Isobaric and Isochoric Processes Questions in Hindi

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(FLOT)$ के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = dQ - dW$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $dW = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया) और $dQ < 0$ (निकाय द्वारा ऊष्मा मुक्त की जाती है) दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dU = dQ - 0 = dQ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dQ < 0$ है,इसलिए $dU < 0$ होगा।
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U \propto T)$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में कमी $(dU < 0)$ का अर्थ है कि तापमान में कमी $(dT < 0)$ होगी।

(A) प्रसार या संकुचन प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W$,आयतन के सापेक्ष दबाव के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
चूंकि दबाव $P$ स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया),इसे समाकलन से बाहर निकाला जा सकता है: $W = P \int_{V_1}^{V_2} dV$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $W = P [V]_{V_1}^{V_2} = P(V_2 - V_1)$.
अतः,गैस द्वारा किया गया कार्य $P(V_2 - V_1)$ है।

(C) समदाबी प्रक्रिया में दाब स्थिर रहता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
जब गैस को ऊष्मा $\Delta Q$ दी जाती है,तो यह बाहरी दबाव के विरुद्ध फैलती है,इसलिए गैस द्वारा कार्य $\Delta W = P \Delta V$ किया जाता है।
साथ ही,गैस का तापमान बढ़ता है,जिससे गैस की आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ में वृद्धि होती है।
अतः,गैस द्वारा कार्य भी किया जाता है और गैस की आंतरिक ऊर्जा भी बढ़ती है।

(A) समदाबी (isobaric) प्रसार के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
दाब $P = 2 \, atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 2 \times 10^5 \, Pa$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 50 \, L = 50 \times 10^{-3} \, m^3$.
अंतिम आयतन $V_2 = 150 \, L = 150 \times 10^{-3} \, m^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = (150 - 50) \times 10^{-3} \, m^3 = 100 \times 10^{-3} \, m^3 = 0.1 \, m^3$.
कार्य के सूत्र में मान रखने पर:
$W = (2 \times 10^5 \, Pa) \times (0.1 \, m^3) = 2 \times 10^4 \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $W = nR \Delta T$।
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 0.1 \, mol$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$।
चूंकि दाब स्थिर है,चार्ल्स के नियम के अनुसार,$V \propto T$। यदि आयतन दोगुना हो जाता है $(V_2 = 2V_1)$,तो तापमान भी दोगुना हो जाना चाहिए $(T_2 = 2T_1 = 600 \, K)$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300 \, K$।
कार्य के सूत्र में मान रखने पर:
$W = 0.1 \times 2 \times 300 = 60 \, cal$।

(B) समदाबी (isobaric) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = P \Delta V$।
दिया गया है:
दाब $P = 10^3 \, N/m^2$
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0.25 \, m^3$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = 10^3 \, N/m^2 \times 0.25 \, m^3$
$W = 1000 \times 0.25 \, J$
$W = 250 \, J$
अतः,किया गया कार्य $250 \, J$ है।

(D) स्थिर दबाव (समदाबी प्रक्रिया) पर निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दबाव $P$ वायुमंडलीय दबाव है,जो $1.013 \times 10^5 \ Pa$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_f - V_i = 3.34 \ m^3 - 2 \times 10^{-3} \ m^3 = 3.34 - 0.002 = 3.338 \ m^3$ है।
इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = (1.013 \times 10^5 \ Pa) \times (3.338 \ m^3)$
$W \approx 338,137 \ J$
किलोजूल $(kJ)$ में परिवर्तित करने पर:
$W \approx 338 \ kJ \approx 340 \ kJ$.
अतः,निकाय द्वारा किया गया कार्य लगभग $340 \ kJ$ है।

(B) ऊष्मागतिक प्रक्रिया में,गैस द्वारा किया गया कार्य $PV$ वक्र और आयतन अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आयतन ${V_1}$ से ${V_2}$ तक के विस्तार के लिए,समदाबी प्रक्रिया में दाब $P$ स्थिर रहता है,जबकि समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाओं में दाब घटता है।
चूंकि समदाबी प्रक्रिया में पूरे विस्तार के दौरान दाब सबसे अधिक बना रहता है,इसलिए $PV$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।
अतः,किए गए कार्य का क्रम इस प्रकार है: ${W_{adiabatic}} < {W_{isothermal}} < {W_{isobaric}}$.
इस प्रकार,समदाबी विस्तार में किया गया कार्य सबसे अधिक होता है।

(D) स्थिर दबाव पर ऊष्मागतिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2.4 \times 10^{-4} \ m^3$ है।
स्थिर दबाव $P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (1 \times 10^5 \ N/m^2) \times (2.4 \times 10^{-4} \ m^3)$
$W = 2.4 \times 10^{5-4} \ J$
$W = 2.4 \times 10^1 \ J$
$W = 24 \ J$.
अतः,किया गया कार्य $24 \ J$ है।

(B) समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दबाव) के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दबाव प्रक्रिया के लिए,$P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
दिया गया है: $n = 1 \, mol$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,$T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 - 300 = 100 \, K$.
$R = 1.987 \, cal/mol-K$ का उपयोग करते हुए (चूंकि $C_P$ कैलोरी में दिया गया है),$W = nR \Delta T = 1 \times 1.987 \times 100 = 198.7 \, cal$.
कार्य को कैलोरी से जूल में बदलने के लिए,हम $1 \, cal \approx 4.184 \, J$ का उपयोग करते हैं।
$W = 198.7 \times 4.184 \approx 831.4 \, J$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $814 \, J$ है।

(A) समआयतनिक प्रक्रिया को एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $\Delta V = 0$।
चूंकि एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है,यदि $\Delta V = 0$ है,तो किया गया कार्य $\Delta W = 0$ होगा।
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(C) ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
समआयतनिक प्रक्रिया में,निकाय का आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0$ है।
चूंकि किया गया कार्य $W = P \Delta V$ होता है,$\Delta V = 0$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $W = P \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है।

(D) समआयतनिक (Isochoric) प्रक्रिया वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(dV = 0)$।
चूंकि निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है,यदि आयतन स्थिर है,तो किया गया कार्य $zero$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $W = 0$ है,इसलिए निकाय को दी गई सभी ऊष्मा ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा के रूप में अवशोषित हो जाती है $(\Delta Q = \Delta U)$।

(D) समआयतनिक प्रक्रिया में आयतन $V$ स्थिर रहता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,दबाव $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसलिए,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 27^o C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127^o C = 127 + 273 = 400 \ K$
अब,इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$।

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = Q$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta W = \Delta Q_P - \Delta U$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta W = n C_P \Delta T - n C_V \Delta T = n \Delta T (C_P - C_V) = n R \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = Q$,इसलिए $n \Delta T = \frac{Q}{C_P}$ है।
अतः,$\Delta W = \frac{R}{C_P} Q$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_V = \frac{3}{2}R$ और $C_P = \frac{5}{2}R$ होता है।
इसलिए,$\Delta W = \frac{R}{5/2 R} Q = \frac{2}{5} Q$ होगा।

(A) एक आदर्श गैस के लिए समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब) के दौरान,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
यहाँ,$\Delta Q = n C_P \Delta T$ दी गई ऊष्मा है,$\Delta U = n C_V \Delta T$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ बाहरी कार्य है।
बाहरी कार्य के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = 1 - \frac{C_V}{C_P} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\gamma = 5/3$,अतः अंश $1 - \frac{1}{5/3} = 1 - 3/5 = 2/5$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $(2/5) \times 100\% = 40\%$।

(D) समदाबी (isobaric) प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा का सूत्र: $dQ = \mu C_P dT$ है।
यहाँ,$\mu = 1 \, mol$,$dQ = 1163.4 \, J$,और $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ है।
नाइट्रोजन जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2} R$ होती है।
मानों को सूत्र में रखने पर: $dT = \frac{dQ}{\mu C_P}$.
$dT = \frac{1163.4}{1 \times (\frac{7}{2} \times 8.31)}$.
$dT = \frac{1163.4 \times 2}{7 \times 8.31} = \frac{2326.8}{58.17} \approx 40 \, K$.
अतः,तापमान में वृद्धि $40 \, K$ है।

(B) प्रक्रिया $(1)$ के लिए,आयतन $V$ स्थिर है। चूंकि आयतन में परिवर्तन $dV = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = \int P dV = 0$ होगा।
प्रक्रिया $(2)$ के लिए,दाब $P$ स्थिर है। किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{2V_1} P dV = P [V]_{V_1}^{2V_1} = P(2V_1 - V_1) = PV_1$ है।
अतः,दोनों प्रक्रियाओं में किया गया कार्य क्रमशः $0$ और $PV_1$ है।

(C) समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब) के लिए, किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = P \Delta V$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
दिया गया है:
मोलों की संख्या $n = 1 \, \text{mol}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100 \, K$.
गैस नियतांक $R = 8.3 \, J/mol \cdot K$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = nR \Delta T = 1 \times 8.3 \times 100$.
$W = 830 \, J = 8.3 \times 10^{2} \, J$.

(C) स्थिर दाब पर,चार्ल्स के नियम के अनुसार,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ होता है।
यहाँ $V_1 = V$,$V_2 = 2V$ और $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_2}$,जिससे $T_2 = 600 \ K$ प्राप्त होता है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 - 300 = 300 \ K$ है।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P \Delta V = \mu R \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu = 0.1 \ mol$ और $R \approx 2 \ cal/(mol \cdot K)$ का उपयोग करने पर:
$W = (0.1) \times (2) \times (300) = 60 \ cal$।

(C) समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$ या $P_1 / T_1 = P_2 / T_2$ होता है।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \, K$
अब,अनुपात की गणना करें:
$P_1 / P_2 = T_1 / T_2 = 300 / 400 = 3/4$.

(A) समआयतनिक प्रक्रिया के लिए आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta V = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\Delta W = 0$ होगा।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
यहाँ $\Delta W = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta Q = \Delta U$ प्राप्त होता है।

(A) समआयतनिक प्रक्रिया के लिए आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta V = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि $\Delta W = P \Delta V$ और $\Delta V = 0$ है,इसलिए $\Delta W = 0$ होगा।
अतः,$\Delta Q = \Delta U + 0$,जिससे हमें $\Delta Q = \Delta U$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर दबाव पर गैस द्वारा किए गए कार्य का सूत्र है: $\Delta W = P \Delta V$।
दिया गया है:
दबाव $P = 10^{3} \ N/m^{2}$
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0.25 \ m^{3}$
मान रखने पर:
$\Delta W = 10^{3} \times 0.25 = 250 \ J$।
अतः,किया गया कार्य $250 \ J$ है।

(A) दिया गया है कि $C_P/C_V = \gamma$ है।
हम जानते हैं कि $C_P - C_V = R$,इसलिए $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होता है।
किसी भी प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = 1$ है,इसलिए $\Delta U = C_V \Delta T = \frac{R \Delta T}{\gamma - 1}$ होगा।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,स्थिर दाब $P$ पर,$P \Delta V = nR \Delta T$ होता है। $n = 1$ होने के कारण,$P \Delta V = R \Delta T$ होगा।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\Delta V = 2V - V = V$ है,इसलिए $\Delta U = \frac{PV}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(D) पात्र $A$ (समदाबी प्रक्रम) के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q_A = \mu C_p \Delta T_A$ है।
पात्र $B$ (समआयतनिक प्रक्रम) के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q_B = \mu C_v \Delta T_B$ है।
चूंकि दी गई ऊष्मा समान है,इसलिए $\Delta Q_A = \Delta Q_B$ होगा।
अतः,$\mu C_p \Delta T_A = \mu C_v \Delta T_B$।
इसे सरल करने पर,$\Delta T_B = \frac{C_p}{C_v} \Delta T_A = \gamma \Delta T_A$ प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ होता है।
यहाँ $\Delta T_A = 30\, K$ दिया गया है,इसलिए $\Delta T_B = 1.4 \times 30 = 42\, K$।

(B) स्थिर दाब पर प्रसारित होने वाली गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है।
किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का भाग $\eta = \frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p}$ है।
चूंकि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,इसलिए $\eta = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ प्राप्त होता है।

(A) नियत दाब प्रक्रम के लिए, दी गई ऊष्मा $dQ = nC_p dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = nC_v dT$ है।
किया गया कार्य $dW = PdV = nR dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित ऊष्मा का भाग $\frac{dU}{dQ} = \frac{nC_v dT}{nC_p dT} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ होता है।
यहाँ $\gamma = 5/3$ दिया गया है, अतः यह भाग $\frac{1}{5/3} = 3/5 = 0.6$ यानी $60\%$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का भाग $\frac{dW}{dQ} = \frac{nR dT}{nC_p dT} = \frac{R}{C_p} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - 0.6 = 0.4$ यानी $40\%$ है।
अतः, क्रमशः $60\%$ और $40\%$ उत्तर प्राप्त होता है।

(C) चूंकि प्रक्रिया में कोई कार्य नहीं किया जाता है,इसलिए यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है: $\Delta Q = \Delta U$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = n \, C_v \, \Delta T$ है।
एक परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$.
मान रखने पर: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 100 = 300 \ R$.

(B) स्थिर दाब $P$ पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
दाब $P = 10^3\,N/m^2$
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0.25\,m^3$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = 10^3\,N/m^2 \times 0.25\,m^3$
$W = 1000 \times 0.25\,J$
$W = 250\,J$
अतः,किया गया कार्य $250\,J$ है।

(A) ग्राफ से,$V \propto T$,जो दर्शाता है कि प्रक्रिया समदाबी (constant pressure) है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,अवशोषित ऊष्मा $dQ = nC_p dT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_p$ स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है। अतः,$C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{3+2}{2}R = \frac{5}{2}R$।
इसलिए,$dQ = n \left( \frac{5}{2}R \right) dT$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = PdV$ है। चूँकि $PV = nRT$,स्थिर दबाव प्रक्रिया के लिए,$PdV = nRdT$ होता है।
वांछित अनुपात $\frac{dW}{dQ} = \frac{nRdT}{n(\frac{5}{2}R)dT} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $STP$ पर किसी भी आदर्श गैस का $1 \ mol$,$22.4 \ L$ आयतन घेरता है।
अतः,गैस के मोलों की संख्या $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \ mol$ है।
चूंकि सिलेंडर का आयतन निश्चित है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है।
नियत आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q_V = \mu C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
मान रखने पर: $\Delta Q_V = 2 \times \frac{3}{2}R \times 10 = 30R$.

(B) $V-T$ ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,यदि $V \propto T$ है,तो दाब $P$ स्थिर रहता है। अतः,प्रक्रिया $1-2$ एक समदाबीय प्रक्रिया है।
समदाबीय प्रक्रिया के लिए,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = nC_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = nR \Delta T$ है।
संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\Delta W = n(C_P - C_V) \Delta T$।
अवशोषित ऊष्मा और किए गए कार्य का अनुपात है:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{nC_P \Delta T}{n(C_P - C_V) \Delta T} = \frac{C_P}{C_P - C_V} = \frac{1}{1 - \frac{C_V}{C_P}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\gamma}}$
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ होता है।
इसलिए,अनुपात है:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2.5$।

(D) ग्राफ से, प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है क्योंकि $V \propto T$ (अर्थात $V/T = \text{स्थिरांक}$), जिसका अर्थ है कि दबाव $P$ स्थिर है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए, $C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
इस मान को $\Delta Q$ के व्यंजक में रखने पर, हमें $\Delta Q = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
अब, अनुपात $\Delta Q : \Delta W$ है:
$\frac{\Delta Q}{\Delta W} = \frac{n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$.

(C) स्थिर दबाव पर गैस द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = P \Delta V$
यह दिया गया है कि दबाव $P$ स्थिर है और आयतन प्रारंभिक आयतन $V$ से बढ़कर $2V$ हो जाता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
इसे कार्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = P(V) = PV$
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है। $n = 1$ मोल गैस और तापमान $T$ के लिए:
$PV = RT$
अतः,गैस द्वारा किया गया कार्य है:
$W = RT$

(D) एक आदर्श गैस के समदाबी प्रसार के लिए,दाब $P$ स्थिर रहता है।
चूंकि गैस का प्रसार होता है,आयतन बढ़ता है,इसलिए $\Delta V > 0$।
किया गया कार्य $W = P \Delta V$,जो शून्य नहीं है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,चूंकि $P$ स्थिर है,$V \propto T$। जैसे-जैसे आयतन बढ़ता है,तापमान $T$ भी बढ़ता है,इसलिए $\Delta U \neq 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + W$,इसलिए $\Delta Q \neq 0$।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,$V = (nR/P)T$।
$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dV/dT = nR/P$,जो एक स्थिरांक है।
पुनः $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$d^2V/dT^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,स्थिर दाब के लिए $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{5}{2} R$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर,हमें $Q = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $nR \Delta T = W$ है,इसलिए हम $Q = \frac{5}{2} W$ लिख सकते हैं।
अतः,किए गए कार्य के लिए $W = \frac{2}{5} Q$ प्राप्त होता है।

(B) से $B$ तक की प्रक्रिया एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है क्योंकि दबाव $P$,$2 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{by}} = nR\Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 2 \text{ मोल}$,$T_A = 300 \text{ K}$,और $T_B = 500 \text{ K}$ है।
$W_{\text{by}} = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$।
प्रश्न में गैस पर किया गया कार्य पूछा गया है।
गैस पर किया गया कार्य $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -400R$ होता है।
हालाँकि,भौतिकी के ऐसे प्रश्नों के संदर्भ में,आमतौर पर परिमाण (magnitude) अपेक्षित होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$400R$ सही उत्तर है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto R^3$ है।
जब व्यास दोगुना हो जाता है,तो त्रिज्या $R$ भी दोगुनी हो जाती है $(R \rightarrow 2R)$।
इसलिए,नया आयतन $V'$ होगा $V' = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = 8 \times (\frac{4}{3} \pi R^3) = 8V$।
समदाबी प्रक्रिया के दौरान स्थिर वायुमंडलीय दबाव $p$ के विरुद्ध किया गया कार्य $W = p \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = p(V' - V) = p(8V - V) = 7pV$।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = nR\Delta T$ है और दी गई ऊष्मा $Q = nC_p\Delta T$ है।
ग्राफ से,$Q = 80 \ J$ पर,$W = 32 \ J$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{nR\Delta T}{nC_p\Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$ है।
इसका अर्थ है $5R = 2C_p$।
चूंकि $C_p = C_v + R$,हमारे पास $5R = 2(C_v + R) = 2C_v + 2R$ है।
$3R = 2C_v \implies C_v = \frac{3}{2}R$।
जिस गैस के लिए $C_v = \frac{3}{2}R$ होता है,वह एकपरमाणुक (monoatomic) गैस होती है। दिए गए विकल्पों में से,$He$ (हीलियम) एक एकपरमाणुक गैस है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q - \Delta U$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta W = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n(C_p - C_v) \Delta T = n R \Delta T$ प्राप्त होता है।
कार्य के रूप में उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_p = \frac{5}{2} R$ होता है।
अतः,यह अंश $\frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} = 0.4$ है।

(B) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए,किया गया कार्य $W$,सूत्र $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दबाव $P$ पर,हमारे पास $P \Delta V = nR \Delta T$ है।
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 1 \ mol$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 127 \ ^oC = 127 + 273 = 400 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K - 300 \ K = 100 \ K$.
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \ J/mol-K$.
कार्य के सूत्र में मान रखने पर:
$W = nR \Delta T = 1 \times 8.31 \times 100 = 831 \ J$.
अतः,किया गया कार्य $831 \ J$ है।

(C) आदर्श गैस नियम से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$,जिसका अर्थ है $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V}$।
इस मान को दिए गए समीकरण $V = K \left( \frac{P}{T} \right)^{0.33}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = K \left( \frac{nR}{V} \right)^{0.33}$
$V = K (nR)^{0.33} \cdot V^{-0.33}$
दोनों पक्षों को $V^{0.33}$ से गुणा करने पर:
$V^{1.33} = K' \text{ (जहाँ } K' = K(nR)^{0.33} \text{ एक स्थिरांक है)}$
चूंकि $V^{1.33}$ स्थिर है,इसका अर्थ है कि $V$ स्थिर होना चाहिए।
वह प्रक्रिया जिसमें आयतन स्थिर रहता है,उसे समआयतनिक प्रक्रिया (isochoric process) कहा जाता है।

(A) प्रक्रिया $AB$ के लिए,आयतन स्थिर $(V = V_0)$ है,इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
किया गया कार्य $W_{AB} = 0$ है।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{5}{2} R$ होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$n \Delta T = \frac{\Delta(PV)}{R} = \frac{P_B V_B - P_A V_A}{R}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $P_A = P_0, V_A = V_0$ और $P_B = 2P_0, V_B = V_0$ दिया गया है।
अतः,$n \Delta T = \frac{(2P_0)(V_0) - (P_0)(V_0)}{R} = \frac{P_0 V_0}{R}$।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर:
$\Delta Q = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} R (n \Delta T) = \frac{5}{2} R \left( \frac{P_0 V_0}{R} \right) = 2.5 P_0 V_0$।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$ है।
समदाबी प्रक्रिया (isobaric process) के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
चूंकि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,इसलिए:
$\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$।

(C) $P-V$ आरेख में,किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
समदाबी प्रक्रिया वह है जिसमें दबाव स्थिर रहता है।
दिए गए चित्र में,प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी विस्तार को दर्शाती है क्योंकि दबाव $P = 2 \times 10^2 \, N/m^2$ पर स्थिर रहता है जबकि आयतन $V_1 = 1 \, m^3$ से बढ़कर $V_2 = 3 \, m^3$ हो जाता है।
समदाबी प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$P = 2 \times 10^2 \, N/m^2$ और $\Delta V = V_2 - V_1 = 3 - 1 = 2 \, m^3$ है।
इसलिए,$W = (2 \times 10^2) \times 2 = 400 \, J$।

(A) समदाबी प्रक्रिया में,एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2}R$ होती है।
किए गए कार्य और दी गई ऊष्मा का अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{nR \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{R}{C_P}$ है।
$C_P$ का मान रखने पर,हमें $\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{5}{2}R} = \frac{2}{5} = 0.4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवस्था समीकरण: $PV = nRT + \alpha V$ है।
$n = 1$ मोल के लिए,$PV = RT + \alpha V$,जिसे $V(P - \alpha) = RT$ या $V = \frac{RT}{P - \alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रारंभ में,$T = T_0$ और $P = P_0$ पर,आयतन $V_0 = \frac{RT_0}{P_0 - \alpha}$ है।
चूंकि प्रक्रिया समदाबीय (isobaric) है,$P$ का मान $P_0$ पर स्थिर रहता है। जब तापमान दोगुना हो जाता है,तो $T_f = 2T_0$ हो जाता है।
अंतिम आयतन $V_f = \frac{R(2T_0)}{P_0 - \alpha} = 2V_0$ होगा।
समदाबीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P_0(V_f - V_0)$ होता है।
मान रखने पर: $W = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V_0 = \frac{RT_0}{P_0 - \alpha}$,इसलिए $W = P_0 \left( \frac{RT_0}{P_0 - \alpha} \right) = \frac{P_0 T_0 R}{P_0 - \alpha}$ होगा।

(B) स्थिर दाब (समदाबी प्रक्रिया) पर एक आदर्श गैस के लिए,किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = P\Delta V$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए $P\Delta V = nR\Delta T$ होता है।
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 0.5\, mol$
गैस नियतांक $R = 8.31\, J/mol\cdot K$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 90\,^oC - 20\,^oC = 70\, K$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = nR\Delta T$
$W = 0.5 \times 8.31 \times 70$
$W = 290.85\, J$
निकटतम पूर्णांक में,किया गया कार्य लगभग $291\, J$ है।