिर रखते हुए,हम नई दक्षता $\eta' = 0.6$ प्राप्त करने के लिए सिंक के तापमान को $T_2'$ में बदलना चाहते हैं।
सूत्र $\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$।
अतः,$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400 \ K$।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ अंतर्ग्रहण तापमान है और $T_2$ निकास तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\eta_1 = 0.4$,$T_1 = 500 \ K$.
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$.
चूँकि दूसरी स्थिति के लिए निकास तापमान $T_2$ समान रहता है:
दूसरी स्थिति के लिए: $\eta_2 = 0.5$,$T_2 = 300 \ K$.
$0.5 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.5 \implies T_1' = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$.
अतः,नया अंतर्ग्रहण तापमान $600 \ K$ होगा।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ है,जहाँ $T_L = 300 \ K$ और $T_H = 600 \ K$ है।
$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$.
दक्षता को किए गए कार्य $W$ और दी गई ऊष्मा $Q_H$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\eta = \frac{W}{Q_H}$.
यहाँ $W = 800 \ J$ दिया गया है,इसलिए $0.5 = \frac{800}{Q_H}$.
अतः,$Q_H = \frac{800}{0.5} = 1600 \ J/cycle$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
दिया गया है: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \ K$ और $T_2 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \ K$.
मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{500}{900} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
प्रतिशत में बदलने पर: $\eta = \frac{4}{9} \times 100 \% \approx 44.44 \%$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
दिया गया है $\eta = 40\% = 0.4$ और $T_2 = 300\, K$.
$0.4 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.6 \implies T_1 = \frac{300}{0.6} = 500\, K$.
दक्षता को उसकी मूल दक्षता के $50\%$ तक बढ़ाया जाना है।
नई दक्षता $\eta' = \eta + 0.5 \times \eta = 0.4 + 0.5(0.4) = 0.4 + 0.2 = 0.6 = 60\%$.
माना नया स्रोत तापमान $T_1'$ है।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 0.4 \implies T_1' = \frac{300}{0.4} = 750\, K$.
स्रोत के तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_1' - T_1 = 750 - 500 = 250\, K$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ केल्विन में सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = 1/6$,इसलिए $1/6 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = 5/6$ या $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ $...(i)$।
जब सिंक का तापमान $62^{\circ}C$ (जो $62 \ K$ के परिवर्तन के बराबर है) कम किया जाता है,तो नई दक्षता $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times (1/6) = 1/3$ हो जाती है।
नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 62$ है।
दक्षता सूत्र का उपयोग करने पर: $1/3 = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - 1/3 = 2/3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = 2/3$।
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = 2/3$।
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = 1/6$।
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$।