Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Hindi

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप के अनुसार,किसी दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाला आघूर्ण $\tau$ संबंध $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
चूंकि आघूर्ण $\tau$ अचर है और जड़त्व आघूर्ण $I$ वस्तु का एक गुण है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ भी अचर होगा।
अतः,वस्तु में कोणीय त्वरण उत्पन्न हो जाता है।

(A) बल आघूर्ण $(\tau)$,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = I \alpha$.
जड़त्व आघूर्ण के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = \frac{\tau}{\alpha}$.
दिया गया है: $\tau = 31.4 \, N \cdot m$ और $\alpha = 4\pi \, rad/s^2$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\alpha = 4 \times 3.14 = 12.56 \, rad/s^2$.
मान रखने पर: $I = \frac{31.4}{12.56} = 2.5 \, kg \cdot m^2$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण $2.5 \, kg \cdot m^2$ है।

(B) बल आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच का संबंध $ \tau = I \alpha $ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $ I $ जड़त्व आघूर्ण है और $ \alpha $ कोणीय त्वरण है।
दिया गया है कि बाह्य बल आघूर्ण $ \tau = 0 $ है।
चूंकि किसी भी वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $ I $ शून्य नहीं हो सकता है, इसलिए $ \alpha = 0 $ होगा।
अतः, निकाय का कोणीय त्वरण शून्य है।

(C) दिया गया है: शक्ति $P = 100 \, kW = 100 \times 10^3 \, W$.
कोणीय चाल $n = 1800 \, rpm = \frac{1800}{60} \, rev/s = 30 \, rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 30 = 60\pi \, rad/s$.
शक्ति $P$,बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $P = \tau \omega$ है।
अतः,बल आघूर्ण $\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{100 \times 10^3}{60\pi} \, N-m$.
मान की गणना करने पर: $\tau = \frac{100000}{188.495} \approx 530.5 \, N-m$,जो लगभग $531 \, N-m$ है।

(A) बल आघूर्ण $(\tau)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के बीच का संबंध घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{dL}{dt}$।
यहाँ कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1 = 4A_0 - A_0 = 3A_0$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \ s$ है।
अतः,नियत बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3A_0}{4}$ होगा।

(A) किसी स्थिर अक्ष के परित: घूर्णन करती हुई दृढ़ वस्तु के लिए,वस्तु पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$,उसके जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ से समीकरण $\tau = I\alpha$ द्वारा संबंधित होता है।
यह न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का घूर्णी अनुरूप (rotational analogue) है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ kg$,त्रिज्या $r = 30 \ cm = 0.3 \ m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 10 \ rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0 \ rad/s$,समय $t = 10 \ s$.
सबसे पहले,कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें:
$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - 10}{10} = -1 \ rad/s^2$.
कोणीय त्वरण का परिमाण $|\alpha| = 1 \ rad/s^2$ है।
अब,द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करें:
$I = m r^2 = 10 \times (0.3)^2 = 10 \times 0.09 = 0.9 \ kg \cdot m^2$.
अंत में,बल-आघूर्ण $\tau$ की गणना करें:
$\tau = I |\alpha| = 0.9 \times 1 = 0.9 \ N \cdot m$.

(C) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \; kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 60 \; rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \; rad/s = 2\pi \; rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \; rad/s$,समय $t = 1 \; minute = 60 \; s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \; rad/s^2$.
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = |I \alpha| = 2 \times \left| -\frac{\pi}{30} \right| = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \; N \cdot m$.

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times 10^{-3} \ kg \ m^2$, प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 20 \ rev/s$, अंतिम आवृत्ति $n_2 = 0 \ rev/s$, समय $t = 10 \ s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ का मान $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{2\pi(n_2 - n_1)}{t}$ से प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{2\pi(0 - 20)}{10} = -4\pi \ rad/s^2$ है।
बल आघूर्ण $\tau$ का परिमाण $\tau = I|\alpha|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = (5 \times 10^{-3}) \times (4\pi) = 20\pi \times 10^{-3} = 2\pi \times 10^{-2} \ N \ m$ है।
अतः, आवश्यक मान $2\pi$ है।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 200 \, kg \cdot m^2$,बल आघूर्ण $\tau = 1000 \, N \cdot m$,समय $t = 3 \, s$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \, rad/s$।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,कोणीय त्वरण $\alpha$ है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \, rad/s^2$।
घूर्णन गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \, rad/s$।

(A) पृथ्वी का प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T}$ rad/s है,जहाँ $T = 86400 \, s$ है। अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0$ है। लिया गया समय $t = 86400 \, s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - \frac{2\pi}{86400}}{86400} = -\frac{2\pi}{(86400)^2} \, rad/s^2$ है।
आवश्यक बल आघूर्ण $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $I = \frac{2}{5}MR^2$ पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण है।
स्पर्शरेखीय बल $F$ का बल आघूर्ण से संबंध $\tau = FR$ है,इसलिए $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{2}{5}MR\alpha$।
मान रखने पर: $M = 6 \times 10^{24} \, kg$,$R = 6.4 \times 10^6 \, m$,और $\alpha = \frac{2\pi}{(86400)^2}$।
$F = \frac{2}{5} \times (6 \times 10^{24}) \times (6.4 \times 10^6) \times \frac{2\pi}{(86400)^2} \approx 1.3 \times 10^{22} \, N$।

(A) किसी पिंड पर कार्यरत बल आघूर्ण $\tau$ उसके कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे सूत्र $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = 2L$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = 5L$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 3 \ s$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = \frac{L_2 - L_1}{\Delta t} = \frac{5L - 2L}{3} = \frac{3L}{3} = L$.
अतः,पहिए पर कार्यरत बल आघूर्ण का मान $L$ है।

(A) दिया गया है: बल आघूर्ण $\tau = 30 \, N \cdot m$,जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \, kg \cdot m^2$,समय $t = 10 \, s$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$।
सबसे पहले,$\tau = I\alpha$ संबंध का उपयोग करके कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{30}{2} = 15 \, rad/s^2$।
अब,कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करने के लिए घूर्णन गति के समीकरण का उपयोग करें:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$।
मान रखने पर:
$\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 15 \times (10)^2 = 0.5 \times 15 \times 100 = 750 \, rad$।

(C) जब किसी पिण्ड पर द्रव्यमान केंद्र के अलावा किसी अन्य बिंदु पर बल कार्य करता है,तो यह द्रव्यमान केंद्र के परितः नेट बल और नेट बल-आघूर्ण (टॉर्क) दोनों प्रदान करता है।
रेखीय गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,रेखीय त्वरण $a$ परिवर्तित होता है।
घूर्णन गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\tau = I\alpha$,बल-आघूर्ण $\tau$ कोणीय त्वरण $\alpha$ में परिवर्तन उत्पन्न करता है।
अतः,रेखीय और कोणीय दोनों त्वरण परिवर्तित होते हैं।

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
यहाँ $K = 1500 \ J$ और $I = 1.2 \ kg \cdot m^2$ दिया गया है,अतः:
$1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$
$1500 = 0.6 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$
$\omega = 50 \ rad/s$.
पिण्ड विराम अवस्था से चलना प्रारम्भ करता है,अतः प्रारम्भिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\alpha = 25 \ rad/s^2$:
$50 = 0 + 25 \times t$
$t = \frac{50}{25} = 2 \ s$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 20 \ rev/s$
अंतिम आवृत्ति $n_2 = 0 \ rev/s$
समय $t = 20 \ s$
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \times 20 = 40\pi \ rad/s$
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 2\pi n_2 = 0 \ rad/s$
गति के समीकरण $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 40\pi + \alpha(20)$
$\alpha = -\frac{40\pi}{20} = -2\pi \ rad/s^2$
अतः,कोणीय मंदन का परिमाण $2\pi \ rad/s^2$ है।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$,प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 20 \ rev/s$,अंतिम आवृत्ति $n_2 = 0 \ rev/s$,समय $t = 10 \ s$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \times 20 = 40\pi \ rad/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 2\pi n_2 = 0 \ rad/s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi \ rad/s^2$ है।
आवश्यक बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = I|\alpha|$ है।
$\tau = (5 \times 10^{-3}) \times 4\pi = 20\pi \times 10^{-3} = 2\pi \times 10^{-2} \ N \cdot m$।

(C) द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार है:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x (\lambda_0 x) dx}{\int_{0}^{L} (\lambda_0 x) dx} = \frac{\lambda_0 [x^3/3]_0^L}{\lambda_0 [x^2/2]_0^L} = \frac{L^3/3}{L^2/2} = \frac{2L}{3}$.
छड़ का कुल द्रव्यमान $M$:
$M = \int_{0}^{L} \lambda_0 x dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2}$.
हिंज $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$:
$I = \int x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 (\lambda_0 x) dx = \lambda_0 \int_{0}^{L} x^3 dx = \frac{\lambda_0 L^4}{4}$.
डोरी काटने के तुरंत बाद,हिंज $O$ के परितः टॉर्क $\tau$ गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है:
$\tau = Mg \times X_{cm} = \left( \frac{\lambda_0 L^2}{2} \right) g \left( \frac{2L}{3} \right) = \frac{\lambda_0 g L^3}{3}$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\lambda_0 g L^3}{3} = \left( \frac{\lambda_0 L^4}{4} \right) \alpha$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{\lambda_0 g L^3}{3} \times \frac{4}{\lambda_0 L^4} = \frac{4g}{3L}$.

(A) कब्जे (hinge) के परितः छड़ पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = mg \cdot r_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ कब्जे से गुरुत्वाकर्षण बल की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है।
जब छड़ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $(90^{\circ} - \theta)$ होता है। द्रव्यमान केंद्र कब्जे से $l/2$ दूरी पर है।
लंबवत दूरी $r_{\perp} = \frac{l}{2} \cos(90^{\circ} - \theta) = \frac{l}{2} \sin \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
$mg \left( \frac{l}{2} \sin \theta \right) = I \alpha$.
$I = \frac{ml^2}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$mg \frac{l}{2} \sin \theta = \left( \frac{ml^2}{3} \right) \alpha$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{mg \frac{l}{2} \sin \theta}{\frac{ml^2}{3}} = \frac{3g \sin \theta}{2l}$.
$\theta = 45^{\circ}$ के लिए,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\alpha = \frac{3g}{2l} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3g}{2\sqrt{2}l}$.

(A) घिरनी पर लगने वाला बल आघूर्ण (torque) $\tau = F \cdot R = (20t - 5t^2) \cdot 2 = 40t - 10t^2 \ N \cdot m$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{40t - 10t^2}{10} = 4t - t^2 \ rad/s^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$,कोणीय वेग $\omega$ ज्ञात करने के लिए समाकलन (integration) करने पर:
$\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
गति की दिशा तब बदलती है जब $\omega = 0$ ($t > 0$ के लिए):
$2t^2 - \frac{t^3}{3} = 0 \Rightarrow t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0 \Rightarrow t = 6 \ s$.
अब,$t = 0$ से $t = 6$ तक $\omega$ का समाकलन करके कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करते हैं:
$\theta = \int_0^6 (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = [\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}]_0^6 = \frac{2(216)}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36 \ rad$.
घूर्णनों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73$.
चूंकि $5.73$,$3$ और $6$ के बीच है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) अंतरिक्ष स्टेशन का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है।
दो रॉकेट,जिनमें से प्रत्येक केंद्र से $R$ दूरी पर $T$ का थ्रस्ट प्रदान करता है,कुल टॉर्क $\tau = 2TR$ उत्पन्न करते हैं।
कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,कोणीय आवेग कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\int \tau dt = L_f - L_i.$
मान लीजिए कि स्टेशन विरामावस्था से शुरू होता है $(L_i = 0)$,तो $2TRt = I\omega = MR^2\omega.$
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण का अनुकरण करने के लिए,रिम पर त्रिज्यीय त्वरण $g$ होना चाहिए,इसलिए $a_r = \omega^2R = g.$
कोणीय वेग के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ प्राप्त होता है।
$\omega$ का मान आवेग समीकरण में रखने पर: $2TRt = MR^2 \sqrt{\frac{g}{R}} = M\sqrt{gR^3}.$
समय $t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{M\sqrt{gR^3}}{2TR} = \frac{M\sqrt{gR}}{2T}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 720 \text{ rpm} = \frac{720}{60} \text{ rev/s} = 12 \text{ rev/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \text{ rev/s}$.
लिया गया समय $t = 8 \text{ s}$.
चूंकि टॉर्क नियत है,कोणीय त्वरण नियत रहेगा,इसलिए हम कुल विस्थापन (चक्करों की संख्या $\theta$) ज्ञात करने के लिए औसत कोणीय वेग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
$\theta = \left( \frac{\omega + \omega_0}{2} \right) \times t$
$\theta = \left( \frac{0 + 12}{2} \right) \times 8$
$\theta = 6 \times 8 = 48 \text{ चक्कर}$.

(D) कोणीय त्वरण $\alpha$ को समय $t$ के सापेक्ष कोणीय वेग $\omega$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$।
दिए गए ग्राफ से,हम समय के साथ कोणीय त्वरण में परिवर्तन निर्धारित कर सकते हैं,लेकिन हमारे पास $t = 0$ पर प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ के बारे में कोई जानकारी नहीं है।
चूंकि घूर्णन की दिशा कोणीय वेग $\omega(t) = \omega_0 + \int \alpha dt$ के चिह्न पर निर्भर करती है,और $\omega_0$ अज्ञात है,इसलिए केवल दिए गए ग्राफ से घूर्णन की दिशा (घड़ी की दिशा या विपरीत दिशा) निर्धारित करना असंभव है।
अतः,घूर्णन की दिशा ज्ञात करने के लिए दिए गए आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(A) क्यू (cue) द्वारा लगाया गया आवेग $J$ गेंद को रैखिक संवेग और कोणीय संवेग दोनों प्रदान करता है।
रैखिक संवेग: $J = mv_0$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग: $\tau \Delta t = J \times h = I \omega_0$.
$J = mv_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mv_0h = I \omega_0$ प्राप्त होता है।
एक ठोस गोले का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है।
समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $mv_0h = (\frac{2}{5}mr^2) \omega_0$.
$\omega_0$ के लिए हल करने पर: $\omega_0 = \frac{mv_0h}{\frac{2}{5}mr^2} = \frac{5v_0h}{2r^2}$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले एक पतले समान अर्धगोलाकार कटोरे का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ उसके वृत्ताकार किनारे के केंद्र से $R/2$ की दूरी पर होता है।
जब किनारे पर एक क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है,तो $COM$ के परितः टॉर्क $\tau = F \cdot (R/2)$ द्वारा दिया जाता है।
अर्धगोलाकार कटोरे का उसके $COM$ से गुजरने वाली और किनारे के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{COM} = I_{axis} - m(R/2)^2$ है,जहाँ $I_{axis} = (2/3)MR^2$ किनारे के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$I_{COM} = \frac{2}{3}MR^2 - m\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{3}MR^2 - \frac{1}{4}MR^2 = \frac{8-3}{12}MR^2 = \frac{5}{12}MR^2$.
संबंध $\tau = I_{COM} \cdot \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$F \cdot \frac{R}{2} = \left(\frac{5}{12}MR^2\right) \alpha$
$\alpha = \frac{F \cdot R / 2}{5/12 \cdot MR^2} = \frac{F \cdot R}{2} \cdot \frac{12}{5MR^2} = \frac{6F}{5MR}$.

(A) आघूर्ण $\tau$ को $\tau = F \cdot R = I \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = (20t - 5t^2) \ N$,$R = 2 \ m$,और $I = 10 \ kg \ m^2$.
$(20t - 5t^2) \cdot 2 = 10 \alpha \implies \alpha = 4t - t^2$.
कोणीय वेग $\omega$ ज्ञात करने के लिए $\alpha$ का समय के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\omega$ का समय के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\theta = \int (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = \frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}$.
गति की दिशा तब उलटती है जब $\omega = 0$ होता है:
$2t^2 - \frac{t^3}{3} = 0 \implies t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0 \implies t = 6 \ s$.
$t = 6 \ s$ पर कोणीय विस्थापन की गणना करने पर:
$\theta = \frac{2(6)^3}{3} - \frac{6^4}{12} = \frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36 \ rad$.
घूर्णनों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} \approx 5.73$.

(A) मूल छड़ का द्रव्यमान $m$ और लंबाई $2l$ है। $l/2$ लंबाई (द्रव्यमान $m/4$) काटने के बाद,शेष छड़ की लंबाई $3l/2$ और द्रव्यमान $3m/4$ है। $l/2$ लंबाई का कटा हुआ टुकड़ा शेष छड़ के ऊपर रखा जाता है। धुरी (pivot) मूल छड़ के केंद्र में है।
धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = I_{\text{rod}} + I_{\text{piece}} = \left[ \frac{1}{12} \left( \frac{3m}{4} \right) \left( \frac{3l}{2} \right)^2 + \left( \frac{3m}{4} \right) \left( \frac{l}{4} \right)^2 \right] + \left[ \frac{1}{12} \left( \frac{m}{4} \right) \left( \frac{l}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{4} \right) \left( \frac{l}{4} \right)^2 \right]$
$= \frac{3m}{4} \left( \frac{3l^2}{16} + \frac{l^2}{16} \right) + \frac{m}{4} \left( \frac{l^2}{48} + \frac{l^2}{16} \right) = \frac{3m}{4} \left( \frac{4l^2}{16} \right) + \frac{m}{4} \left( \frac{4l^2}{48} \right) = \frac{3ml^2}{16} + \frac{ml^2}{48} = \frac{9ml^2 + ml^2}{48} = \frac{10ml^2}{48} = \frac{5ml^2}{24}$.
धुरी के परितः बल आघूर्ण $\tau$ है:
$\tau = \left( \frac{3m}{4} \right) g \left( \frac{l}{4} \right) - \left( \frac{m}{4} \right) g \left( \frac{l}{4} \right) = \frac{2mg}{4} \cdot \frac{l}{4} = \frac{mgl}{8}$.
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर:
$\frac{mgl}{8} = \left( \frac{5ml^2}{24} \right) \alpha \implies \alpha = \frac{mgl}{8} \cdot \frac{24}{5ml^2} = \frac{3g}{5l}$.

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_{0} = 0\, rad/s$ (क्योंकि पहिया विराम अवस्था में है)।
कोणीय विस्थापन,$\theta = 200\, rad$.
समय,$t = 5\, s$.
घूर्णी गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
चूंकि $\omega_{0} = 0$,समीकरण सरल होकर हो जाता है:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\alpha = \frac{2 \theta}{t^{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = \frac{2 \times 200}{(5)^{2}} = \frac{400}{25} = 16\, rad/s^{2}$.

(A) हिंज बिंदु $B$ के परितः गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाला टॉर्क $\tau$,जो द्रव्यमान केंद्र पर ($B$ से $l/2$ दूरी पर) कार्य करता है,$\tau = mg \times \frac{l}{2}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णन रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I\alpha$,जहाँ $I$ हिंज $B$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है $(I = \frac{ml^2}{3})$।
अतः,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mg(l/2)}{ml^2/3} = \frac{3g}{2l}$।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \alpha r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = l/2$ हिंज से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
इसलिए,$a = \left(\frac{3g}{2l}\right) \times \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{3}{4} g$।

(B) जब डोरी को काट दिया जाता है,तो हिंज (hinge) के परितः छड़ पर कार्य करने वाला एकमात्र टॉर्क छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है।
हिंज के परितः टॉर्क $\tau = Mg \cdot \frac{L}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक समान छड़ का एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$Mg \cdot \frac{L}{2} = \left( \frac{ML^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{MgL/2}{ML^2/3} = \frac{3g}{2L}$.

(C) दिया गया है: खोखले बेलन का द्रव्यमान $M = 3 \, kg$।
खोखले बेलन की त्रिज्या $R = 40 \, cm = 0.4 \, m$।
अनुप्रयुक्त बल $F = 30 \, N$।
बल द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण $\tau = F \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 30 \, N \times 0.4 \, m = 12 \, Nm$।
खोखले बेलन का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
$I = 3 \, kg \times (0.4 \, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48 \, kg \, m^2$।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12 \, Nm}{0.48 \, kg \, m^2} = 25 \, rad \, s^{-2}$।

(C) दिया गया है: डिस्क का द्रव्यमान $M = 20 \, kg$,त्रिज्या $R = 20 \, cm = 0.2 \, m$,बल $F = 25 \, N$ है।
फ्लाईव्हील पर लगाया गया टॉर्क $\tau = F \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 25 \, N \times 0.2 \, m = 5 \, N \cdot m$ है।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \, kg \cdot m^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$5 = 0.4 \times \alpha$ है।
$\alpha = \frac{5}{0.4} = 12.5 \, rad/s^2$ है।

(C) फ्लाईव्हील पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ का मान $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 10 \, N$ और $r = 0.2 \, m$ दिया गया है,इसलिए $\tau = 10 \times 0.2 = 2 \, N \cdot m$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ से,जहाँ $I = 0.4 \, kg \cdot m^2$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,हमें $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2}{0.4} = 5 \, rad \cdot s^{-2}$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि फ्लाईव्हील विरामावस्था से शुरू होता है $(\omega_1 = 0)$,$t = 4 \, s$ समय के बाद कोणीय वेग $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\omega_2 = 0 + (5 \times 4) = 20 \, rad \cdot s^{-1}$ होगा।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 50\,kg-m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 20\,rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0\,rad/s$,और समय $t = 10\,s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ इस प्रकार है: $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 20}{10} = -2\,rad/s^2$ है।
टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = I \alpha$ है।
मान रखने पर: $\tau = 50 \times (-2) = -100\,N-m$ है।
वस्तु को रोकने के लिए आवश्यक टॉर्क का परिमाण $100\,N-m$ है।

(D) कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p})$
क्रॉस उत्पाद के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d\vec{L}}{dt} = \left(\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}\right) + \left(\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}\right)$
चूंकि वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ और रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ है,इसलिए पद $\frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p}$ का मान $\vec{v} \times (m\vec{v}) = 0$ हो जाता है क्योंकि समानांतर सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य होता है।
अतः,$\frac{d\vec{L}}{dt} = 0 + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d\vec{L}}{dt} - \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ का घूर्णी अनुरूप बल आघूर्ण (टॉर्क),जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को दर्शाता है।
एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे एक दृढ़ पिंड के लिए,बल आघूर्ण $\tau$ को जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\tau = I\alpha$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही संबंध $\tau = I\alpha$ है।

(B) कोणीय त्वरण $\alpha$ संबंध $\tau = I \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $I$ जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) है। अतः,$\alpha = \frac{\tau}{I}$।
दोनों स्थितियों में,टॉर्क $\tau = F \times L$ समान है,जहाँ $L$ स्केल की कुल लंबाई है।
मान लीजिए $m_w$ लकड़ी के आधे भाग का द्रव्यमान है और $m_s$ स्टील के आधे भाग का द्रव्यमान है। चूंकि स्टील लकड़ी से अधिक सघन है,इसलिए $m_s > m_w$।
स्थिति $(a)$ में,धुरी लकड़ी के भाग के केंद्र में है। जड़त्व आघूर्ण $I_a$,$O$ के परितः लकड़ी के भाग और $O$ के परितः स्टील के भाग के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
स्थिति $(b)$ में,धुरी स्टील के भाग के केंद्र में है। जड़त्व आघूर्ण $I_b$,$O'$ के परितः स्टील के भाग और $O'$ के परितः लकड़ी के भाग के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
चूंकि भारी द्रव्यमान (स्टील) स्थिति $(b)$ में धुरी के करीब है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I_b$,$I_a$ से कम है $(I_b < I_a)$।
चूंकि $\alpha \propto \frac{1}{I}$,कम जड़त्व आघूर्ण के परिणामस्वरूप अधिक कोणीय त्वरण उत्पन्न होता है। इसलिए,$(b)$ में अधिक कोणीय त्वरण उत्पन्न होगा।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times 10^{-3} \, kg \, m^2$, प्रारंभिक आवृत्ति $n = 20 \, rev/sec$, समय $t = 10 \, sec$, अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 2 \pi n = 2 \pi \times 20 = 40 \pi \, rad/sec$ है।
घूर्णन गति के समीकरण $\omega_f = \omega_i + \alpha t$ का उपयोग करने पर, $0 = 40 \pi + \alpha \times 10$ प्राप्त होता है।
अतः, कोणीय त्वरण $\alpha = -4 \pi \, rad/sec^2$ है।
आवश्यक टॉर्क का परिमाण $\tau = |I \alpha| = 5 \times 10^{-3} \times 4 \pi = 20 \pi \times 10^{-3} = 2 \pi \times 10^{-2} \, N-m$ है।
इसलिए, आवश्यक मान $2 \pi$ है।

(B) माना छड़ की लंबाई $\ell = 0.5\,m$ है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र कीलक (pivot) से $\frac{\ell}{2}$ दूरी पर है।
जब छड़ क्षैतिज के साथ $30^o$ के कोण पर होती है,तो द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज स्थिति से ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \frac{\ell}{2} \sin(30^o) = \frac{\ell}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\ell}{4}$ होती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी,घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg h = \frac{1}{2} I \omega^2$
जहाँ $I = \frac{m\ell^2}{3}$ कीलक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है।
$mg \left( \frac{\ell}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{m\ell^2}{3} \right) \omega^2$
$g \frac{\ell}{4} = \frac{\ell^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{6g}{4\ell} = \frac{3g}{2\ell}$
$g = 10\,ms^{-2}$ और $\ell = 0.5\,m$ का मान रखने पर:
$\omega^2 = \frac{3 \times 10}{2 \times 0.5} = \frac{30}{1} = 30$
$\omega = \sqrt{30}\,rad\,s^{-1}$.

(A) कीलकित बिंदु $P$ के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) $\tau$ दो द्रव्यमानों के कारण बलाघूर्ण के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\tau = (5M_0g)(l) - (2M_0g)(2l) = 5M_0gl - 4M_0gl = M_0gl$.
कीलकित बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ दोनों द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$I = (5M_0)(l)^2 + (2M_0)(2l)^2 = 5M_0l^2 + 8M_0l^2 = 13M_0l^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ को $\alpha = \frac{\tau}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\alpha = \frac{M_0gl}{13M_0l^2} = \frac{g}{13l}$.

(A) कोणीय आवेग,कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
$\tau \Delta t = \Delta L$
मेज के किनारे को धुरी बिंदु के रूप में लेने पर,गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau = mg \frac{\ell}{2}$ है।
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = I \omega$
चूंकि छड़ किनारे के चारों ओर घूमती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m\ell^2}{3}$ है।
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = \frac{m\ell^2}{3} \omega$
$\omega = \frac{3g \Delta t}{2\ell} = \frac{3 \times 10 \times 0.01}{2 \times 0.3} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\, rad/s$
छड़ द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\, s$ है।
इस समय के दौरान छड़ द्वारा घुमाया गया कोण $\theta = \omega t = 0.5 \times 1 = 0.5\, radian$ है।

(D) डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = K\theta^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम कोणीय वेग $\omega$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$\omega^2 = \frac{2K\theta^2}{I} \implies \omega = \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \quad \dots(1)$
कोणीय त्वरण $\alpha$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग में परिवर्तन की दर है:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right) = \sqrt{\frac{2K}{I}} \frac{d\theta}{dt}$
चूंकि $\frac{d\theta}{dt} = \omega,$ समीकरण $(1)$ से $\omega$ का मान रखने पर:
$\alpha = \sqrt{\frac{2K}{I}} \left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right)$
$\alpha = \frac{2K}{I}\theta.$

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.5\, kg\, m^2$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = 1200\, J$,कोणीय त्वरण $\alpha = 20\, rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
मान रखने पर: $1200 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times \omega^2$.
$1200 = 0.75 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1200}{0.75} = 1600$.
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega = \sqrt{1600} = 40\, rad/s$.
घूर्णन गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$40 = 0 + 20 \times t$.
$t = \frac{40}{20} = 2\, s$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,g = 5 \times 10^{-3}\,kg$,त्रिज्या $r = 1\,cm = 10^{-2}\,m$,समय $t = 5\,s$,अंतिम आवृत्ति $f = 25\,rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 25 = 50\pi\,rad/s$.
अक्ष $AB$ (डिस्क के स्पर्शरेखा) के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा प्राप्त होता है: $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$.
संबंध $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha = \frac{\omega}{t}$:
$\tau = I \times \frac{\omega}{t} = \left(\frac{3}{2}mr^2\right) \times \frac{\omega}{t}$.
मान रखने पर:
$\tau = \frac{3}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})^2 \times \frac{50\pi}{5}$.
$\tau = \frac{3}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times 10^{-4} \times 10\pi$.
$\tau = 7.5 \times 10^{-7} \times 10\pi = 7.5\pi \times 10^{-6} \approx 23.56 \times 10^{-6} = 2.356 \times 10^{-5}\,Nm$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सबसे निकटतम मान $2.0 \times 10^{-5}\,Nm$ है।

(A) कोणीय वेग $\omega(t) = \alpha - \beta t$ द्वारा दिया गया है।
पिंड विराम अवस्था में तब आता है जब $\omega(t) = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha - \beta t = 0$,इसलिए विराम अवस्था में आने में लगा समय $t = \frac{\alpha}{\beta}$ है।
कोणीय विस्थापन $\theta$,समय के सापेक्ष कोणीय वेग का समाकलन है: $\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt$.
$\omega(t)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\theta = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\theta = [\alpha t - \frac{1}{2}\beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
सीमाओं पर मान रखने पर: $\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2}\beta(\frac{\alpha}{\beta})^2 = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{\alpha^2}{2\beta} = \frac{\alpha^2}{2\beta}$.

(B) शक्ति $(P)$, टॉर्क $(\tau)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \tau \times \omega$.
दिया गया है:
शक्ति $(P) = 1.2 \, kW = 1200 \, W$.
कोणीय वेग $(\omega) = 600 \, rad/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$1200 = \tau \times 600$.
टॉर्क $(\tau)$ के लिए हल करने पर:
$\tau = \frac{1200}{600} = 2 \, N-m$.
अतः, पत्थर पर प्रभावी टॉर्क $2 \, N-m$ है।

(D) मंदक टॉर्क स्थिर है,इसलिए कोणीय मंदन $\alpha$ भी स्थिर रहेगा।
कोणीय गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करते हुए:
पहले $n$ चक्करों के लिए,कोणीय विस्थापन $\theta_1 = 2\pi n$ है। अंतिम कोणीय वेग $\frac{\omega_0}{2}$ है।
$\left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n) \implies \frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 4\pi n\alpha \implies 4\pi n\alpha = \frac{3\omega_0^2}{4} \implies \alpha = \frac{3\omega_0^2}{16\pi n} \quad ...(i)$
अगले $\theta_2$ चक्करों के लिए (जहाँ $\theta_2 = 2\pi n'$),डिस्क विराम अवस्था में आ जाती है $(\omega = 0)$:
$0^2 = \left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 - 2\alpha(2\pi n') \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{4} - 4\pi n'\alpha \implies 4\pi n'\alpha = \frac{\omega_0^2}{4} \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4\pi n'\alpha}{4\pi n\alpha} = \frac{\omega_0^2 / 4}{3\omega_0^2 / 4} \implies \frac{n'}{n} = \frac{1}{3} \implies n' = \frac{n}{3}$.
अतः,डिस्क विराम अवस्था में आने से पहले $\frac{n}{3}$ और चक्कर लगाएगी।

(B) दिया गया है: $r_1 = 0.05 \, m$,$r_2 = 0.30 \, m$,$I = 5100 \, kg \cdot m^2$.
पहिये पर कार्य करने वाले बल:
$1$. $10 \, N$ का बल $r_2$ पर स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करता है (दक्षिणावर्त टॉर्क)।
$2$. $9 \, N$ का बल $r_2$ पर स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करता है (दक्षिणावर्त टॉर्क)।
$3$. $12 \, N$ का बल $r_1$ पर क्षैतिज के साथ $30^\circ$ के कोण पर कार्य करता है। इसका लंबवत घटक $12 \sin(30^\circ) = 12 \times 0.5 = 6 \, N$ है (वामावर्त टॉर्क)।
कुल टॉर्क $\tau_{net} = (10 \times 0.30) + (9 \times 0.30) - (6 \times 0.05) = 3.0 + 2.7 - 0.3 = 5.4 \, N \cdot m$.
$\tau_{net} = I \alpha$ का उपयोग करने पर:
$5.4 = 5100 \times \alpha$
$\alpha = \frac{5.4}{5100} = \frac{54}{51000} \approx 1.058 \times 10^{-3} \, rad/s^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $10^{-3} \, rad/s^2$ है।

(D) दिया गया है:
जड़त्व आघूर्ण $I = 0.20\, kg-m^2$
त्रिज्या $r = 20\, cm = 0.2\, m$
बल $F = 20\, N$
समय $t = 5\, s$
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$
पहिये पर आरोपित बल आघूर्ण $\tau = r \times F = 0.2\, m \times 20\, N = 4\, N-m$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{4}{0.20} = 20\, rad/s^2$ है।
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए:
$\omega = 0 + (20)(5) = 100\, rad/s$.