Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Hindi

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \, kg \cdot m^2$,प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 60 \, rpm = 1 \, rps$,अंतिम आवृत्ति $n_2 = 0 \, rps$,और समय $t = 1 \, min = 60 \, s$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क $\tau$ कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है: $\tau = I \alpha = I \frac{\Delta \omega}{t}$।
मान रखने पर: $\tau = I \frac{2\pi(n_2 - n_1)}{t}$।
$\tau = 2 \times \frac{2\pi(0 - 1)}{60} = \frac{-4\pi}{60} = -\frac{\pi}{15} \, N \cdot m$।
पहिये को रोकने के लिए आवश्यक टॉर्क का परिमाण $\frac{\pi}{15} \, N \cdot m$ है।

(A) किसी घूर्णन करती वस्तु को इंजन द्वारा दी गई शक्ति $P$,टॉर्क $\tau$ और कोणीय वेग $\omega$ के गुणनफल के बराबर होती है।
दिया गया है:
टॉर्क $\tau = 100\, Nm$
कोणीय गति $\omega = 100\, rad\, s^{-1}$
सूत्र $P = \tau \omega$ का उपयोग करने पर:
$P = (100\, Nm) \times (100\, rad\, s^{-1})$
$P = 10,000\, W$
चूंकि $1\, kW = 1,000\, W$,इसलिए:
$P = 10\, kW$.

(D) बेलन पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F = 20\,N$ और $r = 0.5\,m$ है।
$\tau = 20 \times 0.5 = 10\,N\cdot m$.
एक खोखले बेलन के लिए,इसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,जहाँ $M = 5\,kg$ और $r = 0.5\,m$ है।
$I = 5 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25\,kg\cdot m^2$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$10 = 1.25 \times \alpha$.
$\alpha = \frac{10}{1.25} = 8\,rad/s^2$.

(B) दिया गया है: $r_1 = 0.05\,m$,$r_2 = 0.30\,m$,$I = 1500\,kg\cdot m^2$.
टॉर्क $\tau$ प्रत्येक बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क का योग है:
$\tau = \tau_{10N} + \tau_{9N} - \tau_{12N}$
$\tau = (10 \times r_2) + (9 \times r_2) - (12 \times r_1 \times \cos(30^\circ))$
$\tau = (10 \times 0.3) + (9 \times 0.3) - (12 \times 0.05 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$\tau = 3 + 2.7 - (0.6 \times 0.866) = 5.7 - 0.5196 = 5.1804\,N\cdot m$.
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{5.1804}{1500} \approx 0.00345\,rad/s^2 \approx 3.45 \times 10^{-3}\,rad/s^2$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $3 \times 10^{-3}\,rad/s^2$ है।

(A) बेल्ट तनाव अंतर के कारण पुली पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = T_1 - T_2 = 135\,N - 45\,N = 90\,N$ है।
मोटर पुली की त्रिज्या $r = 8\,cm = 0.08\,m$ है।
बेल्ट पर मोटर द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F_{net} \times r = 90\,N \times 0.08\,m = 7.2\,Nm$ है।
मोटर की शक्ति $P = \tau \omega$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega = 200\,rad\,s^{-1}$ है।
$P = 7.2\,Nm \times 200\,rad\,s^{-1} = 1440\,W$ है।
किलोवाट में बदलने पर,$P = 1440 / 1000 = 1.44\,kW$ प्राप्त होता है।

(A) कब्जेदार सिरे के परितः टॉर्क $\tau = Mg \frac{L}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$Mg \frac{L}{2} = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$.
चूंकि मीटर छड़ की लंबाई $L = 1 \ m$ दी गई है,$L = 1$ रखने पर:
$\alpha = \frac{3g}{2(1)} = \frac{3}{2} g \ rad/s^2$.

(B) कब्जेदार सिरे के परितः टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = \frac{5L}{6}$ है।
$\tau = \left( \frac{Mg}{2} \right) \times \left( \frac{5L}{6} \right) = \frac{5MgL}{12}$.
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{5MgL}{12} \times \frac{3}{ML^2}$.
$\alpha = \frac{5g}{4L}$.

(B) जब डोरी को काटा जाता है,तो कब्ज़े $P$ के परितः छड़ पर कार्य करने वाला एकमात्र बल आघूर्ण (torque) छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ कब्ज़े $P$ से $L/2$ की दूरी पर कार्य करता है।
कब्ज़े $P$ के परितः बल आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = Mg \times \frac{L}{2}$
छड़ के सिरे $P$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = \frac{ML^2}{3}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$Mg \times \frac{L}{2} = \left(\frac{ML^2}{3}\right) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच का संबंध घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = L_0$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 4L_0$ दिया गया है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \ s$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = 4L_0 - L_0 = 3L_0$ है।
अतः,नियत बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3L_0}{4}$ होगा।

(B) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 720 \, rpm = \frac{720 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 24\pi \, rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0 \, rad/s$.
लिया गया समय $t = 8 \, s$.
घूर्णी गति के समीकरण $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\alpha$ कोणीय मंदन है:
$0 = 24\pi - \alpha(8) \implies \alpha = \frac{24\pi}{8} = 3\pi \, rad/s^2$.
बल आघूर्ण $\tau$ का मान $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $I = \frac{24}{\pi} \, kg \cdot m^2$,अतः:
$\tau = \left(\frac{24}{\pi}\right) \times (3\pi) = 72 \, N \cdot m$.

(A) कण पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान $m = 2\, kg$,स्थिति $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v} dt = (4\hat{i} - 2\hat{j}) + \int_0^t (2t^2\hat{i}) dt = (4 + \frac{2}{3}t^3)\hat{i} - 2\hat{j}$.
वेग $\vec{v}(t) = 2t^2\hat{i}$.
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m [((4 + \frac{2}{3}t^3)\hat{i} - 2\hat{j}) \times (2t^2\hat{i})] = 2 [0 - 2\hat{j} \times 2t^2\hat{i}] = 2 [4t^2\hat{k}] = 8t^2\hat{k}$.
टॉर्क $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^2\hat{k}) = 16t\hat{k}$.
$t = 2\, s$ पर,$\vec{\tau} = 16(2)\hat{k} = 32\hat{k}\, N\cdot m$.

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.2\, m$,द्रव्यमान $M = 5\, kg$,कोणीय वेग $\omega = 2 + 6t$.
सबसे पहले,समय $t$ के सापेक्ष $\omega$ का अवकलन करके कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करें:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 6t) = 6\, rad/s^2$.
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.2)^2 = 0.5 \times 5 \times 0.04 = 0.1\, kg \cdot m^2$.
बलाघूर्ण $\tau = I\alpha = 0.1 \times 6 = 0.6\, N \cdot m$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि $\tau = F \times R$,इसलिए स्पर्शरेखीय बल $F$ है:
$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.6}{0.2} = 3\, N$.

(B) टॉर्क $\tau$ को कोणीय संवेग $L$ के समय $t$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 1\,J\cdot s$
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 5\,J\cdot s$
समय अंतराल $\Delta t = 5\,s$
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = 5\,J\cdot s - 1\,J\cdot s = 4\,J\cdot s$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\tau = \frac{4\,J\cdot s}{5\,s} = 0.8\,N\cdot m$।
अतः,टॉर्क $0.8\,N\cdot m$ है,जो $\frac{4}{5}\,N\cdot m$ के बराबर है।

(D) बल आघूर्ण $(\tau)$,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = I \alpha$.
दिया गया है:
बल आघूर्ण $(\tau)$ = $31.4 \, Nm$
कोणीय त्वरण $(\alpha)$ = $4\pi \, rad/s^2$
$\pi \approx 3.14$ का मान लेने पर,$\alpha = 4 \times 3.14 = 12.56 \, rad/s^2$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$31.4 = I \times 12.56$
$I = \frac{31.4}{12.56} = 2.5 \, kg \cdot m^2$.

(B) दिया गया है,प्रारंभिक आवृत्ति $f_0 = 1.3 \, rev/sec$ है। प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 1.3 = 2.6\pi \, rad/s$ है।
चूंकि डिस्क रुक जाती है,इसलिए अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \, rad/s$ और समय $t = 30 \, s$ है।
घूर्णन गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
मान रखने पर: $0 = 2.6\pi + \alpha \times 30$.
$\alpha = - \frac{2.6\pi}{30} \approx - \frac{2.6 \times 3.14}{30} \approx - 0.27 \, rad/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है,इसलिए कोणीय त्वरण का परिमाण लगभग $0.27 \, rad/s^2$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\; kg$,त्रिज्या $R = 4\; cm = 0.04\; m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 3\; rpm = \frac{3 \times 2\pi}{60} = \frac{\pi}{10}\; rad/s$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2\pi \text{ चक्कर} = 2\pi \times 2\pi = 4\pi^2\; rad$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (\frac{\pi}{10})^2 - 2\alpha(4\pi^2)$
$8\alpha\pi^2 = \frac{\pi^2}{100} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{800}\; rad/s^2$.
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.04)^2 = 0.0016\; kg\cdot m^2$.
आवश्यक टॉर्क $\tau = I\alpha = 0.0016 \times \frac{1}{800} = 2 \times 10^{-6}\; Nm$.

(B) मान लीजिए कि $m$ और $r$ खोखले बेलन और ठोस गोले दोनों का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
खोखले बेलन की उसकी मानक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{c} = m r^{2}$ है।
ठोस गोले की उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{s} = \frac{2}{5} m r^{2}$ है।
हम संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $\tau$ टॉर्क है,$I$ जड़त्व आघूर्ण है,और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
चूंकि दोनों के लिए लगाया गया टॉर्क $\tau$ समान है,इसलिए $\alpha = \frac{\tau}{I}$ होगा।
अतः,$\alpha \propto \frac{1}{I}$।
चूंकि $I_{c} = m r^{2}$ और $I_{s} = 0.4 m r^{2}$ है,यह स्पष्ट है कि $I_{s} < I_{c}$ है।
इसलिए,$\alpha_{s} > \alpha_{c}$ होगा।
संबंध $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 0$ के लिए,हमें $\omega = \alpha t$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha_{s} > \alpha_{c}$ है,इसलिए किसी भी दिए गए समय $t$ के लिए $\omega_{s} > \omega_{c}$ होगा।
अतः,ठोस गोला अधिक कोणीय गति प्राप्त करेगा।

(A) खोखले बेलन का द्रव्यमान,$m = 3\; kg$.
खोखले बेलन की त्रिज्या,$r = 40\; cm = 0.4\; m$.
अनुप्रयुक्त बल,$F = 30\; N$.
खोखले बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = 3 \times (0.4)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\; kg\; m^2$.
बलाघूर्ण (Torque),$\tau = F \times r = 30 \times 0.4 = 12\; Nm$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,कोणीय त्वरण $\alpha$ है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12}{0.48} = 25\; rad\; s^{-2}$.
रैखिक त्वरण $a$,$a = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 0.4 \times 25 = 10\; m\; s^{-2}$.

कोणीय त्वरण को घूर्णन करती हुई वस्तु के कोणीय वेग में परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे $\alpha$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है और यह एक सदिश राशि है।
कोणीय त्वरण का $SI$ मात्रक $\text{rad/s}^2$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-2}]$ है।
यदि घूर्णन अक्ष स्थिर है,तो कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ और कोणीय त्वरण सदिश $\vec{\alpha}$ की दिशा स्थिर रहती है। इस विशिष्ट स्थिति में,कोणीय त्वरण को एक अदिश राशि के रूप में माना जा सकता है।
गणितीय रूप से,$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$। चूंकि कोणीय वेग $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ होता है,इसलिए कोणीय त्वरण को कोणीय विस्थापन के द्वितीय अवकलज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$।

किसी कण के कोणीय संवेग की परिभाषा के अनुसार,$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$ है।
इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} + \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d\vec{p}}{dt}$ रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर है,जो बल $\vec{F}$ के बराबर है और $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ है,इसलिए $\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} + \vec{v} \times \vec{p}$ होता है।
चूंकि $\vec{v}$ और $\vec{p}$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{p} = 0$ होता है।
अतः,$\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर कण पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण (टॉर्क) के बराबर होती है।

(B) किसी कण का कोणीय संवेग $L$,$L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग के समय के साथ परिवर्तन की दर $\frac{dL}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$,कोणीय संवेग के समय के साथ परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$\tau = \frac{dL}{dt}$।
अतः,कोणीय संवेग के समय के साथ परिवर्तन की दर द्वारा निरूपित भौतिक राशि टॉर्क है।

(N/A) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति करने वाले कणों के निकाय के लिए,न्यूटन के गति के दूसरे नियम को टॉर्क और कोणीय त्वरण के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।
यह संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\tau_{ext} = I \alpha$
जहाँ:
- $\tau_{ext}$ घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य टॉर्क है।
- $I$ उसी अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) है।
- $\alpha$ निकाय का कोणीय त्वरण है।
यह समीकरण रैखिक गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम $(F = ma)$ का घूर्णन गति के अनुरूप रूप है।

(N/A) एक दृढ़ पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
पिंड पर किए गए कार्य की दर उसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि की दर के बराबर होती है। गतिज ऊर्जा में वृद्धि की दर है:
$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} I \omega^{2} \right)$
$P = \frac{1}{2} I \frac{d}{dt} (\omega^{2})$
चूंकि एक दृढ़ पिंड के लिए $I$ स्थिर है:
$P = \frac{1}{2} I \times 2 \omega \frac{d\omega}{dt}$
$P = I \omega \alpha$,जहाँ $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ कोणीय त्वरण है।
हम यह भी जानते हैं कि टॉर्क द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \tau \omega$ है।
शक्ति के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\tau \omega = I \omega \alpha$
$\tau = I \alpha$
यह समीकरण रैखिक गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ का घूर्णी अनुरूप है। इस प्रकार,कोणीय त्वरण $\alpha$ लगाए गए टॉर्क $\tau$ के सीधे आनुपातिक होता है और पिंड के जड़त्व आघूर्ण $I$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(N/A) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाली दृढ़ वस्तु के लिए,न्यूटन के गति के दूसरे नियम को बलाघूर्ण (torque) और कोणीय त्वरण (angular acceleration) के पदों में व्यक्त किया जाता है।
इसके अनुसार,घूर्णन अक्ष के परितः वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बलाघूर्ण $\tau_{ext}$,उस अक्ष के परितः वस्तु के जड़त्व आघूर्ण $I$ और उसके कोणीय त्वरण $\alpha$ के गुणनफल के बराबर होता है।
इसका गणितीय व्यंजक है: $\tau_{ext} = I \alpha$.

(N/A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे दृढ़ पिंड का कुल कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{L}_{z} + \vec{L}_{\perp}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{L}_{z}}{dt} + \frac{d\vec{L}_{\perp}}{dt}$.
चूंकि घूर्णन एक स्थिर अक्ष के परितः है,अक्ष के लंबवत कोणीय संवेग का घटक $\vec{L}_{\perp}$ स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{d\vec{L}_{\perp}}{dt} = 0$.
अक्ष की दिशा में कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau}$ के बराबर होती है,इसलिए $\frac{d\vec{L}_{z}}{dt} = \vec{\tau}$.
अतः,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$.
चूंकि $\vec{L}_{z} = I\omega\hat{k}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है:
$\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(I\omega\hat{k}) = I\frac{d\omega}{dt}\hat{k}$.
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$,हमें $\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ प्राप्त होता है।
अदिश रूप में,यह $\tau = I\alpha$ है,जो न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का घूर्णन गति के लिए समतुल्य रूप है।

(B) कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बलाघूर्ण (टॉर्क) के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$
जहाँ $\vec{L}$ कोणीय संवेग है और $\vec{\tau}$ बाह्य बलाघूर्ण है।

(A) टॉर्क का मान $0$ है।
चूंकि वस्तु एकसमान कोणीय चाल से गति कर रही है, इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = 0$ है।
टॉर्क का सूत्र $\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ होता है, जहां $I$ जड़त्व आघूर्ण है, अतः यदि $\alpha = 0$ है, तो $\vec{\tau} = 0$ होगा।
वैकल्पिक रूप से, एकसमान वृत्तीय गति में, वस्तु पर लगने वाला नेट बल अभिकेंद्र बल $\vec{F}_{c}$ होता है जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
टॉर्क को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि अभिकेंद्र बल त्रिज्या सदिश के अनुदिश (या उसके विपरीत) कार्य करता है, इसलिए $\vec{r}$ और $\vec{F}$ के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ होता है।
अतः, $|\vec{\tau}| = rF \sin(0^{\circ} \text{ या } 180^{\circ}) = 0$।

(D) द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $(a)$ न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{F}{m} = \frac{20 \, N}{2 \, kg} = 10 \, m/s^2$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क $(\tau)$ $\tau = F \times d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से बल की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है। यदि बल $F$ द्रव्यमान केंद्र पर लगाया जाता है,तो लंबवत दूरी $d = 0$ होती है।
अतः,$\tau = F \times 0 = 0$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$0 = I \alpha \implies \alpha = 0 \, rad/s^2$.
हालाँकि,यदि प्रश्न का अर्थ यह है कि बल परिधि पर (स्पर्शरेखीय रूप से) लगाया गया है,तो $\tau = F \times r = 20 \times 0.1 = 2 \, N \cdot m$.
एक ठोस डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.01 \, kg \cdot m^2$.
तब $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2}{0.01} = 200 \, rad/s^2$.
अनुपात $\frac{a}{\alpha} = \frac{10}{200} = \frac{1}{20}$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20\, kg$,त्रिज्या $R = 0.2\, m$,बल $F = 20\, N$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 0$,अंतिम कोणीय गति $\omega = 50\, rad/s$.
बल $F$ द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \cdot R$ है।
डिस्क का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,कोणीय त्वरण $\alpha$:
$\alpha = \frac{F \cdot R}{\frac{1}{2} mR^2} = \frac{2F}{mR} = \frac{2 \times 20}{20 \times 0.2} = \frac{2}{0.2} = 10\, rad/s^2$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$ का उपयोग करने पर:
$(50)^2 = 0^2 + 2(10)\Delta\theta$
$2500 = 20\Delta\theta$
$\Delta\theta = 125\, rad$.
चूंकि एक चक्कर $2\pi \approx 6.28\, rad$ के बराबर होता है,इसलिए चक्करों की संख्या $n$ है:
$n = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{125}{6.28} \approx 19.90$.
निकटतम पूर्णांक में,$n = 20$।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $R = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$,द्रव्यमान $M = 10 \, \text{kg}$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 600 \, \text{rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} \, \text{rad/s} = 20\pi \, \text{rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \, \text{rad/s}$,समय $\Delta t = 10 \, \text{s}$.
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, \text{kg m}^2$ है।
आवश्यक बल आघूर्ण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{I(\omega_f - \omega_i)}{\Delta t}$ है।
बल आघूर्ण का परिमाण $|\tau| = \frac{0.2 \times (20\pi - 0)}{10} = \frac{4\pi}{10} = 0.4\pi = 4\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ प्राप्त होता है।
$x\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ के साथ तुलना करने पर,$x = 4$ प्राप्त होता है।

(A) आरोपित बल आघूर्ण $\tau = F \cdot r = (12t - 3t^2) \cdot 1.5 = 18t - 4.5t^2$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,$18t - 4.5t^2 = 4.5\alpha$,जिससे $\alpha = 4t - t^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$,कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर: $\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$।
गति की दिशा तब बदलती है जब $\omega = 0$,इसलिए $t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0$,जिससे $t = 6\,s$ प्राप्त होता है।
कोणीय विस्थापन $\theta = \int_{0}^{6} (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = [\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}]_{0}^{6} = \frac{2(216)}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36\,rad$ है।
घूर्णनों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi}$ है।
$\frac{K}{\pi}$ के साथ तुलना करने पर,$K = 18$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि शक्ति $P$ नियत है।
किया गया कार्य $W = P \cdot t$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
चूंकि $v = r \omega$,इसलिए $P t = \frac{1}{2} m (r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$.
अतः,$\omega^2 = \frac{2 P t}{m r^2}$,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot t^{1/2}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot t^{1/2} \right)$.
$\alpha = \sqrt{\frac{2 P}{m r^2}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2}$.
इसलिए,$\alpha \propto t^{-1/2}$ या $\alpha \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.

(A) दिया गया है:
कोणीय त्वरण $\alpha = 3 \, rad/s^2$
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 10 \, rad/s$
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 20 \, rad/s$
घूर्णन गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$\omega_2^2 = \omega_1^2 + 2 \alpha \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(20)^2 = (10)^2 + 2 \times 3 \times \theta$
$400 = 100 + 6 \theta$
$300 = 6 \theta$
$\theta = \frac{300}{6} = 50 \, rad$
अतः,तय किया गया कोण $50 \, rad$ है।

(A) दिया गया है:
जड़त्व आघूर्ण,$I = 2 \, kg \cdot m^2$
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_0 = 30 \, rad/s$
अंतिम कोणीय वेग,$\omega_f = 0 \, rad/s$
रुकने में लगा समय,$t = 15 \, s$
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$\omega_f = \omega_0 + \alpha t$
$0 = 30 + \alpha(15)$
$\alpha = -30 / 15 = -2 \, rad/s^2$
कोणीय मंदन का परिमाण $|\alpha| = 2 \, rad/s^2$ है।
औसत टॉर्क इस प्रकार है:
$\tau = I |\alpha|$
$\tau = 2 \, kg \cdot m^2 \times 2 \, rad/s^2 = 4 \, N \cdot m$.

(A) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,टॉर्क $\tau = I \alpha$ होता है,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
स्पर्शरेखीय बल $F$ द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \times R$ है।
टॉर्क के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $F R = \frac{1}{2} M R^2 \alpha$।
कोणीय त्वरण के लिए हल करने पर: $\alpha = \frac{2 F}{M R}$।
चूंकि डिस्क $\omega$ की प्रारंभिक कोणीय गति से $t$ समय में स्थिर हो जाती है,इसलिए कोणीय मंदन का परिमाण $\alpha = \frac{\omega}{t}$ है।
समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर: $\frac{2 F}{M R} = \frac{\omega}{t}$।
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$।

(A) हिंज बिंदु (अक्ष) के परितः छड़ पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = r_{\perp} F$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{\perp}$ घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है।
ज्यामिति से,$r_{\perp} = L \sin 30^{\circ} = L \times \frac{1}{2} = \frac{L}{2}$.
अतः,प्रारंभिक टॉर्क $\tau = F \times \frac{L}{2} = \frac{FL}{2}$ है।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली छड़ का एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
$\tau = I \alpha$ संबंध का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक कोणीय त्वरण $\alpha$ इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{FL/2}{ML^2/3} = \frac{FL}{2} \times \frac{3}{ML^2} = \frac{3F}{2ML}$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,त्रिज्या $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,बल $F = 30 \,N$ है।
आरोपित बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = F \times R$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$F \times R = \left(\frac{2}{3}MR^2\right) \alpha$
$30 \times 0.1 = \left(\frac{2}{3} \times 1 \times (0.1)^2\right) \alpha$
$3 = \left(\frac{2}{3} \times 0.01\right) \alpha$
$3 = \frac{0.02}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3 \times 3}{0.02} = \frac{9}{0.02} = 450 \,rad/s^2$.

(C) डिस्क पर उसके केंद्र के परितः कार्य करने वाला कुल बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ दोनों बलों द्वारा उत्पन्न टॉर्क का योग है।
चूंकि दोनों बल केंद्र से $R$ दूरी पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाए जाते हैं,इसलिए प्रत्येक बल $\tau_i = F \times R$ परिमाण का टॉर्क उत्पन्न करता है।
दोनों बल एक ही घूर्णी दिशा (वामावर्त) में टॉर्क उत्पन्न करते हैं,इसलिए कुल टॉर्क $\tau_{net} = F R + F R = 2 F R$ है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau_{net} = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$2 F R = (\frac{1}{2} M R^2) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{2 F R}{\frac{1}{2} M R^2} = \frac{4 F}{M R}$.

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 4 \,kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 240 \,rpm$,समय $t = 1 \,min = 60 \,s$,और अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \,rad/s$.
सबसे पहले,कोणीय वेग को $rpm$ से $rad/s$ में बदलें:
$\omega_0 = 240 \times \frac{2 \pi}{60} = 8 \pi \,rad/s$.
घूर्णी गति के समीकरण $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय मंदन है:
$0 = 8 \pi - \alpha(60) \implies \alpha = \frac{8 \pi}{60} = \frac{2 \pi}{15} \,rad/s^2$.
आवश्यक टॉर्क $\tau = I \alpha$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\tau = 4 \times \frac{2 \pi}{15} = \frac{8 \pi}{15} \,N \cdot m$.

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = A_0$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 4 A_0$ दिया गया है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \text{ s}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = \frac{4 A_0 - A_0}{4} = \frac{3 A_0}{4}$.
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $\frac{3 A_0}{4}$ है।

(A) धुरी बिंदु $P$ के परितः डिस्क पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ द्रव्यमान केंद्र $C$ पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के कारण होता है।
जब रेखा $PC$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो $P$ से गुरुत्वाकर्षण बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी $R \cos \theta$ होती है।
इसलिए,टॉर्क $\tau = mg(R \cos \theta)$ है।
धुरी बिंदु $P$ (जो रिम पर है) से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ समानांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I = I_{cm} + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$mg(R \cos \theta) = \left( \frac{3}{2} mR^2 \right) \alpha$
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{mgR \cos \theta}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{2g \cos \theta}{3R}$.

(B) कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर कार्य करने वाले कुल टॉर्क के बराबर होती है,अर्थात $\left|\frac{dL}{dt}\right| = \tau_{\text{net}}$.
केंद्र से $l$ दूरी पर स्थित प्रत्येक द्रव्यमान $m$ के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l\sin\alpha$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = mr\omega^2 = m(l\sin\alpha)\omega^2$ है।
केंद्र के परितः एक द्रव्यमान के कारण टॉर्क $\tau = F \times r_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp} = l\cos\alpha$ घूर्णन अक्ष से बल सदिश की लंबवत दूरी है।
अतः,$\tau = (ml\sin\alpha\omega^2) \times (l\cos\alpha) = ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$.
चूंकि केंद्र के विपरीत दिशाओं में ऐसे दो द्रव्यमान हैं,इसलिए उनके द्वारा उत्पन्न टॉर्क एक ही दिशा में होते हैं।
इसलिए,कुल टॉर्क $\tau_{\text{net}} = 2\tau = 2ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tau_{\text{net}} = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.
अतः,$\left|\frac{dL}{dt}\right| = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.

(B) बेलन पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = F \times R$ द्वारा दिया जाता है।
एक खोखले बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F \times R = (mR^2) \alpha$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ के लिए सरल करने पर,$\alpha = \frac{F}{mR}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $F = 52.5\,N$,$m = 5\,kg$,और $R = 70\,cm = 0.7\,m$।
मान की गणना करने पर: $\alpha = \frac{52.5}{5 \times 0.7} = \frac{52.5}{3.5} = 15\,rad\,s^{-2}$।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 0.40 \ kg \cdot m^2$,त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,बल $F = 40 \ N$,समय $t = 10 \ s$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$.
पहिये पर लगने वाला बलाघूर्ण $\tau = F \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 40 \times 0.1 = 4 \ N \cdot m$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$4 = 0.40 \times \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{4}{0.40} = 10 \ rad/s^2$.
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए:
$\omega = 0 + (10 \times 10) = 100 \ rad/s$.
अतः,$x = 100$.

(A) पहिये की रिम पर कार्य करने वाले बल $F$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau = F \times R$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: बल $F = 10 \ N$,त्रिज्या $R = 0.2 \ m$,और कोणीय त्वरण $\alpha = 2 \ rad/s^2$।
टॉर्क,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच संबंध $\tau = I \alpha$ है।
मान रखने पर:
$F \times R = I \alpha$
$10 \times 0.2 = I \times 2$
$2 = 2I$
$I = 1 \ kg \ m^2$।
अतः,पहिये का जड़त्व आघूर्ण $1 \ kg \ m^2$ है।

(C) टॉर्क $\vec{\tau}$ को कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
चूंकि $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$,इसलिए व्यंजक $B$ सही है: $\vec{\tau} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$.
गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = (\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}) + (\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt})$.
चूंकि $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ और $\vec{p} = m\vec{v}$,इसलिए पद $(\vec{v} \times m\vec{v}) = 0$ हो जाता है। अतः,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$,जिससे व्यंजक $C$ सही सिद्ध होता है।
साथ ही,$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$ होने के कारण,व्यंजक $E$ सही है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले दृढ़ पिंड के लिए,$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ होता है,इसलिए व्यंजक $D$ भी सही है।
व्यंजक $A$ गलत है क्योंकि $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ होता है,न कि $\vec{r} \times \vec{L}$।
अतः,$B, C, D$ और $E$ सही हैं।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$.
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{i} = 1800 \ rpm = 1800 \times \frac{2 \pi}{60} = 60 \pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_{f} = 2100 \ rpm = 2100 \times \frac{2 \pi}{60} = 70 \pi \ rad/s$.
बाहरी टॉर्क $\tau_{ext} = 25 \pi \ Nm$.
समय $t = 40 \ s$.
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega_{f} = \omega_{i} + \alpha t$:
$70 \pi = 60 \pi + \alpha(40) \implies 10 \pi = 40 \alpha \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \ rad/s^2$.
व्यास के परितः घूमती डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mR^2}{4}$ होता है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$25 \pi = \left( \frac{1 \times R^2}{4} \right) \times \frac{\pi}{4}$.
$25 = \frac{R^2}{16} \implies R^2 = 400 \implies R = 20 \ m$.
डिस्क का व्यास $D = 2R = 2 \times 20 = 40 \ m$ है।

(D) एक समान ठोस डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} mR^2$
दिए गए मानों ($m = 2 \ kg$,$R = 0.5 \ m$) को रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 = 0.25 \ kg \cdot m^2$
रिम $(R = 0.5 \ m)$ पर लगाए गए $F = 2.5 \ N$ बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau$ है:
$\tau = F \times R = 2.5 \times 0.5 = 1.25 \ N \cdot m$
$\tau = I \alpha$ संबंध का उपयोग करके,हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$1.25 = 0.25 \times \alpha$
$\alpha = \frac{1.25}{0.25} = 5 \ rad/s^2$
चूंकि घिरनी विरामावस्था से शुरू होती है $(\omega_0 = 0)$,$t = 10 \ s$ के बाद कोणीय वेग $\omega$ है:
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + 5 \times 10 = 50 \ rad/s$

(D) कोणीय गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$।
प्रारंभ में,$\theta_1 = 36 \times 2\pi$ रेडियन के बाद कोणीय वेग $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\omega_0}{2})^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(36 \times 2\pi)$।
$\frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 144\pi\alpha$,जिससे $144\pi\alpha = \frac{3\omega_0^2}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \frac{3\omega_0^2}{576\pi} = \frac{\omega_0^2}{192\pi}$।
अब,$\omega = \frac{\omega_0}{2}$ से $\omega = 0$ तक की गति के लिए,मान लीजिए कि अतिरिक्त चक्कर $n$ हैं। तय किया गया कोण $\theta_2 = n \times 2\pi$ है।
$0^2 = (\frac{\omega_0}{2})^2 - 2\alpha(n \times 2\pi)$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{\omega_0^2}{4} = 2(\frac{\omega_0^2}{192\pi})(n \times 2\pi)$।
$\frac{1}{4} = \frac{4n\pi}{192\pi} = \frac{n}{48}$।
$n = \frac{48}{4} = 12$।
अतः,पंखा रुकने से पहले $12$ और चक्कर लगाएगा।

(C) एक सिरे पर लगाया गया आवेग $J$ निकाय को रैखिक और कोणीय संवेग दोनों प्रदान करता है।
$1$. रैखिक आवेग समीकरण: $J = M_{total} v_{cm} \Rightarrow MV = (2M) v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{V}{2}$.
$2$. द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ के परितः कोणीय आवेग समीकरण: $J \times r = I_{cm} \omega$.
यहाँ,$r = \frac{L}{2}$ और $I_{cm} = M(\frac{L}{2})^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{2}$.
मान रखने पर: $(MV) \times \frac{L}{2} = (\frac{ML^2}{2}) \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\frac{MVL}{2} = \frac{ML^2 \omega}{2} \Rightarrow \omega = \frac{V}{L}$.