Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Hindi

(B) अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
रिम पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$,टॉर्क $\tau = F \times R$ प्रदान करता है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(C) दिया गया कोणीय वेग $\omega(t) = \alpha - \beta t$ है।
समय $t = 0$ पर,$\omega = \alpha$ है।
पिंड तब विराम अवस्था में आता है जब $\omega(t) = 0$ हो।
$\alpha - \beta t = 0 \implies t = \frac{\alpha}{\beta}$.
कोणीय विस्थापन $\theta$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
$\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2$.
$\theta = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{1}{2} \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\alpha^2}{2 \beta}$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.4 \,m$,द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,कोणीय त्वरण $\alpha = 10 \,rad \,s^{-2}$।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \,m^2$।
टॉर्क $\tau$ का मान $\tau = I \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 0.08 \,kg \,m^2 \times 10 \,rad \,s^{-2} = 0.8 \,N \,m$।
रिम पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$,टॉर्क से $\tau = F \times R$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.8 \,N \,m}{0.4 \,m} = 2 \,N$।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.4 \,m$,द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,कोणीय त्वरण $\alpha = 10 \,rad/s^2$.
डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
मान रखने पर: $I = \frac{1 \times (0.4)^2}{2} = \frac{0.16}{2} = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
टॉर्क $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है। साथ ही,रिम पर लगाए गए स्पर्शरेखीय बल $F$ के लिए,$\tau = RF$.
दोनों को बराबर करने पर: $RF = I\alpha$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{0.08 \times 10}{0.4} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \,N$.

(A) दिया गया है कि पहिया प्रारंभ में विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
नियत बल आघूर्ण $\tau$ द्वारा उत्पन्न कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ है।
$t$ समय के बाद,कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right)t = \frac{\tau t}{I}$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
$\omega$ का मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} I \left(\frac{\tau t}{I}\right)^2 = \frac{1}{2} I \cdot \frac{\tau^2 t^2}{I^2} = \frac{\tau^2 t^2}{2 I}$ प्राप्त होता है।

(B) अक्ष से $r$ दूरी पर बल $F$ द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\tau = 25 \,N \times 0.4 \,m = 10 \,Nm$ प्राप्त होता है।
ठोस बेलन का उसकी अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
मान रखने पर, $I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \cdot m^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए, कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ होगा।
$\alpha = \frac{10 \,Nm}{0.08 \,kg \cdot m^2} = 125 \,rad/s^2$.

(C) माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है और एकसमान कोणीय मंदन $\alpha$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 2\pi n$ है।
समय $t$ पर,$\omega = \frac{\omega_0}{4}$ है।
अतः,$(\frac{\omega_0}{4})^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n) \implies \frac{\omega_0^2}{16} = \omega_0^2 - 4\pi n\alpha$.
$4\pi n\alpha = \omega_0^2(1 - \frac{1}{16}) = \frac{15\omega_0^2}{16}$.
इस प्रकार,$2\alpha = \frac{15\omega_0^2}{32\pi n}$.
अब,पंखे के रुकने पर अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0$ होगा।
माना पंखे को बंद करने से रुकने तक कुल $n'$ चक्कर लगते हैं।
$0^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n')$.
$2\alpha(2\pi n') = \omega_0^2$.
$2\alpha$ का मान रखने पर: $(\frac{15\omega_0^2}{32\pi n})(2\pi n') = \omega_0^2$.
$\frac{15n'}{16n} = 1 \implies n' = \frac{16n}{15}$.

(A) छड़ एक सिरे पर कीलकित है। कीलक के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो कीलक से $L/2$ की दूरी पर है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण कीलक पर लगने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = mg \cdot (L/2) \sin \theta$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$mg \frac{L}{2} \sin \theta = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{mg(L/2) \sin \theta}{mL^2/3} = \frac{mgL/2}{mL^2/3} \sin \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$.
अतः,कोणीय त्वरण $\frac{3g \sin \theta}{2L}$ है।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 25 \ kg$,त्रिज्या $R = 0.2 \ m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = 240 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad/s$,समय $t = 20 \ s$.
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 8\pi}{20} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
मंदक बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.5 \times 0.4\pi = 0.2\pi \ N \cdot m$.
चूंकि बल आघूर्ण स्पर्शरेखीय रूप से लगाया गया है,$\tau = F \times R$,इसलिए $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(C) टॉर्क $\tau$,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ से $\tau = I\alpha$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
चूंकि दोनों के लिए टॉर्क $\tau$ समान है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ द्वारा प्राप्त होता है।
रिंग का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring}} = MR^2$ है और डिस्क के लिए $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2}MR^2$ है।
चूंकि $I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}}$,इसलिए डिस्क का कोणीय त्वरण रिंग की तुलना में अधिक होगा $(\alpha_{\text{disc}} > \alpha_{\text{ring}})$।
परिणामस्वरूप,समान समय अंतराल के बाद डिस्क रिंग की तुलना में अधिक कोणीय आवृत्ति (या कोणीय वेग) के साथ घूमेगी।

(A) शक्ति $(P)$ को टॉर्क $(\tau)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \tau \times \omega$
हम जानते हैं कि टॉर्क,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ का गुणनफल होता है,अर्थात $\tau = I \alpha$।
इस मान को शक्ति के समीकरण में रखने पर:
$P = (I \alpha) \times \omega$
कोणीय वेग $(\omega)$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\omega = \frac{P}{I \alpha}$
$\omega = P(I \alpha)^{-1}$

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$ और $t = 20 \ s$ है:
$0 = 8\pi - \alpha(20) \Rightarrow \alpha = \frac{8\pi}{20} = 0.4\pi \ rad/s^2$।
बल आघूर्ण $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
यहाँ $M = 25 \ kg$ और $R = 0.2 \ m$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$।
बल आघूर्ण $\tau = F \cdot R$ भी होता है,जहाँ $F$ स्पर्शरेखीय बल है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $F \cdot R = I \alpha
\Rightarrow F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{0.5 \times 0.4\pi}{0.2} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} = 4\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \ rad/s$.
लिया गया समय $t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 4\pi}{10} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 0.05 \ kg \ m^2$.
मंदक बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.05 \times 0.4\pi = 0.02\pi \ Nm$.
चूंकि $\tau = F \times R$, इसलिए बल $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.02\pi}{0.1} = 0.2\pi \ N$.

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बीच का संबंध घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = 1 \, J \cdot s$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = 4 \, J \cdot s$ दिया गया है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1 = 4 - 1 = 3 \, J \cdot s$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \, s$ है।
अतः, बल आघूर्ण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3}{4} = 0.75 \, N \cdot m$ है।

(C) $1$. विकल्प $A$ सही है: $\tau = I \alpha$,जो न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ का घूर्णी अनुरूप है।
$2$. विकल्प $B$ सही है: $\tau = p \times B$ (या $\mu \times B$),जो चुंबकीय क्षेत्र में द्विध्रुव पर लगने वाले टॉर्क को दर्शाता है।
$3$. विकल्प $C$ गलत है: सही संबंध $I = \frac{\tau}{\alpha}$ है। दिया गया संबंध $I = \tau \times \alpha$ आयामी और भौतिक रूप से गलत है।
$4$. विकल्प $D$ गलत है: कोणीय संवेग के लिए सही संबंध $L = I \omega$ है। रेखीय संवेग $p = mv$ होता है। संबंध $p = I \omega$ भौतिक रूप से गलत है।
नोट: चूंकि प्रश्न में गलत संबंध पूछा गया है और $C$ और $D$ दोनों गलत हैं,$C$ घूर्णी गतिशीलता की परिभाषाओं में सबसे मौलिक त्रुटि है।

(A) दिया गया है,व्हील की प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति,$f_0 = 1200 rpm = \frac{1200}{60} rps = 20 rps$.
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_0 = 2 \pi f_0 = 2 \pi \times 20 = 40 \pi rad/s$.
अंतिम कोणीय आवृत्ति,$f = 3120 rpm = \frac{3120}{60} rps = 52 rps$.
अंतिम कोणीय वेग,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 52 = 104 \pi rad/s$.
लिया गया समय,$t = 16 s$.
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi rad/s^2$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \,kg$, त्रिज्या $R = 1 \,m$, अंतिम कोणीय वेग $\omega = 10 \,rad/s$, समय $t = 2 \,s$, प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
सबसे पहले, $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करके कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें:
$10 = 0 + \alpha(2) \implies \alpha = 5 \,rad/s^2$।
ठोस गोले का उसके अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}(2)(1)^2 = 0.8 \,kg \cdot m^2$ है।
बलाघूर्ण $\tau = I\alpha = 0.8 \times 5 = 4 \,N \cdot m$ है।
चूंकि बल $F$ स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है, इसलिए $\tau = F \times R$ होगा।
अतः, $F = \frac{\tau}{R} = \frac{4 \,N \cdot m}{1 \,m} = 4 \,N$।

(B) फ्लाईव्हील का प्रारंभिक कोणीय वेग, $\omega_0 = 150 \text{ rev/minute}$.
इसे $\text{rad/s}$ में बदलने पर:
$\omega_0 = \frac{150 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 5\pi \text{ rad/s}$.
जब पहिया स्थिर हो जाता है तो अंतिम कोणीय वेग, $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
निरंतर मंदन, $\alpha = -\pi \text{ rad/s}^2$ (ऋणात्मक चिह्न धीमे होने को दर्शाता है)।
घूर्णी गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करते हुए, $\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$0 = 5\pi + (-\pi)t$.
$t = \frac{5\pi}{\pi} = 5 \text{ s}$.

(A) दिया गया है: व्यास $D = 0.8 \ m$,इसलिए त्रिज्या $R = 0.4 \ m$ है। द्रव्यमान $M = 4 \ kg$ है। टॉर्क $\tau = 2.56 \ N \ m$ है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.4)^2 = 2 \times 0.16 = 0.32 \ kg \ m^2$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2.56}{0.32}$ है।
$\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$।

(C) कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर लगाए गए बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) के बराबर होती है,जिसे $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $L = I\omega$,इसलिए $\frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha$ होता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 6 \ rad \ s^{-1}$
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 21 \ rad \ s^{-1}$
समय अंतराल $\Delta t = 1.5 \ s$
जड़त्व आघूर्ण $I = 100 \ g \ m^2 = 0.1 \ kg \ m^2$.
सबसे पहले,कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t} = \frac{21 - 6}{1.5} = \frac{15}{1.5} = 10 \ rad \ s^{-2}$ की गणना करें।
अब,कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर: $\frac{dL}{dt} = I \alpha = 0.1 \ kg \ m^2 \times 10 \ rad \ s^{-2} = 1 \ N \ m$ (या $kg \ m^2 \ s^{-2}$)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है:
पहिये की त्रिज्या,$r = 0.4 \,m$
कोणीय त्वरण,$\alpha = 8 \,rad \,s^{-2}$
लटकाया गया द्रव्यमान,$m = 4 \,kg$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m \,s^{-2}$
रिम से लटके द्रव्यमान के भार द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = m \cdot g \cdot r$
साथ ही,टॉर्क जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$\tau = I \cdot \alpha$
टॉर्क के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$I \cdot \alpha = m \cdot g \cdot r$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I \cdot 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \cdot 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \,kg \,m^2$
अतः,पहिये का जड़त्व आघूर्ण $2 \,kg \,m^2$ है।

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{dL}{dt}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
यहाँ प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = A_0$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_f = 4 \,A_0$ दिया गया है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \,s$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = 4 \,A_0 - A_0 = 3 \,A_0$ है।
अतः, बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3 \,A_0}{4}$ होगा।

(A) दिया गया है: पहिये का द्रव्यमान $m = 20 \,kg$, त्रिज्या $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 80 \,rpm = \frac{80 \times 2 \pi}{60} = \frac{8 \pi}{3} \,rad/s$.
कोणीय विस्थापन $\theta = 5 \,rev = 5 \times 2 \pi = 10 \pi \,rad$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 0$.
घूर्णी गतिकी समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करके, हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$\alpha = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2 \theta} = \frac{0 - (8 \pi / 3)^2}{2 \times 10 \pi} = -\frac{64 \pi^2 / 9}{20 \pi} = -\frac{16 \pi}{45} \,rad/s^2$.
अवरोधक टॉर्क $\tau$ स्पर्शरेखीय बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\tau = I \alpha = F R$.
डिस्क के लिए, $I = \frac{1}{2} m R^2$.
अतः, $F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{1}{2} m R \alpha$.
मान रखने पर: $F = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 \times \left| -\frac{16 \pi}{45} \right| = 10 \times 0.3 \times \frac{16 \pi}{45} = 3 \times \frac{16 \pi}{45} = \frac{16 \pi}{15} \approx 1.06 \pi \,N$.

(B) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
दिया गया कोणीय त्वरण $\alpha = a$ है।
घूर्णन करती हुई वस्तु पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = I \alpha$ है।
मान रखने पर,$\tau = (\frac{1}{2} M R^2) \times a$ प्राप्त होता है।
अतः,डिस्क पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = \frac{M R^2 a}{2}$ है।

(D) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 4 \,kg-m^2$,बल आघूर्ण $\tau = 8 \,N-m$,और समय $t = 20 \,s$। पिंड विरामावस्था से चलना प्रारंभ करता है,अतः प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,कोणीय त्वरण $\alpha$ होगा:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{8}{4} = 2 \,rad/s^2$।
समय $t$ में कोणीय विस्थापन $\theta$ होगा:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \,rad$।
बल आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य $W$ होगा:
$W = \tau \theta = 8 \,N-m \times 400 \,rad = 3200 \,J$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 25 \,kg$,त्रिज्या $R = 0.2 \,m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 240 \,rpm = \frac{240 \times 2 \pi}{60} \,rad/s = 8 \pi \,rad/s$,समय $t = 20 \,s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \,rad/s$.
सबसे पहले,कोणीय मंदन $\alpha$ की गणना करें:
$\alpha = \frac{\omega_i - \omega_f}{t} = \frac{8 \pi - 0}{20} = \frac{8 \pi}{20} = 0.4 \pi \,rad/s^2$.
इसके बाद,फ्लाईव्हील के जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करें (यह मानते हुए कि यह एक डिस्क है):
$I = M R^2 = 25 \times (0.2)^2 = 25 \times 0.04 = 1 \,kg \cdot m^2$.
अंत में,टॉर्क $\tau$ की गणना करें:
$\tau = I \alpha = 1 \times 0.4 \pi = 0.4 \pi \,Nm$.

(D) जब छड़ के एक सिरे पर आवेग $P$ लगाया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र का रैखिक संवेग $P = mv$ होता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = \frac{P}{m}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग $J = P \times \frac{L}{2}$ है। चूंकि $J = I\omega$,जहाँ $I = \frac{mL^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,इसलिए $\omega = \frac{P(L/2)}{mL^2/12} = \frac{6P}{mL}$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
मान रखने पर: $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{P}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{6P}{mL}\right)^2$.
$K = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{36P^2}{m^2L^2}\right) = \frac{P^2}{2m} + \frac{3P^2}{2m} = \frac{4P^2}{2m} = \frac{2P^2}{m}$.

(B) अक्ष $AB$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,दो डिस्क और छड़ के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
प्रत्येक डिस्क के लिए,अक्ष $AB$ बाईं डिस्क के केंद्र से $10 \ \text{cm}$ $(R)$ की दूरी पर और दाईं डिस्क के केंद्र से $20 \ \text{cm}$ $(2R)$ की दूरी पर है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{disc} = I_{cm} + md^2$.
बाईं डिस्क के लिए: $I_1 = \frac{1}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{5}{4}mR^2$.
दाईं डिस्क के लिए: $I_2 = \frac{1}{4}mR^2 + m(2R)^2 = \frac{17}{4}mR^2$.
$L = 3R = 30 \ \text{cm}$ लंबाई वाली छड़ के लिए,अक्ष $AB$ एक सिरे से $10 \ \text{cm}$ दूर एक बिंदु से गुजरती है। $AB$ से छड़ के केंद्र की दूरी $d = 5 \ \text{cm} = R/2$ है।
$I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(R/2)^2 = \frac{m(3R)^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{9mR^2}{12} + \frac{mR^2}{4} = \frac{3mR^2}{4} + \frac{mR^2}{4} = mR^2$.
कुल $I = I_1 + I_2 + I_{rod} = \frac{5}{4}mR^2 + \frac{17}{4}mR^2 + mR^2 = \frac{22}{4}mR^2 + mR^2 = 5.5mR^2 + mR^2 = 6.5mR^2$.
दिया गया है $m = 600 \ \text{g}$,$R = 10 \ \text{cm}$.
$I = 6.5 \times 600 \times (10)^2 = 6.5 \times 60000 = 390000 \ \text{g cm}^2 = 39 \times 10^4 \ \text{g cm}^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{43 \times 10^5}{39 \times 10^4} = \frac{430}{39} \approx 11.02 \ \text{rad/s}^2$.
अतः,कोणीय त्वरण लगभग $11 \ \text{rad/s}^2$ है।

(D) छड़ को निचले सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर धुरी पर रखा गया है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र निचले सिरे से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर है।
प्रारंभ में,द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु से $h_i = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ की ऊंचाई पर है।
जब छड़ मेज से टकराती है,तो द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु के समान स्तर पर होता है,इसलिए अंतिम ऊंचाई $h_f = 0$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = Mg(h_f - h_i) = -Mg\frac{L}{6}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} I \omega^2$.
धुरी बिंदु (जो सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: $I = I_{cm} + M d^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2} - \frac{L}{3})^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $Mg\frac{L}{6} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{9}) \omega^2$.
$Mg\frac{L}{6} = \frac{ML^2}{18} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{MgL}{6} \cdot \frac{18}{ML^2} = \frac{3g}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(A) कोणीय संवेग $L$ को $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है। अतः,$\omega = \frac{L}{I}$।
सबसे पहले,निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ का स्थान ज्ञात करें। मान लीजिए द्रव्यमान $m$,$x = 0$ पर है और $2m$,$x = d$ पर है। $CM$ की स्थिति $x_{cm} = \frac{m(0) + 2m(d)}{m + 2m} = \frac{2md}{3m} = \frac{2d}{3}$ है।
$CM$ से द्रव्यमान $m$ की दूरी $r_1 = \frac{2d}{3}$ है,और $CM$ से द्रव्यमान $2m$ की दूरी $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ है।
$CM$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m(r_1)^2 + 2m(r_2)^2 = m(\frac{2d}{3})^2 + 2m(\frac{d}{3})^2$ है।
$I = m(\frac{4d^2}{9}) + 2m(\frac{d^2}{9}) = \frac{4md^2 + 2md^2}{9} = \frac{6md^2}{9} = \frac{2}{3}md^2$।
कोणीय वेग के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $\omega = \frac{L}{\frac{2}{3}md^2} = \frac{3L}{2md^2}$।

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 1200\text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi\text{ rad/s}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{0 - 40\pi}{10} = -4\pi\text{ rad/s}^2$.
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 5 \times (0.04\text{ m})^2 = 2 \times 0.0016 = 0.0032\text{ kg m}^2$.
लगाया गया बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.0032 \times 4\pi = 0.0128\pi\text{ Nm}$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 40\pi(10) + \frac{1}{2}(-4\pi)(10)^2 = 400\pi - 200\pi = 200\pi\text{ rad}$.
घूर्णनों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$.