Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि तीनों नमूनों के लिए प्रारंभिक आयतन $V$ है और अंतिम दाब $P$ है।
नमूने $A$ के लिए (रुद्धोष्म प्रक्रिया): $P_A V^{\gamma} = P_f (2V)^{\gamma}$। दिया गया है कि $P_f = P$ और $\gamma = 3/2$,इसलिए $P_A V^{3/2} = P (2V)^{3/2} \implies P_A = P \cdot 2^{3/2} = 2\sqrt{2}P$।
नमूने $B$ के लिए (समदाबीय प्रक्रिया): दाब स्थिर रहता है,इसलिए $P_B = P_f = P$।
नमूने $C$ के लिए (समतापीय प्रक्रिया): $P_C V = P_f (2V)$। दिया गया है कि $P_f = P$,इसलिए $P_C V = P(2V) \implies P_C = 2P$।
अतः,प्रारंभिक दाब का अनुपात $P_A : P_B : P_C = 2\sqrt{2}P : P : 2P = 2\sqrt{2} : 1 : 2$ है।

(C) द्विपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \mu C_P \Delta T = \frac{7}{2} \mu R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \mu C_V \Delta T = \frac{5}{2} \mu R \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q - \Delta U = \frac{7}{2} \mu R \Delta T - \frac{5}{2} \mu R \Delta T = \mu R \Delta T = \frac{2}{2} \mu R \Delta T$ होता है।
अतः,अनुपात $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} : \frac{5}{2} : \frac{2}{2} = 7 : 5 : 2$ है।

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
चूंकि पूरे चक्र के लिए $\Delta U = 0$ है,इसलिए कुल दी गई ऊष्मा $\Delta Q_{total}$ कुल किए गए कार्य $\Delta W_{total}$ के बराबर होनी चाहिए।
पहली प्रक्रिया में: $\Delta Q_1 = 100 \ J$ और $\Delta W_1 = 20 \ J$.
दूसरी प्रक्रिया में: $\Delta Q_2 = -20 \ J$ (ऊष्मा मुक्त होती है) और मान लीजिए किया गया कार्य $W_2$ है।
कुल ऊष्मा $\Delta Q_{total} = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 = 100 - 20 = 80 \ J$.
कुल कार्य $\Delta W_{total} = \Delta W_1 + W_2 = 20 + W_2$.
दोनों को बराबर करने पर: $80 = 20 + W_2$.
अतः,$W_2 = 60 \ J$.

(B) चूंकि गैस एक पात्र में बंद है, इसलिए गर्म करने की प्रक्रिया के दौरान गैस का आयतन स्थिर रहता है। अतः, गैस द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, दी गई ऊष्मा $(Q)$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ के बराबर होती है।
$N$ मोल द्विपरमाणुक गैस की प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $U_1 = N \left( \frac{5}{2}RT \right)$ है।
विघटन के बाद, $n$ मोल द्विपरमाणुक गैस $2n$ मोल एकपरमाणुक गैस में बदल जाती है। शेष $(N-n)$ मोल द्विपरमाणुक ही रहते हैं।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_2 = (N - n) \left( \frac{5}{2}RT \right) + 2n \left( \frac{3}{2}RT \right)$ है।
$U_2 = \frac{5}{2}NRT - \frac{5}{2}nRT + 3nRT = \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT$.
दी गई ऊष्मा $Q = U_2 - U_1 = \left( \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT \right) - \frac{5}{2}NRT = \frac{1}{2}nRT$.

(A) मान लीजिए कि प्रक्रिया प्रारंभिक अवस्था $A$ से शुरू होती है जहाँ दाब ${P_A}$, आयतन ${V_A}$ और तापमान ${T_A}$ है।
$(i)$ समतापीय प्रसार: गैस स्थिर तापमान ${T_A}$ पर $V_A$ से $2V_A$ तक फैलती है। बॉयल के नियम $(PV = \text{स्थिरांक})$ के अनुसार, दाब ${P_A}/2$ हो जाता है। इसे $P-V$ आरेख में पथ $A \rightarrow B$ द्वारा दर्शाया गया है।
(ii) समदाबी संपीड़न: गैस को स्थिर दाब ${P_A}/2$ पर $2V_A$ से $V_A$ तक संपीड़ित किया जाता है। चार्ल्स के नियम $(V \propto T)$ के अनुसार, तापमान ${T_A}$ से घटकर ${T_A}/2$ हो जाता है। इसे $P-V$ आरेख में पथ $B \rightarrow C$ द्वारा दर्शाया गया है।
(iii) समआयतनिक संपीड़न: गैस को स्थिर आयतन $V_A$ पर ${P_A}/2$ दाब से वापस मूल दाब ${P_A}$ तक संपीड़ित किया जाता है। गे-लुसाक के नियम $(P \propto T)$ के अनुसार, तापमान ${T_A}/2$ से बढ़कर वापस ${T_A}$ हो जाता है। इसे $P-V$ आरेख में पथ $C \rightarrow A$ द्वारा दर्शाया गया है।
इन अवस्थाओं की तुलना करने पर: $A(P_A, V_A, T_A) \rightarrow B(P_A/2, 2V_A, T_A) \rightarrow C(P_A/2, V_A, T_A/2) \rightarrow A(P_A, V_A, T_A)$.

(D) दिए गए $VT$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $c \rightarrow a$: $T$ स्थिर है,इसलिए यह एक समतापीय प्रक्रिया है। $PV$ आरेख में,यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है। चूंकि $V$ घटता है,इसलिए $P$ को बढ़ना चाहिए।
$2$. प्रक्रिया $a \rightarrow b$: यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। $PV$ आरेख में,यह वक्र समतापीय प्रक्रिया की तुलना में अधिक तीव्र ढलान वाला होता है। चूंकि $V$ बढ़ता है,इसलिए $P$ घटता है।
$3$. प्रक्रिया $b \rightarrow c$: यह एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें रेखा $VT$ आरेख में मूल बिंदु से होकर गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $V \propto T$। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,यदि $V \propto T$ है,तो $P$ स्थिर होना चाहिए। अतः,यह एक समदाबी प्रक्रिया है। $PV$ आरेख में,यह एक क्षैतिज रेखा है। चूंकि $V$ बढ़ता है,प्रक्रिया दाईं ओर जाती है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही $PV$ वक्र विकल्प $D$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) दी गई प्रक्रिया: $PT = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस समीकरण से, हमारे पास $PV = nRT$ है, जिसका अर्थ है $T = \frac{PV}{nR}$.
दी गई प्रक्रिया के समीकरण में $T$ का मान रखने पर:
$P \left( \frac{PV}{nR} \right) = \text{नियतांक}$
चूंकि $n$ और $R$ नियतांक हैं, हम लिख सकते हैं:
$P^2 V = \text{नियतांक}'$
$P^2 = \frac{\text{नियतांक}'}{V}$
$P = \frac{k}{\sqrt{V}}$, जहाँ $k$ एक नियतांक है।
यह समीकरण एक वक्र को दर्शाता है जहाँ $V$ बढ़ने के साथ $P$ घटता है, जो विशेष रूप से $P \propto V^{-1/2}$ के रूप का पालन करता है। यह एक प्रकार का आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) वक्र है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, वह ग्राफ जो दर्शाता है कि $V$ बढ़ने के साथ $P$ इस प्रकार घटता है, विकल्प $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) ग्राफ $(V, 2P)$ और $(2V, P)$ बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
रेखा का समीकरण $P - P_1 = m(V - V_1)$ है,जहाँ $m = \frac{P - 2P}{2V - V} = \frac{-P}{V}$ है।
अतः,$P - 2P = -\frac{P}{V}(V - V_1) \Rightarrow P = -\frac{P}{V}V + 3P$।
$1$ मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT \Rightarrow P = \frac{RT}{V}$ है।
रेखा समीकरण में $P$ का मान रखने पर: $\frac{RT}{V} = -\frac{P}{V}V + 3P$।
$T = \frac{1}{R}(-PV + 3PV)$।
$RT = -\frac{P}{V}V^2 + 3PV$।
अधिकतम $T$ ज्ञात करने के लिए,$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dT}{dV} = \frac{1}{R}(-\frac{2PV}{V} + 3P) = 0$।
$2V = 3V \Rightarrow V = 1.5V$।
जब $V = 1.5V$ है,तब $P = -\frac{P}{V}(1.5V) + 3P = 1.5P$।
$T_{max} = \frac{PV}{R} = \frac{(1.5P)(1.5V)}{R} = \frac{2.25PV}{R} = \frac{9PV}{4R}$।

(A) एक आदर्श गैस के लिए, प्रारंभिक अवस्था $(P, V)$ है और अंतिम आयतन $V_f = 2V$ है।
$(p)$ समदाबी प्रक्रिया: दाब $P$ स्थिर रहता है।
कार्य $W = P \Delta V = P(2V - V) = PV$. अतः, $(p) \rightarrow (y)$.
$(q)$ समतापीय प्रक्रिया: तापमान $T$ स्थिर रहता है।
कार्य $W = nRT \ln(\frac{V_f}{V_i}) = PV \ln(\frac{2V}{V}) = PV \ln 2$. अतः, $(q) \rightarrow (z)$.
$(r)$ रुद्धोष्म प्रक्रिया: $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
$P_i V_i^{\gamma} = P_f V_f^{\gamma} \Rightarrow P(V)^{\gamma} = P_f(2V)^{\gamma} \Rightarrow P_f = P(2)^{-\gamma}$.
कार्य $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} = \frac{PV - P 2^{-\gamma} 2V}{\gamma - 1} = \frac{PV(1 - 2^{1 - \gamma})}{\gamma - 1}$. अतः, $(r) \rightarrow (x)$.
इसलिए, सही मिलान $p-y, q-z, r-x$ है।

(A) मान लीजिए कि अवशोषित ऊष्मा $Q_{1}$ है,अस्वीकृत ऊष्मा $Q_{2}$ है और किया गया कार्य $W$ है।
एक चक्र के लिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q_{1} = W + Q_{2}$ है।
यह दिया गया है कि निम्न तापमान पर अस्वीकृत ऊर्जा,किए गए कार्य का $3$ गुना है,इसलिए $Q_{2} = 3W$ है।
इस मान को ऊर्जा संतुलन समीकरण में रखने पर: $Q_{1} = W + 3W = 4W$ प्राप्त होता है।
चक्र की दक्षता $\eta$ को किए गए कार्य और अवशोषित ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$।
$Q_{1}$ का मान रखने पर,हमें $\eta = \frac{W}{4W} = \frac{1}{4} = 0.25$ प्राप्त होता है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W$।
$1$. प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ (समतापीय) के लिए: $\Delta U_{1 \rightarrow 2} = 0$,इसलिए $\Delta Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta W_{1 \rightarrow 2}$।
$2$. प्रक्रिया $2 \rightarrow 3$ (समआयतनिक) के लिए: $\Delta W_{2 \rightarrow 3} = 0$। दिया गया है कि $40 \ J$ ऊष्मा निकाय से बाहर निकलती है,इसलिए $\Delta Q_{2 \rightarrow 3} = -40 \ J$। प्रथम नियम से,$\Delta U_{2 \rightarrow 3} = \Delta Q_{2 \rightarrow 3} - \Delta W_{2 \rightarrow 3} = -40 - 0 = -40 \ J$।
$3$. प्रक्रिया $3 \rightarrow 1$ (रुद्धोष्म) के लिए: $\Delta Q_{3 \rightarrow 1} = 0$। प्रथम नियम से,$\Delta U_{3 \rightarrow 1} = \Delta Q_{3 \rightarrow 1} - \Delta W_{3 \rightarrow 1} = -\Delta W_{3 \rightarrow 1}$।
चक्र के लिए कुल आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होने के कारण: $\Delta U_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{2 \rightarrow 3} + \Delta U_{3 \rightarrow 1} = 0$।
$0 + (-40) + (-\Delta W_{3 \rightarrow 1}) = 0$।
अतः,$\Delta W_{3 \rightarrow 1} = -40 \ J$।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v\Delta T$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $C_v > 0$,$\Delta U$ तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ के सीधे आनुपातिक है।
$1$. समतापी प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$,जिसका अर्थ है $\Delta U = 0$.
$2$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस का विस्तार होता है $(V_2 > V_1)$,इसलिए गैस द्वारा धनात्मक कार्य किया जाता है $(W > 0)$। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -W$। अतः,$\Delta U < 0$।
$3$. समदाबी प्रक्रिया के लिए,दबाव स्थिर रहता है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है,$T$ भी बढ़ना चाहिए $(\Delta T > 0)$। इसलिए,$\Delta U > 0$।
इन मानों की तुलना करने पर: $\Delta U_{\text{isobaric}} > 0$,$\Delta U_{\text{isothermal}} = 0$,और $\Delta U_{\text{adiabatic}} < 0$।
अतः,क्रम $\Delta U_{\text{isobaric}} > \Delta U_{\text{isothermal}} > \Delta U_{\text{adiabatic}}$ है।
इसलिए,कथन $b$ गलत है।

(A) गैस एकपरमाणुक है,इसलिए $C_v = \frac{3}{2}R$ और $C_p = \frac{5}{2}R$ है।
ऊष्मा केवल $AB$ और $BC$ प्रक्रियाओं के दौरान अवशोषित होती है।
$AB$ प्रक्रिया (समआयतनिक) के लिए: $\Delta Q_{AB} = n C_v \Delta T = \frac{3}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = \frac{3}{2} V_0 (2P_0) = 3P_0 V_0$.
$BC$ प्रक्रिया (समदाबीय) के लिए: $\Delta Q_{BC} = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T = \frac{5}{2} P_0 \Delta V = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0 V_0$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3P_0 V_0 + \frac{15}{2} P_0 V_0 = \frac{21}{2} P_0 V_0$.
किया गया कुल कार्य $W = ABCD$ आयत का क्षेत्रफल $= (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0 V_0$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{2P_0 V_0}{\frac{21}{2} P_0 V_0} = \frac{4}{21}$.

(C) माना बेलन की कुल लंबाई $L = 84 \text{ cm}$ है। प्रारंभ में,पिस्टन केंद्र में है,इसलिए प्रत्येक भाग की लंबाई $l = 42 \text{ cm}$ है।
माना दोनों भागों में अंतिम दबाव $P$ है (क्योंकि पिस्टन संतुलन में है) और पिस्टन का विस्थापन $x$ है।
दोनों भागों की अंतिम लंबाई $(42 - x)$ और $(42 + x)$ है।
पहले भाग के लिए (तापमान $T_1 = 300 \text{ K}$ रहता है):
$P_0 V_0 = P V_1 \Rightarrow 1 \times 42 = P(42 - x) \Rightarrow P(42 - x) = 42 \quad ...(i)$
दूसरे भाग के लिए (तापमान बढ़कर $T_2 = 57 + 273 = 330 \text{ K}$ हो जाता है):
$\frac{P_0 V_0}{T_1} = \frac{P V_2}{T_2} \Rightarrow \frac{1 \times 42}{300} = \frac{P(42 + x)}{330} \Rightarrow P(42 + x) = 42 \times \frac{330}{300} = 46.2 \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{42 + x}{42 - x} = \frac{46.2}{42} = 1.1$
$42 + x = 1.1(42 - x) = 46.2 - 1.1x$
$2.1x = 4.2 \Rightarrow x = 2 \text{ cm}$.

(B) पात्र $A$ के लिए (समआयतनिक प्रक्रिया): पिस्टन स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य $W_A = 0$ है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U_A + W_A = \Delta U_A$। अतः,$\Delta U_A = \Delta Q$।
पात्र $B$ के लिए (समदाबी प्रक्रिया): पिस्टन मुक्त है,इसलिए दाब स्थिर रहता है। अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_B = n C_v \Delta T$ है। किया गया कार्य $W_B = n R \Delta T = \Delta Q - \Delta U_B$ है।
चूंकि दोनों के लिए $\Delta Q$ समान है,$\Delta U_A = \Delta Q = \Delta U_B + W_B = n C_v \Delta T + n R \Delta T = n (C_v + R) \Delta T = n C_p \Delta T$।
दिया गया है कि $\Delta U_B = n C_v \Delta T = 100 \, J$। एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2} R$ और $C_p = \frac{5}{2} R$।
इसलिए,$\Delta U_B = n (\frac{3}{2} R) \Delta T = 100 \, J$,जिसका अर्थ है कि $n R \Delta T = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3} \, J$।
अतः,$\Delta U_A = \Delta Q = n C_p \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} \times (n R \Delta T) = \frac{5}{2} \times \frac{200}{3} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \, J \approx 167 \, J$.

(D) एक पूर्ण ऊष्मागतिक चक्र के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है,इसलिए $\Delta U_{cycle} = \Delta U_{1\rightarrow 2} + \Delta U_{2\rightarrow 3} + \Delta U_{3\rightarrow 1} = 0$.
दिया गया है: $\Delta U_{2\rightarrow 3} = -20\,J$ (आंतरिक ऊर्जा में कमी)।
प्रक्रिया $3\rightarrow 1$ (रुद्धोष्म) के लिए,$Q_{3\rightarrow 1} = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U_{3\rightarrow 1} = Q_{3\rightarrow 1} - W_{3\rightarrow 1}$।
निकाय पर किया गया कार्य $20\,J$ है,इसलिए $W_{3\rightarrow 1} = -20\,J$।
अतः,$\Delta U_{3\rightarrow 1} = 0 - (-20\,J) = 20\,J$।
अब,$\Delta U_{1\rightarrow 2} + (-20\,J) + 20\,J = 0$,जिससे $\Delta U_{1\rightarrow 2} = 0$ प्राप्त होता है।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W_{cycle} = W_{1\rightarrow 2} + W_{2\rightarrow 3} + W_{3\rightarrow 1} = 10\,J$।
चूंकि प्रक्रिया $2\rightarrow 3$ समआयतनिक है,$W_{2\rightarrow 3} = 0$।
इसलिए,$W_{1\rightarrow 2} + 0 + (-20\,J) = 10\,J$,जिससे $W_{1\rightarrow 2} = 30\,J$ प्राप्त होता है।
प्रक्रिया $1\rightarrow 2$ (समतापीय) के लिए,$\Delta U_{1\rightarrow 2} = 0$।
प्रथम नियम लागू करने पर: $Q_{1\rightarrow 2} = \Delta U_{1\rightarrow 2} + W_{1\rightarrow 2} = 0 + 30\,J = 30\,J$।

(D) दिए गए $V-T$ ग्राफ में:
$1$. प्रक्रिया $AB$: ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसका अर्थ है $V \propto T$। चूंकि $PV = nRT$ होता है,इसका मतलब है कि $P$ स्थिर है। अतः,$AB$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $BC$: ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,$BC$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $CA$: ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि $V$ स्थिर है। अतः,$CA$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
अब,$P-T$ ग्राफ का विश्लेषण करते हैं:
- प्रक्रिया $AB$ (समदाबी) में,$P$ स्थिर होना चाहिए। यह $P-T$ ग्राफ में एक क्षैतिज रेखा के अनुरूप है।
- प्रक्रिया $BC$ (समतापीय) में,$T$ स्थिर होना चाहिए। यह $P-T$ ग्राफ में एक ऊर्ध्वाधर रेखा के अनुरूप है।
- प्रक्रिया $CA$ (समआयतनिक) में,$V$ स्थिर है। $P = (nR/V)T$ से,$P \propto T$। यह $P-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुरूप है।
इनकी तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $D$ चक्र $AB$ (समदाबी,क्षैतिज),$BC$ (समतापीय,ऊर्ध्वाधर) और $CA$ (समआयतनिक,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा) का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(D) $PT$ आरेख पर दी गई चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ में:
$1$. $A$ से $B$ तक: दबाव $P$ स्थिर है,इसलिए यह एक समदाबीय प्रक्रिया है। $PV$ आरेख में,यह एक क्षैतिज रेखा है।
$2$. $B$ से $C$ तक: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T$। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमें $P = (nR/V)T$ प्राप्त होता है। चूँकि $P/T$ स्थिर है,इसलिए आयतन $V$ स्थिर होना चाहिए। यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है,जिसे $PV$ आरेख में एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. $C$ से $A$ तक: तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए यह एक समतापीय प्रक्रिया है। $PV$ आरेख में,इसे एक आयताकार हाइपरबोला $(P \propto 1/V)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,प्रक्रिया $A \rightarrow B$ (समदाबीय),$B \rightarrow C$ (समआयतनिक),और $C \rightarrow A$ (समतापीय) विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) $1$. एक पूर्ण चक्र के लिए,आंतरिक ऊर्जा में शुद्ध परिवर्तन शून्य होता है: $\Delta U_{A \rightarrow B} + \Delta U_{B \rightarrow C} + \Delta U_{C \rightarrow A} = 0$.
$2$. प्रक्रिया $B \rightarrow C$ (समआयतनिक) के लिए,किया गया कार्य $W_{B \rightarrow C} = 0$ है। अतः,$\Delta U_{B \rightarrow C} = Q_{B \rightarrow C} = - 500 \text{ kJ}$.
$3$. प्रक्रिया $A \rightarrow B$ (समदाबी) के लिए,$W_{A \rightarrow B} = P \Delta V = (3 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (1.5 - 1) \text{ m}^3 = 1.5 \times 10^5 \text{ J} = 150 \text{ kJ}$.
$4$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$Q_{A \rightarrow B} = \Delta U_{A \rightarrow B} + W_{A \rightarrow B} = 400 + 150 = 550 \text{ kJ}$.
$5$. प्रक्रिया $C \rightarrow A$ के लिए,$W_{C \rightarrow A} = CA$ के नीचे का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (1.5 - 1) \times (3 \times 10^5 - 2 \times 10^5) = 25 \text{ kJ}$। चूँकि आयतन घट रहा है,$W_{C \rightarrow A} = - 25 \text{ kJ}$.
$6$. $\Delta U_{C \rightarrow A} = - (\Delta U_{A \rightarrow B} + \Delta U_{B \rightarrow C}) = - (400 - 500) = + 100 \text{ kJ}$.
$7$. $Q_{C \rightarrow A} = \Delta U_{C \rightarrow A} + W_{C \rightarrow A} = 100 - 25 = 75 \text{ kJ}$.

(C) दिए गए $P-V$ आरेख में, प्रक्रिया $A \rightarrow B$ एक समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दबाव) है क्योंकि रेखा क्षैतिज है। प्रक्रिया $B \rightarrow C$ एक समतापीय प्रक्रिया (स्थिर तापमान) है क्योंकि यह $PV = \text{स्थिरांक}$ वक्र का पालन करती है।
अब, विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $A \rightarrow B$ (समदाबी) के लिए: $V-T$ आरेख में, $V/T = \text{स्थिरांक}$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। $P-T$ आरेख में, यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
$2$. $B \rightarrow C$ (समतापीय) के लिए: $V-T$ आरेख में, एक समतापीय प्रक्रिया एक ऊर्ध्वाधर रेखा $(T = \text{स्थिरांक})$ होती है।
विकल्पों को देखने पर, विकल्प $C$ में $A \rightarrow B$ को मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा (समदाबी) और $B \rightarrow C$ को एक ऊर्ध्वाधर रेखा (समतापीय) के रूप में दिखाया गया है। अतः, विकल्प $C$ सही है।

(D) आदर्श गैस के लिए,तापमान $T$ दबाव और आयतन के गुणनफल के समानुपाती होता है,अर्थात $T \propto PV$।
चूंकि प्रक्रिया $P-V$ आरेख पर एक सीधी रेखा है,रेखा का समीकरण $P = -mV + c$ है,जहाँ $m$ ढाल का परिमाण $(m > 0)$ है और $c$ अंतःखंड है।
इसे तापमान संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $T \propto (-mV + c)V = -mV^2 + cV$।
यह $V$ के सापेक्ष नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। तापमान $T$ बढ़ता है जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है,जब तक कि यह परवलय के शीर्ष पर अधिकतम मान तक नहीं पहुँच जाता,और फिर जैसे-जैसे $V$ बढ़ना जारी रहता है,यह घटता जाता है।
चूंकि प्रारंभिक और अंतिम तापमान समान हैं,इसलिए प्रक्रिया को विभिन्न समतापीय वक्रों $(T_1, T_2, T_3, T_4)$ को इस तरह से पार करना चाहिए कि यह कम तापमान पर शुरू हो,अधिकतम तक पहुँचे और प्रारंभिक तापमान मान पर वापस आ जाए।
इस प्रकार,तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है,और समतापीय वक्रों को इस तरह से काटने के लिए सीधी रेखा का ढाल ऋणात्मक होना चाहिए।

(D) किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,पथ $A$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है,उसके बाद $B, C$ और $D$ सबसे छोटा है।
अतः,$W_A > W_B > W_C > W_D$ $...(1)$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$Q = \Delta U + W$,जिसका अर्थ है $Q - W = \Delta U$ $...(2)$
चूंकि $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए अवस्था $1$ और अवस्था $2$ के बीच सभी पथों के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान रहता है।
इसलिए,$Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D = \Delta U$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
विकल्प $(B)$ कहता है कि $Q_A - W_A = Q_D - W_D$,जो सही है क्योंकि दोनों $\Delta U$ के बराबर हैं।
विकल्प $(C)$ कहता है कि $Q_A > Q_B > Q_C > Q_D$. चूंकि $Q = \Delta U + W$ और $\Delta U$ स्थिर है,इसलिए $Q$ भी $W$ के क्रम का पालन करता है। अतः,$Q_A > Q_B > Q_C > Q_D$ भी सही है।
चूंकि $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) एक थर्मोडायनामिक चक्र के लिए,आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य होता है: $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,हम लुप्त मान ज्ञात कर सकते हैं:
$1$. प्रक्रिया $AB$ के लिए: $\Delta U_{AB} = \Delta Q_{AB} - \Delta W_{AB} = 150 - 40 = 110 \, J$.
$2$. प्रक्रिया $BC$ के लिए: $\Delta W_{BC} = \Delta Q_{BC} - \Delta U_{BC} = 10 - 50 = - 40 \, J$.
$3$. चूंकि $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0$,इसलिए $110 + 50 + \Delta U_{CA} = 0$,जिससे $\Delta U_{CA} = - 160 \, J$ प्राप्त होता है।
$4$. प्रक्रिया $CA$ के लिए: $\Delta Q_{CA} = \Delta U_{CA} + \Delta W_{CA} = - 160 + 30 = - 130 \, J$.
इन परिणामों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ सही है।

(A) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = P_0(2V_0 - V_0) = P_0 V_0$ है। चूंकि दोनों गैसों के लिए दबाव और आयतन में परिवर्तन समान है,इसलिए $\Delta W_1 = \Delta W_2 = P_0 V_0$ होगा।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। अतः,$\Delta Q_1 - \Delta U_1 = \Delta W_1$ और $\Delta Q_2 - \Delta U_2 = \Delta W_2$। चूंकि $\Delta W_1 = \Delta W_2$,हमारे पास $\Delta Q_1 - \Delta U_1 = \Delta Q_2 - \Delta U_2$ है,जिसका अर्थ है कि $\Delta Q_1 - \Delta Q_2 = \Delta U_1 - \Delta U_2$। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$C_V = \frac{3}{2}R$ और $C_P = \frac{5}{2}R$ है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$C_V = \frac{5}{2}R$ और $C_P = \frac{7}{2}R$ है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$nR \Delta T = P_0 V_0$ प्राप्त होता है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U_1 = n C_{V1} \Delta T = \frac{3}{2} P_0 V_0$ और $\Delta U_2 = n C_{V2} \Delta T = \frac{5}{2} P_0 V_0$। स्पष्ट रूप से,$\Delta U_2 > \Delta U_1$,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
दी गई ऊष्मा: $\Delta Q_1 = n C_{P1} \Delta T = \frac{5}{2} P_0 V_0$ और $\Delta Q_2 = n C_{P2} \Delta T = \frac{7}{2} P_0 V_0$। चूंकि $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$,इसलिए $\Delta U_2 + \Delta W_2 > \Delta U_1 + \Delta W_1$ होगा। अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(D) $1$. एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है $(U = nC_vT)$। अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v(T_2 - T_1)$ किसी भी प्रक्रिया के लिए मान्य है,जिसमें नियत दाब प्रक्रिया भी शामिल है। कथन $A$ सही है।
$2$. रुद्धोष्म प्रक्रिया में,$Q = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$,इसलिए $\Delta U = -W$। इसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का परिमाण और किए गए कार्य का परिमाण बराबर है। कथन $B$ सही है।
$3$. समतापीय प्रक्रिया में,तापमान $T$ नियत रहता है। चूंकि एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल $T$ पर निर्भर करती है,इसलिए $\Delta U = 0$ होता है। कथन $C$ सही है।
$4$. चूंकि सभी कथन $A, B$ और $C$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है। जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,समान विस्तार के लिए समतापीय वक्र रुद्धोष्म वक्र के ऊपर स्थित होता है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक होता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए: $T_{2} = T_{0}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $T_{0}(V_{0})^{\gamma-1} = T(V)^{\gamma-1}$.
चूंकि $V > V_{0}$,इसलिए $T < T_{0}$ प्राप्त होता है। अतः,समतापीय प्रक्रिया के लिए अंतिम तापमान अधिक होता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए: $P_{0}V_{0} = P_{i}V \implies P_{i} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{V}\right)$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $P_{0}(V_{0})^{\gamma} = P_{a}(V)^{\gamma} \implies P_{a} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{V}\right)^{\gamma}$.
चूंकि $\gamma > 1$ और $\frac{V_{0}}{V} < 1$,इसलिए $\left(\frac{V_{0}}{V}\right) > \left(\frac{V_{0}}{V}\right)^{\gamma}$ होता है,अतः $P_{i} > P_{a}$.
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $V_0$ से $V$ $(V > V_0)$ तक के प्रसार के लिए:
$1$. किया गया कार्य $(W = \int P dV)$ $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि प्रसार के लिए समतापीय वक्र रुद्धोष्म वक्र के ऊपर होता है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक होता है।
$2$. समतापीय प्रक्रिया के लिए,अंतिम तापमान $T_f = T_0$ होता है।
$3$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_0 V_0^{\gamma-1} = T_f V^{\gamma-1}$। चूंकि $V > V_0$ और $\gamma > 1$,इसलिए $T_f = T_0 (V_0/V)^{\gamma-1} < T_0$। अतः,समतापीय प्रक्रिया के लिए अंतिम तापमान अधिक होता है।
$4$. समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_f = P_0 (V_0/V)$।
$5$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_f = P_0 (V_0/V)^{\gamma}$। चूंकि $\gamma > 1$ और $(V_0/V) < 1$,इसलिए $(V_0/V)^{\gamma} < (V_0/V)$ होता है। अतः,समतापीय प्रक्रिया के लिए अंतिम दाब अधिक होता है।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया में अंतिम दाब और तापमान अधिक होता है,और गैस द्वारा किया गया कार्य भी अधिक होता है,इसलिए कथन $A, B, C$ में से कोई भी सही नहीं है।

(B) दिए गए $p-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $AB$: दबाव $p$ स्थिर है,इसलिए यह एक समदाबी प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $BC$: इसे एक समतापीय प्रक्रिया के रूप में दिया गया है ($T$ स्थिर है)।
$3$. प्रक्रिया $CD$: आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$4$. प्रक्रिया $DA$: इसे एक समतापीय प्रक्रिया के रूप में दिया गया है ($T$ स्थिर है)।
अब,विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
- विकल्प $(A)$ ($p-T$ आरेख) के लिए: $AB$ को समआयतनिक ($V$ स्थिर) के रूप में दिखाया गया है,जो $p-V$ आरेख का खंडन करता है जहाँ $AB$ समदाबी है। अतः,$(A)$ गलत है।
- विकल्प $(B)$ ($V-T$ आरेख) के लिए: $AB$ को समदाबी ($p$ स्थिर),$BC$ को समतापीय ($T$ स्थिर),$CD$ को समदाबी ($p$ स्थिर),और $DA$ को समतापीय ($T$ स्थिर) के रूप में दिखाया गया है। यह $p-V$ आरेख की विशेषताओं से मेल खाता है।
इसलिए,सही प्रतिनिधित्व $(B)$ है।

(D) $P-T$ आरेख में, किसी प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $V = \frac{nRT}{P}$ है, इसलिए $dV = nR \left( \frac{dT}{P} - \frac{T}{P^2} dP \right)$।
समआयतनिक प्रक्रिया $(V = \text{स्थिरांक})$ के लिए, $W = 0$। समदाबी प्रक्रिया $(P = \text{स्थिरांक})$ के लिए, $W = P \Delta V = nR \Delta T$।
प्रक्रिया $AB$: $P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर समदाबी विस्तार। $T$, $300 \text{ K}$ से $500 \text{ K}$ तक जाता है। $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$।
प्रक्रिया $BC$: $T = 500 \text{ K}$ पर समआयतनिक शीतलन। $W_{BC} = 0$।
प्रक्रिया $CD$: $P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर समदाबी संपीड़न। $T$, $500 \text{ K}$ से $300 \text{ K}$ तक जाता है। $W_{CD} = nR(T_D - T_C) = 2 \times R \times (300 - 500) = -400R$।
प्रक्रिया $DA$: $T = 300 \text{ K}$ पर समआयतनिक तापन। $W_{DA} = 0$।
गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 400R + 0 - 400R + 0 = 0$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है, गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है, लेकिन प्रश्न में गैस पर किया गया कार्य पूछा गया है, जो $W_{on} = -W_{by} = 0$ होगा।

(B) हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है। अतः,$C_V = \frac{3}{2}R$ और $C_p = \frac{5}{2}R$ है।
यह चक्र चार प्रक्रियाओं से बना है:
$A \to B$: समआयतनिक तापन ($V = V_0$,$P$ का मान $P_0$ से $2P_0$ तक बढ़ता है)। अवशोषित ऊष्मा $Q_{AB} = nC_V(T_B - T_A) = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A) = \frac{3}{2}(2P_0 V_0 - P_0 V_0) = \frac{3}{2}P_0 V_0$.
$B \to C$: समदाबी प्रसार ($P = 2P_0$,$V$ का मान $V_0$ से $2V_0$ तक बढ़ता है)। अवशोषित ऊष्मा $Q_{BC} = nC_p(T_C - T_B) = \frac{5}{2}(P_C V_C - P_B V_B) = \frac{5}{2}(2P_0(2V_0) - 2P_0 V_0) = 5P_0 V_0$.
कुल ऊष्मा इनपुट $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{3}{2}P_0 V_0 + 5P_0 V_0 = \frac{13}{2}P_0 V_0$.
किया गया कार्य $W = ABCD$ आयत का क्षेत्रफल = $(2V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = P_0 V_0$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{P_0 V_0}{\frac{13}{2}P_0 V_0} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$.
अतः,$\eta \approx 15.4\%$।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए, मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_V = \frac{3}{2}R$ और $C_P = \frac{5}{2}R$ होती हैं।
प्रक्रिया $DA$ (समआयतनिक) और $AB$ (समदाबीय) के दौरान निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है।
प्रक्रिया $DA$ (समआयतनिक, $V = V_0$): $\Delta T_{DA} = \frac{P_A V_0}{nR} - \frac{P_D V_0}{nR} = \frac{(2P_0 - P_0)V_0}{nR} = \frac{P_0V_0}{nR}$.
$Q_{DA} = n C_V \Delta T_{DA} = n \left(\frac{3}{2}R\right) \left(\frac{P_0V_0}{nR}\right) = \frac{3}{2}P_0V_0$.
प्रक्रिया $AB$ (समदाबीय, $P = 2P_0$): $\Delta T_{AB} = \frac{2P_0 V_B}{nR} - \frac{2P_0 V_A}{nR} = \frac{2P_0(2V_0 - V_0)}{nR} = \frac{2P_0V_0}{nR}$.
$Q_{AB} = n C_P \Delta T_{AB} = n \left(\frac{5}{2}R\right) \left(\frac{2P_0V_0}{nR}\right) = 5P_0V_0$.
कुल ली गई ऊष्मा $Q_{in} = Q_{DA} + Q_{AB} = \frac{3}{2}P_0V_0 + 5P_0V_0 = \frac{13}{2}P_0V_0$.

(C) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
यहाँ $n = 1 \text{ मोल}$ दिया गया है।
प्रक्रिया $AB$ के लिए: $\Delta U_{AB} = n C_v (T_B - T_A) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (800 - 400) = \frac{5}{2} R \times 400 = 1000 \ R$.
प्रक्रिया $BC$ के लिए: $\Delta U_{BC} = n C_v (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (600 - 800) = \frac{5}{2} R \times (-200) = -500 \ R$.
प्रक्रिया $CA$ के लिए: $\Delta U_{CA} = n C_v (T_A - T_C) = 1 \times \frac{5}{2} R \times (400 - 600) = \frac{5}{2} R \times (-200) = -500 \ R$.
चक्रीय प्रक्रिया में,आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य होता है।
गणना किए गए मानों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(D) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} PV$ द्वारा दी जाती है। चूंकि पात्र समान हैं,$V_1 = V_2 = V$। इसलिए,$\frac{U_{01}}{U_{02}} = \frac{P_1 V}{P_2 V} = \frac{P_1}{P_2}$।
जब पात्रों को जोड़ा जाता है,तो गैस उच्च दबाव वाले पात्र से कम दबाव वाले पात्र में तब तक प्रवाहित होती है जब तक कि दबाव समान न हो जाए। संतुलन पर,अंतिम दबाव $P_f$ दोनों पात्रों में समान होता है। चूंकि पात्र समान हैं और पाइप अचालक है,अंतिम स्थिति में दोनों पात्रों में दबाव और तापमान समान होगा। इसलिए,$U_{f1} = \frac{f}{2} P_f V$ और $U_{f2} = \frac{f}{2} P_f V$,जिसका अर्थ है कि $U_{f1} = U_{f2}$।

(C) एक पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया $abca$ के लिए,आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य होता है,अर्थात $\Delta U_{total} = \Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
समतापीय प्रक्रिया $ab$ के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{ab} = 0$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $bc$ के लिए,किया गया कार्य $W_{bc} = 4 \, J$ है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए $\Delta Q = 0$ होता है,इसलिए $\Delta U_{bc} = -W_{bc} = -4 \, J$ होगा।
इन मानों को चक्रीय समीकरण में रखने पर: $0 + (-4 \, J) + \Delta U_{ca} = 0$.
अतः,$\Delta U_{ca} = 4 \, J$.
इस प्रकार,पथ $c$ से $a$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{ca} = 4 \, J$ है।

(B) $P-V$ आरेख पर एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह चक्र $1, 2, 3, 4$ शीर्षों वाला एक आयत है।
मान लीजिए निर्देशांक $(P_1, V_1), (P_2, V_1), (P_2, V_2), (P_1, V_2)$ हैं।
किया गया कार्य $W = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1)$ है।
आदर्श गैस नियम $PV = RT$ ($n=1$ मोल के लिए) के अनुसार:
बिंदु $1$ पर: $P_1V_1 = RT_1$
बिंदु $3$ पर: $P_2V_2 = RT_3$
चूंकि बिंदु $2$ और $4$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,$T_2 = T_4 = T_0$ है।
बिंदु $2$ पर: $P_2V_1 = RT_0$
बिंदु $4$ पर: $P_1V_2 = RT_0$
अतः,$P_2V_1 = P_1V_2 \implies P_2/P_1 = V_2/V_1 = k$ है।
इसलिए $P_2 = kP_1$ और $V_2 = kV_1$ है।
$P_1V_1 = RT_1$
$P_2V_2 = k^2 P_1V_1 = k^2 RT_1 = RT_3 \implies k^2 = T_3/T_1 \implies k = \sqrt{T_3/T_1}$ है।
$W = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) = P_1(k-1) V_1(k-1) = P_1V_1(k-1)^2$ है।
$W = RT_1(\sqrt{T_3/T_1} - 1)^2 = RT_1(\frac{\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1}})^2 = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$।

(A) पात्र $A$ में गैस के लिए,संपीड़न समतापीय है:
$P_{A,final} V_{final} = P_{initial} V_{initial}$
$P_{A,final} (V/2) = P_{initial} V$
$P_{A,final} = 2 P_{initial}$
पात्र $B$ में गैस के लिए,संपीड़न रुद्धोष्म है:
$P_{B,final} V_{final}^{\gamma} = P_{initial} V_{initial}^{\gamma}$
$P_{B,final} (V/2)^{\gamma} = P_{initial} V^{\gamma}$
$P_{B,final} = P_{initial} (V / (V/2))^{\gamma} = P_{initial} (2)^{\gamma} = 2^{\gamma} P_{initial}$
$B$ में गैस के अंतिम दबाव और $A$ में गैस के अंतिम दबाव का अनुपात है:
$\frac{P_{B,final}}{P_{A,final}} = \frac{2^{\gamma} P_{initial}}{2 P_{initial}} = 2^{\gamma-1}$

(A) माना चक्र $1-2-3-1$ में अवशोषित ऊष्मा $Q_{123}$ है और किया गया कार्य $W_{123}$ है। दक्षता $\eta_1 = \frac{W_{123}}{Q_{123}} = 0.2$ है। अतः,$W_{123} = 0.2 Q_{123}$।
माना चक्र $1-3-4-1$ में अवशोषित ऊष्मा $Q_{134}$ है और किया गया कार्य $W_{134}$ है। दक्षता $\eta_2 = \frac{W_{134}}{Q_{134}} = 0.1$ है। अतः,$W_{134} = 0.1 Q_{134}$।
चक्र $1-2-3-4-1$ के लिए,कुल कार्य $W_{total} = W_{123} + W_{134}$ है।
अवशोषित ऊष्मा $Q_{total}$ प्रक्रिया $1-2-3$ के दौरान अवशोषित ऊष्मा $(Q_{123})$ है क्योंकि प्रक्रिया $3-4-1$ में ऊष्मा का उत्सर्जन होता है।
अतः,$\eta = \frac{W_{123} + W_{134}}{Q_{123}} = \eta_1 + \frac{W_{134}}{Q_{123}}$।
ज्यामितीय रूप से,$Q_{134} = 0.5 Q_{123}$ लेने पर,$\eta = 0.2 + 0.05 = 0.25 = 25\%$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $28\%$ है।

(B) साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है। वायुमंडलीय दबाव को नगण्य मानने पर,गैस का दबाव $P = \frac{4T}{r}$ है।
आदर्श गैस नियम से,$PV = nRT$। $P$ का मान रखने पर,$\left(\frac{4T}{r}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = nRT$,जो सरल होकर $\frac{16\pi T r^2}{3} = nRT$ हो जाता है।
चूंकि $T$ (पृष्ठ तनाव) स्थिर है,$n R dT = d(\frac{16\pi T r^2}{3}) = \frac{32\pi T r dr}{3}$।
दी गई ऊष्मा $dQ = dU + dW = \frac{nRdT}{\gamma-1} + PdV$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 5/3$,इसलिए $\frac{1}{\gamma-1} = 3/2$।
$dQ = \frac{3}{2} nRdT + PdV$।
$dV = d(\frac{4}{3}\pi r^3) = 4\pi r^2 dr$।
$PdV = (\frac{4T}{r})(4\pi r^2 dr) = 16\pi T r dr$।
$n R dT = \frac{32\pi T r dr}{3}$ से,हमें $16\pi T r dr = \frac{3}{2} nRdT$ प्राप्त होता है।
इस मान को ऊष्मा समीकरण में रखने पर: $dQ = \frac{3}{2} nRdT + \frac{3}{2} nRdT = 3nRdT$।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C = \frac{dQ}{ndT} = 3R$।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रियाओं $BC, DE, FA$ के लिए, हमारे पास $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
$BC$ के लिए: $T_1 V_B^{\gamma-1} = T_2 V_C^{\gamma-1} \implies \frac{V_C}{V_B} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
$DE$ के लिए: $T_2 V_D^{\gamma-1} = T_3 V_E^{\gamma-1} \implies \frac{V_E}{V_D} = \left(\frac{T_2}{T_3}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
$FA$ के लिए: $T_3 V_F^{\gamma-1} = T_1 V_A^{\gamma-1} \implies \frac{V_A}{V_F} = \left(\frac{T_3}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$
इनका गुणा करने पर: $\frac{V_C}{V_B} \cdot \frac{V_E}{V_D} \cdot \frac{V_A}{V_F} = \left(\frac{T_1}{T_2} \cdot \frac{T_2}{T_3} \cdot \frac{T_3}{T_1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} = 1$
अतः, $\frac{V_E}{V_F} = \frac{V_B}{V_A} \cdot \frac{V_D}{V_C} = 2 \times 2 = 4$. कथन $1$ सही है।
समतापीय $EF$ में कार्य: $W_{EF} = RT_3 \ln\left(\frac{V_F}{V_E}\right) = RT_3 \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -2RT_3 \ln(2)$. परिमाण $2RT_3 \ln(2)$ है। कथन $2$ सही है।
$AB$ में दी गई ऊष्मा $Q_{AB} = RT_1 \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = RT_1 \ln(2)$. $EF$ में निष्कासित ऊष्मा $Q_{EF} = RT_3 \ln\left(\frac{V_E}{V_F}\right) = RT_3 \ln(4) = 2RT_3 \ln(2)$. अनुपात $\frac{Q_{AB}}{Q_{EF}} = \frac{RT_1 \ln(2)}{2RT_3 \ln(2)} = \frac{T_1}{2T_3}$. कथन $3$ गलत है।
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{CD} + W_{EF} = RT_1 \ln(2) + RT_2 \ln(2) - 2RT_3 \ln(2) = (T_1 + T_2 - 2T_3) R \ln(2)$. कथन $4$ सही है।
कुल सही कथन = $3$.

(B) ग्राफ से, प्रक्रिया $AB$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, जिसका अर्थ है कि $\rho \propto P$। चूंकि $\rho = \frac{m}{V}$, हमारे पास $\frac{1}{V} \propto P$, या $PV = \text{स्थिरांक}$ है। अतः, $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है, इसलिए $\Delta U_{AB} = 0$। दिया गया है कि $|W_{AB}| = 70\,J$ और यह संपीड़न है, इसलिए $W_{AB} = -70\,J$। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, $Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 0 - 70 = -70\,J$।
प्रक्रिया $BC$ $\rho-P$ ग्राफ में एक क्षैतिज रेखा है, जिसका अर्थ है कि $\rho = \text{स्थिरांक}$, इसलिए $V = \text{स्थिरांक}$। अतः, $W_{BC} = 0$। दिया गया है कि $Q_{BC} = 150\,J$, तो $\Delta U_{BC} = Q_{BC} - W_{BC} = 150 - 0 = 150\,J$।
एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, $\Delta U_{total} = 0$, इसलिए $\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0 \implies 0 + 150 + \Delta U_{CA} = 0 \implies \Delta U_{CA} = -150\,J$। दिया गया है कि $W_{CA} = 210\,J$, तो $Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -150 + 210 = 60\,J$।
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = -70 + 0 + 210 = 140\,J$। कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = Q_{BC} + Q_{CA} = 150 + 60 = 210\,J$। दक्षता $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100\% = \frac{140}{210} \times 100\% = 66.67\% \approx 66\%$। अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) द्वि-परमाणुक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
किसी भी प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $\Delta U_{AB} = n C_V (T_B - T_A) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (800 - 400) = 1000\,R$.
$2$. प्रक्रिया $BC$ (रुद्धोष्म) के लिए: $\Delta U_{BC} = n C_V (T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (600 - 800) = -500\,R$.
$3$. प्रक्रिया $CA$ (समदाबी) के लिए: $\Delta U_{CA} = n C_V (T_A - T_C) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (400 - 600) = -500\,R$.
$4$. पूरी चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{total} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 1000\,R - 500\,R - 500\,R = 0$.
इन परिणामों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(B) चरण $1$: अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया में,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
दिया गया है $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 4V$।
$P \times V = P_2 \times 4V \implies P_2 = P/4$।
चरण $2$: अवस्था $2$ से अवस्था $3$ तक रुद्धोष्म संपीड़न।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$ होता है।
दिया गया है $P_2 = P/4$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,और $\gamma = 3/2 = 1.5$।
$(P/4) \times (4V)^{1.5} = P_3 \times V^{1.5}$।
$P_3 = (P/4) \times (4V/V)^{1.5} = (P/4) \times (4)^{1.5}$।
चूंकि $4^{1.5} = (2^2)^{1.5} = 2^3 = 8$ होता है।
$P_3 = (P/4) \times 8 = 2P$।
अतः,अंतिम दाब $2P$ होगा।

(B) चरण $1$: अवस्था $1$ $(P, V)$ से अवस्था $2$ $(P', 4V)$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए, $PV = \text{नियतांक}$.
$P \cdot V = P' \cdot (4V)$
$P' = P/4$
चरण $2$: अवस्था $2$ $(P', 4V)$ से अवस्था $3$ $(P'', V)$ तक रुद्धोष्म संपीड़न।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$.
$P' \cdot (4V)^{\gamma} = P'' \cdot (V)^{\gamma}$
$P'' = P' \cdot (4V/V)^{\gamma} = P' \cdot (4)^{\gamma}$
चरण $3$: $P' = P/4$ और $\gamma = 3/2$ का मान रखने पर।
$P'' = (P/4) \cdot (4)^{3/2}$
$P'' = (P/4) \cdot (\sqrt{4})^3 = (P/4) \cdot (2)^3$
$P'' = (P/4) \cdot 8 = 2P$
अतः, अंतिम दाब $2P$ होगा।

(C) $1$. $V-T$ आरेख में,प्रक्रिया $AB$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसका अर्थ है $V \propto T$। आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,इसका मतलब है कि $P$ स्थिर है। अतः,$AB$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. $V-T$ आरेख में,प्रक्रिया $BC$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ स्थिर है। अतः,$BC$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
$3$. $V-T$ आरेख में,प्रक्रिया $CA$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। अतः,$CA$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
$4$. इन विशेषताओं की दिए गए $P-V$ आरेखों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में एक समदाबी प्रक्रिया $(AB)$,एक समआयतनिक प्रक्रिया $(BC)$ और एक समतापीय प्रक्रिया $(CA)$ दिखाई देती है। इसलिए,विकल्प $C$ सही निरूपण है।

(D) मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{dW}{n dT}$ है।
आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$। दिया गया है $P = \alpha V$,इसलिए $\alpha V^2 = nRT$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2\alpha V dV = nR dT$,जिससे $dV = \frac{nR dT}{2\alpha V}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $dW = P dV = (\alpha V) \left( \frac{nR dT}{2\alpha V} \right) = \frac{nR dT}{2}$ है।
अतः,$\frac{dW}{n dT} = \frac{R}{2}$।
इस मान को ऊष्मा धारिता के सूत्र में रखने पर: $C = C_V + \frac{R}{2}$।
चूंकि $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$,इसलिए $C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{2}$।
$C = R \left( \frac{1}{\gamma - 1} + \frac{1}{2} \right) = R \left( \frac{2 + \gamma - 1}{2(\gamma - 1)} \right) = \frac{R}{2} \frac{(\gamma + 1)}{(\gamma - 1)}$।

(D) माना अंतिम संतुलन तापमान $T$ है। चूंकि पात्र रुद्धोष्म है और पिस्टन चालक है,ऊष्मा गर्म भाग से ठंडे भाग की ओर तब तक प्रवाहित होती है जब तक कि संतुलन प्राप्त न हो जाए। निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक भाग में मोलों की संख्या $n_L = \frac{P_0 V_0}{R(4T_0)}$ और $n_R = \frac{P_0 V_0}{RT_0}$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार:
$n_L C_V (4T_0 - T) = n_R C_V (T - T_0)$
$\frac{P_0 V_0}{4RT_0} (4T_0 - T) = \frac{P_0 V_0}{RT_0} (T - T_0)$
$\frac{4T_0 - T}{4} = T - T_0$
$4T_0 - T = 4T - 4T_0$
$8T_0 = 5T \implies T = \frac{8}{5}T_0$
चूंकि पिस्टन स्वतंत्र है लेकिन बाहरी बल द्वारा स्थिर रखा गया है,इसलिए प्रत्येक भाग में आयतन $V_0$ ही रहता है। अंतिम दाब हैं:
$P_{L,f} = \frac{n_L RT}{V_0} = \frac{2}{5}P_0$
$P_{R,f} = \frac{n_R RT}{V_0} = \frac{8}{5}P_0$
पिस्टन को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बाहरी बल $F$:
$F = (P_{R,f} - P_{L,f})A = (\frac{8}{5}P_0 - \frac{2}{5}P_0)A = \frac{6}{5}P_0 A$

(B) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$AB$ एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए दबाव $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी विस्तार है।
$BC$ एक वक्र है,जो समतापीय विस्तार को दर्शाता है (क्योंकि समतापीय प्रक्रिया के लिए $P \propto 1/V$ होता है)।
$CD$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए आयतन $V$ स्थिर है। यह घटते दबाव के साथ एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$DA$ एक वक्र है,जो समतापीय संपीड़न को दर्शाता है।
अब,$V-T$ आरेख (विकल्प $B$) का विश्लेषण करते हैं:
$AB$: चूंकि $P$ स्थिर है,आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से,हमें $V \propto T$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$AB$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए। यह विकल्प $B$ में दिए गए $V-T$ आरेख से मेल खाता है।
$BC$: समतापीय विस्तार का अर्थ है कि $T$ स्थिर है। $V-T$ आरेख में,यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
$CD$: समआयतनिक प्रक्रिया का अर्थ है कि $V$ स्थिर है। $V-T$ आरेख में,यह एक क्षैतिज रेखा है।
$DA$: समतापीय संपीड़न का अर्थ है कि $T$ स्थिर है। $V-T$ आरेख में,यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया $V-T$ आरेख चक्रीय प्रक्रिया $ABCDA$ का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$AB$: समदाबी प्रक्रिया $(P = \text{स्थिर})$, $V$ बढ़ता है, इसलिए $T$ बढ़ना चाहिए $(PV = nRT)$।
$BC$: समतापीय प्रक्रिया $(T = \text{स्थिर})$, $P$ घटता है, $V$ बढ़ता है।
$CD$: समआयतनिक प्रक्रिया $(V = \text{स्थिर})$, $P$ घटता है, इसलिए $T$ घटना चाहिए।
$DA$: रुद्धोष्म प्रक्रिया, $P$ बढ़ता है, $V$ घटता है, $T$ बढ़ता है।
अब, $P-T$ आरेखों का विश्लेषण करते हैं:
$AB$: $P$ स्थिर है, $T$ बढ़ता है। यह दाईं ओर जाने वाली एक क्षैतिज रेखा है।
$BC$: $T$ स्थिर है, $P$ घटता है। यह नीचे की ओर जाने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
$CD$: $V$ स्थिर है, इसलिए $P/T = \text{स्थिर}$, जिसका अर्थ है $P \propto T$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।
$DA$: रुद्धोष्म प्रक्रिया, $PV^{\gamma} = \text{स्थिर}$। चूंकि $V \propto T/P$, हमें $P(T/P)^{\gamma} = \text{स्थिर}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिर}$।
विकल्पों की तुलना करने पर, विकल्प $C$ सही ढंग से $P-T$ संक्रमणों को दर्शाता है: $AB$ (समदाबी, $T$ बढ़ता है), $BC$ (समतापीय, $P$ घटता है), $CD$ (समआयतनिक, $T$ घटने पर $P$ घटता है), और $DA$ (रुद्धोष्म, $T$ बढ़ने पर $P$ बढ़ता है)।

(B) दिए गए $P-T$ आरेख में,रेखाएँ $1-2$ और $3-4$ मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं। इन रेखाओं के लिए $P \propto T$ है,इसलिए आयतन $V = nRT/P$ स्थिर रहता है। अतः,प्रक्रियाएँ $1-2$ और $3-4$ समआयतनिक (isochoric) हैं,और इनमें किया गया कार्य शून्य है।
प्रक्रियाएँ $2-3$ और $4-1$ समदाबी (isobaric) हैं। समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P\Delta V = nR\Delta T$ होता है।
चक्र के लिए,कुल कार्य:
$W_{total} = W_{2-3} + W_{4-1}$
$W_{total} = nR(T_3 - T_2) + nR(T_1 - T_4)$
यहाँ $n = 3$ मोल और $R \approx 8.314\, J/(mol\cdot K)$ दिया गया है।
$W_{total} = 3R(T_3 - T_2 + T_1 - T_4)$
$W_{total} = 3R(2400 - 800 + 400 - 1200)$
$W_{total} = 3R(800) = 2400R$
$R = 8.314\, J/(mol\cdot K)$ का उपयोग करने पर:
$W_{total} = 2400 \times 8.314 \approx 19953.6\, J \approx 20\, kJ$.

(A) ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\eta = 1$ (अर्थात $100\%$ दक्षता) के लिए,हमें $T_2 = 0 \ K$ या $T_1 = \infty$ की आवश्यकता होगी।
चूंकि $0 \ K$ पर सिंक या अनंत तापमान पर स्रोत प्राप्त करना भौतिक रूप से असंभव है,इसलिए ऊष्मा इंजन की दक्षता $1$ नहीं हो सकती है।
अतः,कथन $S1$ गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि ऊष्मा इंजन की दक्षता $1$ हो सकती है।