Polytropic Process Questions in Hindi

(B) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। दी गई प्रक्रिया का समीकरण $PV^2 = K$ है (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
प्रक्रिया समीकरण में $P = \frac{nRT}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(\frac{nRT}{V})V^2 = K$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $TV = \frac{K}{nR} = \text{constant}$ हो जाता है।
चूंकि $T \propto \frac{1}{V}$, जैसे-जैसे गैस का प्रसार होता है, आयतन $V$ बढ़ता है।
आयतन $V$ बढ़ने के कारण, तापमान $T$ कम होना चाहिए।
अतः, प्रसार के दौरान गैस ठंडी होती है।

(C) $P-V$ आरेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसका अर्थ है $P \propto V$,या $P = kV$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसे $PV^{-1} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $PV^x = \text{constant}$ के रूप में है,जहाँ $x = -1$ है।
पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
मान रखने पर: $C = \frac{R}{1.4 - 1} + \frac{R}{1 - (-1)} = \frac{R}{0.4} + \frac{R}{2} = 2.5R + 0.5R = 3R$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,$P = \frac{\mu RT}{V}$ प्राप्त होता है।
दिया गया प्रक्रिया नियम $VP^2 = K$ (जहाँ $K$ एक नियतांक है)।
इस नियम में $P$ का मान रखने पर: $V \left( \frac{\mu RT}{V} \right)^2 = K$.
$V \cdot \frac{\mu^2 R^2 T^2}{V^2} = K$.
$\frac{T^2}{V} = \frac{K}{\mu^2 R^2} = \text{नियतांक}$.
इसका अर्थ है कि $T^2 \propto V$,या $T \propto \sqrt{V}$।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$।
यहाँ $V_1 = V$,$V_2 = 2V$,और $T_1 = T$ दिया गया है।
$\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{2V}{V}} = \sqrt{2}$।
$T_2 = \sqrt{2} T$।

(B) दी गई प्रक्रिया $PV^3 = \text{constant}$ समीकरण द्वारा वर्णित है।
यह $PV^n = \text{constant}$ के रूप की एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है, जहाँ $n = 3$ है।
एक आदर्श गैस के लिए, पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया की मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_v + \frac{R}{1 - n}$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
सूत्र में $C_v = \frac{3}{2}R$ और $n = 3$ का मान रखने पर:
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1 - 3}$
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{-2}$
$C = \frac{3}{2}R - \frac{1}{2}R = R$.
अतः, इस प्रक्रिया के दौरान गैस की ऊष्मा धारिता $R$ है।

(B) दिए गए संबंध $V = \frac{b}{T}$ से,हम लिख सकते हैं $VT = b$ (स्थिरांक)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = 1$ मोल के लिए,$T = \frac{PV}{R}$ होता है।
इस मान को संबंध में रखने पर: $V \left( \frac{PV}{R} \right) = b$,जो सरल होकर $PV^2 = bR = \text{स्थिरांक}$ हो जाता है।
यह $PV^x = \text{स्थिरांक}$ प्रकार की एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है,जहाँ $x = 2$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ रखने पर: $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - 2} = \frac{R}{\gamma - 1} - R = R \left( \frac{1 - (\gamma - 1)}{\gamma - 1} \right) = R \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right)$।
अवशोषित ऊष्मा $Q = nC \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ के लिए,$Q = \left( \frac{2 - \gamma}{\gamma - 1} \right) R \Delta T$।

(B) दी गई प्रक्रिया समीकरण: $VP^3 = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
आदर्श गैस नियम $PV = \mu RT$ से, हम लिख सकते हैं $P = \frac{\mu RT}{V}$।
$P$ का मान प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $V \left( \frac{\mu RT}{V} \right)^3 = k$।
इसे सरल करने पर $V \cdot \frac{(\mu R)^3 T^3}{V^3} = k$, जिससे प्राप्त होता है $\frac{T^3}{V^2} = \text{constant}$।
अतः, $\frac{T_1^3}{V_1^2} = \frac{T_2^3}{V_2^2}$।
यहाँ $T_1 = T$, $V_1 = V$, और $V_2 = 27V$ दिया गया है, इन मानों को रखने पर:
$\frac{T^3}{V^2} = \frac{T_2^3}{(27V)^2}$।
$\frac{T^3}{V^2} = \frac{T_2^3}{729V^2}$।
$T_2^3 = 729T^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $T_2 = \sqrt[3]{729} T = 9T$।

(B) गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ ($1$ मोल के लिए) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $P = \frac{RT}{V}$ है।
अतः,$W = \int \frac{RT}{V} dV$.
दिए गए संबंध $V = k T^{2/3}$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} dT$.
$dV$ के व्यंजक में $k = \frac{V}{T^{2/3}}$ रखने पर:
$dV = \left( \frac{V}{T^{2/3}} \right) \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} dT = \frac{2}{3} \frac{V}{T} dT$.
इसलिए,$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$.
इस मान को कार्य के समाकलन में रखने पर:
$W = \int_{T_1}^{T_2} R T \left( \frac{2}{3} \frac{dT}{T} \right) = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} R dT$.
$W = \frac{2}{3} R (T_2 - T_1)$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 30^{\circ}C = 30 \ K$ दिया गया है:
$W = \frac{2}{3} R (30) = 20 R$.

(A) प्रक्रिया के लिए दिया गया संबंध $PV^{2/3} = \text{constant}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$.
इसे दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{2/3} = \text{constant}$.
यह सरल होकर $T V^{-1/3} = \text{constant}$, या $T = \text{constant} \times V^{1/3}$ हो जाता है।
चूंकि गैस फैल रही है, इसलिए आयतन $V$ बढ़ रहा है।
जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $V^{1/3}$ भी बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ भी बढ़ना चाहिए।

(B) दिया गया अवस्था समीकरण: $P^2V = K$ (जहाँ $K$ एक नियतांक है)।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से, $P = \frac{nRT}{V}$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})^2 V = K$।
इसे सरल करने पर: $\frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \cdot V = K$, अर्थात $\frac{n^2 R^2 T^2}{V} = K$।
अतः, $T^2 \propto V$, या $T \propto \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
माना प्रारंभिक स्थिति $(T_1, V_1) = (T, V)$ और अंतिम स्थिति $(T_2, V_2) = (T', 2V)$ है।
समानुपातिकता $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ का उपयोग करने पर, $\frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, $T' = \sqrt{2} T$ होगा।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दिया गया संबंध $PV^{3/2} = \text{नियतांक}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का उपयोग करते हुए,हम $P = \frac{RT}{V}$ लिख सकते हैं।
इसे दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{RT}{V}\right) V^{3/2} = \text{नियतांक}$।
यह सरल होकर $TV^{1/2} = \text{नियतांक}$ हो जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है $T_1 = T$ और $V_2 = \frac{V_1}{2}$।
संबंध $T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ का उपयोग करने पर:
$T \cdot V_1^{1/2} = T_2 \cdot \left(\frac{V_1}{2}\right)^{1/2}$।
$T = T_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$T_2 = \sqrt{2}T$।

(A) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $P V^x = \text{constant}$ के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ है。
दी गई प्रक्रिया का नियम $P/V = \text{constant}$ है, जिसे $P V^{-1} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है。
अतः, पॉलिट्रोपिक घातांक $x = -1$ है。
आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है。
इन मानों को रखने पर, $C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1-(-1)} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2 R$ प्राप्त होता है。
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C \Delta T$ द्वारा दी जाती है。
यहाँ $n = 1$ मोल और $\Delta T = 2 T_0 - T_0 = T_0$ है。
इसलिए, $\Delta Q = 1 \times (2 R) \times T_0 = 2 R T_0$。

(D) $PV^m = \text{नियतांक}$ प्रक्रिया के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र है: $C = C_V + \frac{R}{1-m}$।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
दिया गया है कि मोलर ऊष्मा धारिता $C = R$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$R = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1-m}$।
दोनों पक्षों से $\frac{5}{2}R$ घटाने पर:
$R - \frac{5}{2}R = \frac{R}{1-m}$।
$-\frac{3}{2}R = \frac{R}{1-m}$।
$R$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{3}{2} = \frac{1}{1-m}$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:
$-\frac{2}{3} = 1 - m$।
$m$ के लिए हल करने पर:
$m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
अतः,$m$ का मान $5/3$ है।

(B) दी गई प्रक्रिया $\frac{P}{V^2} = a$ है,जो $PV^n = K$ के रूप की एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है,जहाँ $n = -2$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में किया गया कार्य ($n \neq 1$ के लिए) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$
यहाँ,$n = -2$,$n_{mole} = 1$,और $\Delta T = T_2 - T_1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1 \cdot R(T_2 - T_1)}{1 - (-2)}$
$W = \frac{R(T_2 - T_1)}{1 + 2}$
$W = \frac{1}{3}R(T_2 - T_1)$

(D) दी गई प्रक्रिया $\frac{PT^2}{V} = \text{नियतांक}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर, $T = \frac{PV}{nR}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $T \propto PV$.
प्रक्रिया के समीकरण में $T$ का मान रखने पर:
$\frac{P(PV)^2}{V} = \text{नियतांक} \implies \frac{P^3V^2}{V} = \text{नियतांक} \implies P^3V = \text{नियतांक}$.
घनमूल लेने पर, $PV^{1/3} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
यह $PV^x = \text{नियतांक}$ के रूप की एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है, जहाँ $x = 1/3$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}R + \frac{R}{2/3} = \frac{5}{2}R + \frac{3}{2}R = \frac{8}{2}R = 4R$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है。
इस मान को दी गई प्रक्रिया समीकरण $PV^2 = K$ (जहाँ $K$ एक नियतांक है) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{nRT}{V})V^2 = K$
$nRTV = K$
$TV = \frac{K}{nR} = \text{नियतांक}$。
चूंकि $T \propto \frac{1}{V}$, जैसे-जैसे गैस का प्रसार होता है, आयतन $V$ बढ़ता है。
चूंकि $V$ बढ़ता है, इसलिए $TV$ के गुणनफल को स्थिर रखने के लिए तापमान $T$ को कम होना चाहिए。
अतः, इस प्रसार के दौरान गैस ठंडी होती है。
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई स्थिति $VP^2 = \text{constant}$ है。
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, $V = nRT/P$ होता है。
इस मान को दी गई स्थिति में रखने पर: $(nRT/P) \cdot P^2 = \text{constant} \implies TP = \text{constant}$ प्राप्त होता है。
अतः, $P \propto 1/T$, जो $P-T$ आरेख पर एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है。
चूंकि $VP^2 = \text{constant}$ है, इसलिए $P^2 \propto 1/V$, जिसका अर्थ है कि $P \propto 1/\sqrt{V}$。
यदि आयतन $V$ बढ़कर $4V$ हो जाता है, तो नया दबाव $P'$ होगा: $P' \propto 1/\sqrt{4V} = (1/2) \cdot (1/\sqrt{V}) = P/2$。
इसलिए, दोनों कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(B) दिया गया है: $n = 2$, $V_f = 2V_i$, $T_i = 300\, K$, प्रक्रिया $P/V = k$ (पॉलिट्रोपिक घातांक $x = -1$)।
$PV = nRT$ और $P = kV$ का उपयोग करने पर, हमें $kV^2 = nRT$ प्राप्त होता है, इसलिए $T \propto V^2$।
$T_f = T_i (V_f/V_i)^2 = 300 \times (2)^2 = 1200\, K$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_f - T_i = 1200 - 300 = 900\, K$। (विकल्प $A$ सत्य है)।
किया गया कार्य $W = \int P dV = \int_V^{2V} kV dV = k [V^2/2]_V^{2V} = k/2 (4V^2 - V^2) = 3/2 kV^2 = 3/2 PV = 3/2 nRT$।
प्रारंभिक अवस्था में, $W_i = 3/2 nRT_i = 3/2 \times 2 \times R \times 300 = 900\, R$। (विकल्प $D$ सत्य है)।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = 2 \times (3/2 R) \times 900 = 2700\, R$।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \Delta U + W = 2700\, R + 900\, R = 3600\, R$। (विकल्प $C$ सत्य है)।
अतः, विकल्प $B$ असत्य है।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $C = C_v + \frac{R}{1 - n}$.
$n$ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$C - C_v = \frac{R}{1 - n}$
$1 - n = \frac{R}{C - C_v}$
$n = 1 - \frac{R}{C - C_v}$
मेयर के संबंध $R = C_p - C_v$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{C - C_v - (C_p - C_v)}{C - C_v}$
$n = \frac{C - C_v - C_p + C_v}{C - C_v}$
$n = \frac{C - C_p}{C - C_v}$.

(C) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{नियतांक}$ के लिए, किया गया कार्य $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ, $x = 2$ है, इसलिए $W = \frac{nR \Delta T}{1-2} = -nR \Delta T$ है。
$H_2$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n \left( \frac{5}{2}R \right) \Delta T = 2.5 nR \Delta T$ होता है。
गैस द्वारा किए गए कार्य और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का अनुपात $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR \Delta T}{2.5 nR \Delta T} = -\frac{1}{2.5} = -0.4$ है。

(B) दी गई स्थिति $V \propto T^{2/3}$ से,हम $V = k T^{2/3}$ लिख सकते हैं।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$P = \frac{nRT}{V}$ प्राप्त होता है।
$V$ का मान रखने पर,$P = \frac{nRT}{k T^{2/3}} = \frac{nR}{k} T^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T \propto V^{3/2}$,इसलिए $P \propto (V^{3/2})^{1/3} = V^{1/2}$ होता है।
यह एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ है जहाँ $P V^{-1/2} = \text{constant}$,इसलिए $x = -1/2$ है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,$R = 1.99 \ cal/mol-K$,और $x = -1/2$ है।
$W = \frac{1 \times 1.99 \times 30}{1 - (-1/2)} = \frac{59.7}{1.5} = 39.8 \ cal$.
जूल में बदलने पर $(1 \ cal \approx 4.184 \ J)$: $W = 39.8 \times 4.184 \approx 166.5 \ J$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $167 \ J$ प्राप्त होता है।

(B) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $TV^n = \text{constant}$ के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{R}{1-n} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n}$ द्वारा दी जाती है。
दिया गया है $\Delta Q = n_{m} C \Delta T$, जहाँ $n_{m} = 0.5 \text{ mole}$ और $\Delta T = 227^{\circ}\text{C} - 27^{\circ}\text{C} = 200 \text{ K}$.
कुल ऊष्मा $\Delta Q = 15 \times 10^3 \text{ J}$.
$15000 = 0.5 \times \left( \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n} \right) \times 200$.
$15000 = 100 \times \left( \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n} \right) \implies 150 = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-n}$.
$R = \frac{25}{3} \text{ J/mol K}$ लेने पर, $150 = \frac{3}{2} \times \frac{25}{3} + \frac{25/3}{1-n} = 12.5 + \frac{25}{3(1-n)}$.
$137.5 = \frac{25}{3(1-n)} \implies 5.5 = \frac{1}{3(1-n)}$.
$16.5(1-n) = 1 \implies 1 - n = \frac{1}{16.5} = \frac{2}{33}$.
$n = 1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$.
प्रक्रिया समीकरण $TV^n = \text{constant}$ है। मानक पॉलिट्रोपिक रूप $PV^x = \text{constant}$ है, जिसका अर्थ है $TV^{x-1} = \text{constant}$. अतः $n = x-1$. $C = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-x} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{1-x}$ का उपयोग करने पर。
$150 = 12.5 + \frac{25}{3(1-x)}$ से, $1-x = \frac{25}{3 \times 137.5} = \frac{2}{33}$.
$x = 1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$. चूँकि $n = x-1$, इसलिए $n = \frac{31}{33} - 1 = \frac{-2}{33}$.

(B) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ के लिए मोलर ऊष्मा धारिता का सूत्र $C = C_v + \frac{R}{1-n}$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, $C_v = \frac{3}{2}R$ होता है।
दिए गए $P-V$ ग्राफ से, प्रक्रिया मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए $P \propto V$, जिसका अर्थ है $P = kV$ या $PV^{-1} = \text{constant}$।
इसे $PV^n = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = -1$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1 - (-1)}$
$C = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2}$
$C = \frac{3R + R}{2} = \frac{4R}{2} = 2R$.
अतः, मोलर ऊष्मा धारिता $2R$ है।

(C) दी गई प्रक्रिया $VT = \text{स्थिरांक}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{PV}{nR}$ प्राप्त होता है।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $V \left( \frac{PV}{nR} \right) = \text{स्थिरांक} \implies PV^2 = \text{स्थिरांक}$।
यह एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{स्थिरांक}$ है,जहाँ $x = 2$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5R}{2}$ होती है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ होती है।
$C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{1-2} = \frac{5R}{2} - R = \frac{3R}{2} \text{ J/mol-K}$।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_2 - T_1)}{1-x}$ होता है।
यहाँ $n = 2$,$T_1 = 300 \text{ K}$,$T_2 = 500 \text{ K}$,और $x = 2$ दिया गया है:
$W = \frac{2R(500 - 300)}{1-2} = \frac{2R(200)}{-1} = -400R \text{ J}$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $TP^{-1/3} = \text{constant}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर, $T \propto PV$ होता है, इसलिए $PV \cdot P^{-1/3} = \text{constant}$, जो सरल होकर $P^{2/3}V = \text{constant}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों की घात $3/2$ करने पर, हमें $PV^{3/2} = \text{constant}$ प्राप्त होता है।
यह एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ है जहाँ $x = 3/2$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 5/3$ होता है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - x}$ है।
मान रखने पर: $C = \frac{R}{5/3 - 1} + \frac{R}{1 - 3/2} = \frac{R}{2/3} + \frac{R}{-1/2} = \frac{3R}{2} - 2R = -\frac{R}{2}$.
चूंकि मोलर ऊष्मा धारिता $C$ ऋणात्मक है, इसलिए संबंध $\Delta Q = nC\Delta T$ के अनुसार, यदि गैस को ऊष्मा दी जाती है $(\Delta Q > 0)$, तो $\Delta T$ ऋणात्मक होना चाहिए $(\Delta T < 0)$।
अतः, गैस का तापमान घटेगा।

(D) एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = \text{constant}$ में किया गया कार्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{n - 1}$
एक निश्चित प्रारंभिक और अंतिम अवस्था के लिए, किया गया कार्य $n$ के मान पर निर्भर करता है।
यदि हम आयतन में दिए गए परिवर्तन के लिए किए गए कार्य के परिमाण पर विचार करें, तो $n = \infty$ (समआयतनिक प्रक्रिया, $\Delta V = 0$) होने पर किया गया कार्य शून्य होता है।
अतः, $n = \infty$ के लिए किया गया कार्य न्यूनतम (शून्य) है।

(B) दिया गया संबंध $V = KT^{2/3}$ है.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, $T = \frac{PV}{nR}$ प्राप्त होता है।
इस मान को दिए गए संबंध में रखने पर: $V = K \left( \frac{PV}{nR} \right)^{2/3}$.
दोनों पक्षों की घात $3/2$ करने पर: $V^{3/2} = K^{3/2} \frac{PV}{nR}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $V^{3/2} / V = \frac{K^{3/2}}{nR} P \Rightarrow V^{1/2} = \frac{K^{3/2}}{nR} P$.
इसे $P V^{-1/2} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया के समीकरण $PV^x = \text{constant}$ से करने पर, $x = -1/2$ प्राप्त होता है।
पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR \Delta T}{1-x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान $n = 1$, $\Delta T = 30$, और $x = -1/2$ रखने पर:
$W = \frac{1 \times R \times 30}{1 - (-1/2)} = \frac{30R}{3/2} = 20R$.

(B) पॉलीट्रापिक प्रक्रिया के लिए, समीकरण $P V^x = \text{स्थिरांक}$ है।
बिंदु $A$ पर, $P_1 = 16 P_0$ और $V_1 = V_0$ है।
बिंदु $B$ पर, $P_2 = P_0$ और $V_2 = 2 V_0$ है।
इन मानों को पॉलीट्रापिक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P_1 V_1^x = P_2 V_2^x$।
$16 P_0 (V_0)^x = P_0 (2 V_0)^x$।
$16 = 2^x \implies 2^4 = 2^x \implies x = 4$।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{x - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
$W = \frac{(16 P_0)(V_0) - (P_0)(2 V_0)}{4 - 1}$।
$W = \frac{16 P_0 V_0 - 2 P_0 V_0}{3} = \frac{14}{3} P_0 V_0$।

(D) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $PV^2 = \text{नियत}$.
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$.
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{नियत}$.
इसे सरल करने पर $nRT \cdot V = \text{नियत}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ और $R$ नियत हैं, इसलिए $TV = \text{नियत}$ या $T \propto \frac{1}{V}$ प्राप्त होता है।
$T$ बनाम $V$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है, न कि परवलय या सीधी रेखा।
प्रसार के लिए, $V$ बढ़ता है। चूंकि $T \propto \frac{1}{V}$, इसलिए जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ कम होना चाहिए।
अतः, ऐसा प्रसार केवल ठंडा करने पर ही संभव है।

(A) दी गई प्रक्रिया का संबंध: $VT = K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{PV}{nR}$ प्राप्त होता है।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में रखने पर: $V \left( \frac{PV}{nR} \right) = K$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $PV^2 = nRK$ प्राप्त होता है,जो $PV^x = \text{constant}$ प्रकार की पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है,जहाँ $x = 2$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
पॉलीटरोपिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = C_v + \frac{R}{1-x}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1-2} = \frac{3}{2} R - R = \frac{1}{2} R$ प्राप्त होता है।
$n$ मोल गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = n C \Delta T$ होती है।
यहाँ $n = 1$ है,इसलिए $\Delta Q = 1 \times \left( \frac{1}{2} R \right) \times \Delta T = \frac{1}{2} R \Delta T$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया का नियम $P/V = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है) दिया गया है, इसलिए $P = KV$ है।
इसे कार्य के समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $W = \int_{V_1}^{V_2} KV \, dV = \frac{1}{2} K(V_2^2 - V_1^2)$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ में $P = KV$ रखने पर, $(KV)V = RT$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $KV^2 = RT$।
अतः, $K V_2^2 = RT_2$ और $K V_1^2 = RT_1$।
इन मानों को कार्य के व्यंजक में रखने पर: $W = \frac{1}{2} (KV_2^2 - KV_1^2) = \frac{1}{2} (RT_2 - RT_1) = \frac{R}{2}(T_2 - T_1)$।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,$P = KV$ प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
दिया गया है $P = KV$,हम जानते हैं कि $PV = nRT$। $P = KV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $KV^2 = nRT$ प्राप्त होता है,इसलिए $V^2 \propto T$।
पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^x = \text{constant}$ के लिए,हमारे पास $T V^{x-1} = \text{constant}$ होता है।
चूंकि $V^2 \propto T$,इसलिए $T V^{-2} = \text{constant}$,जिसका अर्थ है कि $x - 1 = -2$,अतः $x = -1$।
मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_v + \frac{R}{1-x} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{1-(-1)} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2} = 2R$ है।
दी गई ऊष्मा $Q = nC\Delta T = 1 \times (2R) \times (2T_0 - T_0) = 2RT_0$ है।

(B) गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ ($1 \, \text{mole}$ के लिए) का उपयोग करते हुए,$P = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है।
दिया गया संबंध $V = KT^{2/3} \dots (i)$ है।
$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dV = K \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \, dT \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
कार्य के समाकलन में $P = \frac{RT}{V}$ रखने पर: $W = \int \frac{RT}{V} dV$.
$\frac{dV}{V} = \frac{2}{3} \frac{dT}{T}$ रखने पर,$W = \int R T \left( \frac{2}{3} \frac{dT}{T} \right) = \int \frac{2}{3} R \, dT$ प्राप्त होता है।
तापमान परिवर्तन $\Delta T = 30^oC$ के लिए समाकलन करने पर,$W = \frac{2}{3} R \Delta T$ प्राप्त होता है।
$W = \frac{2}{3} \times 30R = 20R$.

(A) दिया गया समीकरण $PV^n = C$ है,जहाँ $n = 1.4$ है।
यह एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया को दर्शाता है।
चूंकि $P = \frac{C}{V^{1.4}}$,जैसे-जैसे आयतन $V$ बढ़ता है,दबाव $P$ गैर-रेखीय रूप से घटता है।
यह संबंध $P \propto V^{-1.4}$ एक वक्र को दर्शाता है जो समतापीय प्रक्रिया $(n=1)$ की तुलना में अधिक तीव्र है और यह रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया $(n=\gamma=1.4)$ की विशेषता है।
ग्राफ $A$ इस व्युत्क्रम गैर-रेखीय संबंध (हाइपरबोला जैसा वक्र) को दर्शाता है,जो $PV^{1.4} = C$ के लिए सही निरूपण है।

(A) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $P^2V = \text{constant}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$P = \frac{nRT}{V}$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{nRT}{V})^2 V = \text{constant}$
$\frac{T^2}{V^2} \cdot V = \text{constant}$
$\frac{T^2}{V} = \text{constant}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$ होगा।
यहाँ $T_1 = T_0$,$V_1 = V_0$,और $V_2 = 2V_0$ दिया गया है:
$\frac{T_0^2}{V_0} = \frac{T_2^2}{2V_0}$
$T_2^2 = 2T_0^2$
$T_2 = \sqrt{2} T_0$।

(A) दी गई ऊष्मागतिक प्रक्रिया का समीकरण $PV^{2.5} = 0.40$ है।
$P-V$ वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हमें अवकलन $\frac{dP}{dV}$ की गणना करनी होगी।
सबसे पहले,$P$ को $V$ के फलन के रूप में व्यक्त करें:
$P = 0.40 V^{-2.5}$
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dV} = 0.40 \times (-2.5) \times V^{-2.5-1}$
$\frac{dP}{dV} = -1.0 \times V^{-3.5}$
अब,$V = 1 \, m^3$ पर ढाल का मान ज्ञात करें:
$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{V=1} = -1.0 \times (1)^{-3.5}$
$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{V=1} = -1 \, Pa/m^3$
अतः,$V = 1 \, m^3$ पर $P-V$ वक्र की ढाल $-1$ है।

(A) आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है। दिया गया है $P = kV$ और $n = 1$,इसलिए $kV^2 = RT$,जिसका अर्थ है $V^2 \propto T$।
चूंकि $P = kV$,यह प्रक्रिया एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^{-1} = k$ है। अतः,पॉलीट्रोपिक सूचकांक $x = -1$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3R}{2} \cdot (2T_0 - T_0) = \frac{3RT_0}{2}$ है।
पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR \Delta T}{1-x} = \frac{1 \cdot R \cdot (2T_0 - T_0)}{1 - (-1)} = \frac{RT_0}{2}$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W = \frac{3RT_0}{2} + \frac{RT_0}{2} = 2RT_0$ है।

(A) गैस के लिए दिया गया संबंध $P^2V = \text{constant}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम दबाव को $P = \frac{nRT}{V}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right)^2 V = \text{constant}$.
यह सरल होकर $\frac{n^2R^2T^2}{V^2} \cdot V = \text{constant}$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
दो अवस्थाओं के लिए, हमारे पास $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$ है।
दिया गया है $T_1 = T_0$, $V_1 = V_0$, और $V_2 = 2V_0$, इन मानों को रखने पर:
$\frac{T_0^2}{V_0} = \frac{T_2^2}{2V_0}$.
दोनों पक्षों से $V_0$ को हटाने पर, हमें $T_2^2 = 2T_0^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर, अंतिम तापमान $T_2 = \sqrt{2} T_0$ है।

(D) गैस के लिए दिया गया नियम $P^2V = C$ (नियतांक) है।
आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $PV = nRT$ है,जिसका अर्थ है $P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को दिए गए नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})^2 V = C$।
इसे सरल करने पर $\frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \cdot V = C$,या $\frac{T^2}{V} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$T^2 \propto V$।
प्रारंभिक अवस्था के लिए,$T_0^2 \propto V_0$ है।
अंतिम अवस्था के लिए,मान लीजिए तापमान $T_f$ और आयतन $3V_0$ है,इसलिए $T_f^2 \propto 3V_0$।
दोनों संबंधों को विभाजित करने पर: $\frac{T_f^2}{T_0^2} = \frac{3V_0}{V_0} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $T_f = \sqrt{3} T_0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई प्रक्रिया $P = aV^2$ है, जिसे $PV^{-2} = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया समीकरण $PV^x = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{5R}{2}$ होती है।
मान रखने पर, हमें $C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{1 - (-2)}$ प्राप्त होता है।
$C = \frac{5R}{2} + \frac{R}{3} = \frac{15R + 2R}{6} = \frac{17R}{6}$.

(N/A) पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = K$ में किया गया कार्य $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $n = 1/2$. अतः, $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1/2 - 1} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{-1/2} = 2(P_2V_2 - P_1V_1)$.
चूंकि $P_1V_1^{1/2} = P_2V_2^{1/2}$, हमारे पास $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{1/2}$ है।
इस प्रकार, $W = 2[P_1(V_1/V_2)^{1/2}V_2 - P_1V_1] = 2P_1V_1[(V_2/V_1)^{1/2} - 1]$.
$(b)$ आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ ($1$ मोल के लिए) का उपयोग करते हुए, $P = RT/V$.
$PV^{1/2} = K$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(RT/V)V^{1/2} = K$, इसलिए $TV^{-1/2} = \text{नियतांक}$.
अतः, $T_1V_1^{-1/2} = T_2V_2^{-1/2} \implies \frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{V_2})^{1/2}$.
दिया गया है $V_2 = 2V_1$, तो $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{2V_1})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1)$.
चूंकि $T_2 = \sqrt{2}T_1$, $\Delta U = \frac{3}{2}R(\sqrt{2}T_1 - T_1) = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$W = 2(P_2V_2 - P_1V_1) = 2R(T_2 - T_1) = 2RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1) + 2RT_1(\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.

(N/A) ग्राफ से,प्रक्रिया $PV^{\frac{1}{2}} = K$ (स्थिरांक) का पालन करती है।
$(a)$ अवस्था $1$ से $2$ तक की प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{\sqrt{V}} \, dV = K \left[ \frac{V^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{V_1}^{V_2} = 2K(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1})$.
चूंकि $K = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$,इसलिए $W = 2P_1 V_1^{\frac{1}{2}}(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1}) = 2P_1 V_1 (\sqrt{\frac{V_2}{V_1}} - 1)$.
$V_2 = 2V_1$ दिए जाने पर,$W = 2P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$(b)$ आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ और $P = \frac{K}{\sqrt{V}}$ से,हमें $T = \frac{PV}{nR} = \frac{K\sqrt{V}}{nR}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V_1}{2V_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(P_2 V_2 - P_1 V_1)$.
चूंकि $P_2 V_2^{\frac{1}{2}} = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$,इसलिए $P_2 = P_1 \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \frac{P_1}{\sqrt{2}}$.
$P_2 V_2 = \frac{P_1}{\sqrt{2}} (2V_1) = P_1 V_1 \sqrt{2}$.
$\Delta U = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) + 2 P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया के लिए, समीकरण $PV^{x} = \text{नियतांक}$ होता है।
यहाँ दी गई प्रक्रिया का समीकरण $PV^{1/2} = \text{नियतांक}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके, हम $P = \frac{nRT}{V}$ लिख सकते हैं।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{1/2} = \text{नियतांक}$
$T V^{-1} V^{1/2} = \text{नियतांक}$
$T V^{-1/2} = \text{नियतांक}$
अतः, $T_{1} V_{1}^{-1/2} = T_{2} V_{2}^{-1/2}$ होगा।
तापमान के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{-1/2} = \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{1/2}$।
दिया गया है कि $V_{2} = 2V_{1}$, इसलिए $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः, $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रक्रिया का समीकरण $p V^2 = \beta$ है।
चूंकि गैस आदर्श है,यह आदर्श गैस समीकरण $p V = n R T$ का पालन करती है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम लिख सकते हैं $p = \frac{n R T}{V}$।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{n R T}{V}\right) V^2 = \beta$,जो सरल होकर $n R T V = \beta$ हो जाता है।
दिए गए मान:
$n = 0.02 \, mol$
$R = 8.31 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$T = 20^{\circ} C = 293 \, K$
$V = 1500 \, cm^3 = 1.5 \times 10^{-3} \, m^3$।
अब,$\beta$ की गणना करते हैं:
$\beta = n R T V = (0.02) \times (8.31) \times (293) \times (1.5 \times 10^{-3})$।
$\beta = 0.02 \times 8.31 \times 293 \times 0.0015 \approx 0.0729 \, Pa \cdot m^6$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\beta$ का मान लगभग $7.5 \times 10^{-2} \, Pa \cdot m^6$ है।

(B) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $p V^2 = C$ है।
आदर्श गैस के लिए,हम जानते हैं कि $p V = n R T$,जिसका अर्थ है $p = \frac{n R T}{V}$।
इस मान को प्रक्रिया के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{n R T}{V}\right) V^2 = C$
$n R T V = C$
चूँकि $n, R,$ और $C$ नियतांक हैं,इसलिए $T V = \text{नियतांक}$,या $T \propto \frac{1}{V}$ प्राप्त होता है।
यदि $V_2 > V_1$ है,तो $T \propto \frac{1}{V}$ के संबंध के अनुसार,तापमान $T_2$ का मान $T_1$ से कम होगा $(T_2 < T_1)$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $p V^x = C$ के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C_{process}$ का सूत्र $C_{process} = C_V + \frac{R}{1 - x}$ होता है।
यहाँ,दी गई प्रक्रिया $p V^3 = C$ है,इसलिए $x = 3$ है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C_{process} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1 - 3}$
$C_{process} = \frac{3}{2} R + \frac{R}{-2}$
$C_{process} = \frac{3}{2} R - \frac{1}{2} R = R$.
अतः,प्रक्रिया के दौरान गैस की ऊष्मा धारिता $R$ है।

(C) प्रक्रिया का समीकरण $p V^{\alpha} = K$ (स्थिरांक) है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$pV = nRT$,इसलिए $p = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\alpha} = K \Rightarrow T V^{\alpha-1} = \text{स्थिरांक}$।
पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $p V^{\alpha} = K$ में किया गया कार्य $\Delta W = \int p dV = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{1-\alpha} = \frac{nR \Delta T}{1-\alpha}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
हम जानते हैं कि $\Delta Q = C \Delta T$ और $\Delta U = C_V \Delta T$।
इन मानों को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $C \Delta T = C_V \Delta T + \frac{nR \Delta T}{1-\alpha}$।
$\Delta T$ से विभाजित करने पर,हमें मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_V + \frac{nR}{1-\alpha}$ प्राप्त होती है।

(C) पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया में,मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C$ को संबंध $C = C_V + \frac{R}{1-N}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_V$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $N$ पॉलीट्रोपिक सूचकांक है।
हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,$C_V = \frac{R}{\gamma-1}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-N}$ प्राप्त होता है।
इसे $C = \frac{R}{\gamma-1} - \frac{R}{N-1}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दी गई प्रक्रिया एक पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया है जिसे $P \propto V^{-2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे $P V^2 = \text{नियतांक}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे सामान्य पॉलीट्रोपिक समीकरण $P V^n = \text{नियतांक}$ के साथ तुलना करने पर, हमें पॉलीट्रोपिक सूचकांक $n = 2$ प्राप्त होता है।
पॉलीट्रापिक प्रक्रिया में एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{\mu R (T_1 - T_2)}{n - 1}$ या $W = \frac{\mu R \Delta T}{1 - n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: मोल की संख्या $\mu = 2$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \, K$, अंतिम तापमान $T_2 = 400 \, K$, और $n = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{2 \times R \times (400 - 300)}{1 - 2}$
$W = \frac{2 \times R \times 100}{-1}$
$W = -200 \, R$.
अतः, गैस द्वारा किया गया कार्य $-200 \, R$ है।

(B) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^n = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रक्रिया परवलयाकार है,$P \propto V^2$,जिसका अर्थ है $P = aV^2$। हालाँकि,मानक रूप $PV^n = K$ को देखते हुए,हम इसे $P V^{-2} = K$ के रूप में लिखते हैं,इसलिए $n = -2$ है।
एक आदर्श द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C$ का सूत्र $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{1 - n}$ है।
मान रखने पर: $C = \frac{R}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{R}{1 - (-2)} = \frac{R}{\frac{2}{5}} + \frac{R}{3} = \frac{5R}{2} + \frac{R}{3}$।
योग की गणना करने पर: $C = \frac{15R + 2R}{6} = \frac{17R}{6}$।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = K$ के लिए, मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_v + \frac{R}{1-n}$ द्वारा दी जाती है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, $C_v = \frac{5}{2}R$। दिया गया है $n = 1.3$, अतः $C = \frac{5}{2}R + \frac{R}{1-1.3} = 2.5R - 3.33R = -0.83R$।
चूंकि $C < 0$ है, गैस प्रसार के दौरान ऊष्मा अवशोषित करती है।
कथन $A$: गैस प्रसार के दौरान ऊष्मा अवशोषित करती है। यह सही है।
कथन $B$: प्रसार के दौरान गैस ठंडी हो जाती है। यह सही है क्योंकि $T \propto V^{1-n} = V^{-0.3}$।
कथन $C$: प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है, इसलिए परिवेश द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है। यह सही है।
अतः, सभी कथन $A$, $B$, और $C$ सही हैं, इसलिए गलत कथन 'इनमें से कोई नहीं' है।