Rotational Kinetic Energy Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $m$ એ દળ,$v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ,$R$ એ ત્રિજ્યા અને $I$ એ વસ્તુની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$.
આપેલ છે કે $KE_{\text{trans}} = KE_{\text{rot}}$,તેથી $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{R^2}\right) v^2$.
આના પરથી $m = \frac{I}{R^2}$ અથવા $I = mR^2$ મળે છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ એ રીંગ (અથવા પાતળા પોલા નળાકાર) માટે તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને હોય છે.

(D) ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $x = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $y = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ચાકગતિ ઉર્જાને કોણીય વેગમાનના પદોમાં આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{(I \omega)^2}{2 I} = \frac{y^2}{2 I}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{y^2}{2 x}$.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સાથે ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ચાકગતિ ઉર્જાને કોણીય વેગમાનના પદમાં આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$K = \frac{1}{2} I \left( \frac{L}{I} \right)^2 = \frac{L^2}{2I}$.
આપેલ છે કે $K = x$ અને $L = y$,તેથી $x = \frac{y^2}{2I}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $I = \frac{y^2}{2x}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
ધારો કે ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. તો નળાકારની કોણીય ઝડપ $2\omega$ થશે.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ગોળાની ગતિઊર્જા: $K_s = \frac{1}{2} I_s \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} mR^2 \omega^2$.
નળાકારની ગતિઊર્જા: $K_c = \frac{1}{2} I_c (2\omega)^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (4\omega^2) = mR^2 \omega^2$.
ગોળા અને નળાકારની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{5} mR^2 \omega^2}{mR^2 \omega^2} = \frac{1}{5}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે તેની ભૌમિતિક ધરી પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ધારો કે નળાકારની કોણીય ઝડપ $\omega_c = \omega$ છે.
તેથી,$K_c = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_s = \frac{\omega}{2}$ છે.
તેથી,$K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{1}{5} M R^2 (\frac{\omega^2}{4}) = \frac{1}{20} M R^2 \omega^2$.
ગોળાની અને નળાકારની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_s}{K_c} = \frac{\frac{1}{20} M R^2 \omega^2}{\frac{1}{4} M R^2 \omega^2} = \frac{1}{20} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ થાય.

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_S = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ધારો કે નળાકારની કોણીય ઝડપ $\omega_C$ છે અને ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_S$ છે.
આપેલ છે કે $\omega_S = \frac{\omega_C}{2}$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા અને નળાકારની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{1}{2} I_S \omega_S^2}{\frac{1}{2} I_C \omega_C^2} = \frac{I_S}{I_C} \times \left( \frac{\omega_S}{\omega_C} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{2}{5} M R^2}{\frac{1}{2} M R^2} \times \left( \frac{\omega_C / 2}{\omega_C} \right)^2 = \frac{2/5}{1/2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(D) આપેલ છે કે ચાકગતિ ઉર્જા સમાન છે:
$(K.E.)_A = (K.E.)_B$
$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} \quad ...(i)$
વળી,ચાકગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2}$
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{I_2}{I_1} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,$I_2 = 3 I_1$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ છે. તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ છે. આપેલ છે કે $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,તેથી તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
તેમની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ થશે.

(C) મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2 \omega^2}{4}$ મળે.
$\omega^2$ ને કર્તા બનાવતા,$\omega^2 = \frac{4K}{md^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = \sqrt{\frac{4K}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{K}{m}}$ થાય.

(A) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$m$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે પરમાણુઓ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ થાય.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં કોણીય ઝડપ $\omega = 1 \ rad/s$ આપેલ છે,તેથી: $K = \frac{1}{2} I (1)^2 = \frac{1}{2} I$.
પ્રશ્ન મુજબ,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ ના '$P$' ગણી છે: $I = P \cdot K$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા: $I = P \cdot (\frac{1}{2} I)$.
બંને બાજુ $I$ વડે ભાગતા: $1 = P \cdot \frac{1}{2}$.
તેથી,$P = 2$.

(A) ચાકગતિની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ધારો કે ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_s = \omega$ છે.
તેથી,ગોળાની ગતિઊર્જા $K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2$ થાય.
તકતી માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તકતીની કોણીય ઝડપ $\omega_d = 2\omega$ આપેલી છે.
તેથી,તકતીની ગતિઊર્જા $K_d = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (2\omega)^2 = \frac{1}{4} MR^2 (4\omega^2) = MR^2 \omega^2$ થાય.
તકતીની ગતિઊર્જા અને ગોળાની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_d}{K_s} = \frac{MR^2 \omega^2}{\frac{1}{5} MR^2 \omega^2} = 5$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $5: 1$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે પરમાણુઓ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પરમાણુઓને જોડતી રેખાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = 2m(d^2/4) = \frac{md^2}{2}$.
રોટેશનલ ગતિ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
ઊર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
$\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 3 \ kg \ m^{2}$,કોણીય વેગ $\omega = 3 \ rad \ s^{-1}$,અને દળ $m = 27 \ kg$.
પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ છે.
બીજા પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_{rot} = K_{trans}$.
તેથી,$\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
$I \omega^{2} = m v^{2}$.
$v^{2} = \frac{I \omega^{2}}{m}$.
$v = \omega \sqrt{\frac{I}{m}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 3 \times \sqrt{\frac{3}{27}} = 3 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \ m \ s^{-1}$.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $M = 20 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 1 \ m$,કોણીય વેગ $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી: $I = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ kg \ m^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \ J$.

(C) સળિયાની ચાકગતિ ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયા માટે,જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરી પર ફરે છે,જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = \frac{M L^2}{12}$
આ કિંમતને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{M L^2}{12} \right) \omega^2 = \frac{1}{24} M L^2 \omega^2$ $(i)$
સળિયાનું દળ $M$ તેના કદ અને ઘનતાના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho = A L \rho$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{24} (A L \rho) L^2 \omega^2 = \frac{1}{24} A L^3 \rho \omega^2$

(D) આપેલ છે,વર્તુળાકાર તકતીનું દળ,$M = 12 \,kg$,
ત્રિજ્યા,$R = 0.5 \,m$,
કોણીય વેગ,$\omega = 100 \,rad/s$.
પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{4} MR^2 \omega^2$.
હવે,આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{4} \times 12 \,kg \times (0.5 \,m)^2 \times (100 \,rad/s)^2$
$K = 3 \times 0.25 \times 10000 \,J$
$K = 0.75 \times 10000 \,J = 7500 \,J$.
કારણ કે $1 \,kJ = 1000 \,J$,તેથી $K = 7.5 \,kJ$.
આમ,તકતીની ચાકગતિ ઉર્જા $7.5 \,kJ$ છે.

(D) ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની બાહ્ય ત્રિજ્યા સમાન છે $(R_1 = R_2 = R)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે $(I_1 = I_2)$,તેથી $\frac{2}{5}M_1R^2 = \frac{2}{5}M_2R^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_1 = M_2$.
જો કે,જો ગોળાઓ પોલા હોય અથવા તેમની આંતરિક રચના અલગ હોય,તો તેમના દળ અલગ હોવા છતાં પણ જો તેમનું દળ વિતરણ અલગ હોય તો તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોઈ શકે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે,તેથી ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
જેহেতু $I_1 = I_2$ અને બંને સમાન કોણીય ઝડપ $(\omega_1 = \omega_2 = \omega)$ થી ફરે છે,તેથી તેમની ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હશે $(K_{r1} = K_{r2} = \frac{1}{2}I\omega^2)$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચું વિધાન છે.

(B) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા સમાન હોવાથી,$I_{1} \omega_{1}^{2} = I_{2} \omega_{2}^{2} = I_{3} \omega_{3}^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે:
$1$. અક્ષ $1$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર),$I_{1} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$2$. અક્ષ $2$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વિકર્ણને સમાંતર),$I_{2} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$3$. અક્ષ $3$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ),લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{3} = I_{x} + I_{y} = \frac{Ma^{2}}{12} + \frac{Ma^{2}}{12} = \frac{Ma^{2}}{6}$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_{1}: I_{2}: I_{3} = \frac{1}{12}: \frac{1}{12}: \frac{1}{6} = 1: 1: 2$ છે.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\omega_{1}: \omega_{2}: \omega_{3} = \frac{1}{\sqrt{I_{1}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{2}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{2}} = 1: 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: \sqrt{2}: 1$ થાય.