R त्रिज्या और M द्रव्यमान का एक ठोस बेलन एक न | vedclass

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Question

(D) $h$ ऊँचाई के नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,ऊर्जा संरक्षण से: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $v = R\omega$

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समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या वाला खोखला बेलन

Vedclass · Answer

(D) $h$ ऊँचाई के नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,ऊर्जा संरक्षण से: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $v = R\omega$,हमारे पास $\omega = v/R$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I(v/R)^2 = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{I}{MR^2})$। ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + 1/2) = \frac{3}{4}Mv^2$,जिससे $v = \sqrt{4gh/3}$ प्राप्त होता है। चाल $v$ कारक $k^2/R^2$ पर निर्भर करती है जहाँ $I = Mk^2$ है। विशेष रूप से,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k^2/R^2}}$। खोखले बेलन के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $k^2/R^2 = 1$। अतः,$v_{hollow} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$। चूँकि $\sqrt{gh} < \sqrt{4gh/3}$,खोखले बेलन के लिए चाल कम होगी। समान ज्यामिति के लिए चाल द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ से स्वतंत्र होती है।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$(A)$ वलय	$(I)$ $\frac{Mg \sin \theta}{3.5}$
$(B)$ ठोस गोला	$(II)$ $\frac{Mg \sin \theta}{2}$
$(C)$ ठोस बेलन	$(III)$ $\frac{Mg \sin \theta}{3}$
$(D)$ खोखला बेलन	$(IV)$ $\frac{Mg \sin \theta}{2.5}$

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