Rotational Kinetic Energy Questions in Gujarati

(B) $X$-અક્ષની સાપેક્ષે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું $X$-અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$Y$-અક્ષ પર આપેલા દળ અને તેમના સ્થાન:
$m_1 = 4.00 \, kg$ સ્થાન $y_1 = 3.00 \, m$ પર,તેથી $r_1 = 3.00 \, m$.
$m_2 = 2.00 \, kg$ સ્થાન $y_2 = -2.00 \, m$ પર,તેથી $r_2 = 2.00 \, m$.
$m_3 = 3.00 \, kg$ સ્થાન $y_3 = -4.00 \, m$ પર,તેથી $r_3 = 4.00 \, m$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી:
$I = (4.00 \, kg)(3.00 \, m)^2 + (2.00 \, kg)(2.00 \, m)^2 + (3.00 \, kg)(4.00 \, m)^2$
$I = (4.00 \times 9) + (2.00 \times 4) + (3.00 \times 16) = 36 + 8 + 48 = 92 \, kg \cdot m^2$.
ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\omega = 2 \, rad/s$ આપેલ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} \times 92 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 92 \times 4 = 184 \, J$.

(C) ચાકગતિ ઉર્જા $K E_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$K E_{R} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2}$.
ઘન ગોળાની તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ છે.
સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $K E_{R} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m R^{2}\right) \frac{v^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{5} m v^{2}$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K E_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ છે.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{K E_{R}}{K E_{T}} = \frac{\frac{1}{5} m v^{2}}{\frac{1}{2} m v^{2}} = \frac{2}{5}$ થાય.

(D) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ $\omega$ અને આવર્તકાળ $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આ કિંમતને ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $K_r = \frac{1}{2} I \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$K_r = \frac{1}{2} I \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{2\pi^2 I}{T^2}$ મળે છે.
આપેલ પદાર્થ માટે $I$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$K_r \propto \frac{1}{T^2}$ થાય.
તેથી,$K_r \propto (Time\ period)^{-2}$.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ $T = \pi \ s$ માં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ rad/s$ થાય.
$\omega$ ની કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} I (2)^2 = \frac{1}{2} I (4) = 2I$.
તેથી,$I = \frac{K}{2}$,જેનો અર્થ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા એ ચાકગતિ ઉર્જા કરતા અડધી છે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આ સૂત્ર પરથી $L = \sqrt{2IE}$ મળે,તેથી $L \propto \sqrt{E}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_1 = E$ છે.
નવી ગતિ ઉર્જા $E_2$ માં $300\ \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ થાય.
નવા કોણીય વેગમાન $L_2$ અને પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{\frac{4E}{E}} = 2$ મળે.
આમ,$L_2 = 2L_1$ થાય.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{L_2 - L_1}{L_1} \times 100\ \% = \frac{2L_1 - L_1}{L_1} \times 100\ \% = 100\ \%$ થશે.

(C) કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગમાન $P = Mv$,તેથી $v = \frac{P}{M}$ થાય.
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} M \left(\frac{P}{M}\right)^2 = \frac{P^2}{2M}$.
જ્યારે કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફરે છે,ત્યારે કોણીય વેગમાન $L = MvR = PR$ થાય.
તેથી,$P = \frac{L}{R}$ મળે.
હવે $P = \frac{L}{R}$ ને ગતિઊર્જાના સૂત્ર $K.E. = \frac{P^2}{2M}$ માં મૂકતા:
$K.E. = \frac{(L/R)^2}{2M} = \frac{L^2}{2MR^2}$.

(A) $m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન પાતળા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ml^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ ને આવૃત્તિ $f$ ના સંદર્ભમાં $\omega = 2\pi f$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
આ સૂત્રમાં $I$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3}ml^2) \times (2\pi f)^2$
$K = \frac{1}{6}ml^2 \times 4\pi^2 f^2$
$K = \frac{2}{3}\pi^2 f^2 ml^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ થાય છે.
આપેલ છે: $M = 10 \,kg$,$R = 0.5 \,m$,અને $\omega = 20 \,rad/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \,kg \cdot m^2$.
હવે,ગતિઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times (20)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 400$
$K = 1.25 \times 200 = 250 \,J$.

(B) પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $E$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{L^2}{2I}$ છે.
અહીં $I$ અચળ હોવાથી,$E \propto L^2$ થાય,તેથી $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2$ મળે.
આપેલ છે કે કોણીય વેગમાનમાં $200\ \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = L_1 + 200\% \text{ of } L_1 = L_1 + 2L_1 = 3L_1$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{3L_1}{L_1} \right)^2 = 3^2 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E_1$ મળે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = \frac{9E_1 - E_1}{E_1} \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$ થાય.

(C) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_R$ નું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
આપેલ છે:
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.32 \ kg \cdot m^2$
કોણીય વેગ $\omega = 120 \ rad/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.32 \times (120)^2$
$K_R = 0.16 \times 14400$
$K_R = 2304 \ J$.

(A) કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total})$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે $K_r = 50\% \text{ of } K_{total}$,જેનો અર્થ છે કે $K_r = K_t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ અને $K_t = \frac{1}{2} mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} mv^2$.
કારણ કે $v = \omega r$,તેથી $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} m(\omega r)^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$I \omega^2 = m \omega^2 r^2$,જે દર્શાવે છે કે $I = mr^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ એ રિંગ માટે હોય છે.

(C) કોણીય વેગ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં $T = 1 \ s$ આપેલ છે,તેથી $\omega = 2\pi \ rad/s$ મળે.
ચાકગતિ ઊર્જા $E_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $E_R = \frac{1}{2} I (2\pi)^2 = \frac{1}{2} I (4\pi^2) = 2\pi^2 I$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{E_R}{2\pi^2}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$.
ચાકગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
બંને પદાર્થોની ચાકગતિ-ઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_1 = K_2$.
તેથી,$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} (I) \omega_1^2 = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega_1^2 = 2 \omega_2^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\frac{2}{1}} = \frac{\sqrt{2}}{1}$.
આમ,તેમના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}:1$ છે.

(C) ચાકગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$m$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયા માટે,એક છેડાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ થાય છે.
કોણીય વેગ $\omega$ ને $n$ ભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડના સ્વરૂપમાં લખતા,$\omega = 2 \pi n$ મળે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) (2 \pi n)^2$
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) (4 \pi^2 n^2)$
$K_{rot} = \frac{2}{3} mL^2 \pi^2 n^2$.

(C) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ગતિ-ઊર્જા $K$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{L^2}{2I}$ છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે。
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ફરતા પદાર્થ માટે $I$ અચળ હોવાથી, $K \propto L^2$ થાય。
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે, તો નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = L + 0.10L = 1.10L$ થશે。
ગતિ-ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = (1.10)^2 = 1.21$ મળે。
આથી, $K_2 = 1.21 K_1$。
ગતિ-ઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો = $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 0.21 \times 100\% = 21\%$。

(D) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં $200\%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = L + 2.00L = 3L$ થશે.
ચાકગતિઊર્જા $E$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
જો $I$ અચળ રહેતું હોય,તો ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2} = \frac{(3L)^2}{L^2} = 9$ થાય.
ચાકગતિઊર્જામાં થતો પ્રતિશત વધારો $\left( \frac{E_2 - E_1}{E_1} \right) \times 100\% = \left( \frac{E_2}{E_1} - 1 \right) \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(9 - 1) \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$ મળે.
આમ,ચાકગતિઊર્જામાં $800\%$ નો વધારો થશે.

(A) પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K$,કોણીય વેગમાન $L$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{L^2}{2I}$ છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_A = K_B$.
તેથી,$\frac{L_A^2}{2I_A} = \frac{L_B^2}{2I_B}$.
આના પરથી $\frac{L_A^2}{L_B^2} = \frac{I_A}{I_B}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{\frac{I_A}{I_B}}$ મળે.
આપેલ છે કે $I_B > I_A$,તેથી $\frac{I_A}{I_B} < 1$ થાય.
આમ,$\frac{L_A}{L_B} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $L_A < L_B$ અથવા $L_B > L_A$.

(D) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
વ્યાસને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતા નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતા નક્કર નળાકાર માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
આપેલ છે કે નળાકારની કોણીય ઝડપ ગોળાની કોણીય ઝડપ કરતા બમણી છે,તેથી $\omega_c = 2 \omega_s$.
તેમની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_{sphere}}{E_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{2} I_s \omega_s^2}{\frac{1}{2} I_c \omega_c^2} = \frac{I_s \omega_s^2}{I_c (2 \omega_s)^2} = \frac{I_s}{4 I_c}$.
$I_s$ અને $I_c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_{sphere}}{E_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5} m R^2}{4 \times \frac{1}{2} m R^2} = \frac{2/5}{2} = \frac{1}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:5$ છે.

(C) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ફરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે:
ગતિઊર્જા $(K)$ = $360 \ J$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $30 \ rad/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$360 = \frac{1}{2} \times I \times (30)^2$
$360 = \frac{1}{2} \times I \times 900$
$360 = 450 \times I$
$I = \frac{360}{450}$
$I = 0.8 \ kg \ m^2$
તેથી,વ્હીલની જડત્વની ચાકમાત્રા $0.8 \ kg \ m^2$ છે.

(C) ચાકગતિ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L^2 = 2EI$
$L = \sqrt{2EI}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{L^2}{2I}$.
અહીં ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી $(KE_1 = KE_2)$:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
આપેલ કિંમતો $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$ મૂકતા:
$\frac{L_1^2}{2I} = \frac{L_2^2}{2(2I)}$
$\frac{L_1^2}{I} = \frac{L_2^2}{2I}$
$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,તેમના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:\sqrt{2}$ છે.

(D) રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $M = 10 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$\omega = 20 \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \ kg \cdot m^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times (20)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 400 = 1.25 \times 200 = 250 \ J$.

(C) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ અને તેના કોણીય વેગમાન $L$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{L^2}{2I}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે કોણીય વેગમાન સમાન છે $(L_A = L_B = L)$,તેથી ચાકગતિ ઉર્જા એ જડત્વની ચાકમાત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{I}$.
આપેલ છે કે $I_A > I_B$,તેથી $\frac{1}{I_A} < \frac{1}{I_B}$ થાય.
આથી,$K_A < K_B$ મળે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ નું સૂત્ર $\frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં નક્કર ગોળા માટે $I = \frac{2}{5} mR^2$ અને $\omega = v/R$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{5} mv^2$ મળે છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_{trans})$ નું સૂત્ર $\frac{1}{2} mv^2$ છે.
તેથી,ચાકગતિ ઉર્જા અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5} mv^2}{\frac{1}{2} mv^2} = \frac{2}{5}$ થાય છે.

(C) કોઈપણ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ જે નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ફરે છે,તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
જ્યાં $I$ એ પદાર્થની જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\omega$ એ તેનો કોણીય વેગ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{2} I \omega^2$ છે.

(B) પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K_R$ નું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર વર્તુળાકાર તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ (રેડિયન/સેકન્ડમાં) $\omega = 2 \pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડમાં આવૃત્તિ છે.
અહીં $M = 72 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,અને $n = \frac{70}{60} \ rev/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 72 \times (0.5)^2 = 36 \times 0.25 = 9 \ kg \cdot m^2$.
$\omega = 2 \pi \times \frac{70}{60} = \frac{7 \pi}{3} \ rad/s$.
$K_R = \frac{1}{2} \times 9 \times \left( \frac{7 \pi}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{49 \pi^2}{9} = \frac{49 \pi^2}{2} \approx 241.8 \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $240 \ J$ છે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ નું સૂત્ર $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં $I = 3 \ kg \cdot m^2$ અને $\omega = 3 \ rad/s$ આપેલ છે,તેથી:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (3)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 13.5 \ J$.
બીજી વસ્તુની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_{trans})$ નું સૂત્ર $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
અહીં $m = 27 \ kg$ અને $K_{trans} = K_{rot} = 13.5 \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{2} \times 27 \times v^2 = 13.5$.
$v^2 = \frac{13.5 \times 2}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
તેથી,$v = 1 \ m/s$.

(D) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_R$ નું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વલય માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ થાય છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_R = \frac{1}{2}(mr^2)\omega^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $K_R$ નું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ થાય છે.
આપેલ છે: $M = 1 \, kg$,$R = 3 \, cm = 0.03 \, m$,અને $\omega = 50 \, rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} \times 1 \times (0.03)^2 = \frac{2}{5} \times 0.0009 = 0.00036 \, kg \cdot m^2$.
હવે,$K_R = \frac{1}{2} \times 0.00036 \times (50)^2$.
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.00036 \times 2500$.
$K_R = 0.00018 \times 2500 = 0.45 \, J$.
$0.45 = 45/100 = 9/20$ હોવાથી,ચાકગતિ ઉર્જા $9/20 \, J$ મળે છે.

(B) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે કે કોણીય વેગ સમાન છે $(\omega_1 = \omega_2 = \omega)$,તેથી ચાકગતિ ઉર્જા એ જડત્વની ચાકમાત્રાના સમપ્રમાણમાં છે: $E \propto I$.
અહીં $I_1 > I_2$ આપેલ હોવાથી,$E_1 > E_2$ થશે.

(B) આપેલ છે કે ચાકગતિ ઉર્જા $K_R$ એ રેખીય ગતિ ઉર્જા $K_T$ ના $50\%$ છે.
$K_R = 0.5 K_T$
સૂત્રો $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (Mk^2) (v/R)^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (k^2/R^2)$ અને $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} Mv^2 (k^2/R^2) = 0.5 \times \frac{1}{2} Mv^2$
$\frac{k^2}{R^2} = 0.5 = \frac{1}{2}$
ઘન નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2} R^2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આમ,તે પદાર્થ ઘન નળાકાર છે.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 6 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 40 \ cm = 0.4 \ m$,આવૃત્તિ $f = 300 \ rpm = \frac{300}{60} \ rps = 5 \ Hz$.
રિમ (વલય) માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2 = 6 \times (0.4)^2 = 6 \times 0.16 = 0.96 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $K_R = \frac{1}{2} \times 0.96 \times (10\pi)^2$.
$K_R = 0.48 \times 100\pi^2 = 48\pi^2 \ J$.

(A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^{2}$ થાય છે.
$I$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} (m r^{2}) \omega^{2} = \frac{1}{2} m r^{2} \omega^{2}$.

(A) પરિભ્રમણ પ્રતિ મિનિટ $N = \frac{3000}{\pi} \ rpm$ આપેલ છે.
આવૃત્તિ $n$ હર્ટ્ઝમાં,$n = \frac{N}{60} = \frac{3000}{60 \times \pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$ થાય.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \ rad/s$ મળે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 400 \ kg \ m^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{2} \times 400 \times (100)^2 = 200 \times 10000 = 2 \times 10^6 \ J$.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $(K.E._{rot})$ નું સૂત્ર: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $(M)$ = $1\,kg$,ત્રિજ્યા $(R)$ = $30\,cm = 0.3\,m$,કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $50\,rad/s$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} \times 1 \times (0.3)^2 = 0.4 \times 0.09 = 0.036\,kg \cdot m^2$.
$K.E._{rot} = \frac{1}{2} \times 0.036 \times (50)^2$.
$K.E._{rot} = 0.5 \times 0.036 \times 2500$.
$K.E._{rot} = 0.018 \times 2500 = 45\,J$.

(B) પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $(K.E._{rot})$ નું સૂત્ર: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ છે.
પ્રથમ,નક્કર ગોળાકાર તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ગણો: $I = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 72 \times (0.5)^{2} = 36 \times 0.25 = 9 \ kg \cdot m^{2}$.
ત્યારબાદ,કોણીય વેગ $(\omega)$ ને $r.p.m.$ માંથી $rad/s$ માં ફેરવો: $\omega = \frac{70 \times 2 \pi}{60} = \frac{7 \pi}{3} \approx 7.33 \ rad/s$.
હવે,આ કિંમતોને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકો: $K.E._{rot} = \frac{1}{2} \times 9 \times (7.33)^{2} \approx 0.5 \times 9 \times 53.72 \approx 241.7 \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઉર્જા આશરે $240 \ J$ છે.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
આપેલ છે: $M = 10\,kg$,$R = 30\,cm = 0.3\,m$ (ગણતરી માટે સુધારેલ),અને $\omega = 50\,rad/s$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી:
$I = \frac{2}{5} \times 10\,kg \times (0.3\,m)^2 = 4 \times 0.09\,kg \cdot m^2 = 0.36\,kg \cdot m^2$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
$K_R = \frac{1}{2} \times 0.36\,kg \cdot m^2 \times (50\,rad/s)^2$.
$K_R = 0.18 \times 2500\,J = 450\,J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે.
આપેલ છે કે કોણીય વેગમાનમાં $200\,\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું કોણીય વેગમાન $L_2$:
$L_2 = L + 200\% \text{ of } L = L + 2L = 3L$.
કારણ કે $E \propto L^2$,નવી ગતિ ઉર્જા $E_2$ અને પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{L_2}{L_1}\right)^2 = \left(\frac{3L}{L}\right)^2 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E_1$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left(\frac{E_2 - E_1}{E_1}\right) \times 100\% = \left(\frac{9E_1 - E_1}{E_1}\right) \times 100\% = 8 \times 100\% = 800\%$.

(N/A) આપેલ છે:
નળાકારનું દળ,$m = 20 \; kg$
કોણીય ઝડપ,$\omega = 100 \; rad \; s^{-1}$
નળાકારની ત્રિજ્યા,$r = 0.25 \; m$
નક્કર નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$:
$I = \frac{1}{2} m r^2$
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.25)^2 = 10 \times 0.0625 = 0.625 \; kg \; m^2$
$1$. પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $(K)$:
$K = \frac{1}{2} I \omega^2$
$K = \frac{1}{2} \times 0.625 \times (100)^2$
$K = 0.5 \times 0.625 \times 10000 = 3125 \; J$
$2$. કોણીય વેગમાન $(L)$:
$L = I \omega$
$L = 0.625 \times 100 = 62.5 \; kg \; m^2 \; s^{-1}$ (અથવા $J \; s$)

(N/A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થની ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $(K_{rot})$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
જ્યાં:
$I$ એ ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$\omega$ એ પદાર્થનો કોણીય વેગ છે.

(C) ધારો કે પૈડાં $Q$ ની ત્રિજ્યા $R$ છે અને પૈડાં $P$ ની ત્રિજ્યા $3R$ છે. તેઓ બેલ્ટ દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,તેમની રીમ પરની સ્પર્શક ઝડપ સમાન હોય છે,તેથી $v = \omega_{P} (3R) = \omega_{Q} R$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_{P} = \frac{\omega_{Q}}{3}$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ચાકગતિ ઉર્જા સમાન છે,તેથી:
$\frac{1}{2} I_{P} \omega_{P}^{2} = \frac{1}{2} I_{Q} \omega_{Q}^{2}$
$I_{P} \left(\frac{\omega_{Q}}{3}\right)^{2} = I_{Q} \omega_{Q}^{2}$
$I_{P} \left(\frac{1}{9}\right) = I_{Q}$
$\frac{I_{P}}{I_{Q}} = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે,અને $x$ નું મૂલ્ય $9$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષ પર ફરતા $\ell$ લંબાઈના પાતળા સમાન સળિયા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m \ell^2}{12}$ છે.
સળિયાનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = d \times (A \ell) = d A \ell$ થાય.
$I$ ના સૂત્રમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા,$I = \frac{(d A \ell) \ell^2}{12} = \frac{d A \ell^3}{12}$ મળે.
હવે,ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{d A \ell^3}{12} \right) \omega^2 = \frac{d A \ell^3}{24} \omega^2$.
અહીં $\ell = 2 \ m$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{d A (2)^3}{24} \omega^2 = \frac{8 d A}{24} \omega^2 = \frac{d A}{3} \omega^2$.
$\omega$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\omega^2 = \frac{3 E}{d A}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{3 E}{d A}}$.
આપેલ સમીકરણ $\omega = \sqrt{\frac{\alpha E}{Ad}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 60\,rpm = 60 \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi\,rad/s$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 360\,rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} = 12\pi\,rad/s$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = \frac{1}{2} I (\omega_f^2 - \omega_i^2) = 484\,J$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} I ((12\pi)^2 - (2\pi)^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (144\pi^2 - 4\pi^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (140\pi^2) = 484$.
$70\pi^2 I = 484$.
$\pi^2 \approx 9.86$ લેતા,$70 \times 9.86 \times I = 484$.
$690.2 I = 484$.
$I = \frac{484}{690.2} \approx 0.701\,kg\cdot m^2$.

(D) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ અને તેના કોણીય વેગમાન $L$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{L^2}{2I}$.
આના પરથી, કોણીય વેગમાનને $L = \sqrt{2KI}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_1 = K$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે.
જો ગતિ ઉર્જા ચાર ગણી કરવામાં આવે, તો નવી ગતિ ઉર્જા $K_2 = 4K$ થશે.
નવું કોણીય વેગમાન $L_2$ નીચે મુજબ મળશે:
$L_2 = \sqrt{2 K_2 I} = \sqrt{2(4K)I} = \sqrt{4(2KI)} = 2\sqrt{2KI}$.
કારણ કે $L = \sqrt{2KI}$, તેથી $L_2 = 2L$ થાય.

(C) સરેરાશ સ્થિતિમાંથી પસાર થતી વખતે સળિયાની ગતિઊર્જા પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ નિલંબન બિંદુ (એક છેડો) ની સાપેક્ષમાં સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષમાં જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{3}$ છે.
આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} \times \left( \frac{m l^2}{3} \right) \times \omega^2$
$K.E. = \frac{m l^2 \omega^2}{6}$

(A) ભ્રમણ ગતિમાં રહેલા કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = I \omega$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $L^2 = I^2 \omega^2$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $\omega^2 = \frac{L^2}{I^2}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} I \left( \frac{L^2}{I^2} \right) = \frac{L^2}{2I}$ મળે છે.
'$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરતા '$m$' દળના કણ માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $I = mr^2$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{L^2}{2(mr^2)} = \frac{L^2}{2 mr^2}$ મળે છે.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
અહીં $I$ અચળ રહે છે,તેથી $KE \propto \omega^2$.
કોણીય ઝડપમાં $20 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવી કોણીય ઝડપ $\omega_2 = \omega_1 + 0.20 \omega_1 = 1.2 \omega_1$ થાય.
નવી ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_2)$ અને પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_2}{KE_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = \frac{(1.2 \omega_1)^2}{\omega_1^2} = (1.2)^2 = 1.44$.
તેથી,$KE_2 = 1.44 KE_1$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left( \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \right) \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$.

(D) પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_P = K_Q$ થાય.
તેથી,$\frac{L_P^2}{2I_P} = \frac{L_Q^2}{2I_Q}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_Q^2}{L_P^2} = \frac{I_Q}{I_P}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{L_Q}{L_P} = \sqrt{\frac{I_Q}{I_P}}$.
આપેલ છે કે $I_Q > I_P$,તેથી $\frac{I_Q}{I_P} > 1$ થાય.
આમ,$\sqrt{\frac{I_Q}{I_P}} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_Q}{L_P} > 1$.
તેથી,$L_Q > L_P$.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^{2}}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંને પદાર્થોના કોણીય વેગમાન સમાન હોવાથી $(L_{A} = L_{B} = L)$,ગતિઊર્જા એ જડત્વની ચાકમાત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{I}$.
આપેલ છે કે $I_{A} > I_{B}$,તેથી $\frac{1}{I_{A}} < \frac{1}{I_{B}}$ થાય.
આથી,$K_{A} < K_{B}$ મળે.